2023版高中数学新同步精讲精炼（选择性必修第三册） 7.5 正态分布（精练）（教师版含解析）.docx

1、7.5 正态分布(精练)【题组一 正态分布曲线】1(2021全国高二课时练习)(多选)已知正态分布的密度函数，以下关于正态曲线的说法正确的是( )A曲线与x轴之间的面积为1B曲线在处达到峰值C当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移D当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“矮胖”【答案】ABC【解析】由正态分布的密度函数的解析式可知曲线与x轴之间的面积即为必然事件的概率，其值为1，故A正确；，当且仅当时取等号，曲线在处达到峰值，故B正确；其图像关于直线对称，且当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移，故C正确；当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“高瘦”，故D

2、错误.故选：ABC.2(2021江苏吴江汾湖高级中学高二月考)(多选)近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(，302)和N(280，402)，则下列选项正确的是( )附：若随机变量X服从正态分布N(，)，则P(X)0.6826A若红玫瑰日销售量范围在(，280)的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250B白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中C红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中D白玫瑰日销售量范围在(280，320)的概率约为0.3413【答案】ACD

3、【解析】若红玫瑰日销售量的范围在的概率，则，可得，所以红玫瑰日销售量的平均数为，所以A正确；因为红玫瑰日销售量的方差为，白玫瑰日销售量的方差为，因为，所以红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，所以B不正确，C正确；由白玫瑰日销售量在的概率为，所以D正确.故选：ACD.3(2021全国高二课时练习)(多选)在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩(满分为150分)服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是( )A该市学生数学成绩的期望为100B该市学生数学成绩的标准差为100C该市学生数学成绩的及格率超过0.8D该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等【答案】A

4、C【解析】依题意，知，.易知A说法正确，B说法错误；，所以，故C说法正确；，所以该市学生数学成绩不及格的人数大于优秀的人数，D说法错误.故选：AC.4(2021全国高二课时练习)(多选)下列关于概率密度函数()对应的正态曲线的性质的说法中正确的是( )A曲线关于直线对称，且恒位于轴上方B曲线关于直线对称，且仅当时才位于轴上方C曲线在处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低D曲线的位置由确定，曲线的形状由确定【答案】ACD【解析】概率密度函数对应的正态曲线是一条关于直线对称，在处位于最高点，且由该点向左、右两边延伸并逐渐降低的曲线，该曲线总是位于轴上方，曲线的位置由确定，形状由确定

5、故选：ACD5(2021全国高二课时练习)关于正态分布N(，)，下列说法正确的是( )A随机变量落在区间长度为3的区间之外是一个小概率事件B随机变量落在区间长度为6的区间之外是一个小概率事件C随机变量落在3，3之外是一个小概率事件D随机变量落在3，3之外是一个小概率事件【答案】D【解析】由正态分布中的原则，可得，所以或，所以随机变量落在之外是一个小概率事件.故选：D.6(2021全国高二课时练习)某市一次高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)如图所示，则由曲线可得下列说法中正确的一项是( )A甲科总体的标准差最小B丙科总体的平均数最小

6、C三科总体的平均数不相同D乙科总体的标准差及平均数都居中【答案】A【解析】由题中图像可知三科总体的平均数(均值)相等.由正态曲线的性质，可知越大，正态曲线越扁平；越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.故选：A.【题组二 正态分布(小题)】1(2021全国高二课时练习)设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则( )附：若，则，.A0.1587B0.1359C0.2718D0.3413【答案】B【解析】若函数没有零点，二次方程无实根，.又没有零点的概率是0.5，.由正态曲线的对称性知，.故选：B.2(2021全国高二课时练习)设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)

7、的图象，且，则这个正态总体的均值与标准差分别是( )A10与8B10与2C8与10D2与10【答案】B【解析】由正态密度函数的定义和解析式可知，总体的均值，方差，即.故选：B.3(2021全国高二课时练习)已知随机变量X服从正态分布即XN(，2)，且P(X)0.682 6，若随机变量XN(5,1)，则P(X6)( )A0.341 3B0.317 4C0.158 7D0.158 6【答案】C【解析】由题设P(4X6)0.682 6，所以由正态分布的对称性可得P(X6)1P(4X6)(10.682 6)0.158 7.故选：C4(2021全国高二课时练习)已知随机变量服从正态分布，且，则实数的值为

8、( )A1B2C3 D4【答案】A【解析】因为随机变量服从正态分布，所以曲线关于对称，且，由，可知.故选：A.5(2021全国高二单元测试)若随机变量XN(，2)(0)，则有如下结论：，高三(1)班有40名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为( )A19B12C6D5【答案】C【解析】数学成绩近似地服从正态分布N(120，102)，又根据正态曲线的对称性知：理论上说在130分以上的概率为(10.6826)0.1587理论上说在130分以上人数约为0.1587406.故选：C6(2021河南辉县市第一高级中学高二月考(理)已知随机变量

9、服从正态分布，若，则( )A0.3B0.4C0.7D0.2【答案】B【解析】依题意，所以.故选：B7(2021全国高二单元测试)为准备2022年北京冬季奥运会，某冰上项目组织计划招收-批青少年参加集训，以选拔运动员，最终共有20000名青少年报名参加测试，其测试成绩(满分100分)服从正态分布，成绩在90分以上者可以进入集训队若80分以上的人数为460，则可推断进入集训队的人数为( )A18B22C26D30【答案】D【解析】由题意，得又，所以由正态分布曲线的对称性可得，故，所以，所以，则90分以上的人数为，即进入集训队的人数为30故选：D8(2021全国高二课时练习)甲命题：若随机变量，则.

10、乙命题：随机变量，且，则.下列说法正确的是( )A甲正确、乙错误B甲错误、乙正确C甲错误、乙也错误D甲正确、乙也正确【答案】D【解析】随机变量服从正态分布，曲线关于直线对称，甲命题正确；随机变量，且，则解得，乙命题正确.故选：D.9(2021云南曲靖市沾益区第四中学高二月考(理)某电动汽车配件生产厂生产1000个配件，已知生产的配件的尺寸(单位：)指标服从正态分布，若，则估计该批配件尺寸超过的个数为( )A140B180C280D540【答案】A【解析】由，可得，所以估计该批配件尺寸超过的个数为140.故选：A10(2021湖北十堰高二期末)某服装专卖店的某款上衣的月销量服从正态分布，若，则(

11、 )(参考数据：，)A126B132C156D192【答案】B【解析】因为服从正态分布，所以，因为，所以.故选：B11(2021河南平顶山高二期末(理)设每天去某网红景点旅游的人数(单位：万人)为随机变量，且，则一天中去该网红景占旅游的游客不少于1.5万人的概率为( )参考数据：若，则，A0.97725B0.84135C0.6827D0.15865【答案】B【解析】，故选：B.12(2021全国高二单元测试)(多选)红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者近距离接触，从而降低潜在的感染风险.某厂生产了一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设X表示其测量体温误差，且，则下列结论正确

12、的是(附：若随机变量X服从正态分布，则，( )A，BCD【答案】BCD【解析】依题意，所以，即，故A错误；由于，所以，故B正确；由于，所以，故C正确.由于，所以，故D正确.故选：BCD.13(2021全国高二课时练习)(多选)若随机变量，其中，则下列等式成立的是( )ABCD【答案】AC【解析】因为随机变量服从标准正态分布，所以正态曲线关于对称，如图所示.又，所以，故选项A正确；因为，所以，故选项B不正确；因为，故选项C正确；，故选项D不正确；故选：AC.14(2021河北大名高二期中)(多选)设随机变量服从正态分布，且落在区间内的概率和落在区间内的概率相等若，则下列结论正确的有( )ABCD

13、【答案】ACD【解析】正态分布关于对称，又落在区间内的概率和落在区间内的概率相等，故A正确；正态分布关于对称，则，故C正确；，不确定，B错误，D正确故选：ACD15(2021福建厦门高二期末)(多选)随机变量，则( )ABCD【答案】AD【解析】因为，则，A对，B错；，C错；，D对.故选：AD.16(2021全国高二课时练习)设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是_.(填序号)；.【答案】【解析】因为，所以不正确；因为，所以正确，不正确；因为，所以，所以正确.故答案为：.17(2021全国高二课时练习)已知随机变量服从正态分布，且，则_.【答案】【解析】由正态曲线的对称性及意义可得：.故答

14、案为：18(2021全国高二单元测试)已知，如图是正态分布的密度函数图像，若，则图中阴影部分的面积为_.【答案】【解析】，图中阴影部分的面积为，故答案为：.【题组三 正态分布的应用(解答题)】1(2021全国高二课时练习)十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入 (单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点

15、值表示)；(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差s2，经计算得s26.92，利用该正态分布，求：在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1 000位农民若每位农民的年收入互相独立，记这1 000位农民中的年收入高于12.14千元的人数为，求E()附参考数据：2.63，若随机变量X服从正态分布N(，)，则P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5，P(3X3)0.997 3【答案】(

16、1)17.40千元；(2)14.77千元；E()977.3【解析】(1)由题意，根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：(千元)故估计50位农民的年平均收入千元(2)由题意知，随机变量，所以时，满足题意，即最低年收入大约为千元由，每个农民的年收入高于千元的事件的概率为，则，其中，所以2(2021山东无棣高二期中)为普及传染病防治知识，增强学生的疾病防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛(满分100分)，竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其它学生不得奖教务处为了解学生对相关知识的掌

17、握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的频率分布表竞赛成绩人数61218341686(1)从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，求这2名学生恰有一名学生获奖的概率；(2)若该校所有参赛学生的成绩近似地服从正态分布，利用所得正态分布模型解决以下问题：若该校共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中超过79分的学生人数(结果四舍五入到整数)；若从所有参赛学生中(参赛学生人数大于10000)随机抽取4名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望附：若随机变量X服从正态分布，则，【答案】(1)；(2)1587；分布列见解析，数

18、学期望为2【解析】(1)由样本频率分布表可知，样本中获一等奖的6人，获二等奖的8人，获三等奖的16人，共30人获奖，70人没有获奖，故从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，这2名学生恰有一名学生获奖的概率P(2)该校所有参赛学生的成绩X近似地服从正态分布N(64，225)，+79，P(X79)，估计参赛学生中超过79分的学生人数为0.15865100001587，P(X64)，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为，随机变量B(4，)，P(k) (k0，1，2，3，4)，所以P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，P(4)，的分布列为：01234P故E()43(2

19、021全国高二单元测试)设从某地前往火车站，可乘公共汽车，也可乘地铁，若乘公共汽车所需时间(单位：min)XN(50，102)，乘地铁所需时间YN(60，42)，则(1)若有70min可用，则乘公共汽车好还是乘地铁好？(2)由于时间紧迫，决定做出租车去火车站，此时使用手机中打车软件甲，甲软件定位了A公司2辆出租车，B公司4辆出租车，每车被叫中的概率相等，甲软件能叫来两辆车，求A公司出租车被叫来的辆数的分布列和数学期望E().(已知P(3X+3)0.9974，P(2X+2)0.9544)【答案】(1)乘地铁；(2)分布列见解析，.【解析】(1)乘公共汽车及时赶到的概率为乘地铁及时赶到的概率为因此

20、在这种情况下应乘地铁.(2)的取值为0，1，2.则P(0)，P(1)，P(2)，的分布列 0 1 2 P E0+1+2.4(2021全国高二课时练习)零部件生产水平是评判一个国家高端装备制造能力的重要标准之一，其中切割加工技术是一项重要技术.某精密仪器制造商研发了一种切割设备，用来生产高精度的机械零件，经过长期生产检验，可以认为该设备生产的零件尺寸服从正态分布.某机械加工厂购买了该切割设备，在正式投入生产前进行了试生产，从试生产的零件中任意抽取10件作为样本，下面是样本的尺寸(，单位：)：100.03100.499.92100.5299.98100.3599.92100.44100.66100

21、.78用样本的平均数作为的估计值，用样本的标准差作为的估计值.(1)按照技术标准的要求，若样本尺寸均在范围内，则认定该设备质量合格，根据数据判断该切割设备的质量是否合格；(2)该机械加工厂将该切割设备投入生产，对生产的零件制订了两种销售方案(假设每种方案对销售量没有影响)：方案1：每个零件均按70元定价销售；方案2：若零件的实际尺寸在范围内，则该零件为级零件，每个零件定价100元，否则为级零件，每个零件定价60元.哪种销售方案的利润更大？请根据数据计算说明.附：，样本方差.【答案】(1)合格；(2)方案2，说明见解析.【解析】(1)由表格中数据计算可得，.故可得，所以，结合题中表中数据知所有样

22、本都在区间内，故该切割设备质量合格；(2)方案1：每个零件售价为70元.方案2：设生产的零件售价为随机变量，故可取60，100.由(1)可知，该设备生产的零件尺寸，所以；.所以随机变量的分布列为601000.522750.47725故.综上，可得方案2的利润更大.5(2021全国高二单元测试)为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发国家学生体质健康标准(2014年修订)(简称标准)，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的标准测试工作，并依据学生学年总分评定等级.某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试(满分100分)，从中随机抽取了200名学生的测试成绩，

23、并据此绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)估计这200名学生测试成绩的平均数和方差(同一组数据用该组区间的中点值作代表).(2)由频率分布直方图知，该市高三学生的健康指数服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.求；已知该市高三学生约有10000名，记测试成绩在区间的人数为，求.附：参考数据.若随机变量服从正态分布，则，.【答案】(1)，；(2)；.【解析】(1)由频率分布直方图可知，各区间对应的频数分布表如下：成绩区间频数51540754520，.(2)由(1)知服从正态分布，且，.依题意，知，则.6(2021全国高二课时练习)某制造企业向高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备

24、，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下(单位：).97 97 98 102 105 107 108 109 113 114(1)计算平均值与标准差；(2)假设这台3D打印设备打印出的零件内径服从正态分布，该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为(单位：)86，95，103，109，118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？参考数据：，.【答案】(1)，；(2)需要，答案见解析.【解析】(1)利用测量数据，即可计算平均值与标准差.，.(2)需要进一步调试.服从正态分布，内径在之外的概率为

25、0.003，而，根据原则，需要进一步调试.7(2021河北大名县第一中学高二月考)人口普查是调查国情国力的一种方式，也是提供全国人口数据的主要来源，距今为止我国已经进行了七次人口普查.某教育机构对河北省全省高中男生身高进行统计，统计调查数据显示：全省接受统计的100000名男生的身高服从正态分布.现从我校高二年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组，第二组，第六组.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(1)试评估我校高二年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；(2)求这50名男生身高在以上(含)的人数；(3)在这50名男生

26、身高在以上(含)的人中任意抽取2人，该2人中身高排名(从高到低)在全省前130名的人数记为，求的均值.参考数据：若，则，.【答案】(1)高于全省的平均值170.5；(2)10人；(3)1.【解析】(1)由直方图，经过计算得我校高三年级男生平均身高为，高于全省的平均值170.5.(2)由频率分布直方图知，后两组频率和为0.2，人数为，即这50名男生身高在以上(含)的人数为10人.(3)，.全省前130名的身高在以上，这50人中以上的有5人.随机变量可取0，1，2，于是，.8(2021湖北武汉市光谷第二高级中学高二月考)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果

27、得如下图频率分布直方图：(I)求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)；(II)由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.(i)利用该正态分布，求；(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用(i)的结果，求.附：，若则，【答案】(I)，；(II)(i) ；(ii).【解析】(I)抽取产品的质量指标值的样本平均值和样本方差分别为，(II)(i)由(I)知，服从正态分布，从而(ii)由(i)可知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以