福建省厦门中学2024届高三上学期8月阶段考试数学试题（解析版）.pdf

1、第1页/共21页 学科网（北京）股份有限公司厦门二中 2023-2024 学年第一学期高三年段 8 月阶段考数学学科试卷班级：_姓名：_座号：_ 一、单选题 1.下列命题不正确的是（）A.零向量是唯一没有方向的向量 B.零向量的长度等于 0 C.若 a，b都为非零向量，则使0abab+=成立的条件是a与b反向共线 D.若ab=，bc=，则ac=【答案】A【解析】【分析】AB 选项，由零向量的定义进行判断；C 选项，根据共线向量，单位向量和零向量的定义得到 C 正确；D 选项，根据向量的性质得到 D 正确.【详解】A 选项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故 A 错误；B 选项，由零向量的定义

2、知，零向量的长度为 0，故 B 正确；C 选项，因为aa 与bb 都是单位向量，所以只有当aa 与bb 是相反向量，即a与b是反向共线时0abab+=才成立，故 C 正确；D 选项，由向量相等的定义知 D 正确.故选：A 2.已知1i22iz=+，则 zz=（）A.i B.i C.0 D.1【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算求出 z，再由共轭复数的概念得到 z，从而解出【详解】因为()()()()1 i 1 i1 i2i1 i22i2 1 i 1 i42z=+，所以1 i2z=，即izz=第2页/共21页 学科网（北京）股份有限公司故选：A 3.在 ABC中，内角,A B C 的对边

3、分别是,a b c，若 coscosaBbAc=，且5C=，则B=（）A.10 B.5 C.310 D.25【答案】C【解析】【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得A的值，最后利用三角形内角和定理可得A的值.【详解】由题意结合正弦定理可得sincossincossinABBAC=，即()sincossincossinsincossincosABBAABABBA=+=+，整理可得sincos0BA=，由于()0,B，故sin0B，据此可得cos0,2AA=，则32510BAC=.故选：C.4.已知函数()f x 的一条对称轴为直线2x=，一个周期为 4，则()f

4、x 的解析式可能为（）A.sin 2 x B.cos 2 x C.sin 4 x D.cos 4 x【答案】B【解析】【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在2x=处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：A 选项中242T=，B 选项中242T=，第3页/共21页 学科网（北京）股份有限公司C 选项中284T=，D 选项中284T=，排除选项 CD，对于 A 选项，当2x=时，函数值sin202=，故()2,0 是函数的一个对称中心，排除选项 A，对于 B 选项，当2x=时，函数值cos212=，故2x=是函数的一条对称轴，

5、故选：B.5.正方形 ABCD 的边长是 2，E 是 AB 的中点，则 EC ED=（）A.5 B.3 C.2 5 D.5【答案】B【解析】【分析】方法一：以,AB AD 为基底向量表示,EC ED，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求cosDEC，进而根据数量积的定义运算求解.【详解】方法一：以,AB AD 为基底向量，可知2,0ABADAB AD=，则11,22ECEBBCABAD EDEAADABAD=+=+=+=+，所以22111143224EC EDABADABADABAD=+=+=+=；方法二：如图，以 A 为坐标原点建立平

6、面直角坐标系，则()()()1,0,2,2,0,2ECD，可得()()1,2,1,2ECED=，所以143EC ED=+=；方法三：由题意可得：5,2EDECCD=，在 CDE中，由余弦定理可得2225543cos25255DECEDCDECDE CE+=，所以3cos5535EC EDEC EDDEC=.故选：B.第4页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 6.已知函数()sin()f xx=+在区间 2,63单调递增，直线6x=和23x=为函数()yf x=的图像的两条相邻对称轴，则512f=（）A.32 B.12 C.12 D.32【答案】D【解析】【分析】根据题意分别求出其周期，再根

7、据其最小值求出初相，代入512x=即可得到答案.【详解】因为()sin()f xx=+在区间 2,63单调递增，所以22362T=，且0，则T=，22wT=，当6x=时，()f x 取得最小值，则22 62k+=，Zk，则52 6k=，Zk，不妨取0k=，则()5sin 26f xx=，则553sin1232f=，故选：D.7.已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin(2x+23)，则下面结论正确的是 A.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6个单位长度，得到曲线 C2 第5页/共21页 学科网（北京）股份有限公司B.把 C1 上各点的横坐

8、标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2 C.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6个单位长度，得到曲线 C2 D.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2【答案】D【解析】【详解】把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 12倍，纵坐标不变，得到函数 y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到函数 y=cos2（x+12）=cos（2x+6）=sin（2x+23）的图象，即曲线 C2，故选 D 点睛：三角函数

9、的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 x 而言.函数sin()()yAxxR=+是奇函数()kkZ=；函数sin()()yAxxR=+是偶函数+()2kkZ=；函数cos()()yAxxR=+是奇函数+()2kkZ=；函数cos()()yAxxR=+是偶函数()kkZ=.8.函数()yf x=的图象由函数cos 26yx=+的图象向左平移 6个单位长度得到，则()yf x=的图象与直线1122yx=的交点个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得

10、()sin 2f xx=，再作出()f x 与1122yx=的部分大致图像，考虑特殊点处()f x 与1122yx=的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为cos 26yx=+向左平移 6个单位所得函数为第6页/共21页 学科网（北京）股份有限公司cos 2cos 2sin 2662yxxx=+=+=，所以()sin 2f xx=，而1122yx=显然过10,2与()1,0 两点，作出()f x 与1122yx=的部分大致图像如下，考虑3372,2,2222xxx=，即337,444xxx=处()f x 与1122yx=的大小关系，当34x=时，33sin142f=，131428431

11、2y+=；当34x=时，33sin142f =，1313412428y=；所以由图可知，()f x 与1122yx=的交点个数为3.故选：C.二、多选题 9.若复数123iz=+，21 iz=+，其中i 是虚数单位，则下列说法正确的是（）A.12Rzz B.1212zzzz=C.若()1zm m+R 是纯虚数，那么2m=D.若1z，2z 在复平面内对应的向量分别为OA，OB（O 为坐标原点），则5AB=【答案】BC【解析】【分析】利用复数的运算法则和几何意义即可进行判断.第7页/共21页 学科网（北京）股份有限公司【详解】对于 A，()()()()1223i1 i23i1 5i15 i1 i1

12、 i1 i222zz+=+，A 错误；对于 B，()()1223i1 i5izz=+=，125izz=+；又()()1223i1 i5izz=+，1212zzzz=，B 正确；对于 C，123izmm+=+为纯虚数，20m+=，解得：2m=，C 正确；对于 D，由题意得：()2,3OA=，()1,1OB=，()3,2ABOBOA=，9413AB=+=，D 错误.故选：BC 10.下图是函数 y=sin(x+)的部分图像，则 sin(x+)=（）A sin(3x+）B.sin(2)3x C.cos(26x+）D.5cos(2)6x【答案】BC【解析】【分析】首先利用周期确定 的值，然后确定 的值

13、即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知：22362T=，则222T=，所以不选 A,不妨令2=,当2536212x+=时，1y=()5322122kkZ+=+，解得：()223kk=+Z，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin236263yxkxxx=+=+=+=.第8页/共21页 学科网（北京）股份有限公司而5cos 2cos(2)66xx+=故选：BC.【点睛】已知 f(x)Asin(x)(A0，0)部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数 和，常用如下两种方法：(1)由 2T 即可求出；确定 时，若能求出离原点

14、最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 x0，则令 x00(或 x0)，即可求出.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出 和，若对 A，的符号或对 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.11.设函数()cos3f xx=+，则下列结论正确的是（）A.()f x 的一个周期为 2 B.()yf x=的图象关于直线83x=对称 C.()f x+的一个零点为6x=D.()f x 在,2 上单调递减【答案】ABC【解析】【分析】根据周期、对称轴、零点、单调性，结合整体思想即可求解.【详解】对于 A 项，函数的周期为2k，,0kkZ，当

15、1k=时，周期2T=，故 A 项正确；对于 B 项，当83x=时，89coscoscoscos3cos13333x+=+=为最小值，此时()yf x=的图象关于直线83x=对称，故 B 项正确；对于 C 项，4()cos3f xx+=+，43coscos0632+=，所以()f x+的一个零点为6x=，故 C 项正确；对于 D 项，当 2x时，54633x+，已知()f x 在0,2 有且仅有 5 个零点，则（）的是第9页/共21页 学科网（北京）股份有限公司A.()f x 在()0,2 有且仅有 3 个极大值点 B.()f x 在()0,2 有且仅有 2 个极小值点 C.()f x 在0,1

16、0单调递增 D.的取值范围是 12 29,5 10【答案】ACD【解析】【分析】由()f x 在0,2 有且仅有 5 个零点，可得2655+在0,2 有且仅有 5 个零点，如图所示，所以2655+，所以1229510，所以 D 正确，对于 AB，由函数sinyx=在,255+上的图象可知，()f x 在()0,2 有且仅有 3 个极大值点，有 3个或 2 个极小值点，所以 A 正确，B 错误，对于 C，当0,10 x时，,55 105x+，因为1229510，所以491051002+，cos0，又因为sin1tancos2=，则cos2sin=，且22222cossin4sinsin5sin1

17、+=+=，解得5sin5=或5sin5=（舍去）,所以5sincossin2sinsin5=.故答案为：55.15.已知函数()cos1(0)fxx=在区间0,2 有且仅有 3 个零点，则 的取值范围是_【答案】2,3)【解析】【分析】令()0f x=，得cos1x=有 3 个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.【详解】因为02x，所以02x，令()cos10f xx=，则cos1x=有 3 个根，第11页/共21页 学科网（北京）股份有限公司令tx=，则cos1t=有 3 个根，其中0,2 t，结合余弦函数cosyt=的图像性质可得42 6，故23的最小正整数 x 为_ 【答案】2【解析

18、】【分析】先根据图象求出函数()f x 的解析式，再求出7(),()43ff4的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知 313341234T=，即2T=，所以2=；由五点法可得232+=，即6=；所以()2cos 26f xx=.因为7()2cos143f11=，()2cos032f 45=；第12页/共21页 学科网（北京）股份有限公司所以由74()()()()043f xff xf可得()1f x 或()0f x；因为()12cos 22cos1626f=，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x，即cos 206x，解得,36kxkk5+Z

19、，令0k=，可得536x，可得 x 的最小正整数为 2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x，又(2)2cos 406f=，则：22222232cos3232cababCmmm mm=+=+=，即cm=.若选择条件：第13页/共21页 学科网（北京）股份有限公司据此可得：2333acm mm=，1m=，此时1cm=.若选择条件：据此可得：222222231cos222bcammmAbcm+=，则：213sin122A=，此时：3sin32cAm=，则：2 3cm=.若选择条件：可得1cmbm=，cb=，与条件3=cb 矛盾，则问题中的三角形不存在.方法二：正弦定理 由,6CAB

20、C=+=，得56AB=由sin3sinAB，得5sin3sin6BB=，即 13cossin3sin22BBB+=，得3tan3B=由于0B，得6B=所以2,3bc A=若选择条件：由 sinsinacAC=，得2sinsin36ac=，得3ac=解得1,3cba=所以，选条件时问题中的三角形存在，此时1c=若选择条件：由 sin3cA=，得2sin33c=，解得2 3c=，则2 3bc=由 sinsinacAC=，得2sinsin36ac=，得36ac=所以，选条件时问题中的三角形存在，此时2 3c=若选择条件：由于3=cb 与bc=矛盾，所以，问题中的三角形不存在【整体点评】方法一：根据正

21、弦定理以及余弦定理可得,a b c 的关系，再根据选择的条件即可解出，是本题的通性通法,也是最优解；第14页/共21页 学科网（北京）股份有限公司方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角 A，可求出角 B，从而可得2,36bc ABC=，再根据选择条件即可解出 18.在 ABC中，角,A B C 所对的边分别是,a b c 已知39,2,120abA=（1）求sinB 的值；（2）求c 的值；（3）求()sin BC【答案】（1）1313 （2）5 （3）7 326【解析】【分析】（1）根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出sinC，再由平方关系求出c

22、os,cosBC，即可由两角差的正弦公式求出【小问 1 详解】由正弦定理可得，sinsinabAB=，即392sin120sin B=，解得：13sin13B=；【小问 2 详解】由余弦定理可得，2222cosabcbcA=+，即213942 22cc=+，解得：5c=或7c=（舍去）【小问 3 详解】由正弦定理可得，sinsinacAC=，即395sin120sinC=，解得：5 13sin26C=，而120A=，所以,B C 都为锐角，因此253 39cos15226C=，12 39cos1 1313B=，()133 392 395 137 3sinsincoscossin13261326

23、26BCBCBC=第15页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 19.已知(cos,sin)(cos,sin)ab=，0.（1）若2ab=，求证：ab；（2）设c(0,1)=，若abc+=，求，的值.【答案】（1）见解析（2）56=，6=.【解析】【详解】由题意，2|2ab=，即 a（2b=）222?2aa bb+=，又因为1ab=，22?2a b=，即 a b0=，ab （2）a+b(coscos,sinsin)(0,1)=+=，coscos0sinsin1+=+=，由此得 coscos()=，由0，得0，又0，56=，6=.【考点定位】本小题主要考查平面向量的加法、减法、数量积、三角函数

24、的基本关系、有道公式等基础只晒，考查运算求解能力和推理论证能力.20.已知函数()cos()0,0,02f xAxA=+的图象过点10,2，最小正周期为 23，且最小值为1.（1）求函数()f x 的解析式.（2）若()f x 在区间,6 m上的取值范围是31,2，求 m 的取值范围.【答案】（1）()cos(3)3f xx=+；（2）25,918.【解析】【分析】（1）由最值求得 A，由周期求得，由点的坐标及 的范围可求得，得解析式；第16页/共21页 学科网（北京）股份有限公司（2）由,6xm得 533633xm+，结合余弦函数性质可得结论【详解】（1）由函数的最小值为1，可得 A=1，因

25、为最小正周期为 23，所以=3.可得()cos(3)f xx=+，又因为函数的图象过点（0，12），所以1cos2=，而02的焦点 F 到准线的距离为 2（1）求 C 的方程;（2）已知 O 为坐标原点，点 P 在 C 上，点 Q 满足9PQQF=，求直线OQ 斜率的最大值.【答案】（1）24yx=；（2）最大值为 13.【解析】【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设()00,Q xy，由平面向量的知识可得()00109,10Pxy，进而可得20025910yx+=，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【详解】（1）抛物线2:2(0)C ypx p=的焦点,02pF，准线方程为

26、2px=，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222ppp=，.第17页/共21页 学科网（北京）股份有限公司所以该抛物线的方程为24yx=；（2）方法一：轨迹方程+基本不等式法 设()00,Q xy，则()00999,9PQQFxy=，所以()00109,10Pxy，由 P 在抛物线上可得()()200104 109yx=，即20025910yx+=，据此整理可得点Q 的轨迹方程为229525=yx，所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQyyykyxy=+，当00y=时，0OQk=；当00y 时，0010925OQkyy=+，当00y 时，因为000099252 2530

27、yyyy+=，此时103OQk，当且仅当00925yy=，即035y=时，等号成立；当00y 时，0OQk；综上，直线OQ 的斜率的最大值为 13.方法二：【最优解】轨迹方程+数形结合法 同方法一得到点 Q 的轨迹方程为229525=yx 设直线OQ 的方程为 ykx=，则当直线 OQ 与抛物线229525=yx相切时，其斜率 k 取到最值联立2,29,525ykxyx=得22290525k xx+=，其判别式222940525=k，解得13k=，所以直线第18页/共21页 学科网（北京）股份有限公司OQ 斜率的最大值为 13 方法三：轨迹方程+换元求最值法 同方法一得点 Q 的轨迹方程为22

28、9525=yx 设直线OQ 的斜率为 k，则22229525=ykxxx 令 11009=PtttQ x y 因为(1,0),9=FPQQF，所以()24,49(1,)=xtytxy 于是249(1)49xtxyty=，所以21049104xtyt=+=则直线OQ 的斜率为244419493942 4=+ytxttttt 当且仅当94tt=，即32t=时等号成立，所以直线OQ 斜率的最大值为 13【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得 Q 的轨迹方程，得到直线 OQ 的斜率关于 y 的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；方法二 同方法一得到点 Q 的轨迹方程，然后利用数

29、形结合法，利用判别式求得直线 OQ 的斜率的最大值，为最优解；方法三同方法一求得 Q 的轨迹方程，得到直线OQ 的斜率 k 的平方关于 x 的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线OQ 斜率的最大值；方法四利用参数法，由题可设()24,4(0),(,)PtttQ x y，求得 x,y 关于t 的参数表达式，得到直线OQ 的斜率关于t 的表达式，结合使用基本不等式，求得直线 OQ 斜率的最大值.22.已知函数()sinln(1)f xxx=+，()fx为()f x 的导数证明：第19页/共21页 学科网（北京）股份有限公司（1）()fx在区间(1,)2存在唯一极大值点；（2）

30、()f x 有且仅有 2 个零点【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）求得导函数后，可判断出导函数在1,2 上单调递减，根据零点存在定理可判断出00,2x，使得()00gx=，进而得到导函数在1,2 上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知0 x=为()f x 在(1,0上的唯一零点；当0,2x时，首先可判断出在()00,x上无零点，再利用零点存在定理得到()f x 在0,2x 上的单调性，可知()0f x，不存在零点；当,2x 时，利用零点存在定理和()f x 单调性可判断出存在唯一一个零点；当(),x+，可证得()0f x，()()2244sin102222g

31、=+=；0,2xx时，()0gx fx在()00,x上单调递增，此时()()00fxf=，不存在零点 又22cos02222f=，2sinln 1lnln102222ef=+=+()0f x在0,2x 上恒成立，此时不存在零点 当,2x 时，sin x 单调递减，()ln1x+单调递减 fx在,2 上单调递减 又02f，()()()sinln1ln10f=+=+第21页/共21页 学科网（北京）股份有限公司即()02ff+=()sinln10 xx+即()f x 在(),+上不存在零点 综上所述：()f x 有且仅有2 个零点【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.