重庆市2024届高三上学期入学调研数学试题（解析版）.pdf

1、第1页/共20页 学科网（北京）股份有限公司2024 届高三入学调研卷（重庆适用）数学第卷（选择题）一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合1,3,Am=，1,Bm=，1,ABm=，则m=（）A.0 或3 B.0 或3 C.1或3 D.1或3或 0【答案】B【解析】【分析】由 A，B，以及 A 与 B 的交集为 B，列出关于m 的方程，求出方程的解即可得到m 的值【详解】集合1,3,Am=，1,Bm=，且1,ABm=，BA3m=或 mm=，解得：3m=或0m=或1m=，由元素的互异性得1m=不合题意，舍去，则

2、3m=或 0 故选：B 2.复数 z 满足()1 i1 iz+=，则 z 的共轭复数的虚部是（）A.1 B.1 C.i D.i【答案】A【解析】【分析】先求复数 z，可得其共轭复数的虚部.【详解】由()1 i1 iz+=得1 i1i 1 12iiz=，故2iz=+，其虚部为1，故选：A 3.已知,a b 满足3,10aba bab=，则,a b 夹角的余弦值为（）第2页/共20页 学科网（北京）股份有限公司A.35 B.45 C.56 D.67【答案】D【解析】【分析】根据数量积的运算律，整理化简等式10ab=，建立方程，解得平方和，结合完全平方和公式，解得模长乘积，利用夹角公式，可得答案.【

3、详解】由題意，向量a，b满足3aba b=，10ab=，可得222210ababa b=+=，所以2216ab+=，又由()22229ababa b=+=，所以72a b=，设向量a 与b的夹角为，则6cos7a ba b=故选：D.4.已知函数()yf x=的图象在点()()5,5Pf处的切线方程是8yx=+，则()()55ff+=（）A.2 B.3 C.4 D.1【答案】A【解析】【分析】根据导数的几何意义结合函数()yf x=的图象在点()()5,5Pf处的切线方程即可求得答案.【详解】由于函数()yf x=的图象在点()()5,5Pf处的切线方程是8yx=+，故()5583f=+=，(

4、)51f=，故()()552ff+=，故选：A.5.“1a”是“函数()()22f xaxx a=R 在()1,+上单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先计算函数对称轴，结合函数开口方向分析可得该函数的递增区间，根据充分必要性辨析可得答案.第3页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【详解】()()220f xaxx a=对称为轴1xa=，若1a，又()f x 开口向上，在1,xa+上单调递增，又()10,1a，故()f x 在()1,+上单调递增成立；若函数()()22f xaxx a=R 在()1,+上单调

5、递增，()0,2af xx=单调递减，不成立，0,a 则0,11aa得1a，1a 不能推出1a，故“1a”是“函数()()22f xaxx a=R 在()1,+上单调递增”的充分不必要条件.故选：A.6.已知函数()sin 2(0)3g xx=+在区间 ,2上是单调的，则 的取值范围是（）A.17,6 12 B.1 7,3 12 C.11 70,126 12 D.11 70,63 12【答案】C【解析】【分析】三角函数在区间上单调，可知在区间内不含对称轴，构建不等式即可求得 的取值范围.【详解】因为()sin 2(0)3g xx=+，令22,32xk+=+()k Z，可得对称轴方程126xk=

6、+()k Z，函数()sin 2(0)3g xx=+在区间 ,2上是单调，122T 且1,262xk=+，()k Z，1 22 22即01在区间 ,2上是单调，所以()126211 26kk+，即 6167612kk+()k Z，又01，可得1012可得.【详解】设数列 na公比为q，因数列 na各项均为正数，故0q，则()()464244571111135108aaa qa qqaa qqaaq+=+=+=+=，得4116q=解得12q=或12q=（负值舍去）故选：C 8.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的数书九章（1247 年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例

7、子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度=器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位cm），则平地降雪厚度的近似值为（）的第5页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 A.91cm12 B.31cm4 C.95 cm12 D.97 cm12【答案】C【解析】【分析】根据梯形中位线定理，结合圆台体积公式进行求解即可.【详解】如图所示，可求得器皿中雪表面的半径为 204015cm4+=，所以平地降雪厚度的近似值为()2221 20101510 15953cm2012+=.故选：C 二、多项选择

8、题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9.已知圆C：22260 xyx+=，(),M x y 为圆C 上任意一点，()1,1A，则（）A.1MC=B.直线l：yxb=+过点 A，则C 到直线l 的距离为22 C.7171MA+D.圆C 与坐标轴相交所得的四点构成的四边形面积为4 42【答案】BC【解析】【分析】对于 A，将圆的方程化为标准方程，可求得圆的半径，从而可求得 MC，对于 B，求出直线方程，利用点到直线的距离公式求解，对于 C，由圆的性质得rCAMArCA+，对于 D，

9、分别求出圆C与 x 轴相交所得的弦长和圆C 与 y 轴相交所得的弦长，然后可求出其面积.【详解】对于 A，22260 xyx+=变为()2217xy+=，所以C 的坐标为()1,0，7MC=，故 A第6页/共20页 学科网（北京）股份有限公司错误；对于 B，直线l 过点 A，则 11 b=+，2b=，所以C 到直线l 的距离为221 202211=+，故 B 正确；对 于C，因 为 圆 C：()2217xy+=的 圆 心 为(1,0)C，半 径 为7，所 以7171rCAMArCA=+=+，故 C 正确；对于 D，因为圆C：()2217xy+=的圆心为(1,0)C，半径为7，所以圆C 与 x

10、轴相交所得的弦长为 2 7，圆C 与 y 轴相交所得的弦长为2 7 12 6=，所以圆C 与坐标轴相交所得的四点构成的四边形面积为 12 72 62 422=，故 D 错误.故选：BC.10.已知椭圆22:1169xyC+=的左、右焦点分别是12,FF，左、右顶点分别是12,AA，点 P 是椭圆 C 上异于12,AA 的任意一点，则下列说法正确的是（）A.12 4PFPF+=B.若12F PF的面积为2 7，则点 P 的横坐标为453 C.存在点 P 满足1290F PF=D.直线1 PA 与直线2PA 的斜率之积为9 16【答案】BD【解析】【分析】结合椭圆的定义、直线斜率、椭圆中三角形的面

11、积等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】依题意4,3,7abc=，所以1228PFPFa+=，A 选项错误.122 7F F=，0012 72 7,22yy=，22000144 1614464804 5,9993yxx=，B 选项正确.第7页/共20页 学科网（北京）股份有限公司()22122222212121212121212242cos222PFPFF FPFPFF FacF PFPFPFPFPFPFPF+=12123228202 PFPFPFPF=，“”中的等号成立的条件是12PFPF=，所以不存在 P 满足1290F PF=，C 选项错误.设()00,Pxy，()222222

12、00000091,916144,16916916xyxyyx+=+=，()()124,0,4,0AA，()122200002200009 160091644161616PAPAxyyykkxxxx=+，D 选项正确.故选：BD.11.若随机变量19,3XB，下列说法中正确的是（）A.()3639213C33P X=B.期望()3E X=C.期望(41)11EX=D.方差(25)8DX+=【答案】BCD【解析】【分析】根据已知条件，结合二项分布的概率公式，以及期望与方差公式即可求解.【详解】随机变量19,3XB，则3639(3)C3231P X=，故 A 错误；第8页/共20页 学科网（北京）股

13、份有限公司1()933E X=，故 B 正确；(41)4()14 3 111EXE X=，故 C 正确；因为11()9(1)233D X=，所以2(25)(2)()4 28DXD X+=，故 D 正确.故选：BCD 12.给出下列命题，其中正确的是（）A.幂函数()Rayxa=图象一定不过第四象限 B.函数()12(0,1)xfxaaa+=的图象过定点()1,1 C.1lg1xyx+=是奇函数 D.函数()22xf xx=有两个零点【答案】ABCD【解析】【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的性质依次判断即可【详解】对 A，根据幂函数的性质，可知幂函数()Rayxa=图象一定不过第四象限，故

14、 A 对；对 B，函数()12(0,1)xfxaaa+=，令10 x+=，可得=1x，代入可得()11f=，图象过定点()1,1，故 B 对；对 C，令()1lg1xf xyx+=，定义域为()1,1，因为()()1111lglg()lg111xxxfxf xxxx+=+，且()f x 的定义域关于原点对称，所以()f x 是奇函数，故 C 对；对 D，函数()22xf xx=的零点可以看成函数2xy=与2yx=+的交点问题，易知两个函数图象有两个交点，即()22xf xx=有两个零点，故 D 对；故选：ABCD 第卷（非选择题）三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分第9页/共20页

15、学科网（北京）股份有限公司13.已知函数()yf x=在0 xx=处的导数为 1，则()()000limxf xxf xx+=_.【答案】1【解析】【分析】根据导数的定义可得答案【详解】根据题意，由极限的性质可得()()000limxf xxf xx+()0=fx，又由函数()f x 在0 xx=处的导数为1，即()01fx=，故()()000lim1+=xf xxf xx.故答案为：1.14.已知函数()222sincossin(0)24xf xxx=，现将该函数图象先向左平移 3 个应位长度，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的 12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，已知函数()g

16、x 在区间 ,2上是单调的，则 的取值范围是_【答案】11 70,126 12【解析】【分析】利用降幂公式化简函数()f x，根据图象平移可得函数()g x，利用整体思想，结合正弦函数的单调性，建立不等式组，可得答案.【详解】()2221 cos22sincossin2sinsin242xxf xxxxx+=()2sin1 sinsinsinxxxx=+=，由题意，()2sin 233g xfxx=+=+，当,2x时，由0，则2,2 333x+，第10页/共20页 学科网（北京）股份有限公司由()g x 在 ,2上单调，则,2,333 2+，可得不等式组332 32+，解得1012+，解得51

17、2k，由Nk，则0k=，则17,6 12.综上，的取值范围为11 70,126 12.故答案为：11 70,126 12.15.若()550151 2xaa xa x=+，ia R，0,1,5i=，则24aa+=_.（用数字作答）【答案】120【解析】【分析】采用赋值法，分别令1x=，=1x 和0 x=，求24aa+的值.【详解】令1x=，可得0123451aaaaaa+=；令=1x，可得50123453aaaaaa+=；两式相加得5024311212aaa+=，令0 x=，可得01a=，故24120aa+=.故答案为：120 16.直四棱柱1111ABCDA B C D的底面正方形边长为2，

18、侧棱长为3，以顶点 A 为球心，2 为半径作一个球，则球面与直四棱柱的表面相交所得到的所有弧长之和等于_ 第11页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【答案】176【解析】【分析】分别求出球面与面 ABCD、面1111DCBA、面11AA B B、面11AA D D 的交线长，相加即可得出结果.【详解】如下图所示：因为正方形 ABCD 的边长为2，所以，以顶点 A 为球心，2 为半径的球与面 ABCD 的 交线是以 A 为圆心，半径为2，且圆心角为 2的圆弧，其长度为 22=；因为1AA 底面1111DCBA，且13AA=，所以，以顶点 A 为球心，2 为半径的球与面1111DCBA的交线是

19、以点1A 为圆心，半径为 2212431AA=，圆心角为 2的圆弧，其长度为 122=；设以顶点 A 为球心，2 为半径的球与棱11A B 的交点为点 E，因为13AA=，11AAA B，则2221112312A EAEAAAE=，所以，16A AE=，从而可得263BAE=，故以顶点 A 为球心，2 为半径的球与侧面11AA B B 的交线是以点 A 为圆心，半径为2，且圆心角为 3的圆弧，其长度为 3223=；同可知，以顶点 A 为球心，2 为半径的球与侧面11AA D D 的交线是以点 A 为圆心，半径为 2，且圆心角为 3的圆弧，其长度为 3223=.因此，球面与直四棱柱的表面相交所得

20、到的所有弧长之和等于2172236+=.故答案为：176.四、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第12页/共20页 学科网（北京）股份有限公司17.数列 na的前n 项积为nb，11b=.（1）若12nnba+=，求4b；（2）若()122n nnb=，设421lognnca=，求数列 nc的前n 项和.【答案】（1）4 （2）(1)2nn nS=【解析】【分析】（1）由首项11a=，再结合条件，以及()12nnnbanb=，即可求解；（2）首先求数列 na的通项公式，代入421lognnca=，求通项，最后求得数列 nc的前n 项和.【小问 1

21、详解】11b=，11a=.2122ba=，2212bab=，3224,ba=3322bab=，4324ba=；【小问 2 详解】(1)22n nnb=，当2n 时，(1)(2)212nnnb=，当2n 时，112nnnnbab=，又11a=也满足12nna=.12nna=，224214log=log 21nnncan=，数列 nc的前 n 项和(1)0 1212nn nSn=+=.18.如图，P 为圆锥的顶点，A，B 为底面圆O 上两点，23AOB=，E 为 PB 中点，点 F 在线段 AB上，且2AFFB=.第13页/共20页 学科网（北京）股份有限公司（1）证明：平面 AOP 平面OEF；

22、（2）若OPAB=，求直线 AP 与平面OEF 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）3926【解析】【分析】（1）先证线面垂直再得面面垂直即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量计算即可.【小问 1 详解】设圆 O 的半径为 r，在 AOB中，OAOBr=，23AOB=，6OAB=，故3ABr=，又2AFFB=，故2 33rAF=，在 AOF中，由余弦定理得22222112cos33OFOAAFOA AFOAFOAr=+=，所以222OAOFAF+=，即OAOF；圆锥中，PO 底面O，OF 底面O，故 POOF，又OAOPO=，所以OF 平面 AOP，又OF 平面OEF，所以平

23、面 AOP 平面OEF.【小问 2 详解】以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，不妨设3OA=，则33OPABOA=，313OFOA=，则(3 0 0)A，(0 0 3)P，3 3 022B，3 33442E，(0 1 0)F，(3 0 3)AP=，3 33442OE=，(0 1 0)OF=，设平面OEF 的一个法向量为()nx y z=，有00n OEn OF=，即33304420 xyzy+=，解得(2 3 0 1)n=，第14页/共20页 学科网（北京）股份有限公司设直线 AP 与平面OEF 所成角为，则6339sincos2612?13AP nAP nAP n+=，.19

24、.ABC的内角,A B C 的对边分别为a，b，c，已知26 cos3232Abbac=+，D 是 AC 边上一点，2ADDC=，2BD=.（1）求cosB；（2）求 BA BC 的最大值.【答案】（1）23 （2）185【解析】【分析】（1）根据条件，利用余弦的倍角公式和正弦定理进行化简，得到3sin cos2sinABA=，即可求出结果；（2）根据条件，先利用向量的运算得到()221944BA BCac=+，再利用余弦定理得到()22345442acca=+，再利用重要不等式即可求出结果.【小问 1 详解】由26 cos3232Abba=+，得到1 cos63232Abbac+=+，即33

25、 cos323bbAbac+=+，由正弦定理可得3sin cos3sin2sinBACA=，又ABC+=，所以()3sin cos3sin2sinBAABA=+，化简整理得：3sin cos2sinABA=，又()0,A，sin0A，2cos3B=；【小问 2 详解】第15页/共20页 学科网（北京）股份有限公司因()11123333BDBCCDBCCABCBABCBABC=+=+=+=+，所以222144999BDBABCBA BC=+，又2BD=，所以221444999caBA BC=+，()22221199444BA BCacac=+=+.又cosADB cosDB0+=C，所以 222

26、2222222cos322122330112 222 233acbBacbcbabb+=+=，整理得，()22222224142 409943bcbaacacb+=+，即()()2222223212243bcaacacb=+=+，所以()22223432122acacca=+，即()22221343 18254422accaca=+=+，又()2242acac+，当且仅当2ac=时，取等号，所以()2222354442 caac+，即()2255442 ca+，所以，2210845ca+，故()22127445ca+，得到()2212718949455ca+=，即185BA BC，即BA BC

27、 的最大值为185.20.为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青 春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从 中抽取了 200 份试卷进行调查，这 200 份试卷的成绩（卷 面共 100 分）频率分布直方图如右图所示 （1）用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）可以认为这次竞赛成绩 X 近似地服从正态分布 N(，2)（用样本平均数和标准差 s 分别作为 、为第16页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 的近似值），已知样本标准差 s 7.36，如有 84%的学生的竞赛 成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的平均分约为多少？（结果取

28、整数）（3）从得分区间80，90)和90，100 的试卷中用分层抽样的方法抽取 10 份试卷，再从这 10 份样本中随机抽测 3 份试卷，若已知抽测的 3 份试卷来自于不同区间，求抽测 3 份试卷有 2 份来自区间80，90)的概率 参考数据：若 X N(，2)，则 P(X +)0 68，P(2 X +2)0.95，P(3 X +3)0.99.【答案】（1）80.5 （2）73 （3）34【解析】【分析】（1）根据平均数的求法求得平均数.（2）根据正态分布的对称性求得正确答案.（3）根据分层抽样、条件概率知识求得正确答案.【小问 1 详解】由频率分布直方图可知，平均分65 0.0175 0.0

29、485 0.03595 0.015()1080.5=+=；【小问 2 详解】由（1）可知()280.5,7.36XN 设学校期望的平均分约为 m，则()0.84P Xm=，因为0.68()PXo+，3(0.4)PX，即()73.140.84P X，所以学校期望的平均分约为 73 分；【小问 3 详解】由频率分布直方图可知，分数在)80,90 和90,100 的频率分别为 0.35 和 0.15，那么按照分层抽样，抽取 10 人，其中分数在)80,90，应抽取0.351070.350.15=+人，分数在90,100 应抽取0.151030.350.15=+人，记事件 A：抽测的 3 份试卷来自于

30、不同区间；事件 B:取出的试卷有 2 份来自区间80，90)，.第17页/共20页 学科网（北京）股份有限公司则()3331073310CCC7C10P A=，()2173310C C21C40P AB=，则()()()421340|710P ABP B AP A=所以抽测 3 份试卷有 2 份来自区间80，90)的概率为 34.21.已知函数()()1ln11fxaxxx=+.（1）当2a=时，求函数()yf x=的图象在0 x=处的切线方程；（2）当0 x 时，()1 4f xx 恒成立，求实数 a 的取值范围.【答案】（1）1y=（2）)2,+【解析】【分析】（1）求导，利用导数的几何意

31、义求得斜率，然后用点斜式求得直线方程；（2）令1tx=+（1t），转化为1ln340attt+，1t 恒成立，构造函数利用导数结合单调性和最值可得答案.【小问 1 详解】()1,x +，当2a=时，()()12ln11fxxxx=+，()01f=，()221111fxxx=+，()00kf=，所以2a=时，函数()yf x=的图象在0 x=处的切线方程为：1y=；【小问 2 详解】()()()1140ln13101fxx xaxxx+（0 x）恒成立，令1tx=+（1t），()1ln34g ta ttt=+，()1ln13101axxx+（0 x）恒成立，即为1ln340attt+，1t 恒成

32、立，第18页/共20页 学科网（北京）股份有限公司()2221313atatg tttt+=+=，令()231h ttat=+，()h t 恒过()0,1，（）若()10h，即2a ，()0h t，()1,t+，()0g t，()g t 在()1,+上单调递增，()()10g tg=恒成立.（）设抛物线()231h ttat=+与 x 轴的两个交点分别为 1t，2t 且 12tt，当()10h，即2a 时，()0h t，()21,tt，则()0g t的左、右焦点，点32,3P在椭圆C 上，且112PFF F.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知 A，B 两点的坐标分别是()0,2，()1,0，若

33、过点 A 的直线l 与椭圆C 交于 M，N 两点，且以MN 为直径的圆过点 B，求出直线l 的所有方程.【答案】（1）2213xy+=（2）0 x=或76120 xy+=【解析】【分析】（1）根据112PFF F，32,3P，得到1F()2,0，再由222222113abab=+=求解；（2）当直线l 与 x 轴垂直，容易判断；当直线l 与 x 轴不垂直，设直线l 的方程是2ykx=+，与椭圆C 的第19页/共20页 学科网（北京）股份有限公司方程联立，根据以 MN 为直径的圆过点()1,0B，由 MBNB，即0BM BN=结合韦达定理求解.【小问 1 详解】解：因为112PFF F，所以椭圆

34、C 的左焦点1F 的坐标是()2,0，所以22222,211,3abab=+=解得223,1,ab=所以椭圆C 的方程为2213xy+=.【小问 2 详解】若直线l 与 x 轴垂直，则直线l 与椭圆C 的交点 M，N 的坐标分别是()0,1，()0,1，以 MN 为直径的圆显然过点 B，此时直线l 的方程是0 x=；若直线l 与 x 轴不垂直，设直线l 的方程是2ykx=+，与椭圆C 的方程联立，消去 y 并整理，得()221 31290kxkx+=.设()11,M x y，()22,N xy，则()()()2221236 1 33610kkk=+=，122121 3kxxk+=+，12291

35、 3x xk=+，()()()2121212122224yykxkxk x xk xx=+=+.因为以 MN 为直径的圆过点()1,0B，所以 MBNB，即0BM BN=，()()1212110 xxy y+=，所以()()()2121212150kx xkxx+=，()()222911221501 31 3kkkkk+=+，2229924125 150kkkk+=，解得76k=.显然76k=满足0，所以直线l 与 x 轴不垂直时，直线l 的方程是726yx=+，即76120 xy+=.第20页/共20页 学科网（北京）股份有限公司综上所述，当以 MN 为直径的圆经过点 B 时，直线l 的方程是0 x=或76120 xy+=.