2023年中考数学综合压轴题训练——待定系数法求二次函数解析式.docx

1、2023年中考数学综合压轴题训练待定系数法求二次函数解析式一、综合题1抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，3）.点P为抛物线yx2+bx+c上的一个动点.过点P作PDx轴于点D，交直线BC于点E.（1）求b、c的值； （2）设点F在抛物线yx2+bx+c的对称轴上，当ACF的周长最小时，直接写出点F的坐标； （3）在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若存在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由. 2如图，已知直线l： 经过A（2，0）和B（0，2）两点，它与抛物线在第一象限内相交于点

2、P，且的面积为1（1）求点P的坐标（2）求a的值，并写出抛物线的解析式3在平面直角坐标系 中，存在抛物线 以及两点 和 . （1）求该抛物线的顶点坐标;（2）若该抛物线经过点 ，求此抛物线的表达式; （3）若该抛物线与线段 只有一个公共点，结合图象，求m的取值范围. 4在平面直角坐标系内，二次函数y1（xa）2+a1（a为常数）（1）若函数y的图象经过点（1，0），求函数y1的表达式（2）若y1的图象与一次函数y2x+1的图象有两个交点，横坐标分别为1，2，请直接写出当y1y2时x的取值范围（3）已知（x0，n）在函数y1的图象上，当x02a0时，求证：n5在平面直角坐标系中，抛物线 过点 和

3、 . （1）求二次函数的表达式；（2）求二次函数图象的顶点坐标和对称轴.6如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，抛物线的顶点是，点B在x轴上（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是y轴上一点，点N是坐标平面内一点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，求点M的坐标（3）在抛物线上是否存在点Q，使，若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由7如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx3交x轴于A，B两点，点A，B的坐标分别为（3，0），（1，0），与y轴交于点C，点D为顶点.（1）求该抛物线的表达式；（2）点E是直线AC下方的抛物线上一点，且SACE2SACD，求点E的坐标；（3

4、）如图2，若点P是线段AC上的一个动点，DPQDAC，DPDQ，则点P在线段AC上运动时，D点不变，Q点随之运动.求当点P从点A运动到点C时，点Q运动的路径长.8如图1，在平面直角坐标系中，直线y x1分别与x轴、y轴交于点A，C，经过点C的抛物线y x2bxc与直线y x1的另一个交点为点D，点D的横坐标为6 （1）求抛物线的表达式（2）M为抛物线上的动点N为x轴上一点，当四边形CDMN为平行四边形时，求点M的坐标；如图2，点M在直线CD下方，直线OM（OMCD的情况除外）交直线CD于点B，作直线BD关于直线OM对称的直线B ，当直线B 与坐标轴平行时，直接写出点M的横坐标9已知，平面直角坐

5、标系中，抛物线 交y轴于点A，交x轴于点B、C， 为等边三角形， （1）如图1，求抛物线解析式（2）如图2，P为AC上方抛物线上一点，过P作 交AC于D，设点P的横坐标为t，PD的长度为d，求d与t的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，在x轴上点B左侧取一点E，使得点E在AD的垂直平分线上，连接ED，若 的周长为36，求d的值 10已知一次函数y= x12的图象分别交x轴，y轴于A，C两点。 （1）求出A，C两点的坐标； （2）在x轴上找出点B,使ACBAOC，若抛物线过A，B，C三点，求出此抛物线的解析式； （3）在(2)的条件下，设动点P、Q分别从A，B两点同时出发，以相同速度沿

6、AC、BA向C，A运动，连接PQ，设AP=m，是否存在m值，使以A，P，Q为顶点的三角形与ABC相似?若存在，求出所有m值；若不存在，请说明理由。 11如图所示，抛物线 经过 、 两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C. （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为M，求四边形 的面积；（3）若点Q在y轴上，点P在抛物线上.是否存在以点A、B、P、Q为顶点的平行四边形，若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标.12如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点，且 （1）求抛物线的解析式和顶点 的坐标； （2）判断 的形状，证明你的结论； （3）点 是 轴上的一个动点，当 的周

7、长最小时，求 的值 13如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y轴交于点C. （1）求抛物线的表达式； （2）如图，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、 Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ.若点P的横坐标为 ，求DPQ面积的最大值，并求此时点D 的坐标；直尺在平移过程中，DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.14已知抛物线与轴交于点和点，且过点（1）求该抛物线的解析式及其对称轴；（2）

8、连接，若抛物线上有一点满足，求点的坐标；（3）若点是轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，当取最小值时，求点的坐标及这个最小值15如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：yax2+bx1经过点A（2，1）和点B（1，1），抛物线C2：y2x2+x+1，动直线xt与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M（1）求抛物线C1的表达式； （2）当AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值； （3）在（2）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ1且KNQBNP时，请直接写出点Q的坐标

9、 16已知抛物线 （a、b为常数）的顶点为C，与直线 （k、h为常数）相交于A、B两点.当k=3、h =6时，点A、B恰好分别在x轴、y轴上. （1）求a、b的值；（2）作y轴的平行线，与线段AB和抛物线的交点纵坐标分别为 、 .试比较 与 的大小，并说明理由； （3）是否存在实数h，使ABC为直角三角形？若存在，求出h的值；若不存在，请说明理由.17如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(2，0)，B(-6，0)两点（1）求该抛物线的解析式；（2）若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由（3）在坐标平面内

10、是否存在一点P，使得Q、B、A、P围成的图形是平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由18如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，且OC2OA，抛物线的对称轴x轴交于点D.（1）求抛物线的解析式； （2）点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P点的横坐标为m，且SCDP SABC，求m的值； （3）K是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使B、C、K、H为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，说明理由. 答案解析部分1【答案】（1）解：把A、C点的坐标代入

11、抛物线的解析式得： 解得： ；（2）解：点F在抛物线yx2+bx+c的对称轴上 AFBF连接BC，直线BC与抛物线的对称轴交于点F，连接AF，如图1AF+CFBF+CFBC，即AF+CF的值最小AC为定值此时AFC的周长最小，由（1）知，b-2，c-3，抛物线的解析式为：yx2-2x-3对称轴为x1当y0，得x2-2x-30解得：x-1，或x3B（3，0）C（0，-3）设直线BC的解析式为：ykx+b（k0），得解得： 直线BC的解析式为：yx-3当x1时，yx-3-2F（1，-2）；（3）解：设P（m，m2-2m-3） 点P在第一象限m3过P作PHBC于H，过D作DGBC于G，如图2：根据题

12、意得：PH5DG，E（m，m-3）PEm2-3m，DEm-3PHEDGE90，PEHDEGPEHDEGm3（舍），或m5点P的坐标为P（5，12）故存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍，其P点坐标为（5，12）.2【答案】（1）解：直线经过A（2，0）和B（0，2）两点，解得：直线的解析式为：，设点的坐标为，的面积为1，把代入得，点的坐标为，（2）解：由（1）可知点的坐标为将点的坐标代入，3【答案】（1）解： 是顶点式，顶点坐标为 ； （2）解：抛物线经过点 ， m=9m +2，解得： ，（3）解：如图1， 当抛物线开口向上时，抛物线顶点在线段 上时， ；当m2时，直线

13、x=1交抛物线于点（1，m+2）,交点位于点B上方，所以此时线段 与抛物线一定有两个交点，不符合题意；如图2，当抛物线开口向下时，抛物线顶过点 时， ；直线x=-3交抛物线于点（-3，9m+2）,当 时，9m+2m，交点位于点A下方，直线x=1交抛物线于点（1，m+2）,交点位于点B上方，所以此时线段 与抛物线一定有且只有一个交点，符合题意；综上所述，当 或 时，抛物线与线段 只有一个公共点.4【答案】（1）解：函数y1的图象经过点（1，0），（1a）2+a10，解得：a0或1，函数y1的表达式为y1x21或y1x22x+1（2）解：根据题意作出草图如下，由函数图象可知，当y1y2时x的取值范

14、围是：x1或x2（3）证明：x02a，a，抛物线的对称轴为直线xa，抛物线开口方向向上，x0和x2a时的函数值相同，由图象可知当x0时的函数值小于当xx0时的函数值，即：na2+a1，a2+a1，n5【答案】（1）解：把点 和 代入 中， 得： ，解得： ， 抛物线的解析式为 （2）解： ， 该抛物线的顶点为 ，对称轴为直线 6【答案】（1）解：点在直线上，解得，直线解析式为，点B在x轴上，解得，抛物线的顶点是，设抛物线的解析式为，将代入，得：，解得，即；（2）解：当时， 如图，过点作轴于点，轴于点，即，解得，当时，如图，即，解得，综上所述点M的坐标为：或；（3）解：（3）存在，或7【答案】（

15、1）解：将A（-3，0），B（1，0）分别代入抛物线y=ax2+bx+3可得： ，解得 ；抛物线解析式为y=-x2-2x+3；（2）解：如图所示，过E作EFx轴交AC于点F， 又y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，D（-1，4）.A（-3，0），C（0，3）， ， ， ， ，ACD=90，设点E（m，-m2-2m+3），直线AC的表达式为y=kx+n，将A（-3，0），C（0，3）分别代入y=kx+n可得： ，解得 ，直线AC表达式为y=x+3，F（-m2-2m，-m2-2m+3），EF=m+m2+2m=m2+3m，SACE= (yC-yA)EF，SACD= ACCD=3，SACE= （

16、yC-yA)EF =2SACD=6， (m2+3m)=6，解得m1=1，m2=-4，E（1，0）或（-4，-5）；（3）解：如图2所示， 当点P与点A重合时，ADQ=DCA=90，DAC+ADC=90=ADC+QDC，DAC=QDC，又DCA=DCQ=90，ADCDQC， ， ，当点P与点C重合时，QDC=ACD=90，DQCQ，DAC=QPD，QDP=ACD=90，ADCPQD， ，DQ= ，DQ=CQ，四边形DQQC是平行四边形，QQ=CD= .8【答案】（1）解：令x0，则y x11， C点坐标为（0，1），令y0，则 ， ，A点坐标为（ ，0），令x6，则y ，D点坐标为（ ），将C，

17、D两点坐标代入到抛物线解析式中得， ，解得 ，抛物线的表达式为：y ；（2）解：设N（n，0）， 四边形CDMN为平行四边形， ，由平移与坐标关系可得M（n6， ），点M在抛物线上， ，n29n+40， ，点M的坐标为（ ， ）或（ ， ）；第一种情况：如图1，当B x轴时，分别过B，D作x轴的垂线，垂足分别为H，Q，在直角ADQ中，AQ6 ，DQ ，由勾股定理得： ，tanDAQ ，cosDAQ ，BAHDAQ，cosBAH ，直线BD与直线B 关于直线OM对称，DBM BM，B x轴，HOB BMDBM，ABAO ， ，AH ，OHAHAO ，令x ，则y ，B点坐标为（ ， ），设直线O

18、B的解析式为ykx，代入点B得，k ，直线OB的解析式为y x，联立 ，解得 ， ，点M的横坐标为3或 ，第二种情况，如图2，当B y轴时，设B 交x轴于G，COBOBG，直线BD与直线B 关于直线OM对称，CBOOBGCOB，CBCO1，过C作CEBG于E，CE/x轴，BCECAO，tanCAO ，cosCAO ，cosBCE ，CE ， ，CEBG，BGx轴，CEGBGOCOG90，四边形CEGO为矩形，EGCO1，CEOG ，BGBEEG ，点B的坐标为（ ），直线OB的解析式为y2x，联立 ，化简得，x211x40， ，点M在直线CD下方，x6，x ，点M的横坐标为 ，即点M的横坐标为

19、3或 或 9【答案】（1）解：设二次函数解析式为 为等边三角形， ， ， ， ，代入解得 ，（2）解：延长PD交x轴于H， 设AC解析式为： 过 ， ，代入解得 ， （3）解：连接AE，延长CA至K，使 ，连接EK， 点E在AD的垂直平分线上 ， 为等边三角形 的周长为36 中， ， （舍）， ，由（2）得 10【答案】（1）解： 在一次函数y= x12中，当x=0时，y=12；当y=0时,x=16,即A(16,0),C(0,12)（2）解：过C作CBAC，交x轴于点B，显然，点B为所求。 则OC2=OAOB,此时OB=9,可求得B(9,0)；此时经过A.B. C三点的抛物线的解析式为y= x

20、2+ x12（3）解：当PQBC时,如图(1),APQACB；则有： = ,即 = ，解得m= .当PQAB时,APQACB；有： = ,即 = ，解得m= .11【答案】（1）解： 把 和 代入解析式得， ，解得 .所求解析式为 .（2）解：由（1）可求顶点 ， ， ， .（3）存在， ， ， 12【答案】（1）解： 点在抛物线上， ，解得 ， 抛物线解析式为 ， ， 点坐标为 ；（2）解： 为直角三角形，证明如下： 在 中，令 可得 ，解得 或 ， 为 ，且 为 ， ， ， ，由勾股定理可求得 ， ，又 ， ， 为直角三角形；（3）解： ， 点关于 轴的对称点为 ，如图，连接 ，交 轴于点

21、 ，则 即为满足条件的点，设直线 解析式为 ，把 、 坐标代入可得 ，解得 ， 直线 解析式为 ，令 ，可得 ， 13【答案】（1）解：将A（-1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得： ，解得： ，抛物线的表达式为y=-x2+2x+3（2）解：（I）当点P的横坐标为- 时，点Q的横坐标为 ， 此时点P的坐标为（- ， ），点Q的坐标为（ ，- ）设直线PQ的表达式为y=mx+n，将P（- ， ）、Q（ ，- ）代入y=mx+n，得： ，解得： ，直线PQ的表达式为y=-x+ 如图，过点D作DEy轴交直线PQ于点E，设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-x+

22、），DE=-x2+2x+3-（-x+ ）=-x2+3x+ ，SDPQ= DE（xQ-xP）=-2x2+6x+ =-2（x- ）2+8-20，当x= 时，DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（ ， ）（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，点P的坐标为（t，-t2+2t+3），点Q的坐标为（4+t，-（4+t）2+2（4+t）+3），利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y=-2（t+1）x+t2+4t+3设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），DE=-x2+2x+3-2（t+1）x+t2+4t+3=-x

23、2+2（t+2）x-t2-4t，SDPQ= DE（xQ-xP）=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t=-2x-（t+2）2+8-20，当x=t+2时，DPQ的面积取最大值，最大值为8假设成立，即直尺在平移过程中，DPQ面积有最大值，面积的最大值为814【答案】（1）解：将A（-3，0）、C（2，5）代入到，得93b+c=04a+2b+c=5，解得：，抛物线的解析式为：，对称轴，即对称轴为；（2）解：设P点坐标为：（n，），ACP=90，ACP是直角三角形，根据勾股定理有：，根据A（-3，0）、C（2，5）、（n，），则有，根据，可得：，充分利用平方差公式，化简得：，则有n=-5或者2，当n=

24、2时，p点与C点重合，不符合题意舍去，n=-5，此时，即P点坐标为（-5，12）；（3）解：令y=0，可得，解此方程即可得到抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为：（1，0），则有OB=1，设对称轴与x轴交于D点，则有MDAB，则D点坐标为（-1，0），即DO=1，如图，在线段AD上取一点E，使得ED=OB，连接EM，则有ED=OB=1，EO=ED+OD=2，即E点坐标为（-2，0），MQMD，可知四边形MQDO是矩形，MD=QO，MQ=DO=1，MDE=QOB=90，DE=OB，RtMDERtQOB，BQ=ME，MC+MQ+BQ=MC+1+ME，当M、C、E三点共线时，MC+MQ+BQ的值最小，

25、如下图，M、C、E三点共线，则有ME+1+MC=1+EC，E（-2，0）、C（2，5），则MC+MQ+BQ的最小值为：+1，根据E（-2，0）、C（2，5），设直线EC的解析式为，则有：2k+b=02k+b=5，解得k=54b=52，即EC的解析式为，当x=-1时，y=，即M点坐标为：（-1，）即M点的坐标为：（-1，），最小值为：+115【答案】（1）解：抛物线C1：yax2+bx1经过点A（2，1）和点B（1，1） 解得： 抛物线C1：解析式为yx2+x1（2）解：动直线xt与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M 点N的纵坐标为t2+t1，点M的纵坐标为2t2+t+1MN（2t2+t+

26、1）（t2+t1）t2+2当ANM90，ANMN时，由已知N（t，t2+t1），A（2，1）ANt（2）t+2MNt2+2t2+2t+2t10（舍去），t21t1当AMN90，AMMN时，由已知M（t，2t2+t+1），A（2，1）AMt（2）t+2，MNt2+2t2+2t+2t10，t21（舍去）t0故t的值为1或0；（3）解：由（2）可知t1时M位于y轴右侧，根据题意画出示意图如图： 易得K（0，3），B、O、N三点共线A（2，1），N（1，1），P（0，1）点K、P关于直线AN对称设半径为1的K与y轴下方交点为Q2，则其坐标为（0，2）Q2与点O关于直线AN对称Q2是满足条件KNQBNP

27、则NQ2延长线与K交点Q1，Q1、Q2关于KN的对称点Q3、Q4也满足KNQBNP由图形易得Q1（1，3）设点Q3坐标为（m，n），由对称性可知Q3NNQ1BN ，K半径为1解得 或 同理，设点Q4坐标为（m，n），由对称性可知Q4NNQ2NO ，解得 或 满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（1，3）、（ ， ）、（ ， ）16【答案】（1）解：当k=3、h=6时，直线为y=3x+3. 当x=0时，y=3，则B（0，3）；当y=0时，x=-1，则A（-1，0）.把A（-1，0）、B（0，3）代入y=-x2+ax+b，得： ，解得： ，所以a、b的值分别为2和3；（2）解：y2y1.理由如下：

28、设A（xA，yA），B（xB，yB）（xAxB），平行y轴的线上点的横坐标为x0（xAx0xB）.令y=（-x2+2x+3）-（kx-k+h）=-x2+（2-k）x+（3+k-h）.当y=0时，即：-x2+（2-k）x+（3+k-h）=0的两个解分别为x=xA和x=xB.由二次函数的交点式，可得：y=-x2+（a-k）x+（b+k-h）=-（x-xA）（x-xB）.又xAx0xB，y0=-（x0-xA）（x0-xB）0，即：y0=y2-y10，故y2y1.（3）解：y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，故C（1，4）. 连接AC、BC，过C作x轴的平行线EF，分别过A、B作y轴的平行线，与

29、上述直线相交于点E、F（如图1）.当ACB=90时，ACE+BCF=90，CBF+BCF=90，ACE=CBF，又E=F，AECCFB， ， ， ，即 ，（xA-1）（xB-1）=-1，xAxB-（xA+xB）+2=0，将y=-x2+2x+3与y=kx-k+h联立有x2+（k-2）x+h-k-3=0，xA、xB为方程两根，故xA+xB=-（k-2），xAxB=h-k-3，h-k-3+k-2+2=0，h=3；当ABC=90时，连接AB、BC，过B作y轴的平行线MN，分别过C、A作x轴的平行线，与上述直线相交于点M、N（如图2），BCM+CBM=90，CBM+ABN=90，CBM=ABN，又M=N

30、，BCMABN， ，即： ，yB=-（xB-1）2+4，k （k0）xB1+ ，yB4 又点B在直线AB上，4 k（1+ ）k+h，h3 ，此种情况的h不是定值.同理可得，当CAB=90时，h也不是定值.综上所述，当实数h=3时，ABC一定为直角三角形.17【答案】（1）解：抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（-6，0）两点，0=4+2b+c0=366b+c，解得：b=4c=12，抛物线解析式为：（2）解：存在(如图1) Q(-2，8)，连接BC交抛物线对称轴于点Q，此时QAC的周长最小.抛物线交y轴于C点，c=12，即C（0，12），又B（-6，0），设：直线BC的解析式为

31、y=kx+b，则12=b0=6k+b，解得：k=2b=12，直线BC的解析式为y=2x+12，又抛物线的对称轴为直线x=-2，当x=-2时代入y=2x+12，解得y=8，所以Q(-2，8)；（3）解：存在，(6，8)或(-2，-8)或(-10，8)18【答案】（1）解：A（2，0），B（8，0） OA2，OB8，OC2OA，OC4，点C（0，4）设ya（x+2）（x8）经过点C，416a，a ，抛物线解析式为：y （x+2）（x8） x2+ x+4；（2）解：如图1， 由题意：点D（3，0），OD3，设P（m， m2+ m+4），（m0， m2+ m+40）C（0，4），直线PC的解析式可表示

32、为：y（ m+ ）x+4，设直线PC与对称轴的交点为E，则点E（3， m+ ），DE m+ ，SABC ABOC，SABC 10420，SCDP SABC， （ m+ ）m 20，m14或m2 ；（3）解：若BC为边，CBK90时，如图2，将BC绕点B逆时针旋转90得到BC， BCBC，CBC90，CBO+C90，CBO+OCB90，OCBEBC，且BCBC，BECBOC90，BCOBCE（AAS）BEOC4，OBEC8，点C（4，8），且B（8，0）直线BC解析式为：y2x16，2x16 x2+ x+4，x110，x28，点K（10，36），xCxBxHxK，08xH（10），xH18， ，yH32，点H（18，32），若BC为边，BCK90时，同理可求：直线CK的解析式为：y2x+4，2x+4 x2+ x+4，x12，x20，点K坐标（2，0） ，082xH，xH6， ，yH4，点H（6，4），若BC为对角线，B、C、K、H为顶点的四边形成为矩形，BCKH，BC与KH互相平分，B（8，0），C（0，4）BC中点坐标（4，2），BC 4 ，设点K（x， x2+ x+4）（x4）2+（ x2+ x+42）2（2 ）2，x（x2）2（x8）0，x10，x22，x38，K（2，6），且KH的中点坐标（4，2），点H（6，2）综上所述：点H坐标为（6，4），（6，2），（18，32）.