2023年中考数学综合压轴题训练——二次函数.docx

1、2023年中考数学综合压轴题训练二次函数一、综合题1生产商对在甲、乙两地生产并销售的某产品进行研究后发现如下规律:每年年产量为x(吨)时所需的全部费用y(万元)与x满足关系式 ,投人市场后当年能全部售10出，且在甲、乙两地每吨的售价 (万元)均与x满足一次函数关系.(注:年利润=年销售额-全部费用) （1）当在甲地生产并销售x吨时,满足 ，求在甲地生成并销售20吨时利润为多少万元； （2）当在乙地生产并销售x吨时, ,求在乙地当年的最大年利润应为多少万元? 2某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润 (万元)与进货量 (t)近似满足函数关系

2、 ；乙种水果的销售利润 (万元)与进货量 (t)近似满足函数关系 (其中 ， 、 为常数)，且进货量 为1t时，销售利润 为1. 4万元；进货量 为2t时，销售利润 为2. 6万元.（1）求 (万元)与 (t)之间的函数关系式；（2）如果市场准备进甲、乙两种水果共10t，设乙种水果的进货量为 (t)，请你写出这两种水果所获得的销售利润之和 (万元)与 (t)之间的函数关系式.并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少.3某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价 （元）与销售时间第 月之间存在如图1（一条线段）所示的变化趋势，每千克

3、成本 （元）与销售时间第 月之间存在如图2（一段抛物线，对称轴为直线 ）所示的变化趋势. （1）分别求函数 和 的表达式； （2）销售这种水果，第几月每千克所获得利润最大?最大利润是多少？4某文具店购进A，B两种钢笔，若购进A种钢笔2支，B种钢笔3支，共需90元；购进A种钢笔3支，B种钢笔5支，共需145元（1）求A、B两种钢笔每支各多少元？（2）若该文具店要购进A，B两种钢笔共90支，总费用不超过1588元，并且A种钢笔的数量少于B种钢笔的数量，那么该文具店有哪几种购买方案？（3）文具店以每支30元的价格销售B种钢笔，很快销售一空，于是，文具店决定在进价不变的基础上再购进一批B种钢笔，涨价卖

4、出，经统计，B种钢笔售价为30元时，每月可卖68支；每涨价1元，每月将少卖4支，设文具店将新购进的B种钢笔每支涨价a元（a为正整数），销售这批钢笔每月获利W元，试求W与a之间的函数关系式，并且求出B种铅笔销售单价定为多少元时，每月获利最大？最大利润是多少元？5已知二次函数y=x2+4x3（1）若3x3，则y的取值范围为(直接写出结果）；（2）若8y3，则x的取值范围为(直接写出结果）；（3）若A(m，y1)，B(m+1，y2)两点都在该函数的图象上，且满足m ，试比较y1与y2的大小，并说明理由 6面朝大海，春暖花开！榴岛大地正值草莓上市销售的旺季某商家以每盒20元的价格购进一批盒装草莓，经市

5、场调查发现：在一段时间内，草莓的日销售量y（盒）与每盒售价x（元）满足一次函数关系，其图象如下图所示：（1）求y关于x的函数关系式；（2）根据市场的定价规则，草莓的售价每盒不得高于49元，当售价定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？（3）为了增加店铺的人气，商家决定搞促销活动，顾客每购买一盒草莓可以获得a元的现金奖励 ，商家想在日销售量不少于40盒的基础上，使日销售最大利润为1568元，求此时a的值7如图，在ABC中，BC=7cm，AC=24cm，AB=25cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5

6、cm/s.若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索主要过程:（1）经过多少时间后，P、Q两点的距离为 cm？ （2）经过多少时间后， 的面积为 ？ （3）用含t的代数式表示PCQ的面积，并用配方法说明t为何值时PCQ的面积最大，最大面积是多少？ 8如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线C1：y x2+6x+2的顶点为M，与y轴相交于点N，先将抛物线C1沿x轴翻折，再向右平移p个单位长度后得到抛物线C2，直线l：ykx+b经过M，N两点. （1）求点M的坐标，并结合图象直接写出不等式 x2+6x+2kx+b的解集； （2）若抛物线C2的顶点D与点M关于原点对称，求p的值及抛物线

7、C2的解析式； （3）若抛物线C1与x轴的交点为E、F，试问四边形EMBD是何种特殊四边形？并说明其理由. 9定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”如图，抛物线C1与抛物线C2组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1与抛物线C2与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B且点A的坐标为（0，3），抛物线C2的解析式为ymx2+4mx12m，（m0）（1）请你根据“月牙线”的定义，设计一个开口向下“月牙线”，直接写出两条抛物线的解析式； （2）求M，N两点的坐标； （3）在第三象限内的抛物线C1上是否存在一点P，使得PA

8、M的面积最大？若存在，求出PAM的面积的最大值；若不存在，说明理由 10如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为.（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为，过点P作轴，垂足为M.PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；（3）若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标.11对于某一函数给出如下定义：如果存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不动值，在函数存在不动值时，该函数的最大不动值与最小不动值之差q称

9、为这个函数的不动长度，特别地，当函数只有一个不动值时，其不动长度q为0，例如，下图中的函数有0和1两个不动值，其不动长度q为1（1）下列函数y2x，yx2+1，yx22x中存在不动值的是 （填序号）（2）函数y3x2+bx，若其不动长度为0，则b的值为 ；若2b2，求其不动长度q的取值范围；（3）记函数yx24x（xt）的图象为G1，将G1沿xt翻折后得到的函数图象记为G2，函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不动长度q满足0q5，则t的取值范围为 12如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ，直线 经过 ， 两点. （1）求抛物线的解析式； （2

10、）过点 作直线 轴交抛物线于另一点 ，点 是直线 下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点 作 轴于点 ， 交 于点 ，交 于点 ，连接 ，过点 作 于点 ，设点 的横坐标为 ，线段 的长为 ，求 与 之间的函数解析式（不要求写出自变量 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，连接 ，过点 作 于点 （点 在线段 上）， 交 于点 ，连接 交 于点 ，当 时，求线段 的长. 13已知：关于x的方程x2（m+2）x+m+1=0（1）求证：该方程总有实数根；（2）若二次函数y=x2（m+2）x+m+1（m0）与x轴交点为A，B（点A在点B的左边），且两交点间的距离是2，求二次函数的表达

11、式；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点在（2）的条件下，垂直于y轴的直线y=n与抛物线交于点E，F若抛物线在点E，F之间的部分与线段EF所围成的区域内（包括边界）恰有7个整点，结合函数的图象，直接写出n的取值范围14已知梯形 中， ，且 ， ， （1）如图，P为 上的一点，满足BPC=A，求AP的长； （2）如果点P在 边上移动（点P与点D不重合），且满足BPE=A， 交直线 于点E，同时交直线DC于点Q 当点Q在线段DC的延长线上时，设 ，CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；写CE=1时，写出AP的长（不必写解答过程）15如图，在等腰直角三角形ABC中，ACB=90

12、，AC=BC=4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点（点E不与端点A，C重合），且AE=CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO=OD，连接DE，DF，GE，GF （1）求证：四边形EDFG是正方形； （2）当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值 16如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y x2+2 x 与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点E，直线CE交抛物线于点F(异于点C)，直线CD交x轴交于点G. （1）如图1，求直线CE的解析式和顶点D的坐标； （2）如图1，点P为直线C

13、F上方抛物线上一点，连接PC、PF，当PCF的面积最大时，点M是过P垂直于x轴的直线l上一点，点N是抛物线对称轴上一点，求FM+MN+NO的最小值； （3）如图2，过点D作DIDG交x轴于点I，将GDI沿射线GB方向平移至GDI处，将GDI绕点D逆时针旋转(0180)，当旋转到一定度数时，点G会与点I重合，记旋转过程中的GDI为GDI，若在整个旋转过程中，直线GI分别交x轴和直线GD于点K、L两点，是否存在这样的K、L，使GKL为以LGK为底角的等腰三角形？若存在，求此时GL的长. 17如图，抛物线y x2+2x+3与直线l交于A，B两点，点A是对称轴与x轴的交点 （1）请直接写出A，B两点的

14、坐标及直线l的函数表达式； （2）如图所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求ABP的面积的最大值； （3）如图所示，在对称轴AC的右侧作ACD30交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使CQD60？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由 18如图， 拋物线交y轴于点，交x轴于点、C两点，点D为线段上的一个动点（不与重合)，过点D作轴，交于点M，交抛物线于点N.（1）求抛物线的解析式；（2）连接和，当的面积最大时，求出点D的坐标及的最大面积；（3）在平面内是否存在一点P，使得以点A，M，N，P为顶点，以为边的四边形是菱形？若存在，请求出点P的

15、坐标；若不存在，请说明理由.答案解析部分1【答案】（1）解：根据题意可得： 甲地当年的年销售额为 万元，设利润为 ，则 ， 在甲地生成并销售 吨时利润为：把 代入，得： 万元， 在甲地生成并销售 吨时利润为30万元.（2）解：乙地当年的年销售额为 万元， 设利润为 ，则： 乙地生产并销售25吨时，利润最大为215万元.2【答案】（1）解：由题意，得 解得 所以 （2）解：由题意，得： ，所以 ，即当 时， 有最大值为6.6所以 （t）答：甲种水果的进货量为4t，乙种水果的进货量为6t时，获得的销售利润之和最大，最大利润是6.6万元3【答案】（1）解：由题意设 ， 将 ， 代入 ，得： ，解得

16、， ；设 ，将 代入 ，得： ，解得 ， ，函数 和 的表达式分别为 ， （2）解：设第 月每千克所获得的利润为 （元 ，由题意得： ， 当 时， 有最大值， . 销售这种水果，第4个月每千克所获得利润最大，最大利润是2.5元/千克.4【答案】（1）解：设A种钢笔每只x元，B种钢笔每支y元，由题意得 ，解得： ，答：A种钢笔每只15元，B种钢笔每支20元；（2）解：设购进A种钢笔z支，由题意得： ，42.4z45，z是整数z=43，44，90z=47，或46；共有两种方案：方案一：购进A种钢笔43支，购进B种钢笔47支，方案二：购进A种钢笔44只，购进B种钢笔46只；（3）解：W=（3020+

17、a）（684a）=4a2+28a+680=4（a ）2+729，40，W有最大值，a为正整数，当a=3，或a=4时，W最大，W最大=4（3 ）2+729=728，30+a=33，或34；答：B种铅笔销售单价定为33元或34元时，每月获利最大，最大利润是728元5【答案】（1）解：24y1 （2）解：1x0或4x5 （3）解：由题意，y1=m2+4m3，y2=（m+1）2+4（m+1）3 则y1y2=2m-3又m ，2m-30，即y1y26【答案】（1）解：设y=kx+b，（25，110）和（35，90）在函数图象上，解得，y=-2x+160；（2）解：设日销售利润为W元， 由题意，得：W=（x

18、-20）（-2x+160）， 整理，得：W=-2（x-50）2+1800，-20，即二次函数图象开口向下， 当x50时，W随x的增大而增大，20x49，当x=49时，W取得最大值，Wmax=1798元， 答：当售价定为每盒49元时，日销售利润最大，最大利润是1798元；（3）解：顾客每购买一盒草莓可以获得a元的现金奖励（a0），W=（x-20-a）（-2x+160）=-2x2+（2a+200）x-3200-160a，对称轴为x=a+50， 又日销售量不少于40盒， -2x+16060，x60，20x60，当a+5060 ，即a20时， ， 解得：a=116（不合题意，舍去）或a=4，当a+50

19、60，即a20时， 解得：a=0.8（不合题意，舍去），商家想在日销售量不少于40盒的基础上，使日销售最大利润为1568元时，a=4.7【答案】（1）解： 设经过ts后，P、Q两点的距离为cm，则ts后，PC=（7-2t） cm，CQ=5t cm，BC2+BC2=49+576=625，AB2=625BC2+BC2=AB2ABC是直角三角形，即C=90 在RtPCQ中，PC2+CQ2=PQ2，(7-2t)2+(5t)2=（）2解之：t=1或t=-（不符合题意，舍去）答：设经过1s后，P、Q两点的距离为cm； （2）解： 设经过ts后，SPCQ的面积为15cm2则ts后，PC=（7-2t） cm，

20、CQ=5t cm，SPCQ=PCCQ=（7-2t）5t=15解之：t1=2，t2=1.5，答：经过2或1.5s后，SPCQ的面积为15cm2； （3）解： 设经过ts后，PCQ的面积最大，则ts后，PC=（7-2t） cm，CQ=5t cm，SPCQ=PCCQ=（7-2t）5t=-5（t-1.75）2+a=-50，抛物线开口向下当t-1.75时，SPCQ的值最大，最大值为：答：当t-1.75时，PCQ的面积最大值为。 8【答案】（1）解：令y x2+6x+2中x0，则y2， N（0，2）；y x2+6x+2 （x+2）24，M（2，4）.观察函数图象，发现：当2x0时，抛物线C1在直线l的下方

21、，不等式 x2+6x+2kx+b的解集为2x0；（2）解：y x2+6x+2抛物线C1：的顶点为M（2，4）， 沿x轴翻折后的对称点坐标为（2，4）.抛物线C2的顶点与点M关于原点对称，抛物线C2的顶点坐标为（2，4），p2（2）4.抛物线C2与C1开口大小相同，开口方向相反，抛物线C2的解析式为y （x2）2+4 x2+6x2；（3）解：令y x2+6x+20，则x2 ， 即点E、F的坐标分别为（2 ，0）、（2+ ，0），点M（2，4）；同理点A、B、D的坐标分别为（2 ，0）、（2+ ，0）、（2，4），由点的对称性知，DM、EB相互平分，故四边形EMBD是平行四边形，经验证该四边形不是

22、矩形、菱形，故四边形EMBD是平行四边形.9【答案】（1）解：如图1， 抛物线yx2+2x+3与抛物线y x2+ x+1所围成的封闭曲线即为开口向下的“月牙线”（此题答案不唯一）；（2）解：在抛物线C2的解析式ymx2+4mx12m中， 当y0时，mx2+4mx12m0，m0，x2+4x120，解得，x16，x22，点M在点N的左边，M（6，0），N（2，0）；（3）解：存在，理由如下： 如图2，连接AM，PO，PM，PA，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同，可设抛物线C1的解析式ynx2+4nx12n（n0），抛物线C1与y轴的交点为A（0，3），12n3，n ，抛

23、物线C1的解析式为y x2+x3，可设点P的坐标为（t， t2+t3），SPAMSPMO+SPAOSAOM 6（ t2t+3）+ 3（t） 63 t2 t， （t+3）2+ ， 0，6t0， 根据二次函数的图象和性质知，当t3时，即点P的坐标为（3， ）时，PAM的面积有最大值，最大值为 10【答案】（1），直线l的解析式为：（2）解：如图，设，则点N是线段PM的三等分点，或或，解得：或；，m=0或3，当m=0时，则；当m=3时，则；（3）解：令x=0，则，OE=1，如图，满足题意的Q点在图中和的位置，此时，作于H，于G，OA=2，；，点Q的坐标为或.11【答案】（1）（2）解：由题意得：y3

24、x2+bx ， ， ， 解得： 或 ； ，2b2，解得： 即 （3）2m5或m 12【答案】（1）解：直线y=x-3经过B、C两点， B（3，0），C（0，-3），y=x2+bx+c经过B、C两点， ，解得 ，故抛物线的解析式为y=x2-2x-3；（2）解：如图1，y=x2-2x-3， y=0时，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，A（-1，0），OA=1，OB=OC=3，ABC=45，AC= ，AB=4，PEx轴，EMB=EBM=45，点P的横坐标为t，EM=EB=3-t，连接AM，SABC=SAMC+SAMB ， ；（3）解：如图2， y=x2-2x-3=（x-1）2-4，对称轴

25、为x=1，由抛物线对称性可得D（2，-3），CD=2，过点B作BKCD交直线CD于点K，四边形OCKB为正方形，OBK=90，CK=OB=BK=3，DK=1，BQCP，CQB=90，CQB+COB=180，O、C、Q、B四点共圆，OQB=OCB=45过点O作OHPC交PC延长线于点H，ORBQ交BQ于点I交BK于点R，OGOS交KB于G，OHC=OIQ=OIB=90，四边形OHQI为矩形，OQI=45，OQI=IOQ=45，OCQ+OBQ=180，OBG=OCS，OB=OC，BOG=COS，OBGOCS，QG=OS，GOB=SOC，SOG=90，ROG=QOI=45，OR=OR，OSROGR，

26、SR=GR，SR=CS+BR，BOR+OBI=90，IBO+TBK=90，BOR=TBK，tanBOR=tanTBK， ，BR=TK，CTQ=BTK，QCT=TBK，tanQCT=tanTBK，设ST=TD=m，SK=2m+1，CS=2-2m，TK=m+1=BR，SR=3-m，RK=2-m，在RtSKR中，SK2+RK2=SR2，（2m+1）2+（2-m）2=（3-m）2，解得m1=-2（舍去），m2= ；ST=TD= ，TK= ，tanTBK= ，tanPCD= ，过点P作PEx轴于E交CD于点F，CF=OE=t，PF= t，PE= t+3，P（t，- t-3），- t-3=t2-2t-3，

27、解得t1=0（舍去），t2= .MN=d= .13【答案】（1）解：=（m+2）24（m+1）=m20，不论m取何值，该方程总有实数根（2）解：由题意可知：y=x2（m+2）x+m+1=（x1）（xm1），A（1，0），B（m+1，0）两交点间距离为2，m+11=2m=2y=x24x+3（3）解：如图所示，n的取值范围是：1n214【答案】（1）解： ， ， ，又 梯形 中， ， ， ， ，设 ， ， ，解得 ， ， 的长1或4;（2）解：由易得 （如图）， ，即 ， 当CE=1时，PDQECQ， , 或 ， ，解得：AP=2或3 .15【答案】（1）证明：连接CD，如图1所示 ABC为等腰直

28、角三角形，ACB=90，D是AB的中点，A=DCF=45，AD=CD在ADE和CDF中， ，ADECDF（SAS），DE=DF，ADE=CDFADE+EDC=90，EDC+CDF=EDF=90，EDF为等腰直角三角形O为EF的中点，GO=OD，GDEF，且GD=2OD=EF，四边形EDFG是正方形（2）解：过点D作DEAC于E，如图2所示 ABC为等腰直角三角形，ACB=90，AC=BC=4，DE= BC=2，AB=4 ，点E为AC的中点，2DE2 （点E与点E重合时取等号）4S四边形EDFG=DE28当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为416【答案】（1）解：抛物线

29、y x2+2 x 与y轴交于点C， C(0， )，y x2+2 x (x2)2+ ，顶点D(2， )，对称轴x2，E(2，0)，设CE解析式ykx+b， ，解得： ，直线CE的解析式：y x ；（2）解：直线CE交抛物线于点F(异于点C)， x (x2)2+ ，x10，x23，F(3， )，过P作PHx轴，交CE于H，如图1，设P(a， a2+2 a ) 则H(a， a )，PH a2+2 a ( a )， a2+ ，SCFP PH3 a2+ ，当a 时，SCFP面积最大，作点M关于对称轴的对称点M，过F点作FGMM，FG1，即G(4， )，如图2M的横坐标为 ，且M与M关于对称轴x2对称，M

30、的横坐标为 ，MM1，MMFG，且FGMM，FGMM是平行四边形，FMGM，FM+MN+ONGM+NM+ON，根据两点之间线段最短可知：当O，N，M，G四点共线时，GM+NM+ON的值最短，即 FM+MN+ON的值最小，FM+MN+ONOG ；（3）解：如图3， 设CD解析式ymx+n，则 ，解得： ，CD解析式y x ，当y0时，x1.即G(1，0)，DG 2，tanDGI ，DGI60，DIDG，GDI90，GID30，GI2DG4I(5，0)，将GDI沿射线GB方向平移至GDI处，将GDI绕点D逆时针旋转(0180)，当旋转到一定度数时，点G会与点I重合，连接DI，GDDIDG2，DGI

31、DGI60，GDI是等边三角形，GI2，GK2DG4G(3，0)，如图4，当I与I、K重合，GKL为以LGK为底角的等腰三角形，LGKGLK30，GLDG+DL4 ；如图5，L与G重合，GKL为以LGK为底角的等腰三角形，GLGD+DL2 +2综上，GL的长为4 或2 +2.17【答案】（1）解： ， 函数的对称轴为： ，点A的坐标为（3，0）；令x=0，则y=3，点B的坐标为（0，3）；设直线AB的解析式为 ， ，解得 ，直线AB的解析式为 （2）解：连接PO， BO=3，AO=3，设P（n， t2+2t+3），SABP=SBOP+SAOP-SABO，SBPO= ，SAPO= n2+3n+

32、，SABO= ，SABP=SBOP+SAOP-SABO= n2+ n= （n ）2+ ，当x= 时，SABP的最大值为 ；（3）解：存在，设D点的坐标为（t， t2+2t+3）， 过D作对称轴的垂线，垂足为G，则DG=t-3，CG=6 （ t2+2t+3）= t2 2t+3，ACD=30，2DG=DC，在RtCGD中，CG= DG， （t 3）= t2-2t+3，t=3+3 或t=3（舍）D（3+3 ， 3），AG=3，GD=3 ，连接AD，在RtADG中，AD= ，AD=AC=6，CAD=120，在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点为Q点，此时，CQD= CAD=60，设Q（0，m），A

33、Q为圆A的半径，AQ2=OA2+QO2=9+m2，AQ2=AC2，9+m2=36，m=3 或m= 3 ，综上所述：Q点坐标为（0，3 ）或（0， 3 ）18【答案】（1）解：将点，点代入抛物线，.抛物线的解析式为：；（2）解：点，点，直线的解析式为：；设D，轴，点M在直线上，点N在抛物线上，的面积，当时，有最大值，最大值为8，此时D；（3）解：存在，如图，过点M作轴于点E，中，.根据题意，需要分两种情况讨论：时，如图，此时， 解得或t=0（舍），点P在y轴上，P；当时，如图，此时与互相垂直平分，设与交于点F，解得或（舍），P.综上，存在点P，使得以点A，M，N，P为顶点，以为边的四边形是菱形，此时P或.