辽宁新高考联盟（点石联考）2024年高二3月联考数学试题 答案.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司2023-2024 学年度辽宁新高考联盟（点石联考）3 月联合考试 数学 考试范围：选修一，选修二；考试时间：120 分钟；命题人：辽宁省新高考试题研究中心 注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。2请将答案正确填写在答题卡上，写在此试卷上无效。3.考试结束后，将此试卷与答题卡一并交回。第 I 卷（选择题）一、单选题 1已知=(1,0,1)，=(0,1,0)，=(1,1,1)，下列选项中正确的是（）A =3 B C+/D,=42某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取 60 名学生，已知该校

2、初中部和高中部分别有 400 名和 200 名学生，则不同的抽样结果共有（）AC40045 C20015 种 BC40020 C20040 种 CC40030 C20030 种 DC40040 C20020 种 3北京 2022 年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传 2022 年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（）A8 B10 C12

3、 D14 4已知-2的展开式中只有第 5 项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（）A-448 B-1024 C-1792 D-5376 5下列选项中，不正确的命题是（）A若两条不同直线，的方向向量为1，2，则 12B若,是空间向量的一组基底，且=13 +13 +13，则点在平面内，且为 的重心C若,是空间向量的一组基底，则+,2,+也是空间向量的一组基底 D若空间向量，共面，则存在不全为 0 的实数，使+=06某校高三年级要从 5 名男生和 2 名女生中任选 3 名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是（）A15

4、B25 C35 D45学科网（北京）股份有限公司7二面角的棱上有 A、B 两点，直线 AC、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知=4，=6，=8，=217，则该二面角的大小为()A150 B45 C60 D120 8是双曲线24 25=1右支在第一象限内一点，1，2分别为其左、右焦点，为右顶点，如图圆是 12的内切圆，设圆与1，2分别切于点，当圆的面积为4时，直线2的斜率为（）A43 B43或 0 C0 D43 二、多选题 9已知正方体 1111，则（）A直线1与1所成的角为90 B直线1与1所成的角为90 C直线1与平面11所成的角为45 D直线1与平面 ABCD 所成的角

5、为45 10甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1，2和3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（）A()=25 B(|1)=511C事件与事件1相互独立 D1，2，3是两两互斥的事件 11下列命题中，表述正确的是（）A直线(3+)+4 3+3=0(R)恒过定点(3,3)B圆2+2=4上有且仅有 3 个点到直线:+2=0的距离都等于 1 C直线=(2)+4与曲线=1+4 2有两个不同的交点，则实数的取值范围是512,

6、34 D已知圆:2+2=1，点为直线4+2=1上一动点，过点向圆引两条切线,，,为切点，则直线经过定点14,12 12在信道内传输 0，1 信号，信号的传输相互独立发送 0 时，收到 1 的概率为(0 1)，收到 0 的概率为1 ；发送 1 时，收到 0 的概率为(0 1)，收到 1 的概率为1 .考虑两种传输方案：单次传输和三次传输单次学科网（北京）股份有限公司传输是指每个信号只发送 1 次，三次传输 是指每个信号重复发送 3 次收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到 1，0，1，则译码为 1）.A采用

7、单次传输方案，若依次发送 1，0，1，则依次收到 l，0，1 的概率为(1 )(1 )2 B采用三次传输方案，若发送 1，则依次收到 1，0，1 的概率为(1 )2 C采用三次传输方案，若发送 1，则译码为 1 的概率为(1 )2+(1 )3 D当0 0,0)的左、右焦点分别为1,2点在上，点在轴上，1 1,2=23 2，则的离心率为 16已知抛物线:2=8及圆:(2)2+2=1，过(2,0)的直线 l 与抛物线 C 和圆 M 从上到下依次交于 A，P，Q，B 四点，则|+4|的最小值为 .四、解答题 17在二项式 2的展开式中，_给出下列条件：所有偶数项的二项式系数之和为 256；前三项的二

8、项式系数之和等于 46 试在上面两个条件中选择一个补充在横线上，并解答下列问题：(1)求 2展开式的常数项；(2)求(1 2)展开式中系数绝对值最大的项 18如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，ADDCBC1，ABC60，四边形 ACFE 为矩形，平面 ACFE平面ABCD，CF1 学科网（北京）股份有限公司（1）证明：BC平面 ACFE；（2）设点 M 在线段 EF 上运动，平面 MAB 与平面 FCB 所成锐二面角为，求 cos 的取值范围 19甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.6，

9、乙每次投篮的命中率均为 0.8由抽签确定第 1 次投篮的人选，第 1 次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5(1)求第 2 次投篮的人是乙的概率；(2)求第次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量服从两点分布，且(=1)=1 (=0)=,=1,2,，则(=1)=1记前次（即从第 1 次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求()20一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100 例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100 人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组40 60 对照组10

10、 90(1)能否有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”(|)(|)与(|)(|)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为 R（）证明：=(|)(|)(|)(|)；（）利用该调查数据，给出(|),(|)的估计值，并利用（）的结果给出 R 的估计值 附2=()2(+)(+)(+)(+)，(2 )0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 学科网（北京）股份有限公司21一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存

11、下来，设一个这种微生物为第 0 代，经过一次繁殖后为第 1 代，再经过一次繁殖后为第 2 代，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 X 表示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数，(=)=(=0,1,2,3)（1）已知0=0.4,1=0.3,2=0.2,3=0.1，求()；（2）设 p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于 x 的方程：0+1+22+33=的一个最小正实根，求证：当()1时，=1，当()1时，0)，因为圆的面积为4，则2=4，即=2，因为 12，所以(2,2)，于是tan2=|2|=232=2，因为2是21的角平分线，所以 学科网（北京）股份有限

12、公司tan21=tan(22)=2tan21tan22=43，所以tan2=tan(21)=tan21=43，即直线2的斜率为43.故选：D 9ABD 如图，连接1、1，因为1/1，所以直线1与1所成的角即为直线1与1所成的角，因为四边形11为正方形，则1 1，故直线1与1所成的角为90，A 正确；连接1，因为11 平面11，1 平面11，则11 1，因为1 1，11 1=1，所以1 平面11，又1 平面11，所以1 1，故 B 正确；连接11，设11 11=，连接，因为1 平面1111，1 平面1111，则1 1，因为1 11，11 1=1，所以1 平面11，所以1为直线1与平面11所成的角

13、，设正方体棱长为1，则1=22，1=2，sin1=11=12，所以，直线1与平面11所成的角为30，故 C 错误；因为1 平面，所以1为直线1与平面所成的角，易得1=45，故 D 正确.故选：ABD 10BD 由题意，因为每次取一球，所以1，2，3是两两互斥的事件，所以 D 正确；因为(1)=510,(2)=210,(3)=310，所以(|1)=(1)(1)=510 511510=511，所以 B 正确；同理可得(|2)=(2)(2)=210 411210=411,(|3)=(3)(2)=310 411310=411,学科网（北京）股份有限公司所以()=(1)+(2)+(3)=510 511+

14、210 411+310 411=922，所以 A 错误；因为(1)=510 511=522,()(1)=922 510=944，所以(1)()(1)，所以 C 错误 故选：BD.11BD 解：对于选项 A：由(3+)+4 3+3=0(R)可得：(+3)+3+4 3=0，由+3=03+4 3=0 可得=3=3，所以直线恒过定点(3,3)，故选项 A 不正确；对于选项 B：圆心(0,0)到直线:+2=0的距离等于1，圆的半径=2，平行于:+2=0且距离为 1 的两直线分别过圆心以及和圆相切，所以，圆上有且仅有 3 个点到直线的距离等于1，故选项 B 正确；对于选项 C：由题知直线=(2)+4过定点

15、(2,4)，曲线=1+4 2表示以(0,1)为圆心，2为半径的圆在直线=1及上方的半圆，如图，直线为过点(2,4)，与半圆相切的切线，切点为，所以，要使直线=(2)+4与曲线=1+4 2有两个不同的交点，则 ，所以，当直线=(2)+4与半圆相切时，有|32|2+1=2，解得=512，即=512因为=34，所以实数的取值范围是512,34，故 C 选项错误；对于选项 D：设点坐标为(,)，所以4+2=1，即+2=4，因为、分别为过点所作的圆的两条切线，所以 ，所以点,在以为直径的圆上，以为直径的圆的方程为 22+22=2+222，整理可得：2+2 =0，与已知圆:2+2=1相减可得+=1，消去可

16、得：(4 2)+=1，即(2)+4 1=0，学科网（北京）股份有限公司由 2=04 1=0 可得=14=12，所以直线经过定点14,12，故选项 D 正确.故选：BD 12ABD 对于 A，依次发送 1，0，1，则依次收到 l，0，1 的事件是发送 1 接收 1、发送 0 接收 0、发送 1 接收 1 的 3 个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1 )(1 )(1 )=(1 )(1 )2，A 正确；对于 B，三次传输，发送 1，相当于依次发送 1，1，1，则依次收到 l，0，1 的事件，是发送 1 接收 1、发送 1 接收 0、发送 1 接收 1 的 3 个事件的积，它们相互独立，所以所

17、求概率为(1 )(1 )=(1 )2，B 正确；对于 C，三次传输，发送 1，则译码为 1 的事件是依次收到 1，1，0、1，0，1、0，1，1 和 1，1，1 的事件和，它们互斥，由选项 B 知，所以所求的概率为C32(1 )2+(1 )3=(1 )2(1+2)，C 错误；对于 D，由选项 C 知，三次传输，发送 0，则译码为 0 的概率=(1 )2(1+2)，单次传输发送 0，则译码为 0 的概率=1 ，而0 0，即 ，D 正确.故选：ABD 1328 法一：由于24=12，而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为6，所以正四棱锥的体积为13 (4 4)6=32，截去的正四棱锥的体积

18、为13 (2 2)3=4，所以棱台的体积为32 4=28.法二：棱台的体积为13 3 16+4+16 4=28.故答案为：28.学科网（北京）股份有限公司142（2,2,12,12中任意一个皆可以）设点到直线的距离为，由弦长公式得|=24 2，所以=12 24 2=85，解得：=455 或=255，由=|1+1|1+2=21+2，所以21+2=455 或21+2=255，解得：=2或=12 故答案为：2（2,2,12,12中任意一个皆可以）15355/35 5方法一：依题意，设|2|=2，则|2|=3=|1|,|1|=2+2，在Rt 1中，92+(2+2)2=252，则(+3)()=0，故=或

19、=3（舍去），所以|1|=4,|2|=2，|2|=|1|=3，则|=5，故cos12=|1|=45=45，所以在 12中，cos12=162+4242242=45，整理得52=92，故=355.方法二:依题意，得1(,0),2(,0)，令(0,0),(0,)，因为2=23 2，所以(0 ,0)=23(,)，则0=53,0=23，又1 1，所以1 1=83,23 (,)=83 2 23 2=0，则2=42，又点在上，则259 22 4922=1，整理得25292 4292=1，则25292 16292=1，所以2522 1622=922，即252(2 2)1622=92(2 2)，整理得254

20、5022+94=0，则(52 92)(52 2)=0，解得52=92或52=2，又 1，所以=355 或=55（舍去），故=355.学科网（北京）股份有限公司故答案为：355.1613 解：如图所示：圆心(2,0)即为抛物线 C 的焦点 F.所以|+4|=(|1)+4(|1)=|+4|5，由抛物线的定义，|=+2=+2,|=+2=+2，所以|+4|=(+2)+4(+2)5=+4+5，又易知：=24=4，所以+4+5 2 4+5=13，当且仅当=4，即=4=1 时等号成立.所以|+4|的最小值为 13，故答案为：13 17(1)672(2)53766（1）2的二项展开式的通项为+1=C 2=(2

21、)C32 选，所有偶数项的二项式系数之和为21=256，可得=9 选，前三项的二项式系数之和为C0+C1+C2=1+(1)2=46，解得=9 由上知，展开式的通项为+1=(2)C9932，常数项即当932=0时，=3，常数项为4=(2)3C93=672（2）由（1）得=9，(1 2)9的二项展开式的通项为+1=C9(2)=(2)C9，故第(+1)项的系数的绝对值为：2C9 由题设，令2C9 21C912C9 2+1C9+1，解得173 203，=6，即第 7 项系数的绝对值最大，且系数绝对值最大的项为7=(2)6C966=53766 学科网（北京）股份有限公司18（1）见解析（2）77，12（

22、1）证明：在梯形 ABCD 中，因为 ABCD，ADDCCB1，ABC60 所以 AB2，所以 AC2AB2+BC22ABBCcos603，所以 AB2AC2+BC2，所以 BCAC 因为平面 ACFE平面 ABCD，平面 ACFE平面 ABCDAC，因为 BC平面 ABCD，所以 BC平面 ACFE（2）解：由（1）可建立分别以直线 CA，CB，CF 为 x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令=0 3，则 C（0，0，0），3，0，0，B（0，1，0），M（，0，1）=3，1，0，=，1，1 设=（x，y，z）为平面 MAB 的一个法向量，由 =0 =0 得3+=0 +=0，取

23、 x1，则=(1，3，3 )，=(1，0，0)是平面 FCB 的一个法向量 cos=|=11+3+321=132+40 3，当 0 时，cos 有最小值77，当=3时，cos 有最大值12 77，12 19(1)0.6(2)16 251+13(3)()=518 1 25+3（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，所以，(2)=(12)+(12)=(1)(2|1)+(1)(2|1)=0.5 (1 0.6)+0.5 0.8=0.6.（2）设()=，依题可知，()=1 ，则 学科网（北京）股份有限公司(+1)=(+1)+(+1)=()(+1|)+()(+1|)，即+1=0.6

24、+(1 0.8)(1 )=0.4+0.2，构造等比数列+，设+1+=25(+)，解得=13，则+1 13=25 13，又1=12,1 13=16，所以 13是首项为16，公比为25的等比数列，即 13=16 251,=16 251+13（3）因为=16 251+13，=1,2,，所以当 N时，()=1+2+=16 125125+3=518 1 25+3，故()=518 1 25+3 20(1)答案见解析(2)（i）证明见解析；(ii)=6；（1）由已知2=()2(+)(+)(+)(+)=200(40906010)250150100100=24，又(2 6.635)=0.01，24 6.635，

25、所以有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）(i)因为=(|)(|)(|)(|)=()()()()()()()()，所以=()()()()()()()()所以=(|)(|)(|)(|)，(ii)由已知(|)=40100，(|)=10100，又(|)=60100，(|)=90100，所以=(|)(|)(|)(|)=6 21（1）1；（2）见解析；（3）见解析.（1）()=0 0.4+1 0.3+2 0.2+3 0.1=1.（2）设()=33+22+(1 1)+0，因为3+2+1+0=1，故()=33+22 (2+0+3)+0，若()1，则1+22+33 1，故2+

26、23 0.学科网（北京）股份有限公司()=332+22 (2+0+3)，因为(0)=(2+0+3)0，(1)=2+23 0 0，故()有两个不同零点1,2，且1 0 0；(1,2)时，()(2)=(1)=0，故1为0+1+22+33=的一个最小正实根，若2 1，因为(1)=0且在(0,2)上为减函数，故 1 为0+1+22+33=的一个最小正实根，综上，若()1，则=1.若()1，则1+22+33 1，故2+23 0.此时(0)=(2+0+3)0，故()有两个不同零点3,4，且3 0 4 0；(3,4)时，()0；故()在(,3)，(4,+)上为增函数，在(3,4)上为减函数，而(1)=0，故

27、(4)0，故()在(0,4)存在一个零点，且 1.所以为0+1+22+33=的一个最小正实根，此时 1时，0,0)，由焦点坐标可知=25，则由=5可得=2，=2 2=4，双曲线方程为24 216=1.（2）由(1)可得1(2,0),2(2,0)，设(1,1),(2,2)，显然直线的斜率不为 0，所以设直线的方程为=4，且12 0，则1+2=32421,12=48421，直线1的方程为=11+2(+2)，直线2的方程为=222(2)，联立直线1与直线2的方程可得：+2 2=2(1+2)1(2 2)=2(1 2)1(2 6)=12 2(1+2)+2112 61=484212 32421+214842161=16421+214842161=13，由+22=13可得=1，即=1，据此可得点在定直线=1上运动.