小学数学讲义秋季六年级秋季超常讲义第10讲变速问题.pdf

1、1第 11 级下超常体系教师版第 10 讲五年级寒假时钟问题五年级春季比例法解行程六年级暑期多次相遇与追及六年级秋季变速问题六年级寒假行程模块综合选讲利用正反比例解行程问题，体会比例法在解决速度变化问题方面的技巧漫画释义知识站牌第十讲变速问题第 11 级下超常体系教师版21.掌握正反比例在解变速问题上的技巧2.寻找题中的不变量，利用不变量进行解题大家都知道龟兔赛跑的故事吧，小兔输了比赛的原因就是因为睡觉，导致自己很快的速度变为 0，结果让乌龟超过了自己，我们日常生活中这种问题是很多的，为了避免重蹈兔子失败的覆辙，我们要认真来研究这类问题，找到兔子睡觉的最佳时间，且保证乌龟追不上它。这就是我们今

2、天要学习的变速问题！1.两地相距 3300 米，甲、乙二人同时从两地相对而行，甲每分钟行 82 米，乙每分钟行 83米，已经行了 15 分钟，还要行多少分钟两人可以相遇？【分析】根据题意列综合算式得到：33008283155（分钟），所以两个人还需要 5 分钟相遇。2.客车和货车同时从甲、乙两地的中点向相反方向行驶，5 小时后，客车到达甲地，货车离乙地还有 60千米，已知货车和客车的速度比是5:7，求甲、乙两地相距多少千米.【分析】甲、乙两地相距60(75)72420 千米3.昊昊、铮铮两人同时从 A 地出发前往 B 地，昊昊每分钟走 80 米，铮铮每分钟走 60 米。昊昊到达 B 地后，休息

3、了半个小时，然后返回 A 地，昊昊离开 B 地 15 分钟后与正向 B 地行走的铮铮相遇。A、B 两地相距_米。【分析】设铮铮从出发到与昊昊相遇共行了 x 分钟，则昊昊行了（30 x）分钟。6015 8080(3015)xx4800 20 x240 x 所以 A、B 两地相距2406015 8015600米。课堂引入知识点回顾教学目标3第 11 级下超常体系教师版第 10 讲4.设原来的速度为1v，提速后的速度为2v，以原速度行驶用的时间为 1t，提高后的速度行驶用的时间为 2t.同样的路程，提速 20，则12:_vv，12:tt，若两次相差 1 小时，则原来用_小时，现在用_小时同样的路程，

4、减速 20，则12:_vv，12:_tt，若两次相差 1 小时，则原来用_小时，现在用_小时【分析】12:5:6vv，12:6:5tt，6,512:5:4vv，12:4:5tt，4,55.8 点出发，原定 13 点到达，出发后车速提高了 25，现在_点到达从北京到 G 城的特别快车在 2000 年 10 月前需要 12.6 小时，后提速 20%.问：提速后，北京到 G 城的特别快车要用小时.【分析】因为12:4:5vv，则 12:5:4tt，根据题意 15t，所以24t，因此是 12 点到达根据题意提速前后速度比为 5:6，由于路程不变，所以提速前后所用时间比为 6:5，所以提速后用时为12.

5、66510.5（小时）变速问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种解题方法。对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点：算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算模块一：基本的变速问题例题思路经典精讲第 11 级下超常体系教师版4例 1：平均速度的变速问题例 2：上下坡变速问题例 3、路程相同的变速问题模块二：路程为不变量的变速问题例 4、例 5模块三：环形跑道上的变速问题例 6、例 7、例

6、8甲、乙两地相距 6720 米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行 80 米，后一半时间平均每分钟行 60 米.问他走后一半路程用了多少分钟？（学案对应：超常 1）【分析】方法一：由于前一半时间与后一半时间的平均速度是已知的，因此可以计算出这人步行的时间而如果了解清楚各段的路程、时间与速度，题目结果也就自然地被计算出来了应指出，如果前一半时间平均速度为每分钟 80 米，后一半时间平均速度为每分钟 60 米，则这个人从甲走到乙的平均速度就为每分钟走(80+60)2=70 米这是因为一分钟 80 米，一分钟 60 米，两分钟一共 140 米，平均每分钟 70 米而每分钟走 80 米的时间

7、与每分钟走 60米的时间相同，所以平均速度始终是每分钟 70 米这样，就可以计算出这个人走完全程所需要的时间是 672070=96 分钟由于前一半时间的速度大于后一半时间的速度，所以前一半的时间所走路程大于 67202=3360 米则前一个 3360 米用了 336080=42 分钟；后一半路程所需时间为 96-42=54 分钟方法二：设走一半路程时间是 x 分钟，则 80 x+60 x=6720，解方程得：x=48 分钟，因为8048=3840（米），大于一半路程 3360 米，所以走前一半路程速度都是 80 米，时间是336080=42（分钟），后一半路程时间是 48+（48-42）=54

8、（分钟）.评注：首先，从这道题我们可以看出“一半时间”与“一半路程”的区别在时间相等的情况下，总的平均速度可以是各段平均速度的平均数但在各段路程相等的情况下，这样做就是不正确的其次，后一半路程是混合了每分钟 80 米和每分钟 60 米两种状态，直接求所需时间并不容易而前一半路程所需时间的计算是简单的因此，在几种方法都可行的情况下，选择一种好的简单的方法这种选择能力也是需要锻炼和培养的从 A 村到 B 村必须经过 C 村，其中 A 村至 C 村为上坡路，C 村至 B 村为下坡路，A 村至 B 村的总路程为 20 千米某人骑自行车从 A 村到 B 村用了2 小时，再从 B 村返回 A 村又用了1小

9、时 45 分已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的 2 倍求 A、C 之间的路程及自行车上坡时的速度（学案对应：带号 1）【分析】（方法一）设 A、C 之间的路程为 x千米，自行车上坡速度为每小时 y 千米，则C、B 之间 的 路 程 为(20)x千 米，自 行 车 下 坡 速 度 为 每 小 时 2 y 千 米 依 题 意 得：例 2例 15第 11 级下超常体系教师版第 10 讲2022203124xxyyxxyy，两式相加，得：202032124yy，解得8y ；代入得12x 故 A、C 之间的路程为12 千米，自行车上坡时的速度为每小时 8 千米方法二：

10、整体考虑某人从 A 到B，再返回 A,共用时间332 1344（小时），而上坡和下坡各行了 20 千米，下坡时的速度是上坡时速度的2 倍，所以上坡时间为32534122（小时），上坡速度为52082（千米/时），下坡速度为8 216（千米/时），假设法求得 AC 间路程所用时间为3(16 220)(168)2（小时），所以 AC 间的路程为38122（千米）王刚骑自行车从家到学校去，平常只用 20 分钟。因途中有 2 千米正在修路，只好推车步行，步行速度只有骑车速度的 13，结果这天用了 36 分钟才到学校。从王刚家到学校有多少千米？（学案对应：带号 2）【分析】途中有 2 千米在修路，导致了

11、王刚上学时间比平时多用 362016分钟，由于在别的路段上还是骑车，所以多用的时间都是耗费在修路的 2 千米上由于步行速度是汽车速度的 13，所以步行 2 千米所用的时间是骑车 2 千米所用时间的 3 倍，多用了 2 倍，这个多出来的时间就是 16 分钟，所以骑车 2 千米需要1628 分钟由于 8 分钟可以骑 2 千米，而王刚平时骑车 20 分钟可以到学校，所以王刚家与学校的距离为 2(208)5 千米一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高 20%可以提前 1 小时到达如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高 30%，也可以提前 1 小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？【分析】车速提高

12、 20%，速度比是5:6，那么所用时间为原来的6:5，所以原定时间为6(65)6小时；如果按原速行驶一段距离后再提速 30%，此时速度比为10:13，所用时间比为13:10，所以按原速度后面这段路程需要的时间为11(1310)134 3小时所以前面按原速度行使的时间为1564 33小时，根据速度一定，路程比等于时间之比，按原速行驶了全部路程的 556318例 4例 3第 11 级下超常体系教师版6甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行出发时，甲，乙的速度之比是5:4，相遇后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%这样当甲到达 B 地时，乙距离 A 地还有10 千米那么 A、B两地相

13、距多少千米？（学案对应：超常 2）【分析】出 发 时，两 车 的 速 度 之 比 为 5:4，所 以 相 遇 以 后 两 辆 车 的 速 度 之 比 为5120%:4120%5:6，而相遇前甲、乙两车的行程路程之比为 5:4，所以相遇后两辆车还需要行驶的路程之比为 4:5，所以甲还需要行驶全部路程的 49，当甲行驶这段路程的同时，乙行驶了全程的 4856915，距离 A 地还有481191545，所以 A、B 两地相距11045045千米（超常（1）（4）甲、乙二人从相距 60 千米的两地同时相向而行，6 时后相遇。如果二人的速度各增加1 千米时，那么相遇地点距前一次相遇地点 1 千米。问：甲

14、、乙二人的速度各是多少？甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去相遇后甲比原来速度增加 4 米秒，乙比原来速度减少4 米秒，结果都用 25 秒同时回到原地求甲原来的速度（2009 年第二届学而思杯五年级数学试题）A、B 两地相距 6000 米，甲、乙两人分别从 A，B 两地同时出发相向而行，结果在距 B“1 英里 4 分钟”的故事自古希腊设立“1 英里比赛”的赛跑项目以来，人们一直试图在分钟内跑完，甚至曾让狮子追赶奔跑者，但仍没突破。于是所有运动专家都断言：1 英里 4 分钟是人类极限。然而，1954 年 5 月 6 日，牛津大学医学院 25 岁的学生罗

15、杰班尼斯特，用 3 分 59.4 秒的时间突破了这一极限！帮助班尼斯特成功的教练，是伊利诺斯大学身体适应实验室主任库里顿博士。这位教练的方法是：把一英里分成 4 段，根据班尼斯特的体能算出通过每段的最短时间是 58 秒，然后在每段都设一个教练指引运动员：“太快了，放慢！”“提速，加油！”很多教练都借鉴了库里顿博士的方法，第二年就有 37 位选手突破了 1 英里 4 分钟！例 6例 57第 11 级下超常体系教师版第 10 讲地 2400 米处相遇如果乙的速度提高到原来的2.5 倍，那么两人可提前9 分钟相遇，则甲的速度是每分钟行多少米？A、B 两地间有一座桥(桥的长度忽略不计)，甲、乙二人分别

16、从两地同时出发，3 小时后在桥上相遇如果甲加快速度，每小时多走 2 千米，而乙提前 0.5 小时出发，则仍能恰在桥上相遇如果甲延迟 0.5 小时出发，乙每小时少走 2 千米，还会在桥上相遇则A、B 两地相距多少千米？甲、乙两人从 A、B 两地同时出发，相向而行，按预定速度他们将在下午 5 时在途中相遇；如果他们每人每小时都比预定速度快1 千米，则可在下午 4 时相遇；如果他们每人每小时都比预定速度慢1.5 千米，则要在下午7 时相遇，A、B 两地的距离是千米（学案对应：超常 3）【分析】甲、乙两人的速度和第一次为 606=10（千米时），第二次为 12（千米/时），故第二次出发后 5 时相遇。

17、设甲第一次的速度为 x 千米时，由两次相遇的地点相距 1 千米，有 6x5（x1）1，解得 x6 或 x4，即甲、乙二人的速度分别为 6 千米时和 4 千米时。因为相遇前后甲、乙的速度和没有改变，如果相遇后两人合跑一圈用 25 秒，则相遇前两人合跑一圈也用 25 秒(法 1)甲以原速V甲 跑了 25 秒的路程与以 4V 甲的速度跑了 25 秒的路程之和等于 400 米，25254400VV甲甲，解得6V 甲米/秒(法 2)由跑同样一段路程所用的时间一样，得到4VV乙甲，即二者速度差为 4；而二者速度和为4001625VV乙甲，这是个典型的和差问题可得V甲 为：16426米/秒第一种情况中相遇时

18、乙走了 2400 米，根据时间一定，速度比等于路程之比，最初甲、乙的速度比为(60002400):24003:2，所以第一情况中相遇时甲走了全程的33325乙的速度提高到原来的 2.5 倍后，两人速度比为3:(22.5)3:5，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以第二种情况中相遇时甲走了全程的33358两种情况相比，甲的速度没有变化，只是第二种情况比第一种情况少走 9 分钟，所以甲的速度为336000()915058(米/分)因为每次相遇的地点都在桥上，所以在这三种情况中，甲每次走的路程都是一样的，同样乙每次走的路程也是一样的在第二种情况中，乙速度不变，所以乙到桥上的时间还是 3 小时，他提

19、前了 0.5 小时，那么甲到桥上的时间是 3-0.5=2.5 小时甲每小时多走 2 千米，2.5 小时就多走 2 2.5=5 千米，这 5 千米就是甲原来 3-2.5=0.5 小时走的，所以甲的速度是 5 0.5=10 千米/时在第三种情况中，甲速度不变，所以甲到桥上的时间还是 3 小时，他延迟了 0.5 小时，那么乙到桥上的时间是 3 0.5=3.5 小时乙每小时少走 2 千米，3.5 小时就少走 2 3.5=7 千米，这 7 千米就是甲原来 3.5 3=0.5第 11 级下超常体系教师版8小时走的，所以乙的速度就是 7 0.5=14 千米/时所以 A、B 两地的距离为（10 14）3=72

20、 千米设甲、乙两人的预定速度的和为每小时V 千米在预定速度下的相遇时间为t，由于三次所走的总路程相同，根据矩形图法，所以三个不同线型的长方形面积相同，列方程组得32(3)2(1)1tVtV，解得1018tV，所以 A、B 两地的距离为18 10180千米V+2V-3Vt+2tt-1如图，在长为 490 米的环形跑道上，A、B 两点之间的跑道长 50 米，甲、乙两人同时从 A、B 两点出发反向奔跑两人相遇后，乙立刻转身与甲同向奔跑，同时甲把速度提高了 25%，乙把速度提高了 20%结果当甲跑到点 A 时，乙恰好跑到了点 B 如果以后甲、乙的速度和方向都不变，那么当甲追上乙时，从一开始算起，甲一共

21、跑了多少米？（学案对应：超常 4，带号 3）BA【分析】(法 1)相遇后乙的速度提高 20%，跑回 B 点，即来回路程相同，乙速度变化前后速度的比为1:(120%)5:6，所以所花时间的比为6:5，则甲从出发到相遇所用时间与从相遇点返回出发点所用时间的比也为 6:5 设甲在相遇时跑了 6 个单位时间，则相遇后到跑回 A 点用了 5 个单位时间设甲原来每单位时间跑的路程为 S甲，由题意得：65125%490SS 甲甲，解得40S甲相 遇 时 甲 跑 的 路 程 为 406240米，所 以 每 单 位 时 间 乙 跑 的 路 程 为1004905024063米那么速度变化后，甲、乙的速度比为100

22、40125%:120%50:405:43 从 相 遇 点 开 始，甲 追 上 乙 时，甲 比 乙 多 行 一 圈，所 以 甲 一 共 跑 了例 79第 11 级下超常体系教师版第 10 讲490(54)52402690(米)(法 2)设相遇处为C 点因为甲前后速度比为1:125%4:5，乙前后速度比为1:120%5:6，所以，乙先后在 BC 段的时间比为 6:5，也即甲先后两段路程 AC 与CA 所用的时间比也是6:5，则甲所行 AC 段路程与 CA段路程之比为(46):(55)24:25所以，CA的路程为490242525250(米)，BC 的路程为 25050200(米)所以，速度变化后，

23、甲、乙两人的速度分别为：甲：250550(米/单位时间)；乙：200540(米/单位时间)则甲追上乙需要的时间为：49050504044(单位时间)所以，甲一共跑了50444902690(米)圆形跑道的 35%是平路，65%则设置了跨栏（如图中的粗线部分）。甲、乙两人的平路速度分别为5米/秒，7 米/秒,跨栏速度分别是 4 米/秒，3米/秒。第一次两人 A 点出发逆时针跑，甲先跑了6 秒钟，然后乙再出发。结果两人在跑第一圈的时候相遇了两次，且两次相遇的间隔为13 秒。问：(1)跑道总长为多少米？(2)如果两人从 A 点出发顺时针方向跑，而且在跑第一圈的时候也相遇了两次，且两次相遇时间的间隔为

24、39 秒，那么甲和乙应该谁先跑，先跑多少秒？（学案对应：带号 4）A【分析】(1)由于一圈内相遇两次，所以第一次相遇地点应在平路上，第二次相遇地点应在跨栏处，两人在两个相遇地点间走的路程相同、时间相同，只是在平路和跨栏处所用的时间不同，甲乙在平路上用的时间比为 7:5（差两份），甲乙在跨栏处时间比 3:46:8（也差两份），所 以 甲 在 平 路 上 用 的 时 间 为713776秒，因 此 甲 在 平 路 上 共 用 的 时 间 为6 5(75)6728 所以平路长度为5 28140（米），跑道总长为14035%400（米）(2)肯定是乙先出发，同理可知甲在跨栏处用的时间为6391876秒，

25、因此甲在第一次相遇前走的路程为400 1404 18188（米），乙早出发了21883 1884153（秒）例 8第 11 级下超常体系教师版11.红太狼和灰太狼同时从“野猪林”出发，到“天堂镇”。红太狼一半路程溜达，一半路程奔跑。灰太狼一半时间溜达，一半时间奔跑。如果它们溜达的速度相同，奔跑的速度也相同，则先到“天堂镇”是_.【分析】灰太郎2.如图，A 至 B 是下坡，B 至 C 是平路，C 至 D 是上坡.小张和小王在上坡时步行速度是每小时 4 千米，平路时步行速度是每小时 5 千米，下坡时步行速度是每小时 6 千米小张和小王分别从 A 和 D 同时出发，1 小时后两人在 E 点相遇已知

26、E 在 BC 上，并且 E 至 C的距离是 B 至 C 距离的 15 当小王到达 A 后 9 分钟，小张到达 D那么 A 至 D 全程长是多少千米?【分析】BE 是 BC 的45，CE 是 BC 的 15，说明 DC 这段下坡，比 AB 这段下坡所用的时间多，也就是 DC 这一段，比 AB 这一段长，因此可以在 DC 上取一段 DF 和 AB 一样长，如下图：另外，再在图上画出一点 G，使 EG 和 EC 一样长，这样就表示出，小王从 F 到 C.小张从 B阿基里斯悖论公元前 5 世纪，芝诺发表了著名的阿基里斯和乌龟赛跑悖论：让乌龟在阿基里斯前面 1000 米处起跑，并且假定阿基里斯的速度是乌

27、龟的 10 倍。当比赛开始后，若阿基里斯跑了 1000 米，设所用的时间为 t，此时乌龟便领先他 100 米；当阿基里斯跑完下一个 100 米时，他所用的时间为 0.1t,乌龟仍然前于他 10 米。当阿基里斯跑完下一个 10 米时，他所用的时间为 0.01t，乌龟仍然前于他 1 米这样下去，芝诺认为阿基里斯可以不断逼近乌龟却永远不能超越它。但是，生活经验告诉我们阿基里斯一定能超过乌龟，那么你能说出芝诺上面的解释在哪里出现了问题吗？思考题1第 11 级下超常体系教师版第 10 讲到 G小王走完全程比小张走完全程少用 9 分钟，这时因为小张走 C 至 F 是上坡，而小王走 F 至C 是下坡(他们两

28、人的其余行程走下坡、平路、上坡各走一样多)因此，小王从 F 至 C，走下坡所用时间是 9 614=18(分钟)因此得出小张从 B 至 G 也是用 18 分钟，走 GE 或 CE 都用 6 分钟走 B 至 C 全程(平路)要 30 分钟从 A 至 B 下坡所用时间是 60-18-6=36(分钟)；从 D 至 C 下坡所用时间是 60-6=54(分钟)；A 至 D 全程长是(36+54)660+30 560=11.5 千米3.一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高 20，那么可以比原定时间提前 1 时到达；如果以原速行驶 100 千米后再将车速提高 30，那么也比原定时间提前 1 时到达。求甲、乙两

29、地的距离。【分析】时间与速度成反比，车速提高 20%，所用时间为原来的 56，原来需要51166（时）。同理，车速提高了30%，所用时间是原来的 1013。因为提前1小时到达，所以车速提高后的这段路原来用101311133（时）。甲、乙两地相距13100663603（千米）4.如图所示，有 A、B、C、D 四个游乐景点，在连接它们的三段等长的公路 AB、BC、CD 上，汽车行驶的最高时速限制分别是 120 千米、40 千米和 60 千米。一辆大巴车从 A 景点出发驶向 D 景点，到达 D 点后立刻返回；一辆中巴同时从 D 点出发，驶向 B 点。两车相遇在 C 景点，而当中巴到达 B 点时，大巴

30、又回到了C 点，已知大巴和中巴在各段公路上均以其所能达到且被允许的速度尽量快地行驶，大巴自身所具有的最高时速大于 60 千米，中巴在与大巴相遇后自身所具有的最高时速比相遇前提高了12.5%，求大巴客车的最高时速。DCBA【分析】由于 AB、BC、CD 三段公路等长，不妨设60ABBCCD千米，大巴从CDC用602602（小时），此时中巴从CB，速度为60230（千米/小时），所以中巴从DC的速度为8030(1 12.5%)3（千米/小时），用时为8096034（小时），这也是大巴从 ABC用的时间大巴在 BC 上最少用360402（小时），所以大巴在 AB 上最多用 933424（小时）大巴的

31、最高时速为360804（千米）第 11 级下超常体系教师版15.一个圆周长 70 厘米，甲、乙两只爬虫从同一点同时出发，同向爬行，甲以 4 厘米/秒的速度不停地爬行，乙爬行 15 厘米后，立即反向爬行，并且速度增加 1 倍，在离出发点 10 厘米处与甲第一次迎面相遇则乙爬虫原来的速度是【分析】离出发点10 厘米有甲爬行10 厘米、701060厘米、7010三种情况当甲爬行10 厘米时，甲所用时间为51042（秒），乙虫在整个爬行过程中分为两个阶段，第一阶段，以原速爬行了 15 厘米，第二阶段，以原速的 2 倍爬行了15105厘米，这两个阶段的速度比为1:2，路程比为15:53:1，则两个阶段所

32、用时间的比为 3 1:6:11 2。于是第一阶段乙用了 56152617秒，乙爬虫原来的速度为151577厘米/秒。当甲爬行 60厘米时，甲所用时间为 60415（秒），乙虫在整个爬行过程中分为两个阶段，第一阶段，以原速爬行了 15 厘米，第二阶段，以原速的 2 倍爬行了151025厘米，这两个阶段的速度比为 1:2，路程比为 15:253:5，则两个阶段所用时间的比为3 5:6:51 2。于是第一阶段乙用了690155611秒，乙爬虫原来的速度为901115116厘米/秒。当甲爬行80 厘米时，甲所用时间为80420（秒），乙虫在整个爬行过程中分为两个阶段，第一阶段，以原速爬行了 15 厘米

33、，第二阶段，以原速的 2 倍爬行了15105厘米，这两个阶段的速度比为1:2，路程比为15:53:1，则两个阶段所用时间的比为 3 1:6:11 2。于是第一阶段乙用了612020617秒，乙爬虫原来的速度为12071578厘米/秒。6.（2013 年第十八届决赛 B 卷）甲、乙两车分别从 A,B 两地同时出发相向而行，甲车每小时行 40 千米，乙车每小时行驶60 千米，两车分别到达 B 地和 A 地后，立即返回。返回时，甲车的速度增加二分之一，乙车速度不变。已知两车两次相遇处的距离是 50 千米，则 A,B 两地的距离为千米。【分析】根据题意甲乙的速度比是40:602:3，因此相同时间内甲乙

34、路程比也是 2:3，因此第一次相遇时，甲走 2 份，乙走 3 份，甲到 B 地时，乙走了 5237.5份，距 B 地还有107.52.5份，此时甲乙速度比为12(1):31:12，因此甲乙再各走1.25 份相遇，因此 A,B 两地的距离为100050(0.51.25)57（千米）BA0.51.251.2532217.丁丁和乐乐各拿了一辆玩具甲虫在 400 米跑道上进行比赛，丁丁的玩具甲虫每分钟跑 30米，乐乐的玩具甲虫每分钟跑 20 米，但乐乐带了一个神秘遥控器，按第一次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的10%倒退 1 分钟，按第二次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的 20%倒退 1 分钟，以此类推，

35、按第 N 次，使丁丁的玩具甲虫以原来的速度的10%N 倒退 1 分钟，然后再按原来的速度继续前进，如果乐乐在比赛中最后获胜，他最少按次遥1第 11 级下超常体系教师版第 10 讲控器。【分析】乐乐的玩具甲虫跑完全程需要 4002020分钟，丁丁的玩具甲虫跑完全程需要40400303分钟，乐乐要想取胜，就必须使丁丁的玩具甲虫因倒退所耽误的总时间超过40202033分钟乐乐第一次按遥控器后，丁丁耽误的时间为倒退的 1 分钟及跑完这 1分钟倒退路程所花费的时间，为1 10%11.1 分钟；乐乐第二次按遥控器后，丁丁耽误的时 间 为 120%11.2 分 钟；乐 乐 第 n 次 按 遥 控 器 后，丁

36、 丁 耽 误 的 时 间 为110%110.1nn 分 钟 所 以 相 当 于 要 使 1.1 1.21.3 大 于 202633，由 于21.1 1.21.31.41.56.56 3，而21.1 1.21.31.41.51.68.16 3，所以乐乐要想取胜，至少要按 6 次遥控器当时间相同即TT乙甲时，有:SSVV乙乙甲甲；当速度相同即VV乙甲时，:SSTT乙乙甲甲；当路程相同即 SS乙甲时，:VVTT乙乙甲甲 没有相同量时例如：如果:3:5VV 乙甲，:7:4TT乙甲，那么:(37):(54)21:20SS乙甲1.甲、乙两地相距 6 千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行 80

37、 米，后一半时间平均每分钟行 70 米问他走后一半路程用了多少分钟？【分析】方法一：全程的平均速度是每分钟 8070275（）（米），走完全程的时间是60007580（分钟），走前一半路程速度一定是 80 米，时间是30008037.5（分钟），后一半路程时间是8037.542.5（分钟）方法二：设走一半路程时间是 x 分钟，则80706 1000 xx，解得40 x（分钟），因为80403200（米），大于一半路程 3000 米，所以走前一半路程速度都是 80 米，时间是 30008037.5（分钟），后一半路程时间是 404037.542.5（）（分钟）家庭作业知识点总结第 11 级下超常

38、体系教师版12.游乐场的溜冰滑道如下图。溜冰车上坡每分行 400 米，下坡每分行 600 米。已知从 A 点到B 点需 3.7 分，从 B 点到 A 点只需 2.5 分。问：AC 比 BC 长多少米？【分析】取 AD 等于 BC（见下图）。因为从 A 到 B 与从 B 到 A，走 AD 与 BC 两段路所用的时间和相同，所以 D 到 C 比 C 到 D 多用 3.72.51.2（分），即1.2400600DCDC.由此解得111121214404006001200DC米3.放学后兄弟二人都要从学校去奶奶家，弟弟先行 5 分钟，哥哥出发后 25 分钟追上了弟弟.如果哥哥每分钟多行 15 米，那么

39、出发后 20 分钟可以追上弟弟.则弟弟每分钟行多少米？【分析】根据题意，哥哥提速前后，两人所走的路程相同，因此哥哥、弟弟的速度比和时间比成反比，所以哥哥提速前，哥哥与弟弟的速度比是(255):256:524:20，哥哥提速后，哥哥与弟弟的速度比是(205):205:425:20，弟弟每分钟行15(2524)20300（米）4.（2011 年西安某高新一中入学数学真卷）汽车从 A 地开往B 地，若将车速提高 16，可比预定时间提前 20 分钟赶到；若按原计划行驶 72 千米后，再将车速提高 13，就可比原定计划提前 30 分钟到达，求 A、B 两地间的距离是多少？【分析】车 速 提 高 16，速

40、 度 比 是 6:7，那 么 所 用 时 间 为 原 来 的 7:6，所 以 原 定 时 间 为20(76)7140分钟；如果按原速行驶 72 千米后再提速 13，此时速度比为 3:4，所用时间比为4:3，所以按原速度后面这段路程需要的时间为 30(43)4120分钟所以前 面 按 原 速 度 行 使 的 时 间 为 14012020分 钟，因 此A、B 两 地 间 的 距 离 是7220 140504千米5.如图，甲、乙分别从 A、C 两地同时出发，匀速相向而行，他们的速度之比为5:4，相遇于 B 地后，甲继续以原来的速度向 C 地前进，而乙则立即调头返回，并且乙的速度比相遇前降低 15，这

41、样当乙回到 C 地时，甲恰好到达离 C 地18 千米的 D 处，那么 A、C 两地之间的距离是_千米。DCBA1第 11 级下超常体系教师版第 10 讲【分析】由于甲、乙的速度之比为5:4，所以，:5:4AB BC，乙调头后的速度为原来速度的 45，所以乙调头后两人速度之比为45:(4)25:165，而乙回到C 地时甲恰好到达D 处，所以:25:16BD BC，即169BCCD，则94724ACBCCD（千米），即 A、C 两地之间的距离为 72千米6.甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加 2 米秒，乙比原来速度减少 2 米秒

42、，结果都用 24 秒同时回到原地。求甲原来的速度。【分析】因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人合跑一圈用 24 秒，则相遇前两人合跑一圈也用 24 秒。以甲为研究对象，甲以原速 V 跑了 24 秒的路程与以（V+2）跑了 24 秒的路程之和等于 400 米，24V+24（V+2）=400 易得 V=17 3 米/秒7.甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的23.甲跑第二圈时速度比第一圈提高了 13；乙跑第二圈时速度提高了 15 已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇

43、点到第一次相遇点的最短路程是 190 米，那么这条椭圆形跑道长多少米?【分析】设甲跑第一圈的速度为 3，那么乙跑第一圈的速度为 2，甲跑第二圈的速度为 4，乙跑第二圈的速度为125.如下图：第一次相遇地点逆时针方向距出发点 35的跑道长度有甲回到出发点时，乙才跑了 23的跑道长度.在乙接下来跑了13 跑道的距离时，甲以“4”的速度跑了 122433圈所以还剩下13 的跑道长度，甲以 4 的速度，乙以 125 的速度相对而跑，所以乙跑了11212435518圈.也就是第二次相遇点逆时针方向距出发点 18 圈即第一次相遇点与第二次相遇点相差31195840圈，所以，这条椭圆形跑道的长度为19190

44、40040米8.（2013“数学解题能力展示”六年级组初试）环形跑道的长为 2013 米，A、B 是直径的两端.甲乙顺时针、丙逆时针同时从 A 点出发，甲每经过 B 点一次，速度就变为原来的 2 倍.已知乙丙第一次相遇时，甲恰好第一次回到 A 点；乙第一次回到 A 点时，甲恰好第二次回到 A 点.那么，当甲和丙第一次相遇时，丙走了多少米？第 11 级下超常体系教师版1【分析】假如甲不加速，换算一下乙丙相遇时甲的位置，甲应该跑了四分之三圈，所以速度方面甲：（乙+丙）=3:4；假如甲不加速，换算一下乙回到 A 时甲的位置，甲应该跑了一又八分之一圈，所以速度方面甲：乙=9:8；接下来就是化通比了，可

45、以求出速度方面甲：乙：丙=9:8:4，所以甲跑半圈时，丙跑了 418圈，两人还差 518圈，此时甲加速，甲：丙=18:4，丙应该跑了5451818499(圈)，再加上之前跑的 418(圈)，丙共跑了453189911(圈)，故丙跑了3201354911(米).【超常班学案1】某学校运动会上，800 米跑是既讲耐力又讲技术的一项比赛项目，A、B、C 三位学生都有夺冠的希望，但由于他们使用的技术不同，得出了不同的效果，这项运动可分为三个阶段：第一阶段是起跑和慢加速阶段；第二阶段是全速前进阶段；第三阶段是全速冲刺阶段假设全速前进阶段 A、B、C 三位同学的速度都是 6 米秒，若 A、B、C 三位同学

46、花在慢加速阶段的时间都是12 秒，而在这时间内他们分别跑了60米、54 米和 48 米，问半分钟后他们的位置如何？由于 A 在慢加速阶段加速太快引致30 48 秒间呼吸不均匀造成速度下降到5 米秒，问1分钟时他们的位置关系如何？三人都在最后80 米处发起最后的冲刺，若此时 A 的速度为 8 米秒，B 的速度为 6.4 米秒，最后夺冠的是 C，问C 最后冲刺阶段的速度至少是多少？【分析】A：60+186=168米，B：54+186=162米，C：48+186=156米 A：60+186+185126330米，B：54486342米，C：48486336米 A 到 终 点 用 时 为 60(720

47、330)6808135 秒，B 到 终 点 用 时 为60(720342)6806.4135.5秒,因此 C 只有超过 A 才能获得冠军，因此 C 到终点最多用时 135 秒，因此冲刺阶段最多用时13560(720336)611（秒），所以C 最后冲刺阶段的速度至少是80801111（米/秒）【超常班学案2】甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度之比是 3:2,他们第一次相遇后甲的速度提高了 20，乙的速度提高了 30，这样，当甲到达 B 地时，乙离 A地还有 14 千米，那么 A、B 两地的距离是多少千米？【分析】因为他们第一次相遇时所行的时间相同，所以第一次相遇

48、时甲、乙两人行的路程之比也为3:2，设第一次相遇时甲、乙两人行的路程分别是 3 份，2 份相遇后，甲、乙两人的速度比为 3(120%):2(130%)18:13，到达 B 地时，即甲又行了 2 份的路程，这时乙行的路程和甲行的路程比是 13:18，即乙的路程为 2 131841 9 乙从相遇后到达 A 还要行 3 份的路程，还剩下4531199(份)，正好还剩下 14 千米，所以 1超常班学案1第 11 级下超常体系教师版第 10 讲份这样的路程是514199(千米)A、B 两地有这样的 325(份)，因此 A、B 两地的总路程为：9545(千米)【超常班学案3】环形场地的周长为 1800 米

49、，甲、乙两人同时从同一地点出发相背而行(甲速大于乙速)，12 分钟后相遇如果每人每分钟多走 25 米，则相遇点与前次相差33 米，求原来二人的速度【分析】甲、乙原来的速度和为：180012150(米/分)，如果每人每分钟多走 25 米，现在的速度之和为：150252200(米/分)，现在相遇需要的时间为：18002009(分钟)题目中说相遇点与前次相差33 米，但并不知道两者的位置关系，所以需要先确定两次相遇点的位置关系由于以原来的速度走一圈，甲比乙多走的路程为每分钟甲比乙多走的路程 12；提速后走一圈，甲比乙多走的路程为每分钟甲比乙多走的路程 9；故提速后走一圈与以原来速度走一圈相比，甲比乙

50、多走的路程少了，而二人所走的路程的和相等，所以提速后甲走的路程比以原速度走的路程少，其差即为两次相遇点的距离33 米所以现在问题转化为：甲以原速度走 12 分钟走到某一处，现在甲以比原速度提高 25 米/分的速度走 9 分钟，走到距 离 前 一 处 还 有33 米 的 地 方，求 甲 的 速 度 所 以，甲 原 来 的 速 度 为：(33259)(129)86(米/分)，乙原来的速度为：1508664(米/分)【超常班学案4】甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步如果出发时乙的速度是甲的 2.5 倍，当乙第一次追上甲时，甲的速度立即提高 25%，而乙的速度立即减少 20%，并且乙第一次

51、追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距 100 米，那么这条环形跑道的周长是米BCA【分析】如图，设跑道周长为 1，出发时甲速为 2，则乙速为 5假设甲、乙从 A点同时出发，按逆时针方向跑由于出发时两者的速度比为 2:5，乙追上甲要比甲多跑 1 圈，所以此时甲跑了21(52)23，乙跑了 53；此时双方速度发生变化，甲的速度变为 2(125%)2.5，乙的速度变为 5(120%)4，此时两者的速度比为2.5:45:8；乙要再追上甲一次，又要比甲多跑 1 圈，则此次甲跑了51(85)53，这个 53 就是甲从第一次相遇点跑到第二次相遇点的路程从环形跑道上来看，第一次相遇点跑到第二次相遇点之间的距离

52、，既可能是 52133个周长，又可能是51233个周长那么，这条环形跑道的周长可能为21001503米或11003003米第 11 级下超常体系教师版1【123班学案1】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5 倍，而且甲比乙速度快两人出发后1小时，甲与乙在离山顶600 米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好下到半山腰那么甲回到出发点共用多少小时？【分析】（方法一）由第二个条件可以得到两人的速度之比：因为甲下山速度都是上山速度的1.5 倍，所以甲下到半山腰所用的时间等于爬山上到山顶时间的 11121.53，所以甲上山所用的时间占上山并下到山腰所用

53、时间的33134，即甲上山所花的时间等于乙上山所用的时间的34，所以甲乙两人上山的速度之比为 4:3，甲下山的速度和乙上山的速度之比为4 1.5:32:1当甲到达山顶时，乙爬了上山路程的 34，到两人相遇，乙又爬了剩下 14路程的112，此时乙距离山顶 1214126个路程，所以山顶到山脚的距离为160036006米，乙上山一小时行了13600130006米，所以甲上山的速度为 4000 米/小时，下山速度为6000 米/小时，所以甲自出发到回到山脚共用1300060001.5小时方法二：利用例 3 的解题思路，根据“当乙到达山顶时，甲恰好下到半山腰”，设甲从山顶行到半山腰路程为 3 份，相同

54、时间内，如果甲以上山速度下山只能行2 份，所以甲乙二人上山速度比为(332):(33)4:3，那么甲下山速度与乙上山速度比为(4 1.5):32:1，根据“两人出发后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇”，相同路程乙上山用1小时，那么甲下山用 0.5 小时，因此甲回到出发点共用10.51.5小时【123班学案2】（2008 年学而思杯六年级）欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里早晨 7:40，欢欢从家出发骑车去学校，7:46 追上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知，欢欢立即调头，并将速度提高到原来的 2 倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢8:00 赶到学校时，贝贝也恰

55、好到学校如果欢欢在家换校服用去 6 分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时是点分【分析】欢欢从出发到追上贝贝用了 6 分钟，那么她调头后速度提高到原来的 2 倍，回到家所用的时间为 3 分钟，换衣服用时 6 分钟，所以她再从家里出发到到达学校用了 206365分钟，故她以原速度到达学校需要 10 分钟，最开始她追上贝贝用了 6 分钟，还剩下 4 分钟的路程，而这 4 分钟的路程贝贝走了 14 分钟，所以欢欢的 6 分钟路程贝贝要走146421分钟，也就是说欢欢追上贝贝时贝贝已走了 21 分钟，所以贝贝是 7 点 25 分出发的【123班学案3】一个圆周长 70 厘米，甲、乙两只爬虫从同一点同

56、时出发，同向爬行，甲以 4 厘米/秒的速度不停地爬行，乙爬行 15 厘米后，立即反向爬行，并且速度增加 1 倍，甲爬行 40厘米处与乙第一次相遇则乙爬虫原来的速度是123 班学案1第 11 级下超常体系教师版第 10 讲30cm15cmCBA【分析】设 A 点是起始点，甲、乙二虫一开始都是顺时针爬行，乙爬行到 B 点后开始反向爬行，与甲虫在 C 点相遇。则 AB15厘米，30AC 厘米，703040ABC 厘米，则甲从ABC所用时间为40410秒，甲、乙同时出发至相遇，则乙虫从 ABAC所用时间也为 10 秒。乙虫在整个爬行过程中分为两个阶段，第一阶段，以原速爬行了 15 厘米（AB），第二阶

57、段，以原速的 2 倍爬行了153045厘米（BAC），这两个阶段的速度比为1:2，路程比为15:451:3，则两个阶段所用时间的比为1 3:2:31 2。于是第一阶段乙从 AB用了210423秒，乙爬虫原来的速度为1543.75厘米/秒。【123班学案4】例 8 中所有数据都不变，如果两人从 A 点出发按顺时针方向跑，而且在跑第一圈的时候相遇两次，那么后跑的人最少晚出发几秒钟？【分析】要使晚出发的人走的时间最少，意味着第一次追上时路程差较小，那么第二次追上时的路程差最大，又要求在第一圈相遇两次，所以第二次相遇地点应在 A 点，那么两人都走了140米的平路，产生的时间差为1405 14078 秒，甲乙在跨栏处时间比 3:4(3 8):(4 8)，因 此 甲 在 在第 一 次 相遇前 走 的 路 程为 400 1404(3 8)164（米），乙 早 出 发了21643 1644133（秒）