2022年一模二次函数压轴题（解析版）.docx

1、2022年一模二次函数压轴题1如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+4x+c与直线AB相交于点A(0，1)和点B(3，4)(1)求该抛物线的解析式；(2)设C为直线AB上方的抛物线上一点，连接AC，BC，以AC，BC为邻边作平行四边形ACBP，求四边形ACBP面积的最大值；(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y=a1x2+b1x+c1（a10），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)(3)存在，E（4，3）或（-2，5）或（-3，2）或（3，0）【分析】（1

2、）将A，B两点代入到解析式中，得到a与c的值，求得抛物线的解析式；（2）设C（m，-m2+4m+1），过C作CMy轴交AB于M，则可以得到M的坐标（m，m+1），表示出线段CM的长，ABC的面积可以分解为ACM与BCM之和，可以用m表示出ABC的面积，得到关于m的二次函数，根据m的范围，确定函数的最值，从而求得C点坐标；（3）将抛物线配成顶点式，直接写出平移后的抛物线解析式，联立两个抛物线解析式，求得D的坐标，以AD为腰的等腰直角三角形，分四类讨论，即A和D可以均为直角顶点，同时，E的位置可以在AD右侧，也可以在AD左侧，构造一线三等角模型，求出E点坐标即可(1)解：将点A、B的坐标代入抛物线

3、表达式得解得：抛物线的表达式为；(2)解：设直线AB的表达式为：，将点A、B的坐标代入得：解得： 故直线AB的表达式为： 过点C作轴的平行线交AB于点H如图设点C（，），则H（，+1）四边形ACBP是平行四边形，-30，四边形ACBP的最大值为；(3)解：抛物线y=-（x-2）2+5，将抛物线向左平移2个单位后得到的抛物线为：y=-x2+5，联立，解得，D（1，4），如图2，当DA=DE，EDA=90，E在AD右侧时，过D作x轴平行线交y轴于N，过E作y轴平行线，两线交于F点，DAN+NDA=NDA+EDF=90，DAN=EDF，又DNA=EFD=90，DA=DE，DNAEFD（AAS），DN

4、=EF=1，AN=DF=3，E（4，3），当DA=DE，EDA=90，E在AD左侧，同理可得，E（-2，5），当AD=AE，DAE=90，E在AD左侧时，同理可得，E（-3，2），当AD=AE，DAE=90，E在AD右侧时，同理可得，E（3，0），综上所述，E（4，3）或（-2，5）或（-3，2）或（3，0）【点睛】此题考查的是二次函数综合题，ABC的面积最值问题，解决问题的关键是构造横平竖直线来分割面积，进而转化成函数最值问题讨论得出，第三问的等腰直角三角形存在问题，关键是数形结合，分类讨论2在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，连接、(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点是线

5、段上方抛物线上的一个动点，过点作交于点，当线段的长度取得最大值时，求点的坐标和长度的最大值；(3)如图2，将抛物线向右平移3个单位长度得到新抛物线，新抛物线与抛物线交于点为新抛物线上一点，点、为直线上的两个动点，直接写出所有使得点、为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来【答案】(1)(2)，的最大值为(3)或或【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可；（2）作交于点，轴交于点，证明，得，设，则，根据二次函数的性质求得的最值，即可求得的最值以及的坐标；（3）分为平行四边形的边和平行四边形的对角线两种情况讨论，根据平行以及中点坐标公式求得点的坐标即可求解（1）

6、将，代入得，解得抛物线解析式为（2）如图，作交于点，轴交于点，由，令，得，则设直线解析式为，解得设，则时，的最大值为此时的解析式为设直线的解析式为，则解得直线的解析式为解得则，的最大值为（3）由将抛物线向右平移3个单位长度得到新抛物线为新的抛物线解析式为联立解得则点当时，设直线的解析式为，将点代入得联立解得或（舍）当为对角线时，设，则的中点坐标为，代入解得或综上所述，或或【点睛】本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，线段最值问题，特殊四边形问题，综合运用以上知识是解题的关键3如图，抛物线与x轴交于点A、点，与y轴交于点C，直线过点A和点C(1)求抛物线的解析式；(2)P点是位于直线A

7、C上方抛物线上的动点，过P点作x轴的垂线，分别与x轴、AC交于点D、点E，过点D作交AC于点F，求的最大值及此时P点的坐标；(3)在（2）问取得最大值的情况下，将点P沿y轴向下平移个单位长度得到点，将抛物线沿着x轴向左平移1个单位长度得到抛物线，将直线沿着x轴向右平移9个单位长度得到直线设抛物线与直线的交点为M点、N点（M点在N点的左边），在y轴上是否存在点Q，使得是以为腰的等腰三角形若存在，请直接写出点Q的坐标【答案】(1)(2)的最大值为，此时(3)或或或【分析】（1）由直线可求出A，C点坐标，把A，B两点坐标代入求出a，b的值即可；（2）根据平行线分线段成比例得，设， ，分别求出PE，C

8、F，求得，从而可得结论；（3）根据平移的性质可得点M和N的坐标，设，求得，再分和两种情况讨论求解即可(1)解：由直线知，时，时，将，代入抛物线解析式，得，抛物线的解析式为；(2)/，设，则，即：，设，即：，开口向下，顶点最高，时，所以，的最大值为，此时；(3)存在，理由如下：向下平移个单位长度后为，抛物线变为顶点式为：，向左平移1个单位长度后得到抛物线的解析式为：，和向右平移9个单位长度后得和，设直线向右平移9个单位长度后得到直线的解析式为，将和代入得：，直线的解析式为，解方程组：，M点在点N的左侧，设，则，情形一：当时，解得，情形二：当时，解得：，综上，Q的坐标为或或或【点睛】主要考查了二次

9、函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系4如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过，直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点过点P作，垂足为D，轴，交AB于点E(1)求抛物线的函数表达式；(2)当PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和PDE周长的最大值；(3)把抛物线平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点PM是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来【

10、答案】(1)(2)点P的坐标为（2，4），PDE周长取得最大值(3)点的坐标为或或【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可；（2）先运用待定系数法求出的函数表达式，设，其中，根据点在直线上，轴，可得出，再根据，即可得到的周长，根据二次函数顶点式即可求出最值；（3）分两种情况：若是平行四边形的对角线；若是平行四边形的边，分别进行讨论即可（1）抛物线经过点，解得，该抛物线的函数表达式为；（2）设直线的函数表达式为，其图象经过，解得：，直线的函数表达式为，令，得，解得：，C（2，0），设P，其中0t4，点E在直线上，PEx轴，E，OCA=DEP，PE=，PDAB，EDP=COA，PDEAOC，A

11、O=，OC=2，AC=，AOC的周长为6，令PDE的周长为l，则，当t=时，PDE周长取得最大值，最大值为， 此时点P的坐标为（2，4），PDE周长取得最大值（3）满足条件的点坐标为，如图所示：由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为，对称轴为直线，若是平行四边形的对角线，当与互相平分时，四边形是平行四边形，即经过的中点，点的横坐标为2，点的横坐标为2，点的坐标为；若是平行四边形的边，（）当且时，四边形是平行四边形，点的横坐标为2，点的横坐标为，点的坐标为；（）当且时，四边形是平行四边形，点的横坐标为2，点的横坐标为，点的坐标为；综上所述，点的坐标为或或【点睛】本题是二次函数综合，主要考查了待定

12、系数法求函数解析式、二次函数图象和性质、三角形周长、平行四边形性质等知识点，熟练掌握待定系数法、二次函数图象和性质及平行四边形性质等相关知识，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题关键5如图，在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移4个单位，向右平移1个单位得新抛物线，新抛物线交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C(1)求a，b，c的值；(2)如图1，点P为直线BC上方新抛物线上一动点，过点P作轴交直线BC于点Q当PQ取最大值时，求点P的坐标；(3)在（2）的条件下，PQ取最大值时，PQ交新抛物线的对称轴于点M，直线BC交新抛物线的对称轴于点N把绕点N逆时针旋转得到在旋转过程中，当的直角边

13、与直线AC平行时，求直角顶点的坐标【答案】(1)，(2)(3)，【分析】（1）设二次函数的解析式为：，由抛物线开口方向向下和抛物线y=x2向上平移4个单位，向右平移1个单位得新抛物线y1，得，得，即可得答案；（2）先求出直线BC的表达式，设，得，得，即可得答案；（3）先求出MN的长，分两种情况，当时，过点作，得x轴，设，得，可得，当时，同理得，即可到达答案（1）解：设二次函数的解析式为： ，抛物线开口方向向下，a0，抛物线y=x2向上平移4个单位，向右平移1个单位得新抛物线y1，；（2）令，得，解得，令得，即，设直线BC的表达式为，把，代入，得，解得，设，令，则，得，当时，PQ取得最大值，此时

14、；（3）因为新抛物线的对称轴为直线，由（2）可得，在Rt中，当时，如下图，过点作，垂足为H，x轴，在中，设，即，解得，即，当时，如下图，过点作，在中，设，即，【点睛】本题考查了二次函数，一次函数，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，注意分情况讨论6如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+x3交x轴于点A，点B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，连接AC，BCP是第三象限内抛物线上一动点，过P作PEy轴交AC于点E，过E作EFBC交x轴于点F(1)求ABC的面积；(2)求PE+EF+FO的最大值及此时点P的坐标；(3)将抛物线yx2+x3平移，使得新抛物线的顶点为（

15、2）中求得的点P，点Q为x轴下方的新抛物线上一点，R为x轴上一点，直接写出所有使得以点A，C，Q，R为顶点的四边形是平行四边形的点R的坐标【答案】(1)9(2)，(3)，【分析】（1）令y=0，可求得抛物线与x轴的交点坐标为：A(-5,0)、B(1,0)，令x=0，可求出抛物线与y轴的交点坐标为：C(0,-3)，再求出AB、OC的长度，ABC的面积即可得解即可；（2）根据A(-5,0)、B(1,0)，C(0,-3)求出直线AC、BC的解析式，分别为：、，利用勾股定理求出AC=，BC=，再直接设P的坐标为：，且，以此求出E点坐标表，进而利用含x0的代数式表示出PE；，根据E、C、B三点坐标求出F

16、点坐标，则OF=（F点可能在y轴左侧也可能在右侧），并根据得出，继而得到用含x0的代数式表示出；最后可以得到一个用含x0的代数式表示出，再根据x0的取值范围来求出的最大值，并最终确定p点坐标；（3）过C点作直线轴，与交新抛物线交于Q1、Q2两点（Q1、在Q2左边）；新抛物线以P点为顶点，则可求出新抛物线的解析式为：，根据点R在x轴上，Q点为x轴下方的新抛物线上一点，可知Q、C均在x轴（AR）下方，即：QC不可能是新构造的平行四边形的对角线，则有AR一定是以点A，C，Q，R为顶点构成的平行四边形的一条边，而非对角线，因此一定存在，则在新构造的平行四边形中一定有：AR=QC，故将y=-3代入新抛物

17、线可求出Q1、Q2两点的坐标，则可知Q点只能存在于Q1、Q2两点，继而得到QC的长度，继而得到AR的长度，再根据A点坐标求出R点坐标，问题得解(1)根据抛物线解析式，令y=0，可求得抛物线与x轴的交点坐标为：A(-5,0)、B(1,0)，令x=0，可求出抛物线与y轴的交点坐标为：C(0,-3)，A(-5,0)、B(1,0)、C(0,-3)，AO=5，OC=3，OB=1，则AB=6，；(2)A(-5,0)、B(1,0)，C(0,-3)，直线AC的解析式为：，直线BC的解析式为：，又AO=5，OC=3，OB=1，AB=6，利用勾股定理易得：AC=，BC=，P是第三象限内抛物线上一动点，设P的坐标为

18、：，且，AC与PE的交点E点坐标为：，设EF的解析式为：，代入E点坐标有，F点的坐标为，OF=，又根据，得：，即，即：，则有，当时，时，l的值最大且为；当时，时，l的值最大且为；综上两种情况可知：当时，l的值最大且为，此时P点坐标为：；(3)如图：过C点作直线轴，与交新抛物线交于Q1、Q2两点（Q1、在Q2左边），在（2）中求得P点坐标为：，已知平移后的抛物线以P点为顶点，则新抛物线的方程为，点R在x轴上，Q点为x轴下方的新抛物线上一点，Q、C均在x轴（AR）下方，即：QC不可能是新构造的平行四边形的对角线，AR一定是以点A，C，Q，R为顶点构成的平行四边形的一条边，而非对角线，一定存在，在新

19、构造的平行四边形中一定存在：AR=QC，将y=-3代入新抛物线可求出Q1、Q2两点的坐标，即为：Q1、Q2，即有：Q点只能存在于Q1、Q2两点，又C点坐标为(0,-3)，则此时分情况讨论：当Q点在Q1时，即有，以点A，C，Q，R为顶点构成的平行四边形中，存在AR=QC，且此时R点既可在A点右侧也可在A点左侧，A点坐标为(-5,0)，则此时R点的坐标为：、；当Q点在Q2时，即有，以点A，C，Q，R为顶点构成的平行四边形中，存在AR=QC，且此时R点既可在A点右侧也可在A点左侧，A点坐标为(-5,0)，则此时R点的坐标为：、；综上所述：R点的坐标为：、7如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0）、 B

20、（3，0）两点，与y轴交于C（0，3）(1)求抛物线的函数表达式：(2)设P为抛物线上一动点，点P在直线BC上方时，求BPC面积的最大值：(3)若M为抛物线上动点，点N在抛物线对称轴上，是否存在点M、N使点A、C、M、N为平行四边形？如果存在，直接写出点N的坐标：如果不存在，请说明理由【答案】(1)(2)(3)存在，(，)或(，)【分析】（1）直接把点A、B、C的坐标代入求得a，b，c即可；（2）设点P的坐标为(，)，过点P作轴交直线于点，设直线的解析式为，并求得直线的解析式为，设出点的坐标为(，)，表述出的长，最后利用即可求解； （3）先把抛物线的解析式化为顶点式求得对称轴直线，然后根据题意

21、设出点设点P的坐标为(，)，点N的坐标为(，)，分两种情况进行求解：()当线段为平行四边形的边时，则与为平行四边形的对角线；()当线段为平行四边形的对角线时，则与为平行四边形的对角线；分别利用中点坐标公式即可求解（1）解：由题意得， ，解得 ，抛物线的函数表达式为；（2）解：设点M的坐标为(，)，过点P作轴，交直线于点，设直线的解析式为，过点B（3，0），C（0，3）两点， ，解得，直线的解析式为，点的坐标为(，)， ，有最大值，此时，的最大值为；（3）解：抛物线的函数表达式为，抛物线的对称轴直线为，设点M的坐标为(，)，点N的坐标为(，)，()当线段为平行四边形的边时，则与为平行四边形的对角

22、线，如图所示，由对角线互相平分可得， ，解得 ，此时点N的坐标为(，)；()当线段为平行四边形的对角线时，则与为平行四边形的对角线，如图所示，由对角线互相平分可得， ，解得 ，此时点N的坐标为(，)；综上可得，存在点M、N使点A、C、M、N为平行四边形，此时点N的坐标为(，)或(，)【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，平行四边形的性质，三角形面积的求法等，难点在于（2），注意分类讨论，不要漏解8如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B分别位于原点的左右两侧，且BO3AO3已知直线ykx+n过B，C两点(1)求抛物线的表达式；(

23、2)点P是抛物线上的一个动点如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D记PDC的面积为S1，ADC的面积为S2，若S1：S21：2，求点P的坐标；如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EFBC，垂足为F点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)(1，4)或(2，3)；点P的坐标为(2，3)时，点Q的坐标为(1，2)或(1，-2)；点P的坐标为(0，3)时，点Q的坐标为(1，4)【分析】（1）根据题意可求出A(-1，0)，B(3，0)再将两点坐标代入抛物线表达式

24、，求出b和c的值，即得出答案；（2）根据题意可求出直线BC的表达式为，故可设点D的坐标为(t，-t+3)，利用待定系数法求得直线PA的表达式为联立，即可求得点P的横坐标为，根据S1：S21：2结合平行线分线段成比例得出，即，解出t的值即可解决问题；根据等腰直角三角形的性质求得点F的坐标为(2，1)，分当EF为边和EF为对角线时两种情况讨论，即可求解(1)BO3AO3，AO1，A(-1，0)，B(3，0)将A(-1，0)，B(3，0)代入，得，解得：，抛物线的表达式为；(2)对于，令x=0，则，C(0，3)直线ykx+n过B，C两点，解得：，直线BC的表达式为PA交直线BC于点D，设点D的坐标为

25、(t，-t+3)，设直线PA的表达式为，解得：，直线PA的表达式为，联立，整理得： ，解得： (不合题意，舍去)，点D的横坐标为t，点P的横坐标为，分别过点D、P作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图：DMPN，OM=t，ON=，OA=1PDC和ADC等高，DMPN，即，解得：当时，P(1，4)，当时，P(2，3)综上可知，若S1：S21：2，点P的坐标为(1，4)或(2，3)；存在，理由如下：作FGAB于G，如图，的对称轴为：，OE=1，B(3，0)，C(0，3)OC=OB=3，OCB=90，OCB是等腰直角三角形，OCB=45，EFB=90，BE=OB-OE=2，OCB是等腰直角三角形，EG

26、=GB=GF=1，点F的坐标为(2，1)分类讨论当EF为边时，EFPQ为平行四边形，QE=PF，QEPFy轴，点P的横坐标与点F的横坐标同为2，当x=2时，点P的坐标为(2，3)，QE=PF=3-1=2，点Q的坐标为(1，2)；根据对称性当P(0，3)时，Q(1，4)时，四边形EFQP也是平行四边形；当EF为对角线时，如图，四边形PEQF为平行四边形，QE=PF，QEPFy轴，同理求得点P的坐标为(2，3)，QE=PF=3-1=2，点Q的坐标为(1，-2)；综上可知，点P的坐标为(2，3)时，点Q的坐标为(1，2)或(1，-2)；点P的坐标为(0，3)时，点Q的坐标为(1，4)，以点E，F，P

27、，Q为顶点的四边形是平行四边形【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等高的三角形的面积的比等于底边的比，二次函数的性质以及平行四边形的判定和性质利用数形结合的思想是解题关键解（3）时注意要分AB是对角线与边两种情况讨论9如图1，抛物线经过点，顶点为C(1)求抛物线的表达式；(2)抛物线上是否存在一点M，使以为底边的为等腰三角形若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)P为线段上任意一点，N为x轴上一动点，连接，以点N为中心，将逆时针旋转，记点P的对应点为H，点B的对应点为Q当直线经过点时，直接写出它

28、与抛物线交点的坐标【答案】(1)；(2)或；(3)或【分析】（1）直接利用待定系数法即可求解；（2）求出BC边的垂直平分线的解析式后，再联立抛物线的解析式求解即可；（3）先说明旋转后B点的对应点Q仍在BC上，再通过全等间接证明HQB=90，利用直线HQ经过点，求出直线HQ的解析式后，联立抛物线的解析式即可求解（1）解：抛物线经过点，抛物线的表达式为（2）解：存在一点M，使MBC为以BC为底的等腰三角形，理由如下：抛物线的表达式为，抛物线的顶点C坐标为(2,4)，如图，作抛物线对称轴交x轴于点D，D(2,0)，A(2,0)，B(6,0)DB=4，DC=4，CBD=BCD=45，BC边的垂直平分线

29、经过点D，A(2,0)，B(6,0)BC中点坐标为(4,2)，设BC边的垂直平分线为直线y=kx+b，解得：，直线BC边的垂直平分线解析式为：y=x2，联立得方程组，解得或，M点坐标为或（3）解：如图，N、P分别为x轴和线段BC上任意一点，过点N作NFx轴，交BC于点Q，则FNB=90，FBN=45BFN=45，FN=NB以点N为中心，将逆时针旋转，记点P的对应点为H，点B的对应点为QQ点与F点重合，作x轴上的点G(3,0)，作直线GQ,则H点在该直线上，且NH=NP，HNP=90，又QNB=90，HNQ=PNB，由NQ=NB，HNQPNB，HQN=PBN=45，HQB=45+45=90，设直

30、线GQ的解析式为：，联立抛物线解析式与直线HQ的解析式得：，解得：或它与抛物线交点的坐标为或【点睛】本题考查了二次函数的应用，涉及到了待定系数法求函数解析式、旋转的性质、线段的垂直平分线、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、一元二次方程和解方程组等内容，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，能通过联立方程求函数的解析式，熟记等腰三角形的判定与性质等10如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC、BC(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P为直线BC下方抛物线上一动点，过P作PD/y轴交BC于点D，过P作交BC于点E，求DE

31、的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）的条件下，把抛物线沿射线AC的方向平移个单位，得到新抛物线，M是新抛物线上一点，N是原抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、P为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的N点的坐标【答案】(1)抛物线的函数表达式为(2)DE最大值=，(3)当以M、N、B、P为顶点的四边形是平行四边形时，所有符合条件的N点的坐标为(1,-2)或(1,2)或(1,-10)【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，根据抛物线与x轴交于A（2，0），B（4，0）两点，代入坐标得然后解方程组即可；（2）先求，利用待定系数法求直线的解析式为，可证OBC为等腰直角三角形，再

32、证DEF为等腰直角三角形，然后证明ACO=EPD，利用三角函数tanEPD=tanACO=，可求DE=EFsin45=，当PD最大时，DE最大，设，则，求出即可；（3）根据RtAOC中，AC:AO:OC=2:2:4=:1:2；得出把抛物线沿射线AC的方向平移个单位，就是向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到新抛物线，点P（2，-4），点B（4，0），点N在原抛物线的对称轴上（1，yN）,点M在新抛物线上M（xM,yM）分以下三种情况，以BP为对角线的平行四边形PMBN，以BM为对角线的平行四边形PMBN，以BN为对角线的平行四边形PNBM ，利用中点坐标公式求解即可(1)解：抛物线与x轴交

33、于A（2，0），B（4，0）两点，代入坐标得，解得：，抛物线的函数表达式为；(2)解：抛物线与轴交于点，设直线的解析式为，把，代入，得：，解得：，直线的解析式为，如图1，过点E作交PD于点F，OC=OB=4，OBC为等腰直角三角形，OCB=45，PDy轴，CDP=OCB=45，DEF=180-DFE-EDF=45，DEF为等腰直角三角形，PEAC，ACB=ACO+OCB=ACO+45，CEP=EDP+EPD=45+EPD，ACB=CEP，ACO+45=45+EPD，ACO=EPD，tanEPD=tanACO=，PF=2EF=2DF，DE=EFsin45=，当PD最大时，DE最大，设，则，当时，

34、PD最大=2，DE最大值=，此时，(3)解：RtAOC中，AC:AO:OC=2:2:4=:1:2，把抛物线沿射线AC的方向平移个单位，就是向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到新抛物线，点P（2，-4），点B（4，0），点N在原抛物线的对称轴上（1，yN）,点M在新抛物线上M（xM，yM）分以下三种情况，以BP为对角线的平行四边形PMBN，P、M、B、N四点横坐标满足，1+xM=2+4，xM=5，yM=-2，P、M、B、N四点纵坐标满足，yN-2=0-4，yN=-2，yN(1,-2)；以BM为对角线的平行四边形PMBN，P、M、B、N四点横坐标满足，4+xM=1+2，xM=-1，yM=-2

35、，P、B、N 、M四点纵坐标满足，yN-4=0-2，yN=2，yN(1,2)；以BN为对角线的平行四边形PNBM ，P、N、B、M四点横坐标满足，2+xM=1+4，xM=3，yM=-6，P、B、N 、M四点纵坐标满足，yN+0=-4-6，yN=-10，yN(1,-10)；综合当以M、N、B、P为顶点的四边形是平行四边形时，所有符合条件的N点的坐标为(1,-2)或(1,2)或(1,-10)【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，锐角三角函数，等腰直角三角形判定与性质，抛物线的性质，抛物线平移，平行四边形的判定与性质，图形与坐标，掌握待定系数法求抛物线解析式，锐角三角函数，等腰直角三角形判定与性

36、质，抛物线的性质，抛物线平移，平行四边形的判定与性质，图形与坐标，利用辅助线画出准确图形是解题关键11如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C(1)求点A的坐标；(2)如图1，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DEy轴交线段AC于E点，连接EO，记ADC的面积为，AEO的面积为，求的最大值及此时点D的坐标；(3)如图2，将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线的顶点，当AMN为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标【答案】(1)(2)的最大值为1，此时点D的坐标为

37、（-2，-2）(3)点N的坐标为或或或【分析】（1）令，得到，解出即可求解；（2）先求出直线AC的解析式为，然后设点，其中，可得点，从而得到，进而得到，再利用二次函数的性质，即可求解；（3）根据点，C（0，-2），可得抛物线向右平移个单位长度，向上平移3个单位长度得到新抛物线，从而得到点M的坐标为，设点，然后分两种情况讨论，即可求解(1)解：抛物线与x轴交于A、B两点，令，则，解得：，点；(2)解：令，点C（0，-2），设直线AC的解析式为，把点，C（0，-2）代入得：，解得：，直线AC的解析式为，设点，其中， DEy轴，点，点，C（0，-2），OA=3，当时，取得最大值，最大值为1，此时点D

38、（-2，-2）；(3)解：点，C（0，-2），OB=1，OC=2，将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线，抛物线向右平移个单位长度，向上平移3个单位长度得到新抛物线，原抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，平移后得到新抛物线的顶点M的坐标为，平移后得到新抛物线的解析式为，设点，当AM=AN时，则AM2=AN2，解得：；当AM=MN时，AM2=MN2，解得：；综上所述，当AMN为以AM为腰的等腰三角形时，点N的坐标为或或或【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，平移的性质是解题的关键12如图，已知直线BC的解析式为yx3，抛物线yx2+bx+

39、c与坐标轴交于A、B、C三点(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，若M（m，y1），N（4m，y2）是第四象限内抛物线上的两个动点，且m2分别过点M，N作x轴的垂线，交线段BC于点D、E通过计算证明四边形MDEN是平行四边形，并求其周长的最大值；(3)抛物线yx2+bx+c沿射线CB方向平移个单位，得到新抛物线y1，点F为y1的对称轴上任意一点，若以点B，C，F为顶点的三角形是以BC为腰的等腰三角形，直接写出所有符合条件的点F的坐标【答案】(1)yx2x3(2)证明见解析，(3)点F的坐标为（3，2）或（3，2）或（3，1）或（3，7）【分析】（1）令x0得出y的值，则点C坐标可得；令y0，解

40、方程可得点B的坐标，再把B、C代入到抛物线yx2+bx+c中，结论可得；（2）用m表示线段MD，NE的长度，可得MDNE，四边形MDEN的形状可得；过D作DFNE，用勾股定理求得线段BC，利用OBCFED，求得线段DE的长，利用四边形MDEN为平行四边形的结论可求它的周长，将周长的式子用配方法变形后，周长的最大值可得；（3）先求出平移后的B、C点的坐标，再求出平移后的解析式，最后根据点B，C，F为顶点的三角形是以BC为腰的等腰三角形列方程，求出点F的坐标(1)解：（1）直线BC的解析式为yx3，令y0，则x4，即点B是(4，0)令x0，则y3，即点C是(0，3)把点B(4，0)，点C(0，3)

41、代入到抛物线yx2+bx+c中得抛物线的解析式为yx2x3(2)（2）若M(m，y1)，N(4m，y2)是第四象限内抛物线上的两个动点，y1m2m3，y2(4m)2(4-m)3直线BC的解析式为yx3过点M，N作x轴的垂线，分别交线段BC于点D，E，D(m，m3)，E(4m，m)MD(m2m3)(3m)m2+4m，EN(4m)2+4(4m)m2+4mMDEN过点M，N作x轴的垂线，分别交线段BC于点D，E，MDEN四边形MDEN为平行四边形过D作DFNE于F，则DF42m，如图，B（4，0），C（0，3）OB4，OC3BC5DFOBEDFOBCCOBDFE90，DFEBOCDE(2m)平行四边

42、形MDEN的周长2MD+2DE2(m2+4m)+2(2m)2m2+3m+102m2+3m+102(m)2+，又20，当m时，四边形MDEN的周长有最大值 (3)（3）设平移后的抛物线的解析式为：y1x2+b1x+c1，点C平移后对应的点C1的坐标为(t，t3)，点B平移后对应的点B1的坐标为(s，t3），其中，t0，s4抛物线yx2+bx+c沿射线CB方向平移个单位，C(0，3)，B(4，0），CC1，BB1解得：t，sC1的坐标为(，)，B1的坐标为(，)，解得：y1x26x+抛物线的对称轴为直线：x3点F为y1的对称轴上任意一点，设点F的坐标为(3，n)B(4，0)，C(0，3)，BC以点

43、B，C，F为顶点的三角形是以BC为腰的等腰三角形，当BFBC时，5，解得：n+2点F的坐标为(3，2)或(3，2)当CFBC时，5，解得：n1或7点F的坐标为(3，1)或(3，7)综上所述：符合条件的点F的坐标为(3，2)或(3，2)或(3，1)或(3，7)【点睛】本题考查了二次函数的综合题，考查了平行四边形的判定，等腰三角形的性质等，其中分类讨论的思想是解题的关键13如图1，二次函数与轴交于点、点（点在点左侧），与轴交于点，(1)求二次函数解析式；(2)如图2，点是直线上方抛物线上一点，轴交于，交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；(3)在（2）的条件下，当取最大值时，连接，将绕原点顺时针旋转

44、至；将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点在新抛物线的对称轴上，点为平面内任意一点，当以点，为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点的坐标【答案】(1)二次函数解析式为；(2)m=3时，函数有最大值，点P（3，）；(3)以点，为顶点的四边形是矩形时，点的坐标为（）或（）【分析】（1）根据求出OB=6，根据二次函数与轴交于点、点（6，0），与轴交于点代入坐标得：，解方程组即可；（2）设点P的横坐标为m，点P（m, ），用待定系数法求BC的解析式为，得出DF=，求出PD=PF-DF=， 根据PEBC，得出PEF=CBO，利用，求出BE=-(6-m)，求出PD+BE，根据函数性质可求m=3时

45、，函数有最大值即可；（3）根据当取最大值时，点P（3，），点D（3，）点C（0，3）绕点O顺时针旋转90，求出点C（3，0），D（，-3），根据AC=，得出抛物线向下平移单位，再先作平移1个单位，平移后的抛物线为，新抛物线的对称轴为x=1，设点N（x,y），点M（1，n），分两种情况四边形MDCN为矩形，延长PD交新抛物线对称轴与H，过C作CIDP于I，证明MDHDCI，当四边形MNDC为矩形，新抛物线对称轴与x轴交于G，MGCDIC即可求解（1）解：，OC=3，OB=6，点B（6，0），二次函数与轴交于点、点（6，0），与轴交于点代入坐标得：，解得：，二次函数解析式为；（2）解：设点P的横坐

46、标为m，点P（m, ），设BC的解析式为代入坐标得：，解得：，BC的解析式为，DF=，PD=PF-DF=， PEBC，PEF=CBO，EF=2PF=，BE= EF-FB=-(6-m)，PD+BE=，m=3时，函数有最大值，此时点P（3，）；（3）解：当取最大值时，点P（3，），点D（3，）点C（0，3）绕点O顺时针旋转90，点C（3，0），CD纵坐标之差为3-=，CD横坐标之差为，点D的横坐标为3-=，D（，-3），将抛物线配方，AC=，抛物线向下平移单位，再先作平移1个单位，平移后的抛物线为即，新抛物线的对称轴为x=1，设点N（x,y），点M（1，n）,分两种情况:四边形MDCN为矩形，延长

47、PD交新抛物线对称轴与H，过C作CIDP于I，DH=，点H（1，-3），MDC=90,MDH+CDI=90，HMD+HDM=90，CDI=HMD,MHD=CID=90，MDHDCI，即，解得，点M（1，），3-x=，解得x=，y-0=+3，解得y=，点N（）；当四边形MNDC为矩形，新抛物线对称轴与x轴交于G，MCD=90，MCG+GCD=GCD+DCI=90，MCG=DCI，MGC=DIC=90，MGCDIC，即，解得：n=1x+3=1+，解得，y+0=1-3，解得y=-2，点N（），综合以点，为顶点的四边形是矩形时，点的坐标为（）或（）【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，锐角三角函数

48、，解三元一次方程组，平行线性质，函数的最值，勾股定理，矩形性质，三角形相似判定与性质，本题难度大，知识应用多，集难点于一题，利用辅助线画出准确图形，以及利用分类思想是问题得以全面解决是解题关键14在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C其中点，点，连接AC、BC(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过原点O的直线交抛物线于点M和N，且MNAC，在直线AC上方抛物线上有一点P，PHx轴于点H，PQAC，垂足为Q，延长PQ交x轴于点K，求的最大值以及此时点P的坐标(3)将抛物线向射线AC方向平移4个单位长度后得到的新抛物线，新抛物线与原抛物线y相交于点D，

49、在新抛物线的对称轴上有一点E，点F为平面内一点，若以点B、D、E、F四点为顶点且以BD为边的四边形为菱形，直接写出点F的坐标，并写出求解其中一个F点的过程【答案】(1)，(2)，的最大值为；(3)，【分析】（1）将A、B两点坐标代入二次函数解析式，求解即可；（2）延长PK交MN于点D，延长PH交MN于点E，利用三角函数的定义可得，线段的数量关系，设，则，利用二次函数的性质求得最大值即可；（3）求得平移后的抛物线解析式，求得对称轴和交点D的坐标，利用菱形的性质，求解即可(1)解：将A、B两点坐标代入二次函数解析式，可得，解得则抛物线解析式为(2)解：延长PK交MN于点D，延长PH交MN于点E，如

50、下图：由题意可得：，中，则， 中，则，中，则，设直线AC解析式为：，代入A、C两点坐标，可得，由可得：直线解析式为设，则，由二次函数的性质可得，当时，最大，为，此时，即的最大值为(3)解：将抛物线向射线AC方向平移4个单位长度，即向右平移个单位，向上平移个单位，即，对称轴为令，即，解得，即，则，设当以BD、BE为边时，BD=BE，即，解得即根据平移可得，当以BD、DE为边时，BD=DE，同理得【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了三角函数的定义，待定系数法求解析式，二次函数的性质，菱形的性质等，解题的关键是理解题意，利用相关性质，将线段或者菱形性质进行转化，从而求解15如图，在平面直角坐

51、标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求面积的最大值；（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）面积最大值为；（3）存在，【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）设，求得解析式，过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F，设点，则，即可求解；（3）分BC为菱形

52、的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可【详解】解：（1）抛物线过，（2）设，将点代入过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F设点，则由铅垂定理可得面积最大值为（3）（3）抛物线的表达式为：yx24x1（x2）25，则平移后的抛物线表达式为：yx25，联立上述两式并解得：，故点C（1，4）；设点D（2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，1）、（1，4）；当BC为菱形的边时，点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），即21s且m3t或21s且m3t，当点D在E的下方时，则BEBC，即s2（t1）21232，当点D在E的上方

53、时，则BDBC，即22（m1）21232，联立并解得：s1，t2或4（舍去4），故点E（1，2）；联立并解得：s-3，t-4，故点E（-3，-4）或（-3，-4）；当BC为菱形的的对角线时，则由中点公式得：1s2且41mt，此时，BDBE，即22（m1）2s2（t1）2，联立并解得：s1，t3，故点E（1，3），综上，点E的坐标为：（1，2）或或或（1，3）存在，【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏16如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，一次函数yk

54、xb（k0）与抛物线交于B、D两点，已知cosABD(1)求点D的坐标；(2)点F是抛物线的顶点，连接BFP是抛物线上F、D两点之间的任意一点，过点P作PEBF交BD于点E，连接PF、PD、FE求四边形PFED面积的最大值及相应的点P的坐标；(3)连接AC，将抛物线沿射线AC方向平移个单位长度得到新抛物线y，新抛物线与原抛物线交于点GS是原抛物线对称轴上一点，T是平面内任意一点，G、S、A、T四点能否构成以AS为边的菱形？若能，请直接写出点T的坐标；若不能，请说明理由【答案】(1)D（-2，-3）(2)最大值，P（1,3）(3)或 或T3(-，)【分析】（1）令y=0，先求出点A和点B的坐标，

55、根据cosABD可求出点G的坐标，进而求出直线BD的坐标，联立直线和抛物线解析式即可解答；（2）由PE/BF，可得出SPBE=SPEF，则S四边形PFED=SPED+SPFE=SPED+SPBE=SPBD，求出PBD的面积的最值即可；（3）先求得平移后的抛物线，根据以点G、S、A、T以AS为边的菱形，需要分两种情况：AS=AG；SA=SG，画图图形，利用点之间的平移求解即可.(1)解：当y=0，解得x=-1或x=7A（-1,0）B（4,0）如图：设BD与y轴交于点G，则：将B、G的坐标代入直线y=kx+b，解得直线BD的解析式为：，解得：x=-2或x=4（舍去）D（-2，-3）.(2)解：如图

56、：连接PBPE/BESPBE=SPEFS四边形PFED=SPED+SPFE=SPED+SPBE=SPBD过点P作PH/y轴交BD于点H设，则H（x，）0当时，S四边形PFED有最大值此时P（1,3）.(3)解：存在，理由如下：当x=0时，y=2C（0，2）A(-1,0),B(0,2)OA=将抛物线沿射线AC方向平移5个单位长度，即先右平移5个单位，再向上平移10个单位，点F是原抛物线的顶点，F 原抛物线的对称轴为x=设点F经过平移到点M（）平移后的抛物线解析式为令，解得x=2G（2,3）当以点G、S、A、T以AS为边的菱形，需分两种情况：当AS=AG时，如图：A（-1,0），G（2,3）AG=

57、设S1(,t)，解得t=点A（-1，0）到G（2，3）先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到.当SA=SG时，如图：设S3(，m)+（3-m）2，解得：m= S3(，)点A（-1,0）和G（2,3）的中点坐标为(，)T3(-，).综上，点T的坐标为或 或T3(-，).【点睛】本题主要是考查了二次函数综合运用，涉及直角三角形的性质、勾股定理、点的坐标求解、待定系数法求函数解析式等知识点，综合应用所学知识以及分类讨论思想成为解答本题的关键.17如图1，过点C（0，5）的抛物线yax2+bx+c与直线y相交于B

58、（5，0）、D（1，4）两点，点E为线段BD上一动点（不与点B、D重合），连接AE并将其延长交抛物线于点F，过点F作FGy轴，交BD于点G(1)求抛物线的表达式；(2)求线段FG的最大值，并求出此时点E的坐标；(3)在（2）的条件下，把抛物线yax2+bx+c先向左平移1个单位，再向下平移个单位得到新抛物线，点P是新抛物线与原抛物线的交点，点Q为射线BA上一动点，连接CQ，将CQB沿直线BC翻折到CNB，连接NQ，交直线BC于点M，R为平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以M、P、F、R为顶点的四边形是菱形的点R的坐标，并把求其中一个点R的坐标的过程写出来【答案】(1)，(2)FG取最大值为

59、3，时点E的坐标(3)、【分析】（1）利用待定系数法把BC三点坐标代入抛物线解析式即可求解；（2）设F、G横坐标为x，分别根据二次函数和一次函数得F、G纵坐标（关于x的代数式），进而FG长得出关于x的二次函数解析式，根据二次函数性质得x的值，求出点F坐标，继而求出直线AF解析式，联立BD解析式即可求出点E坐标；（3）根据平移可得新抛物线解析式，继而求出点P坐标，设直线BC的点M坐标为（m，-m+5），结合菱形性质四边都相等，可得方程求出m，再根据平行四边形的对角线交点是对角线的中点，由坐标中点公式即可求出R坐标（1）解：B（5，0）、D（1，4）、C（0，5）在抛物线上，解得：，抛物线解析式为

60、：；（2）当时，故点A坐标为（-3，0） 设F点坐标为（x，），则G点坐标为（x，），则，当x=2时，FG取最大值为3，此时点F坐标为：（2，5），直线AF解析式为：，联立直线AF、BD得：，整理得：，即AF与DB的交点E坐标为；（3）， 把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移个单位得到新抛物线为：，联立两条抛物线解析式得：，解得：，即P点坐标为（-2，），点C（0，5）、B（5，0），直线BC解析式为，设点R坐标为 ,点M点横坐标为m，则点M坐标为（m，-m+5），以M（m，-m+5）、P（-2，）、F（2，5），、R为顶点的四边形是菱形，MF=MP或MF=PF或MP=PF，当MF=MP时，有，解得：，此时点M坐标为，则有，解得： ，即点R坐标为；当MF=PF时，有，解得：，此时点M坐标为或则有，解得或，解得故点R坐标，MP=PF时，解得：，此时点M坐标为或则有，解得或，解得故点R坐标，综上所述：点R坐标可以是、【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，解题关键是根据函数图像点的坐标表示出线段的长，从而利用函数或方程解答问题；掌握中点坐标公式、两点距离公式是必须具备的基本知识