小学数学讲义秋季四年级A版第2讲体育比赛中的数学优秀A版.pdf

1、第 2 讲1第 7 级下优秀 A 版教师版漫画释义三年级春季标数法四年级暑假加乘原理初步四年级秋季体育比赛中的数学四年级秋季几何计数初步四年级寒假包含与排除比赛赛制；积分制以及相关逻辑推理问题.知识站牌第二讲体育比赛中的数学第 7 级下优秀 A 版教师版2同学们平时喜欢参与体育比赛吗？有没有人经常在下课或者午休的时候到操场上去打篮球或踢足球?回家打开电视机的时候会不会看体育频道播放的各种赛事呢？明年世界杯将会在巴西举行，你是否了解淘汰赛的规则？其他运动的获胜规则呢？你有没有想过这些比赛与数学会有怎样的联系？如果你没想过，那就在今天跟老师一起来研究一下体育比赛中的数学问题吧.1.了解常见的体育赛

2、事的比赛赛制2.掌握赛制的简单计算，重点掌握单循环赛中“场次与人数”和“场次与分制”之间的关系3.熟练运用单循环赛中的“点线图”，解决相关的逻辑推理问题在体育比赛中，我们一般主要研究单循环赛.单循环赛有两条关键的规律：一个小组内，胜的总场数等于负的总场数；平的总场数一定是偶数.一般的解题思路是根据这两条规律列表得到各队的胜、平、负的情况再做推理1.n 支队伍的单循环比赛将进行(1)2n nm场，其中每支队都进行(1)n 场.2.体育比赛中的总分（记为 A）问题三分制：胜、平、负按 3、1、0 积分制度，其中 23mAm，每多出现一场平局，总分就会减少1 分；二分制：胜、平、负按 2、1、0 积

3、分制度，其中2Am，不管比赛情况如何，最后的总分总是不变的3.一个小组内：胜的总场数等于负的总场数；平的总场数一定是偶数淘汰赛：淘汰赛是指体育比赛和其它各种比赛中的一种赛制，在这种赛制中赛员两两相对，输一场即淘汰出局.每一轮淘汰掉一半选手，直至产生最后的冠军.在单淘汰赛制中赛会组委会事先会将全部选手按预赛名次或种子顺序进行编排，也支持部分种子选手直接从中间某轮开始知识点回顾经典精讲教学目标课堂引入第 2 讲3第 7 级下优秀 A 版教师版参加比赛的安排（即轮空）.这样做的目的是避免实力强的选手过早相遇，导致后面的比赛中对阵双方的实力相差过于悬殊，影响比赛的悬念和精彩程度.循环赛：循环制，是每个

4、队都能和其他队比赛一次或两次，最后按成绩计算名次的比赛方法.这种方法比较合理、客观和公平，有利于各队相互学习和交流经验.循环制包括单循环、双循环和分组循环三种方法.单循环：是所有参加比赛的队均能相遇一次，也就是每个队都要与其他队比赛一次，假如有 A、B、C、D 4 个队，则每个队需要打 3 场，一共需要打 3+2+1=6 场，用线段图表示：DCBAA 与 B、A 与 C、A 与 D、B 与 C、B 与 D、C 与 D 共 6 场.最后按各队在全部比赛中的积分、得失分率排列名次.如果参赛球队不多，而且时间和场地都有保证，通常都采用这种竞赛方法.双循环：是所有参加比赛的队均能相遇两次，最后按各队在

5、两个循环的全部比赛中的积分、得失分率排列名次.如果参赛队少，或者要创造更多的比赛机会，通常采用双循环的比赛方法.目前，全国男子篮球甲级联赛采用主客场制，在第一阶段预赛和 912 名保级赛中采用的就是双循环比赛.双循环比赛的轮次、场次以及比赛时间，均是单循环比赛的倍数.分组循环：是将所有参加比赛的队先分成若干个小组进行第一阶段预赛，然后每组的优胜队之间再进行第二阶段的决赛，决定第 1 名和以下的名次.在分组预赛中采用单循环的比赛方法，在决赛中可采用单循环赛、同名次赛、交叉赛等，故也称这种竞赛方法为混合循环制或“两阶段制”.分组循环适用于有较多的队参加的竞赛，可以在不长的期限内较合理较公平地完成竞

6、赛任务.分组循环的不足之处，是参赛队由于实力不同，如果分布不均，可能造成强队先期被削减、弱队反而名次排列在前面的局面.为了克服这个缺陷，在编排中应设立“种子队”.所谓“种子队”，就是实力和成绩相对较强的队，他们应被合理地分开.“种子队”可以通过协商确定，也可以根据上一届比赛的名次来确定.为了照顾主办竞赛的单位，有时也在竞赛规程中作出相应规定，还要经过一定会议的讨论和认可.模块一：场次的计算（例 1例 3）模块二：分数的计算（例 4例 5）例题思路第 7 级下优秀 A 版教师版4学学组织了 8 个同学去体育场进行羽毛球比赛，两两配对进行淘汰赛，要在这 8 人中决出冠军，请问一共要进行多少场比赛？

7、【分析】方法一：两两配对进行淘汰赛，8 人一共能分成 824组，每组赛一场，一共赛了 4 场，淘汰了 4 人，剩下 4 人分成 422组，要赛 2 场，剩下 2 人，还需赛 1 场，所以一共要赛4217 场方法二：要淘汰 7 人，则进行 7 场比赛(1)羊村要举行足球联赛，共有 6 个代表队参加每个队都要与其他队赛一场，那么1)冠军队要比赛多少场？2)一共要进行多少场比赛？3)如果是 n 个队呢？(学案对应：1)【分析】1)一共有 6 队参加比赛，每队与其他各队赛一场，6-1=5(场).2)共赛 6(61)215（场）.3)n 队每队都赛了 n-1 场，共进行(1)2nn场比赛.(2)学而思的

8、几个校区举行篮球比赛，每两个校区都要赛一场，共赛了 28 场，那么有几个校区参加了比赛？【分析】如果三个人比赛，可以比赛3223场；如果四个人比赛，可以比赛6234场；如果有五个人比赛，那么可以比赛10245场；假设有n个校区参加比赛，那么就有(1)2nn场比赛，现在已知共赛了28场，那么n=8,也就是有8个校区参加了比赛.【想想练练】10 名羽毛球运动员参加单打比赛，两两配对进行单循环赛，一共要比赛多少场？【分析】每名运动员都赛了 9 场，由于一场比赛是有两名运动员参加的，共进行了 109245场比赛.例 2例 1第 2 讲5第 7 级下优秀 A 版教师版学校的四位学员进行乒乓球比赛，每两个

9、人支能比赛一次，他们的编号分别为A，B，C，D到现在为止，A已经赛了1场，B赛了2场，C赛了3场.请问：D赛了几场？（学案对应：2）【分析】建议教师让学生动手按要求画一画如下图，画 4 个点表示四位同学 A、B、C、D，两点之间连一条线段表示赛一场，根据题意，C 已经赛 3 场，说明 C 与 A、B、D 各赛一场，C 与 A、B、D 点相连此时 A 和 C 已赛 1 场，B 的第 2 场只能和 D 赛，B、D 两点相连.从图上 D 点的连线条数可知，D 同学赛了2场.足球比赛赛制足球比赛主要包括淘汰赛和循环赛，其中循环赛又包括单循环和双循环.双循环赛制主要出现在一些周期较长的联赛及选拔赛事中，

10、双方分别在对抗过程中表现己方的主场优势.而一些较为集中的比赛多以单循环赛与淘汰赛相结合的形式进行.例如我们常见的世界杯，32 支球队被分在 8 个小组，两两相互进行一场比赛后，小组前两名可以晋级淘汰赛阶段.淘汰赛一直从 16 支球队到决出最后的冠亚季军，都采用一场定胜负的方法，其中也包括了精彩的加时金球制胜，和残酷的点球大战.篮球比赛赛制篮球比赛同样有循环赛和淘汰赛两种形式.风靡全世界的 NBA 里的常规赛采用的就是循环赛的形式.在为期半年，长达 82 场的常规赛赛程中，通过球队的胜场数确定进入季后赛的资格和席位.季后赛采用的则是 7 局 4 胜的淘汰赛形式.16 支分别来自东西部的球队会依照

11、排名（18,27,36,45）进行捉对厮杀，率先获得四场胜利的球队将晋级下一轮.连续四轮战胜对手的球队将获得最终的总冠军.乒乓球比赛赛制乒乓球比赛根据规模多采用淘汰赛制.乒乓球的计分制经过多次修改后，成为了现在的单局 11 分制，即率先赢下 11 分的选手将赢下这一局的比赛.但如果对手的得分达到 10 分及以上，就需要至少多赢两分才能获得比赛胜利.单打的比赛中则多采用 7 局 4 胜，而双打的比赛中多采用 5 局 3 胜.羽毛球比赛赛制羽毛球比赛的赛制采用先小组内循环，每组前两名再晋级参加淘汰赛的形式.每场比赛 3局 2 胜，单局采用 21 分制，即率先赢下 21 分的选手将赢下这一局的比赛.

12、如果对手的得分达到 20 分及以上，就需要至少多赢他两分才能获得比赛胜利.例 3第 7 级下优秀 A 版教师版6【想想练练】八一队、北京队、江苏队、山东队、广东队五队进行象棋友谊赛，每两个队都要赛一场，一个月过后，八一队赛了 4 场，北京队赛了3 场，江苏队赛了2 场，山东队赛了1 场那么广东队赛了几场？【分析】八一队赛了4 场，说明八一队和其它四队都赛过了山东队赛了1场，说明只和八一队赛过北京队赛了3场，说明与八一队、江苏队、广东队赛过江苏队赛了2 场，说明与八一队、北京队赛过由此可知，广东队只和八一队、北京队赛过，赛了2 场班上四名同学进行跳棋比赛，每两名同学都要赛一局.每局胜者得 2 分

13、，平者各得 1 分，负者得 0 分.(1)四个队的得分加起来一定是多少分？(2)第一名最多得多少分？(3)已知甲乙丙三名同学得分分别为 3 分、4 分、4 分，且丙同学无平局，甲同学有胜局，乙同学有平局，那么丁同学得分是多少？（学案对应：3）【分析】（1）四个人循环比赛总共比赛6234（场），每场无论分出胜负还是打平，两人的得分和一定是 2 分，因此最终四个人的得分加起来一定是1226（分）（2）第一名共赛 3 场比赛，全胜最多可得 32=6（分）（3）方法一：总分-甲的分数-乙的分数-丙的分数=丁的分数，即：623441（分）方法二：四个同学共赛6234（局），结合条件“丙同学无平局，甲同学

14、有胜局，乙同学有平局”，分解三名同学分数配比：甲：31 21 乙：41 22 1 丙：422观察可知有四胜二负，所以丁同学负了二场，又因为有三平，所以丁同学平了一场则丁同学得：11=1（分）例 4第 2 讲7第 7 级下优秀 A 版教师版四个足球队进行单循环比赛，每两队都要赛一场如果踢平，每队各得 1 分，否则胜队得 3 分，负队得 0 分(1)四个队的得分加起来可能是多少分？(2)第一名最多得多少分？(3)比赛结束，各队的总得分恰好是四个连续的自然数，问：输给第一名的队的总分是多少？（要求说明理由）（学案对应：4）【分析】(1)共打 6 场，总分在 12 分到 18 分之间(2)第一名最多可

15、得到 33=9 分.(3)设四个队的总得分分别为 n，1n ，2n，3n 由于四个队进行单循环比赛，共赛6 场，各队总得分之和不超过 6318（分），且不低于6212（分），即12n(1)(2)(3)18nnn，亦即124618n 解出 23n 下面分情况讨论：1、当3n 时,即四队总分依次为 3，4，5，6因为345618，说明六场比赛都有胜负，不存在平局的场次；而另一方面，得 4 分和 5 分的队都有平局的场次两者矛盾所以，3n 是不可能的2、当2n 时，即四队总分依次是 2，3，4，5因为 234514，所以 6 场比赛中应有 18-144（场）是平局，2 场是有胜负的由于得 5 分和

16、2 分的队各有二场平局，即531 1 ；21 10 从而可以判定，得 3 分的队必须三场平局，得 4 分的队一胜一平一负，即31 1 1 ，4310 综上所述，第二名得 4 分的队必胜得 2分的队，而负于第一名（注意到得 5 分和 3 分的队都没有输过一场）即输给第一名的队的总分是 4 分.【想想练练】甲、乙、丙、丁四人进行象棋比赛，每两人都比赛一场，规定胜者得2 分，平局各得1分，输者得0分结果甲第一，乙、丙并列第二，丁最后一名，那么乙得几分？【分析】共四人参加比赛，每人都要赛 3场，每场无论分出胜负还是打平，两人的得分和一定是 2 分，四个人循环比赛总共比赛4326（场），因此最终四个人的

17、得分加起来一定是 2612（分）每名选手的总分一定是0 6 七个数之一又由题意，“甲第一，乙、丙并列第二，丁最后一名”，可知甲得6 分时，乙、丙只能各得3 分，丁得0 分如果乙、丙得分大于3 分时，根据四个人的总得分是12 分，可得甲得分小于等于 4 分，这种情况不可能；如果乙、丙得分小于 3分时，根据四个人的总得分是12分，可得甲得分大于等于7 分，这种情况也不可能；所以乙得 3分例 5第 7 级下优秀 A 版教师版81994 年“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁 4 支队分在同一小组，在小组赛中，这 4 支队中的每支队都要与另 3 支队比赛一场根据规定：每场比赛获胜的队可得 3 分；失败的

18、队得 0 分；如果双方踢平，两队各得 1 分已知：（1）这 4 支队三场比赛的总得分为 4 个连续奇数；（2）乙队总得分排在第一；（3）丁队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与丙队踢平的；根据以上条件可以推断：总得分排在第四的是哪队？【分析】每个队踢 3 场，至多得 9 分但若一个队得 9 分，则第二名已负 1 场，至多得 6 分，与条件（1）不符，所以第一名不能得 9 分，这样 4 个队的得分依次为 7、5、3、1丁恰有两场平局，因而总分为 2 或 5，由于总分是奇数，所以支能是 5 分，从而丁是第二名，平二场，胜 1 场；乙得 7 分，7=33+1，所以乙胜甲、丙，并与丁踢平；丙与丁踢平，负

19、于乙，所以丙的总分支能是 1、2、4，但总分是奇数，所以支能是 1，从而丙是第四名在体育比赛中，我们一般主要研究单循环赛.单循环赛有两条关键的规律：一个小组内，胜的总场数等于负的总场数；平的总场数一定是偶数.一般的解题思路是根据这两条规律列表得到各队的胜、平、负的情况再做推理1.n 支队伍的单循环比赛将进行(1)2n nm场，其中每支队都进行(1)n 场.2.体育比赛中的总分（记为 A）问题全校共有 61 人报名参加兵乓球比赛，要用淘汰赛的方式产生一名冠军.每一场比赛中的双方，胜者参加下一轮比赛；若战成平局，则都参加下一轮比赛.由于参赛人数是奇数，第一轮比赛中只好让 60 名选手上场进行 30

20、 场比赛，其余一人免赛直接进入第二轮.如果第二轮可参赛人数仍是奇数，就再让其中一人免赛直接参加第三轮，其余选手成对地角逐.如此下去，到冠军产生为止.问最少要进行多少场比赛？【答案】不论每一轮比赛中参赛资格的选手人数是奇数还是偶数，也不论每一轮比赛中有没有因战成平手而双双进入下一轮者，每一场比赛的两个参赛选手中最多只能淘汰一人（成为平手时谁也不淘汰）.要从 61 名选手中产生一名冠军，需淘汰 60人，因此，至少需要进行 60 场比赛.知识点总结杯赛提高第 2 讲9第 7 级下优秀 A 版教师版三分制：胜、平、负按 3、1、0 积分制度，其中 23mAm，每多出现一场平局，总分就会减少1 分；二分

21、制：胜、平、负按 2、1、0 积分制度，其中2Am，不管比赛情况如何，最后的总分总是不变的3.一个小组内：胜的总场数等于负的总场数；平的总场数一定是偶数1.世界杯的淘汰赛有 16 支球队参加，想获得冠军要战胜几个对手？【分析】16 支球队在淘汰赛中两两对抗，162=8，82=4，42=2，22=1.至少需要进行 4 轮比赛，战胜 4 个对手.2.来自五大洲的代表队齐聚北京参加一项比赛，每个洲的代表队都要与其他各队比赛一场，一共有多少场比赛？【分析】5 支球队分别与其他各队比赛一场，共有 4+3+2+1=10(场).3.学学、思思、明明和光光四人进行一场循环对抗赛，每人都需要和其他人各赛一场.此

22、时，学学比了一场，思思比了两场，光光还没参加比赛.请问，明明已经参加了几场？【分析】根据已知条件，由于光光还没参加比赛，思思的两场分别是与学学和明明比赛的，学学支比了一场，因此明明也只参加了一场比赛.4.北京队、上海队、武汉队、广州队和重庆队五支队伍争夺围棋联赛的冠军，每两支队伍都需要进行一场比赛.一段的比赛结束后，北京队已完成了所有赛程，广州队还剩三场比赛，上海和武汉队还剩两场比赛，重庆队仅剩一场比赛.请问，已经比完了多少场，还剩多少场？【分析】全部的比赛数为：4+3+2+1=10(场),剩下的比赛数为：(3+2+2+1)2=4(场).已经比完的比赛数为：10-4=6(场).5.五个人进行象

23、棋单循环赛，规定胜者得 2 分，负者得0 分，和棋双方各得1分，比赛结束后统计发现，五个人的得分和加起来一定是多少？【分析】四个人循环比赛总共比赛 54210（场），每场无论分出胜负还是打平，两人的得分和一定是2 分，因此最终四个人的得分加起来一定是 2 1020（分）6.东东、西西、北北三人进行乒乓球单循环赛，结果 3 人获胜的场数各不相同问第一名胜了几场？【分析】三人进行单循环赛，即每两人都要赛一场，共进行3223（场）比赛每场比赛都有一人获胜，由三人获胜的场数各不相同，所以三人获胜的场数分别为 2、1、0显然，第家庭作业第 7 级下优秀 A 版教师版10一名胜了 2 场【A 版学案 1】

24、有 27 支足球队参加比赛：（1）如果采用单循环赛（每两队赛 1 场），需比赛_场.（2）如果进行淘汰赛（胜者继续比赛，负者下场）产生冠军，共需比赛_场.【分析】351、26【A 版学案 2】A、B、C、D、E、F 六人赛棋，采用单循环制.现在知道：A、B、C、D、E 五人已经分别赛过 5、4、3、2、1 盘.问：这时 F 已赛过盘.【分析】如下图,这时 F 已赛过 3 盘.【A 版学案 3】在一项两分制的足球赛事中，四支球队进行单循环比赛.他们的总分是多少？若甲队三战全胜，其余三队的得分各不相同，其余三队的得分可能是多少？【分析】四队单循环赛共：3+2+1=6(场),两分制的比赛无论胜负或者

25、战平总分均是 62=12(分).甲队三战全胜得 6 分,剩余三队共得到 12-6=6(分).由于分数各不相同，三队的分数可能为 1，2，3 或 0，2，4.【A 版学案 4】6 支球队进行足球比赛，每两支队之间都要赛一场，规定胜一场得 3 分，平一场各得1 分，负一场不得分全部比赛结束后，发现共有 4 场平局，且其中 5 支球队共得了31 分，则第 6 支球队得了分【分析】每场平局两队共得 2 分，如果分出胜负则两队共得 3 分6 支球队共要比 652=15 场比赛，其中有 4 场平局，所以有 15-4=11 场分出了胜负，那么 6 支球队总得分为 24+311=41 分，由于有 5 支球队共得了 31 分，所以第 6 支球队得了 41-31=10 分A 版学案