2023版高中数学新同步精讲精炼（必修第二册） 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系（精练）（教师版含解析）.docx

1、8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系(精练)【题组一 平面及其性质】1(2021上海杨浦 )两个平面最多可以将空间分为_部分.【答案】4【解析】两个平面的位置关系有平行和相交两种，当两个平面平行时，它们可将空间分成3部分，当两个平面相交时，它们可将空间分成4部分，所以两个平面最多可以将空间分为4部分.故答案为：42(2021上海宝山 )一条直线和直线外三点最多可以确定_个平面.【答案】4【解析】( 1 ) 如果直线外三点共线，且所在直线与已知直线平行，可确定 1 个平面；如果直线外三点共线 , 且所在直线与已知直线相交 , 可确定 1 个平面 ； ( 2 ) 如果直线外三点共线，且所在直线

2、与已知直线异面，可确定 3 个平面；如果直线外三点不共线，连接任意两点的 3 条直线中，两条与已知直线均异面，第三条与已知直线平行，可确定 3 个平面；如果直线外三点不共线，连接任意两点的 3 条直线中，两条与已知直线均异面，第三条与已知直线相交，可确定 3 个平面；如果直线外三点不共线，连接任意两点的 3 条直线中，两条与已知直线均异面 , 第三条与已知直线相交，可确定 3 个平面；如果直线外三点不共线，连接任意两点的 3 条直线中，一条与已知直线均异面，其它两条与已知直线相交，可确定 3 个平面； ( 3 ) 如果直线外三点不共线，且任意两点所在直线与已知直线均异面，可确定 4 个平面；综

3、上所述，最多可确定4个平面.故答案为：43(2021上海奉贤高二月考)互相平行的四条直线，每两条确定一个平面，最多可确定_个平面；【答案】6【解析】解：当4条直线中任意三条直线都不共面时，每两条确定一个平面，平面最多，如图正方体的四条侧棱，所以最多可确定6个面.故答案为：6.4(2021上海闵行 )空间中三个平面最多可以将空间分为_部分【答案】8【解析】如图所示，空间中三个平面最多可以将空间分为8部分.故答案为：8.5(2021全国高二课时练习)过空间一点，作已知直线的平行线，有且只有_条.【答案】1【解析】由空间中直线的位置关系可知过空间一点，作已知直线的平行线，有且只有1条，故答案为：1.

4、【题组二 数学符号的表示】1(2021广东实验中学高一期中)已知，是不同的点，是不同的直线，是不同的平面，则下列数学符号表示的不是基本事实(公理)的选项为( )A，B，存在唯一直线，且C，D确定一个平面且，【答案】D【解析】由公理一可知：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，故选项为公理，由公理三可知：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故选项是公理，由平行公理得：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故选项是公理，不同的两直线平行，确定一个平面，且两直线在平面内，为判定定理，非公理，故选项错误故选：2(2021福建宁德高一期中)如图所示，

5、点，线，面之间的数学符号语言关系为( )A，B，C，D，【答案】B【解析】由图可知：，故选：B3(2021广东西樵高中高一月考)(多选)下图中图形的画法正确的是( )A点A在平面内B直线在平面内C直线交平面于点PD三个平面两两相交【答案】AC【解析】点在表示平面的平行四边形内部，表示点在面内，A正确；线在面内，表示直线的线段必须画在表示平面的平行四边形内部，B错；直线与平面相交，有一个公共点，C正确；三个平面两两相交，有一条交线或者有三条交线，三条交线可能交于同一点也可能互相平行，D中没有三线平行的情形，D错故选：AC4(2021江苏沛县教师发展中心高一月考)(多选)下图中图形的画法正确的是(

6、 )A点在平面内B直线在平面内C直线交平面于点D三个平面两两相交【答案】ACD【解析】由点与平面、直线与平面、平面与平面的画法可知对，B答案直线应画在平行四边形里面.故选：5(2021全国高一课时练习)如图所示，用符号语言表示以下图形中点、直线、平面之间的位置关系：点，在直线上_；直线在平面内_；点在直线上，点在平面内_.【答案】， ， 【解析】根据点、线、面位置关系及其表示方法可知：，；，.故答案为：，；，6(2021北京顺义高一期末)已知四棱锥的条棱长都相等，任取其中条棱的中点做平面，截该四棱锥所得的平面图形可能是 _(写出所有正确结论的序号).等腰三角形；等腰梯形；正方形；正五边形.【答

7、案】【解析】如下图所示，连接、交于点，则为、的中点，则，同理可得，故，所以，因为平面四边形的四条边相等，故四边形为正方形.已知四棱锥的条棱长都相等，任取其中条棱的中点做平面，截该四棱锥所得的平面图形可能是：如图所示：点、为、的中点，所以，故正确；对于：如图所示：分别取、的中点、，所以：构成的平面交的中点，则，且，因为四边形为菱形，则且，又因为、分别为、的中点，则且，故四边形为平行四边形，则且，所以，且，故四边形为等腰梯形，故正确；对于，如上图，分别取、的中点作平面，交于点，则为的中点，由已知条件可知，且，因为，则，故四边形为正方形，故正确；对于各个棱的中点，构成的多边形也不可能得到正五边形，故

8、错误.故答案为：.【题组三 3个基本事实】1(2021四川彭山 )下列命题中正确的是( )A经过三点确定一个平面B经过两条平行直线确定一个平面C经过一条直线和一个点确定一个平面D四边形确定一个平面【答案】B【解析】对于选项A：经过不共线的三点确定一个平面，故选项A错误，对于选项B：两条平行直线唯一确定一个平面，故选项B正确，对于选项C：经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，故选项C错误，对于选项D：因为空间四边形不在一个平面内，故选项D错误.故选：B2(2021全国高二课时练习)已知正方体中，G，H分别是，的中点，求证：，延长后相交于一点.【答案】证明见解析【解析】，又，.G，H，B，D四点

9、共面，且四边形为梯形.延长，后必交于点P，如图.由，平面，平面，同理平面.P在面和面的交线上，又面面，.，延长后相交于一点.3(2021上海徐汇 )已知正方体中，与平面交于点，设与相交于点，求证：直线.【答案】证明见解析【解析】因为平面,且与平面交于点，所以点是平面与平面的公共点，因为平面平面,所以直线.4(2021全国高一课时练习)如图，在正方体中，判断下列命题是否正确，并说明理由.(1)由点A，O，C可以确定一个平面；(2)由点A，确定的平面为平面.【答案】(1)不正确，理由见解析；(2)正确，理由见解析.【解析】(1)不正确，由点A，O，C在同一条直线上，则不能确定一个平面，而有无数个平

10、面.(2)正确，由A，不共线，则可确定一个平面.又，则面.由点A，确定的平面为面.5(2021全国高一课时练习)如图，已知平面，且.若梯形中，且，.求证：，l共点(相交于一点).【答案】证明见解析.【解析】因为梯形中，所以是梯形的两腰.所以直线必相交于一点.设直线直线.又因为，所以.所以.又因为，所以，即，l共点(相交于一点).6(2021全国高一课时练习)如图，正方体的棱长为分别是的中点，设过三点的平面与交于点(1)画出过三点的平面与平面的交线，以及与平面的交线；(2)求的长【答案】(1)答案见解析；(2)【解析】(1)设三点确定的平面为，则与平面的交线为直线，设，则是与平面的交线，连接，则

11、是所要画的平面与平面的交线(2)正方体棱长为，又，所以在中，所以7(2021全国高一课时练习)如图，已知平面，且.设在梯形中，且，.求证：，共点(相交于一点).【答案】证明见解析【解析】因为在梯形中，所以，是梯形的两腰.因为，必定相交于一点.设.又因为，所以，.所以.又因为，所以.即，共点(相交于一点).【题组四 点线面的位置关系】1(2021广西玉州高一期中)设，是空间的三条直线，下面给出四个命题：若，则若，是异面直线，是异面直线，则，是异面直线若和相交，和相交，则和也相交若和共面，和共面，则和也共面其中正确命题的个数( )A3B2C1D0【答案】D【解析】(1)错，在空间中，时，与关系可能

12、是平行，相交，异面；(2)错，与同在一个平面时，可以与平面外一直线异面；(3)错，在空间中，三条直线不一定交于一点，也不一定在一个平面内；(4)错，和相交，和相交，则与不一定相交，它们不一定在一个平面内；故选：D2(2021全国高一课时练习)下列说法中，正确的个数是( )如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交；一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面平行；若直线在平面外，则.ABCD【答案】B【解析】在正方体中，与平面相交，则与平面相交，正确；若两条直线平行，则它们共面，因此这条直线可能在经过另一条直线的平面内，故不正确；对于，包括两种情形，直线或直

13、线与相交，故不正确.故选：B.3(2021全国高一课时练习)若平面平面，则与的位置关系是( )A与相交B与平行C在内D无法判定【答案】B【解析】，利用线面平行的性质定理可得.故选：B4(2021全国高一课时练习)在四棱台中，平面与平面的位置关系是( )A相交B平行C不确定D异面【答案】A【解析】如图所示，由棱台的定义可知，平面与平面一定相交.故选：A.5(2021全国高一课时练习)如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，E，F，G，H，M，N分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是( )AGH和MN是平行直线；GH和EF是相交直线BGH和MN是平行直线；MN和EF是相交直线CGH和MN是相交直

14、线；GH和EF是异面直线DGH和EF是异面直线；MN和EF也是异面直线【答案】B【解析】GH/A1B，而A1B/D1C，GH/D1C.又MN/D1C，GH/MN.由异面直线的定义可知，GH与EF异面.延长EF，MN，二者可以相交，故EF与MN为相交直线.故选：B.6(2021全国高一课时练习)若和是异面直线，和是异面直线，则与的位置关系是( )AB和异面C和相交D和平行、相交或异面【答案】D【解析】如图，在正方体中，取，若取时，和是异面直线，和是异面直线，则；若取时，和是异面直线，和是异面直线，则和相交；若取时，和是异面直线，和是异面直线，则和异面.综上所述，和平行、相交或异面.故选：D.7(

15、2021全国高一课时练习)以下说法正确的是( )A若直线a不平行于平面，则直线a与平面相交B直线a和b是异面直线，若直线ca，则c与b一定相交C若直线a和b都和平面平行，则a和b也平行D若直线c平行于直线a，直线ba，则bc【答案】D【解析】若直线a不平行于平面，则直线a与平面相交，或a，故A错误;若直线a和b是异面直线，若直线ca，则c与b相交或异面，故B错误;若直线a和b都和平面平行，则a和b可能平行，可能相交，也可能异面，故C错误;若直线c平行于直线a，直线ba，则bc，故D正确.故选:D.8(2021湖南长沙市第二十一中学高一期中)(多选)已知是两条不重合直线，是两个不重合平面，则下列

16、说法正确的是( )A若，则与是异面直线B若，则直线平行于平面内的无数条直线C若，则D若，则与一定相交.【答案】BC【解析】对A，若，则与平行或异面，故A错误；对B，若，则平面内所有与平行的直线都与平行，故B正确；对C，若，则平面内所有直线都与平行，因为，所以，故C正确；对D，若，当时，故D错误.故选：BC.9(2021全国高一课时练习)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？(1)AM所在的直线与平面ABCD；(2)CN所在的直线与平面ABCD；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1；(4)CN所在的直线与平面A1B

17、1C1D1.【答案】(1)相交；(2)相交；(3)平行；(4)相交.【解析】(1)平面ABCD，平面ABCD，AM所在的直线与平面ABCD相交.(2)平面ABCD，平面ABCD，CN所在的直线与平面ABCD相交.(3)因为在正方体中，平面平面CDD1C1,平面,所以AM所在的直线与平面CDD1C1平行.(4)因为CN所在的直线与平面ABCD相交，平面平面，所以CN所在的直线与平面A1B1C1D1相交.【题组五 异面直线所成的角】1(2021安徽谯城 )已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为( )ABCD【答案】C【解析】解：如图所示，设、分别为，和的中点，连接，则，则、夹角为夹角或其补角

18、，可知，；作中点，则为直角三角形；，中，由余弦定理得，；在中，；在中，由余弦定理得；又异面直线所成角的范围是，与所成角的余弦值为故选：C.2(2021四川彭山 )如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD=2AB=4，EFBA，则EF与CD所成的角为( )A90B45C60D30【答案】D【解析】设G为AD的中点，连接GF，GE则GF，GE分别为ABD，ACD的中线. ，且，且，则EF与CD所成角的度数等于EF与GE所成角的度数又EF AB， EF GF则GEF为直角三角形，GF=1，GE=2，GFE=90 在直角GEF中， GEF=30.故选：D.3(2021江西九江)在

19、直三棱柱中，点D是侧棱的中点，则异面直线与直线所成的角大小为( )ABCD【答案】C【解析】取AB中点E，连接，如图，分别是,中点，,(或其补角)即为异面直线与直线所成的角,直三棱柱中，,，故异面直线与直线所成的角大小为，故选：C4(2021黑龙江哈尔滨 )在正方体中，则直线与直线所成角大小为( )ABCD【答案】C【解析】设正方体的棱长为，连接，因为且，所以四边形是平行四边形，可得，所以或其补角即为直线与直线所成角，在中，所以，所以直线与直线所成角大小为，故选：C.5(2021河南洛阳 )在直三棱柱中，.，分别是、的中点，则与所成角的余弦值为( )ABCD【答案】D【解析】如图所示，取CC1的中点F，过F作FN交于N，作FG交AC于G，因为，分别是、的中点，所以N为的中点，G为AC上靠近点C的点. 所以(或其补角)即为与所成角.过N作MN交于M，则M为BC上靠近点C的点,连结MN.在直三棱柱中，.，分别是、的中点，不妨设，则,所以,.在FGN中，由余弦定理可得：,所以与所成角的余弦值为.故选：D.