2023年高考数学(理)一轮复习教学案第2章2.docx

1、2.9函数的零点与方程的解【考试要求】1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解【知识梳理】1函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)0有实数解函数yf(x)有零点函数yf(x)的图象与x轴有公共点(3)函数零点存在定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根2

2、二分法对于在区间a，b上图象连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)连续函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)0.()(3)函数yf(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点()(4)二次函数yax2bxc(a0)，若b24ac0，则f(x)无零点()【教材题改编】1函数f(x)ax2x1有且仅有一个零点，则实数a的值为()A B0 C. D0或答

3、案D解析当a0时，f(x)x1，令f(x)0得x1，故f(x)只有一个零点为1.当a0时，则14a0，a.综上有a0或.2已知函数f(x)则f(x)的零点为_答案2，e解析或解得x2或xe.3方程2xxk在(1,2)内有解，则实数k的取值范围是_答案(3,6)解析设f(x)2xx，f(x)在(1,2)上单调递增，又f(1)3，f(2)6，3k6.题型一函数零点所在区间的判定例1(1)函数f(x)xln x3的零点所在的区间为()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)答案C解析f(x)在(0，)上单调递增，且f(2)ln 210，故f(x)在(2,3)上有唯一零点(2)若abc，则

4、函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，)内答案A解析函数yf(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于abc，则ab0，ac0，bc0，f(b)(bc)(ba)0.所以f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，f(x)，令f(x)0x3，f(x)00x0，f(1)0，f(x)在内无零点又f(e)10，f(x)在(1，e)内有零点思维升华确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有

5、f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断跟踪训练1(1)(2022太原模拟)利用二分法求方程log3x3x的近似解，可以取的一个区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)答案C解析设f(x)log3x3x，当x0时，f(x)，f(1)2，又f(2)log3210，故f(2)f(3)0，故方程log3x3x在区间(2,3)上有解，即利用二分法求方程log3x3x的近似解，可以取的一个区间是(2,3)(2)已知2a3b4，函数ylogax与yxb的交点为(x0，y0)，且x0

6、(n，n1)，nN*，则n_.答案2解析依题意x0为方程logaxxb的解，即为函数f(x)logaxxb的零点，2a3b4，f(x)在(0，)上单调递增，又f(2)loga22b0，x0(2,3)，即n2.题型二函数零点个数的判定例2(1)(2022渭南模拟)若函数yf(x)(xR)满足f(x1)f(x)，且x1,1时，f(x)1x2，已知函数g(x)则函数h(x)f(x)g(x)在区间6,6内的零点个数为()A14 B13 C12 D11答案C解析因为f(x1)f(x)，所以函数yf(x)(xR)是周期为2函数，因为x1,1时，f(x)1x2，所以作出它的图象，则yf(x)的图象如图所示(

7、注意拓展它的区间)再作出函数g(x)的图象，容易得出交点为12个(2)函数f(x)cos x的零点个数为_答案6解析令36x20，解得6x6，f(x)的定义域为6,6令f(x)0得36x20或cos x0，由36x20得x6，由cos x0得xk，kZ，又x6,6，x为，.故f(x)共有6个零点【备选】函数f(x)2x|log2x|1的零点个数为()A0 B1 C2 D4答案C解析令f(x)0，得|log2x|x，分别作出y|log2x|与yx的图象(图略)，由图可知，y|log2x|与yx的图象有两个交点，即原函数有2个零点思维升华求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f(x)0，方程有

8、多少个解，则f(x)有多少个零点；(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数跟踪训练2(1)函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，当0x2，解得m21，所以实数m的取值范围为(21，)命题点2根据函数零点范围求参数例4(2022北京顺义区模拟)已知函数f(x)3x.若存在x0(，1)，使得f(x0)0，则实数a的取值范围是()A. B.C(，0) D.答案B解析由f(x)3x0，可得a3x，令g(x)3x，其中x(，1)，由于存在x0(，1)，使得f(x0)0，则实数a的取值范围即为

9、函数g(x)在(，1)上的值域由于函数y3x，y在区间(，1)上均单调递增，所以函数g(x)在(，1)上单调递增当x(，1)时，g(x)3x0，所以函数g(x)在(，1)上的值域为.因此实数a的取值范围是.【备选】1函数f(x)kx2有两个零点，则实数k的值为_答案1解析由f(x)kx2x，函数f(x)kx2有两个零点，即函数ykx只有一个零点x0，且x00.即方程kx0有且只有一个非零实根显然k0，即x22x有且只有一个非零实根即二次函数yx22x的图象与直线y有且只有一个交点(横坐标不为零)作出二次函数yx22x的图象，如图因为0，由图可知，当1时，函数yx22x的图象与直线y有两个交点，

10、不满足条件当1，即k1时满足条件当1时，函数yx22x的图象与直线y无交点，不满足条件2若函数f(x)(m2)x2mx2m1的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是_答案解析依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，m需满足即解得m.思维升华已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解跟踪训练3(1)已知函数f(x)exax2(aR)有

11、三个不同的零点，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析令f(x)exax20，显然x0，a，令g(x)(x0)，则问题转化为“若ya的图象与yg(x)的图象有三个交点，求a的取值范围”g(x)，令g(x)0，解得x2，当x2时，g(x)0，g(x)在(，0)，(2，)上单调递增，当0x2时，g(x)，故实数a的取值范围是.(2)已知函数f(x)log2(x1)m在区间(1,3上有零点，则m的取值范围为()A. B.(0，) C.(0，) D.答案D解析由于函数ylog2(x1)，ym在区间(1,3上单调递增，所以函数f(x)在(1,3上单调递增，由于函数f(x)log2(x1)

12、m在区间(1,3上有零点，则即解得m0.因此，实数m的取值范围是.课时精练1函数f(x)x3x2的零点所在的区间为()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)答案B解析由题意知，f(x)x3x2，f(0)4，f(1)1，f(2)7，因为f(x)在R上连续且在R上单调递增，所以f(1)f(2)0，f(x)在(1,2)内有唯一零点2设函数f(x)4x3x8，用二分法求方程4x3x80近似解的过程中，计算得到f(1)0，则方程的近似解落在区间()A. B. C. D.答案A解析取x12，因为f(2)4828260，所以方程近似解x0(1,2)，取x2，因为f4870，所以方程近似解x0

13、.3已知函数f(x)则f(x)的零点为()A1,2 B1，2C2，2 D1,2，2答案A解析当x2时，令f(x)ex110，即ex11，解得x1，满足x2；当x2时，令f(x)log30，则1，即x24，得x2(舍)或x2.因此，函数yf(x)的零点为1,2.4(2022武汉质检)若函数f(x)x2ax1在区间上有零点，则实数a的取值范围是()A(2，) B2，)C. D.答案D解析由题意知方程axx21在上有实数解，即ax在上有解，设tx，x，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是.5若函数f(x)存在2个零点，则实数m的取值范围为()A3,0) B1,0)C0,1) D3，)答案A解析因

14、为函数f(x)在(1，)上单调递增，且f(2)0，即f(x)在(1，)上有一个零点，函数f(x)存在2个零点，当且仅当f(x)在(，1上有一个零点，x1时，f(x)0m3x，即函数y3x在(，1上的图象与直线ym有一个公共点，而y3x在(，1上单调递减，且有33x0，则当3m0时，直线ym和函数y3x(x1)的图象有一个公共点6(2022重庆质检)已知函数f(x)xlog2x，设0abc，且满足f(a)f(b)f(c)0，若实数x0是方程f(x)0的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是()Ax0cCx0b答案B解析f(x)xlog2x在(0，)上单调递减，由f(a)f(b)f(c)0，得f(

15、a)0，f(b)0，f(c)0，f(b)0，f(c)0.x0a或bx0c不成立7函数f(x)sin x2|sin x|，x0,2的图象与直线yk的交点个数不可能是()A1 B2 C4 D6答案D解析由题意知，f(x)sin x2|sin x|，x0,2，f(x)在坐标系中画出函数f(x)的图象如图所示由其图象知，直线yk与yf(x)的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.8(2022北京西城区模拟)若偶函数f(x)(xR)满足f(x2)f(x)且x0,1时，f(x)x，则方程f(x)log3|x|的根的个数是()A2 B3 C4 D多于4答案C解析f(x)log3|x|的解的个数，等价于yf(

16、x)的图象与函数ylog3|x|的图象的交点个数，因为函数f(x)满足f(x2)f(x)，所以周期T2，当x0,1时，f(x)x，且f(x)为偶函数，在同一平面直角坐标系中画出函数yf(x)的图象与函数ylog3|x|的图象，如图所示显然函数yf(x)的图象与函数ylog3|x|的图象有4个交点9若函数f(x)x3ax2bxc是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数：f(x)_.答案x3x(答案不唯一)解析f(x)x3ax2bxc为奇函数，故ac0，f(x)x3bxx(x2b)有三个不同零点，b0，f(x)x3x满足题意10函数f(x)若函数yf(x)m有三个不同的零点，则实数m的

17、取值范围是_答案(1,2)解析画出函数yf(x)与ym的图象，如图所示，注意当x1时，f(1)1212，f(0)1，函数yf(x)m有三个不同的零点，函数yf(x)与ym的图象有3个交点，由图象可得m的取值范围为1m1)，f(x)，设切点坐标为(t，ln t)，则，解得te.k2.则直线yax的斜率a.12(2022济南质检)若x1是方程xex1的解，x2是方程xln x1的解，则x1x2_.答案1解析x1，x2分别是函数yex，函数yln x与函数y的图象的交点A，B的横坐标，所以A，B两点关于yx对称，因此x1x21.13已知函数f(x)2xx1，g(x)log2xx1，h(x)x3x1的

18、零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小为()Acba BbcaCcab Dacb答案B解析令f(x)0，则2xx10，得x0，即a0，令g(x)0，则log2xx10，得x1，即b1，因为函数h(x)x3x1在R上为增函数，且h(0)10，所以h(x)在区间(0,1)上存在唯一零点c，且c(0,1)，综上，bca.14(2022厦门模拟)已知函数f(x)则函数yf(f(x)的所有零点之和为_答案解析当x0时，x10，x1，由f(x)1，可得x11或log2x1，x2或x；当x0时，log2x0，x1，由f(x)1，可得x11或log2x1，x0或x2；函数yf(f(x)的所有零点为2，0,2

19、，所有零点的和为202.15(2022南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是_(填序号)f(x)2xx；g(x)x2x3；f(x)1；f(x)|log2x|1.答案解析对于，若f(x0)x0，则0，该方程无解，故中函数不是“不动点”函数；对于，若g(x0)x0，则x2x030，解得x03或x01，故中函数是“不动点”函数；对于，若f(x0)x

20、0，则1x0，可得x3x010，且x01，解得x0，故中函数是“不动点”函数；对于，若f(x0)x0，则|log2x0|1x0，即|log2x0|x01，作出y|log2x|与yx1的函数图象，如图，由图可知，方程|log2x|x1有实数根x0，即|log2x0|x01，故中函数是“不动点”函数16已知M|f()0，N|g()0，若存在M，N，使得|n，则称函数f(x)与g(x)互为“n度零点函数”若f(x)32x1与g(x)x2aex互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为_答案解析由题意可知f(2)0，且f(x)在R上单调递减，所以函数f(x)只有一个零点2，由|2|1，得1，要使函数g(x)在区间(1,3)上存在零点，只需a.