2022版新教材高中数学 第三章 圆锥曲线的方程 3.docx

1、抛物线及其标准方程基础过关练题组一抛物线的定义及其应用1.过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为()A.圆B.椭圆C.直线D.抛物线2.在平面直角坐标系内,到点(1,1)和到直线x+2y=3的距离相等的点的轨迹是()A.直线B.抛物线C.圆D.双曲线3.(2020天津耀华中学高二上期末)设抛物线y2=12x的焦点为F,点P在此抛物线上且横坐标为5,则|PF|等于()A.4B.6C.8D.104.(2020北京清华大学附中高二上期末)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=54x0,则x0=()A.4B.2C.1D.8题组二抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方

2、程5.(2020北京石景山高二上期末)抛物线x2=-2y的焦点坐标是()A.0,12 B.0,-12C.(1,0)D.(-1,0)6.(2020山西长治二中高二上期末)抛物线x2=8y的准线方程是()A.x=2B.y=2C.x=-2D.y=-27.已知抛物线的焦点为F(a,0)(a0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,则a的值为()A.12B.1C.2D.413.(2020天津高二上期末)若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x24-y23=1的一个焦点,则p=()A.2B.10C.7 D.2714.(2020天津和平高二上期末)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)与抛物

3、线y2=4x有一个公共的焦点F,且两曲线的一个交点为P.若|PF|=52,则双曲线的渐近线方程为()A.y=12xB.y=2xC.y=3x D.y=33x15.(2020湖北宜昌高二上期末)已知当抛物线形拱桥的顶点距水面2m时,量得水面宽8m,当水面升高1m后,水面宽度是m.16.已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,点A(3,2).(1)求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时点P的坐标;(2)求点P到点B12,2的距离与到直线x=-12的距离之和的最小值.能力提升练题组一抛物线的定义及其应用1.(2020山东潍坊高二上期末,)已知抛物线y2=4x,F为其焦点,抛物线上

4、两点A、B满足|AF|+|BF|=8,则线段AB的中点到y轴的距离等于()A.2B.3C.4D.62.(2020四川成都高二上期末,)设点A(4,5),抛物线x2=8y的焦点为F,P为抛物线上与直线AF不共线的一点,则PAF周长的最小值为()A.18B.13C.12D.73.(2020天津耀华中学高二上期末,)设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,过焦点的直线分别交抛物线于A,B两点,分别过A,B作l的垂线,垂足为C,D.若|AF|=3|BF|,且三角形CDF的面积为3,则p的值为(深度解析)A.233B.33C.62D.2634.(2020吉林长春实验中学高二上期中,)已知动圆P

5、与定圆C:(x+2)2+y2=1外切,且与定直线l:x=1相切,那么动圆的圆心P的轨迹方程是.题组二抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程5.(2020湖北宜昌高二上期末,)已知双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,若抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程是()A.x2=16yB.x2=8yC.x2=833y D.x2=1633y6.()探照灯反射镜(如图)的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处.已知灯口圆的直径为60cm,灯深40cm,求抛物线的标准方程和焦点坐标.题组三抛物线的综合运用7.(2020广东惠州高

6、二上期末,)定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=2x上移动,M为线段AB的中点,则点M到y轴的最短距离为()A.12B.1C.32D.28.(2020海南中学高二上期中,)点P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到点A(0,-1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值是()A.5B.3C.2D.29.(多选)()抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线l与x轴的交点为K,抛物线上异于原点O的任意一点P在直线l上的射影为点E,EPF的外角平分线交x轴于点Q,过点Q作QNEP交EP的延长线于点N,过点Q作QMPF交线段PF于点M,则()A.|PE|=|PF|B.|PF|=|QF|C

7、.|PN|=|MF|D.|PN|=|KF|10.(2020天津和平高二上期末,)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线与x轴的交点为H,点P在C上,且|PH|=52|PF|,则PFH的面积为.11.()抛物线的光学性质:平行于抛物线的对称轴的光线经抛物线反射后经过抛物线的焦点.双曲线的光学性质:从双曲线一个焦点发出的光线,经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.这些性质可以应用在天文望远镜的设计等方面.卡塞格林式望远镜是由两块反射镜组成的望远镜.反射镜中大的称为主镜,小的称为副镜,通常在主镜的中央开孔,成像于主镜后面.主镜是凹抛物面镜(中心截面是抛物线C),当来自

8、天体平行于对称轴的光线投射到主镜上时,经过主镜反射,将会汇聚到卡塞格林焦点F处,但光线尚未完全汇聚时,又受到以F为焦点的凸双曲面镜(中心截面是双曲线D的一支)的反射,穿过主镜中心孔后汇聚于另一个焦点F处.以FF的中点为原点,FF所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.若|FF|=2(单位:米),则抛物线C的方程为.凹抛物面镜的口径MN为42-4,凸双曲面镜的口径ST为12,若所有被凹抛物面镜汇聚的光线恰好都能被凸双曲面镜反射,则双曲线D的离心率为.答案全解全析基础过关练1.D如图,设点P为满足条件的一点,由题意可得点P到点A的距离等于点P到y轴的距离,所以点P在以点A为焦点,y轴为准线的抛物线上,

9、故点P的轨迹为抛物线,故选D.2.A经过验证,点(1,1)在直线x+2y=3上,所以满足条件的点的轨迹是直线.故选A.3.C因为抛物线方程为y2=12x,所以p=6,由抛物线的定义可得|PF|=xP+p2=5+62=8,故选C.4.C如图,易知F14,0,准线l的方程为x=-14.过A作AAl,垂足为A,则|AF|=|AA|,即54x0=x0+14,x0=1.5.B由抛物线x2=-2y可知,焦点在y轴的负半轴上,p=1,因此焦点为0,-12,故选B.6.D由题意知,抛物线的焦点在y轴的正半轴上,且2p=8,所以其准线方程为y=-2,故选D.7.B因为抛物线的焦点为F(a,0)(a0)或x2=2

10、p2y(p20),将(2,4)代入可得p1=4或p2=12,所以所求抛物线的标准方程为y2=8x或x2=y,故选C.9.C当焦点在x轴上时,根据y=0,x-2y-4=0可得焦点坐标为(4,0),则抛物线的标准方程为y2=16x;当焦点在y轴上时,根据x=0,x-2y-4=0可得焦点坐标为(0,-2),则抛物线的标准方程为x2=-8y.故选C.10.答案x2=8y解析依题意设抛物线的标准方程为x2=2py(p0),则抛物线的准线方程为y=-p2,因此-p2=-2,解得p=4,抛物线的标准方程为x2=8y.11.答案(x-2)2+y2=16解析由题意得,焦点为F(2,0),准线l的方程为x=-2,

11、则圆的半径r=4,所以圆的方程为(x-2)2+y2=16.12.Da0,y2=ax的准线方程为x=-a4.圆的方程可化为(x-3)2+y2=16.由直线与圆相切得3+a4=4,解得a=4,故选D.13.D易知抛物线y2=2px(p0)的焦点在x轴的正半轴上,所以其准线在y轴左侧.双曲线x24-y23=1的左焦点为(-7,0),故抛物线y2=2px的准线方程为x=-7,p2=7,p=27,故选D.14.C抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),p=2,抛物线和双曲线有一个公共的焦点,p=2c,即c=1.设P(m,n),由抛物线的定义知,|PF|=m+p2=m+1=52,m=32.点P的坐标为32,

12、6.a2+b2=1,94a2-6b2=1,解得a=12,b=32.则双曲线的渐近线方程为y=bax=3x.故选C.15.答案42信息提取抛物线形拱桥;顶点距水面2m时,量得水面宽8m;水面升高1m,求水面宽度.数学建模建立坐标系,求出抛物线的标准方程,利用方程解决问题.解析建立如图所示的平面直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2py(p0).由(4,-2)在抛物线上,知16=-2p(-2),解得p=4,抛物线方程为x2=-8y.当y=-1时,x2=8x=22.此时,水面宽度是42m.16.解析(1)将x=3代入y2=2x,得y=6.62,点A在抛物线的内部.过点P作PQ垂直抛物线的准线l:x=-

13、12,垂足为Q,结合抛物线的定义,知|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|,当P,A,Q三点共线时,|PA|+|PQ|的值最小,最小值为72,即|PA|+|PF|的最小值为72.此时点P的纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,点P的坐标为(2,2).(2)易知点B12,2在抛物线的外部.设点P到准线l:x=-12的距离为d.结合抛物线的定义,得|PB|+d=|PB|+|PF|BF|,当且仅当B,P,F三点共线(P在线段BF上)时取等号.又|BF|=12-122+(2-0)2=2,所求距离之和的最小值为2.能力提升练1.B设线段AB的中点为M,如图所示,l是抛物线的准线,过点A作AA1l于点A1

14、,过点M作MM1l于点M1,交y轴于点N,过点B作BB1l于点B1,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,|AA1|+|BB1|=8.由点M是线段AB的中点知,|MM1|=12(|AA1|+|BB1|)=4.2p=4,p=2,|M1N|=1,|MN|=3,故选B.2.C由题意得抛物线的焦点F(0,2),准线方程为y=-2,过P作PP1垂直于准线,交准线于P1,过A作AA1垂直于准线,交准线于A1,如图所示,根据抛物线的定义可知|PF|=|PP1|,A(4,5),|AF|=42+(5-2)2=5,|AA1|=5-(-2)=7,CPAF=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|P

15、P1|AF|+|AA1|=5+7=12,故选C.3.C过点B作BMl交直线AC于点M,交x轴于点N,设点A(x1,y1),B(x2,y2),由|AF|=3|BF|得x1+p2=3x2+p2,即x1-3x2=p.因为NFAM,所以|NF|AM|=|BF|AB|=14,所以|NF|=14(x1-x2),所以|OF|=|ON|+|NF|=x2+14(x1-x2)=p2.由可解得x1=3p2,x2=p6.在RtABM中,|AB|=x1+x2+p=83p,|AM|=x1-x2=43p,所以|BM|=83p2-43p2=433p,所以SCDF=12433pp=3,解得p=62或p=-62(舍去).故选C.

16、解题模板在解决与抛物线焦半径有关的问题时,常将抛物线上的点到焦点的距离转化为其到准线的距离,如:焦点Fp2,0(p0),准线方程为x=-p2,P(x0,y0),则|PF|=x0+p2.4.答案y2=-8x解析如图所示,设点P到直线l的距离为d,则|PC|=d+1.设P(x,y),则(x+2)2+y2=|x-1|+1.由图知,x1,x-10.(x+2)2+y2=2-x,化简,得y2=-8x.5.A由双曲线的离心率为2知,e=ca=2,c=2a,从而a2+b2=4a2,即b2=3a2,因此,双曲线的渐近线方程为y=bax=3x.易知抛物线C2的焦点为0,p2.依题意得0-p23+1=2,解得p=8

17、(负值舍去),抛物线C2的方程为x2=16y.故选A.6.解析如图,在探照灯的轴截面所在平面内建立平面直角坐标系,使探照灯的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合,x轴垂直于灯口直径.设抛物线的标准方程为y2=2px(p0),由已知条件可得点A的坐标是(40,30),且在抛物线上,代入方程,得302=2p40,解得p=454.故所求抛物线的标准方程为y2=452x,焦点坐标是458,0.7.B如图所示,设抛物线y2=2x的焦点为F,准线为l,则l:x=-12,过A、B、M分别作AA、BB、MM垂直于l,垂足分别为A、B、M,连接FA,FB.由抛物线的定义知|AA|=|FA|,|BB|=|FB|.由M

18、为线段AB的中点及梯形中位线定理得|MM|=12(|AA|+|BB|)=12(|FA|+|FB|)12|AB|=123=32,则M到y轴的距离d32-12=1(当且仅当线段AB过抛物线的焦点时取“=”),所以点M到y轴的最短距离为1.故选B.8.D设抛物线的焦点为F.由y2=4x得抛物线的焦点为F(1,0),准线为x=-1.如图,设过点P且与直线x=-1垂直的直线交直线x=-1于点P,连接PF,所以P到直线x=-1的距离|PP|等于|FP|.连接AF交抛物线于点Q,由图形知,当点P在点Q时,点P到点A的距离与点P到直线x=-1的距离之和最小,最小值为12+12=2,故选D.9.ABD由抛物线的

19、定义可知,|PE|=|PF|,A正确;易知PNQF,PQ平分FPN,所以FQP=NPQ=FPQ,所以|PF|=|QF|,B正确;由PQ是EPF的外角平分线,QNPE,QMPF得|QM|=|QN|,从而有|PM|=|PN|,若|PN|=|MF|,则|PM|=|FM|,则|QP|=|QF|,则PFQ为等边三角形,FPQ=60,所以FPE=60,但这只在特殊位置才有可能,因此C错误;连接EF,由上述分析知|PE|=|QF|,又PEQF,所以四边形EPQF是平行四边形,所以|EF|=|PQ|,显然|EK|=|QN|,所以|KF|=|PN|,D正确.故选ABD.10.答案423解析由抛物线C:y2=4x

20、,得焦点F(1,0),准线方程为x=-1.过P作PM垂直准线于M,不妨设Pt24,t(t0),则|PF|=|PM|=t24+1,|PH|=t24+12+t2.由|PH|=52|PF|,可得(t2+4-8t)(t2+4+8t)=0,即t2-8t+4=0,解得t=423.所以PFH的面积为122t=423.11.答案y2=-4x;2信息提取主镜是凹抛物面镜(中心截面是抛物线C);当来自天体平行于对称轴的光线投射到主镜上时,经过主镜反射,将会汇聚到卡塞格林焦点F处;光线尚未完全汇聚时,受到以F为焦点的凸双曲面镜(中心截面是双曲线D的一支)的反射;穿过主镜中心孔后汇聚于另一个焦点F处;|FF|=2;凹

21、抛物面镜的口径MN为42-4,凸双曲面镜的口径ST为12.数学建模由条件可得抛物线方程;利用抛物线方程求得M点坐标;利用三角形相似知识求得S点坐标;利用S点坐标及焦距求得双曲线的离心率.解析设抛物线的标准方程为y2=-2px(p0).因为|FF|=2,所以F(-1,0).由题意得p2=1,即p=2.故抛物线的标准方程为y2=-4x.由|MN|=42-4,得yM=2(2-1),所以4(2-1)2=-4xM,所以xM=22-3.因为|ST|=12,所以yS=14.由三角形相似可得xS+1xM+1=ySyM,即xS+122-3+1=142(2-1),所以xS=-34.设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),则-342a2-142b2=1,a2+b2=c2=1,解得a2=12,b2=12.故e=ca=2.