2023版高考数学一轮总复习 10年高考真题分类题组 4.docx

1、4.4解三角形考点一正弦定理与余弦定理1.(2016课标文,4,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=5,c=2,cosA=23,则b=() A.2B.3C.2D.3答案D由余弦定理得5=22+b2-22bcosA,cosA=23,3b2-8b-3=0,b=3b=-13舍去.故选D.评析本题考查了余弦定理的应用,考查了方程的思想方法.2.(2016天津理,3,5分)在ABC中,若AB=13,BC=3,C=120,则AC=()A.1B.2C.3D.4答案A在ABC中,设A、B、C所对的边分别为a,b,c,则由c2=a2+b2-2abcosC,得13=9+b2-23b-12,

2、即b2+3b-4=0,解得b=1(负值舍去),即AC=1.故选A.评析本题考查了余弦定理的应用和方程思想,属容易题.3.(2016课标理,8,5分)在ABC中,B=4,BC边上的高等于13BC,则cosA=()A.31010B.1010C.-1010D.-31010答案C解法一:过A作ADBC,垂足为D,由题意知AD=BD=13BC,则CD=23BC,AB=23BC,AC=53BC,在ABC中,由余弦定理的推论可知,cosBAC=AB2+AC2-BC22ABAC=29BC2+59BC2-BC2223BC53BC=-1010,故选C.解法二:过A作ADBC,垂足为D,由题意知AD=BD=13BC

3、,则CD=23BC,在RtADC中,AC=53BC,sinDAC=255,cosDAC=55,又因为B=4,所以cosBAC=cosDAC+4=cosDACcos4-sinDACsin4=5522-25522=-1010,故选C.解法三:过A作ADBC,垂足为D,由题意知AD=BD=13BC,则CD=23BC,AB=23BC,AC=53BC,而ABAC=(AD+DB)(AD+DC)=AD2+ADDC+ADDB+DBDC=19BC2-29BC2=-19BC2,所以cosBAC=ABAC|AB|AC|=-19BC223BC53BC=-1010,故选C.解法四:过A作ADBC,垂足为D,设BC=3a

4、(a0),结合题意知AD=BD=a,DC=2a.以D为原点,DC,DA所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则B(-a,0),C(2a,0),A(0,a),所以AB=(-a,-a),AC=(2a,-a),所以|AB|=2a,|AC|=5a,所以cosBAC=ABAC|AB|AC|=-2a2+a22a5a=-1010,故选C.4.(2016山东文,8,5分)ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sinA).则A=()A.34B.3C.4D.6答案C在ABC中,由b=c,得cosA=b2+c2-a22bc=2b2-a22b2,又a2=2b2(1-sinA

5、),所以cosA=sinA,即tanA=1,又知A(0,),所以A=4,故选C.评析恰当运用余弦定理的变形形式是求解本题的关键.5.(2015广东文,5,5分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=23,cosA=32且bc,则b=()A.3B.22C.2D.3答案C由余弦定理b2+c2-2bccosA=a2,得b2-6b+8=0,解得b=2或b=4,bb,B=45,A=75.易错警示本题求得sinB=22后,要注意利用bc确定B=45,从而求得A=75.11.(2017课标文,16,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+cco

6、sA,则B=.答案60解析解法一:由正弦定理得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,即sin2B=sin(A+C),即sin2B=sin(180-B),可得B=60.解法二:由余弦定理得2ba2+c2-b22ac=aa2+b2-c22ab+cb2+c2-a22bc,即ba2+c2-b2ac=b,所以a2+c2-b2=ac,所以cosB=12,又0B0),有2=t2+t,即t2+t-2=0,解得t=1或t=-2(舍去),故bc=1.思路分析本题先由余弦定理列出关于b、c的方程,再将方程转化为以bc为变元的方程求解.评析本题考查余弦定理的应用及换元思想的应用,属中档题.14.(2

7、015福建理,12,4分)若锐角ABC的面积为103,且AB=5,AC=8,则BC等于.答案7解析设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.由已知及12bcsinA=103得sinA=32,因为A为锐角,所以A=60,cosA=12.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=25+64-24012=49,故a=7,即BC=7.评析本题考查了三角形的面积和解三角形,利用三角形的面积求出cosA是求解关键.15.(2015安徽文,12,5分)在ABC中,AB=6,A=75,B=45,则AC=.答案2解析由已知及三角形内角和定理得C=60,由ABsinC=ACsinB知AC=ABsinBsinC

8、=6sin45sin60=2.16.(2015福建文,14,4分)若ABC中,AC=3,A=45,C=75,则BC=.答案2解析B=180-45-75=60.由正弦定理得ACsinB=BCsinA,可得BC=2.17.(2015重庆文,13,5分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cosC=-14,3sinA=2sinB,则c=.答案4解析由3sinA=2sinB及正弦定理,得3a=2b,又a=2,所以b=3,故c2=a2+b2-2abcosC=4+9-223-14=16,所以c=4.18.(2015北京理,12,5分)在ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2As

9、inC=.答案1解析在ABC中,由余弦定理的推论可得cosA=b2+c2-a22bc=52+62-42256=34,由正弦定理可知sin2AsinC=2sinAcosAsinC=2acosAc=24346=1.评析本题主要考查正弦定理、余弦定理的推论以及二倍角公式的应用,考查学生的运算求解能力和知识的应用转化能力.19.(2014课标理,16,5分)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则ABC面积的最大值为.答案3解析因为a=2,所以(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC可化为(a+b)(sinA-s

10、inB)=(c-b)sinC,由正弦定理可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12,又0A,故A=3.因为cosA=12=b2+c2-42bc2bc-42bc,所以bc4,当且仅当b=c时取等号.由三角形面积公式知SABC=12bcsinA=12bc32=34bc3,故ABC面积的最大值为3.评析本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式以及基本不等式的应用,考查学生对知识的综合应用能力以及运算求解能力.能把2代换成a是正确解决本题的关键.20.(2011课标文,15,5分)ABC中,B=120,AC=7,

11、AB=5,则ABC的面积为.答案1534解析由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,及已知条件得49=a2+25-25acos120.整理得a2+5a-24=0,解得a=3或a=-8(舍).SABC=12acsinB=1235sin120=1534.评析本题考查余弦定理、解三角形等知识,根据余弦定理正确求出a的值是解答本题的关键.21.(2016课标,13,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=45,cosC=513,a=1,则b=.答案2113解析由cosC=513,0C,得sinC=1213.由cosA=45,0A,得sinA=35.所以sinB=sin-(A

12、+C)=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=6365,根据正弦定理得b=asinBsinA=2113.22.(2020课标文,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos22+A+cosA=54.(1)求A;(2)若b-c=33a,证明:ABC是直角三角形.解析(1)由已知得sin2A+cosA=54,即cos2A-cosA+14=0.所以cosA-122=0,cosA=12.由于0A,故A=3.(2)由正弦定理及已知条件可得sinB-sinC=33sinA.由(1)知B+C=23,所以sinB-sin23-B=33sin3.即12sinB-32co

13、sB=12,sinB-3=12.由于0B23,故B=2.从而ABC是直角三角形.23.(2017山东文,17,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,ABAC=-6,SABC=3,求A和a.解析因为ABAC=-6,所以bccosA=-6,又SABC=3,所以bcsinA=6,因此tanA=-1,又0A0).则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.代入cosAa+cosBb=sinCc中,有cosAksinA+cosBksinB=sinCksinC,变形可得sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).在ABC中,由A+B+C=,有

14、sin(A+B)=sin(-C)=sinC,所以sinAsinB=sinC.(2)由已知,b2+c2-a2=65bc,根据余弦定理,有cosA=b2+c2-a22bc=35.所以sinA=1-cos2A=45.由(1),sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,所以45sinB=45cosB+35sinB,故tanB=sinBcosB=4.方法总结解三角形中,要根据题干条件恰当选取正、余弦定理,当涉及边较多时,可考虑余弦定理,当涉及角较多时,可考虑正弦定理.ABC中,也常用到sin(A+B)=sinC.评析本题考查了正、余弦定理及同角三角函数的基本关系式,根据条件恰当选择正、余弦定

15、理是解题的关键.25.(2016课标理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求C;(2)若c=7,ABC的面积为332,求ABC的周长.解析(1)由已知及正弦定理得,2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,(2分)2cosCsin(A+B)=sinC.故2sinCcosC=sinC.(4分)可得cosC=12,所以C=3.(6分)(2)由已知,得12absinC=332.又C=3,所以ab=6.(8分)由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcosC=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.(

16、10分)所以ABC的周长为5+7.(12分)解后反思本题属解三角形问题中的常见题型,要先利用正弦、余弦定理,将已知中的“边”或“角”的关系式,转化为只有“边”或只有“角”的方程形式,进而通过三角函数或代数知识求解方程.解题中要注意三角形的一些性质应用,例如:sin(A+B)=sinC,SABC=12absinC.评析本题重点考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式,同时,对三角恒等变换的公式也有所考查.在解题过程中,要注意先将已知条件中的“边”与“角”的关系,通过正弦定理转化为“角”之间的关系,再运用三角函数知识求解.26.(2016浙江理,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别

17、为a,b,c.已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若ABC的面积S=a24,求角A的大小.解析(1)由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B).又A,B(0,),故0A-B,所以,B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由S=a24得12absinC=a24,故有sinBsinC=12sin2B=sinBcosB,因sinB0,得sinC=cosB.又B,C(0,),所以C=2B.当B+C=2时,A=2

18、;当C-B=2时,A=4.综上,A=2或A=4.思路分析(1)由正弦定理及两角和的正弦公式将已知条件转化为A与B的三角函数关系,利用A,B的范围诱导公式得出A与B的关系;(2)利用三角形的面积公式将已知条件转化为C与B的三角函数关系,再由B,C的范围及诱导公式求A的大小.评析本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.27.(2015课标理,17,12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍.(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长.解析(1)SABD=12ABADsinBAD,SAD

19、C=12ACADsinCAD.因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sinBsinC=ACAB=12.(2)因为SABDSADC=BDDC,所以BD=2.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.评析本题考查正弦定理,余弦定理的应用,以及三角形的面积公式.属常规题,中等偏易.28.(2015课标文,17,12分)已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsi

20、nC.(1)若a=b,求cosB;(2)设B=90,且a=2,求ABC的面积.解析(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,可得b=2c,a=2c.由余弦定理可得cosB=a2+c2-b22ac=14.(6分)(2)由(1)知b2=2ac.因为B=90,由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac,得c=a=2.所以ABC的面积为1.(12分)评析本题考查了正弦定理、余弦定理;考查了解三角形的基本方法,属容易题.29.(2015浙江理,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=4,b2-a2=12c2.(1)求tanC的值;(2)若ABC的面积为3

21、,求b的值.解析(1)由b2-a2=12c2及正弦定理得sin2B-12=12sin2C,所以-cos2B=sin2C.又由A=4,即B+C=34,得-cos2B=sin2C=2sinCcosC,解得tanC=2.(2)由tanC=2,C(0,)得sinC=255,cosC=55.又因为sinB=sin(A+C)=sin4+C,所以sinB=31010.由正弦定理得c=223b,又因为A=4,12bcsinA=3,所以bc=62,故b=3.评析本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.30.(2015山东理,16,12分)设f(x)=sinxcosx-cos2x+

22、4.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若fA2=0,a=1,求ABC面积的最大值.解析(1)由题意知f(x)=sin2x2-1+cos2x+22=sin2x2-1-sin2x2=sin2x-12.由-2+2k2x2+2k,kZ,可得-4+kx4+k,kZ;由2+2k2x32+2k,kZ,可得4+kx34+k,kZ.所以f(x)的单调递增区间是-4+k,4+k(kZ);单调递减区间是4+k,34+k(kZ).(2)由fA2=sinA-12=0,得sinA=12,由题意知A为锐角,所以cosA=32.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可

23、得1+3bc=b2+c22bc,即bc2+3,且当b=c时等号成立.因此12bcsinA2+34.所以ABC面积的最大值为2+34.评析本题考查三角恒等变换,三角函数的图象与性质,以及解三角形等基础知识和基本方法,对运算能力有较高要求.属中等难度题.31.(2015陕西理,17,12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,3b)与n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a=7,b=2,求ABC的面积.解析(1)因为mn,所以asinB-3bcosA=0,由正弦定理,得sinAsinB-3sinBcosA=0,又sinB0,从而tanA=3,由于0A0,所以

24、c=3.故ABC的面积为12bcsinA=332.解法二:由正弦定理,得7sin3=2sinB,从而sinB=217,又由ab,知AB,所以cosB=277.故sinC=sin(A+B)=sinB+3=sinBcos3+cosBsin3=32114.所以ABC的面积为12absinC=332.32.(2014课标文,17,12分)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求C和BD;(2)求四边形ABCD的面积.解析(1)由题设及余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BCCDcosC=13-12cosC,BD2=AB2+DA2-2ABDAcosA=5+4cosC.

25、由,得cosC=12,故C=60,BD=7.(2)四边形ABCD的面积S=12ABDAsinA+12BCCDsinC=1212+1232sin60=23.评析本题考查余弦定理的应用和四边形面积的计算,考查运算求解能力和转化的思想,把四边形分割成两个三角形是求面积的常用方法.33.(2014浙江理,18,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ab,c=3,cos2A-cos2B=3sinAcosA-3sinBcosB.(1)求角C的大小;(2)若sinA=45,求ABC的面积.解析(1)由题意得1+cos2A2-1+cos2B2=32sin2A-32sin2B,即32s

26、in2A-12cos2A=32sin2B-12cos2B,sin2A-6=sin2B-6.由ab,得AB,又A+B(0,),得2A-6+2B-6=,即A+B=23,所以C=3.(2)由(1)及c=3,sinA=45,asinA=csinC,得a=85,由ac,得AC.从而cosA=35,故sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=4+3310,所以,ABC的面积为S=12acsinB=83+1825.评析本题主要考查诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、正弦定理、三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.34.(2013课标理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对

27、边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.(1)求B;(2)若b=2,求ABC面积的最大值.解析(1)由已知及正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCsinB.又A=-(B+C),故sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC.由和C(0,)得sinB=cosB.又B(0,),所以B=4.(2)ABC的面积S=12acsinB=24ac.由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos4.又a2+c22ac,故ac42-2,当且仅当a=c时,等号成立.因此ABC面积的最大值为2+1.35.(2012课标理,17,12分)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,

28、C的对边,acosC+3asinC-b-c=0.(1)求A;(2)若a=2,ABC的面积为3,求b,c.解析(1)由acosC+3asinC-b-c=0及正弦定理得sinAcosC+3sinAsinC-sinB-sinC=0.因为B=-A-C,所以3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0.由于sinC0,所以sinA-6=12.又0A0,所以sinB=459,所以tanB=45,故选C.解法二:作BDAC于D,由cosC=23,BC=3,知CD=2,即D为边AC的中点,所以三角形ABC是等腰三角形,且BD=5,于是tanB2=25,故tanB=2251-45=45,故选C.2.(20

29、19课标文,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=-14,则bc=()A.6B.5C.4D.3答案A本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用;考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力;考查的核心素养是数学运算与逻辑推理.由正弦定理及asinA-bsinB=4csinC得a2-b2=4c2,由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=-3c22bc=-14.所以bc=6.故选A.3.(2017课标文,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=2,则C=

30、()A.12B.6C.4D.3答案B本题考查正弦定理和两角和的正弦公式.在ABC中,sinB=sin(A+C),则sinB+sinA(sinC-cosC)=sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,即sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,cosAsinC+sinAsinC=0,sinC0,cosA+sinA=0,即tanA=-1,即A=34.由asinA=csinC得222=2sinC,sinC=12,又0C0,cosA=32,即4bc=32,bc=833,ABC的面积S=12bcsinA=1283312=233.解题关键正确利用正弦定理将“边

31、”转化为“角”,求出sinA是解决本题的关键.6.(2017浙江,14,5分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则BDC的面积是,cosBDC=.答案152;104解析本题考查余弦定理,同角三角函数的基本关系式,二倍角公式,三角形面积公式,考查运算求解能力.AB=AC=4,BC=2,cosABC=AB2+BC2-AC22ABBC=14,ABC为三角形的内角,sinABC=154,sinCBD=154,故SCBD=1222154=152.BD=BC=2,ABC=2BDC.又cosABC=14,2cos2BDC-1=14,得cos2BDC=58,又B

32、DC为锐角,cosBDC=104.7.(2015课标理,16,5分)在平面四边形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,则AB的取值范围是.答案(6-2,6+2)解析依题意作出四边形ABCD,连接BD.令BD=x,AB=y,CDB=,CBD=.在BCD中,由正弦定理得2sin=xsin75.由题意可知,ADC=135,则ADB=135-.在ABD中,由正弦定理得xsin75=ysin(135-).所以ysin(135-)=2sin,即y=2sin(135-)sin=2sin90-(-45)sin=2cos(-45)sin=2(cos+sin)sin.因为075,+75=180,所以30105,

33、当=90时,易得y=2;当90时,y=2(cos+sin)sin=21tan+1,又tan30=33,tan105=tan(60+45)=tan60+tan451-tan60tan45=-2-3,结合正切函数的性质知,1tan(3-2,3),且1tan0,所以y=21tan+1(6-2,2)(2,6+2).综上所述:y(6-2,6+2).评析本题考查了三角函数和解三角形.利用函数的思想方法是求解关键,属偏难题.8.(2015重庆理,13,5分)在ABC中,B=120,AB=2,A的角平分线AD=3,则AC=.答案6解析依题意知BDA=C+12BAC,由正弦定理得2sinBDA=3sinB,si

34、nC+12BAC=22,C+BAC=180-B=60,C+12BAC=45,BAC=30,C=30.从而AC=2ABcos30=6.9.(2015湖北,理13,文15,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD=m.答案1006解析依题意有AB=600,CAB=30,CBA=180-75=105,DBC=30,DCCB.ACB=45,在ABC中,由ABsinACB=CBsinCAB,得600sin45=CBsin30,有CB=3002,在RtBCD中,C

35、D=CBtan30=1006,则此山的高度CD=1006m.10.(2014课标理,16,5分)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN=60,C点的仰角CAB=45以及MAC=75;从C点测得MCA=60.已知山高BC=100m,则山高MN=m.答案150解析在RtABC中,CAB=45,BC=100m,所以AC=1002m.在AMC中,MAC=75,MCA=60,从而AMC=45,由正弦定理得,ACsin45=AMsin60,因此AM=1003m.在RtMNA中,AM=1003m,MAN=60,由MNAM=sin60得MN=100332=150

36、m,故填150.11.(2011课标理,16,5分)在ABC中,B=60,AC=3,则AB+2BC的最大值为.答案27解析设AC=b=3,AB=c,BC=a,在ABC中,asinA=bsinB=csinC=2,a=2sinA,c=2sinC,且A+C=120,AB+2BC=c+2a=2sinC+4sinA=2sinC+4sin(120-C)=4sinC+23cosC=27sin(C+),其中sin=217,cos=277,(30,60),而C(0,120),+C(30,180),当C+=90时,AB+2BC有最大值27.评析本题主要考查正弦定理的应用及三角函数性质和公式的应用,熟练掌握定理、公

37、式和三角函数的性质是正确解题的关键.12.(2020课标文,18,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150.(1)若a=3c,b=27,求ABC的面积;(2)若sinA+3sinC=22,求C.解析(1)由题设及余弦定理得28=3c2+c2-23c2cos150.解得c1=-2(舍去),c2=2,从而a=23.ABC的面积为12232sin150=3.(2)在ABC中,A=180-B-C=30-C,所以sinA+3sinC=sin(30-C)+3sinC=sin(30+C).故sin(30+C)=22.而0C30,所以30+C=45,故C=15.13.(2020江苏

38、,16,14分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=3,c=2,B=45.(1)求sinC的值;(2)在边BC上取一点D,使得cosADC=-45,求tanDAC的值.解析本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数等基础知识,考查运算求解能力.(1)在ABC中,因为a=3,c=2,B=45,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=9+2-232cos45=5,所以b=5.在ABC中,由正弦定理bsinB=csinC,得5sin45=2sinC,所以sinC=55.(2)在ADC中,因为cosADC=-45,所以ADC为钝角,而A

39、DC+C+CAD=180,所以C为锐角,故cosC=1-sin2C=255,则tanC=sinCcosC=12,因为cosADC=-45,所以sinADC=1-cos2ADC=35,tanADC=sinADCcosADC=-34.从而tanDAC=tan(180-ADC-C)=-tan(ADC+C)=-tanADC+tanC1-tanADCtanC=-34+121-3412=211.14.(2018天津,理15,文16,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acosB-6.(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解析本小题

40、主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.(1)在ABC中,由正弦定理asinA=bsinB,可得bsinA=asinB,又由bsinA=acosB-6,得asinB=acosB-6,即sinB=cosB-6,可得tanB=3.又因为B(0,),可得B=3.(2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=3,有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=7.由bsinA=acosB-6,可得sinA=37.因为ac,故cosA=27.因此sin2A=2sinAcosA=437,cos2A=2cos2A-

41、1=17.所以,sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=43712-1732=3314.解题关键(1)利用正弦定理合理转化bsinA=acosB-6是求解第(1)问的关键;(2)由余弦定理及已知条件求得sinA,利用a0是求解第(2)问的关键.失分警示(1)由于忽略ab,a=5,c=6,sinB=35.(1)求b和sinA的值;(2)求sin2A+4的值.解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦、余弦公式,两角和的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.(1)在ABC中,因为ab,故由sinB=35,可得cosB=45.由已知及余弦定理,有

42、b2=a2+c2-2accosB=13,所以b=13.由正弦定理asinA=bsinB,得sinA=asinBb=31313.所以,b的值为13,sinA的值为31313.(2)由(1)及ac,得cosA=21313,所以sin2A=2sinAcosA=1213,cos2A=1-2sin2A=-513.故sin2A+4=sin2Acos4+cos2Asin4=7226.方法总结1.利用正、余弦定理求边或角的步骤:(1)根据已知的边和角画出相应的图形,并在图中标出;(2)结合图形选择用正弦定理或余弦定理求解;(3)在运算和求解过程中注意三角恒等变换和三角形内角和定理的运用.2.解决三角函数及解三

43、角形问题的满分策略:(1)认真审题,把握变形方向;(2)规范书写,合理选择公式;(3)计算准确,注意符号.17.(2017天津文,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=5(a2-b2-c2).(1)求cosA的值;(2)求sin(2B-A)的值.解析本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式、两角差的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.(1)由asinA=4bsinB,及asinA=bsinB,得a=2b.由ac=5(a2-b2-c2),及余弦定理,得cosA=b2+c2-a22bc=-55

44、acac=-55.(2)由(1),可得sinA=255,代入asinA=4bsinB,得sinB=asinA4b=55.由(1)知,A为钝角,所以cosB=1-sin2B=255.于是sin2B=2sinBcosB=45,cos2B=1-2sin2B=35,故sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=45-55-35255=-255.规律总结解有关三角形问题时应注意:(1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合或两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,要考虑

45、用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑到两个定理都有可能用到.(2)解三角形问题时应注意三角形内角和定理的应用及角的范围.18.(2016北京理,15,13分)在ABC中,a2+c2=b2+2ac.(1)求B的大小;(2)求2cosA+cosC的最大值.解析(1)由余弦定理及题设得cosB=a2+c2-b22ac=2ac2ac=22.又因为0B,所以B=4.(6分)(2)由(1)知A+C=34.2cosA+cosC=2cosA+cos34-A=2cosA-22cosA+22sinA=22cosA+22sinA=cosA-4.(11分)因为0A34,所以当A=4时,2cosA+cosC取得最大

46、值1.(13分)思路分析第(1)问条件中有边的平方和边的乘积,显然用余弦定理求解.第(2)问用三角形内角和定理将原三角函数式化为只含一个角的三角函数式,再注意角的取值范围,问题得解.评析本题考查余弦定理,三角恒等变换及三角函数的性质.属中档题.19.(2016山东理,16,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tanA+tanB)=tanAcosB+tanBcosA.(1)证明:a+b=2c;(2)求cosC的最小值.解析(1)由题意知2sinAcosA+sinBcosB=sinAcosAcosB+sinBcosAcosB,化简得2(sinAcosB+sinBcosA

47、)=sinA+sinB,即2sin(A+B)=sinA+sinB.因为A+B+C=,所以sin(A+B)=sin(-C)=sinC.从而sinA+sinB=2sinC.由正弦定理得a+b=2c.(2)由(1)知c=a+b2,所以cosC=a2+b2-c22ab=a2+b2-a+b222ab=38ab+ba-1412,当且仅当a=b时,等号成立.故cosC的最小值为12.疑难突破利用切化弦将已知等式等价转化,最终转化为三角形三角正弦之间的关系,从而结合正弦定理得出三角形三边之间的关系.评析本题考查了三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及基本不等式,综合性较强,重点考查了化归与转化的思想方法,属中档题

48、.20.(2016天津文,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin2B=3bsinA.(1)求B;(2)若cosA=13,求sinC的值.解析(1)在ABC中,由asinA=bsinB,可得asinB=bsinA,又由asin2B=3bsinA,得2asinBcosB=3bsinA=3asinB,所以cosB=32,得B=6.(2)由cosA=13,可得sinA=223,则sinC=sin-(A+B)=sin(A+B)=sinA+6=32sinA+12cosA=26+16.思路分析(1)利用正弦定理与二倍角公式将原式转化为角B的三角函数式进行求解;(2)利

49、用三角形的性质及两角和的正弦公式求sinC的值.评析本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理等基础知识.考查运算求解能力.21.(2015江苏理,15,14分)在ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60.(1)求BC的长;(2)求sin2C的值.解析(1)由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2ABACcosA=4+9-22312=7,所以BC=7.(2)由正弦定理知,ABsinC=BCsinA,所以sinC=ABBCsinA=2sin607=217.因为ABBC,所以C为锐角,则cosC=1-sin2C=1-37=277.因此sin2C=2sinC

50、cosC=2217277=437.评析本小题主要考查余弦定理、正弦定理,同角三角函数关系与二倍角公式,考查运算求解能力.22.(2015浙江文,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan4+A=2.(1)求sin2Asin2A+cos2A的值;(2)若B=4,a=3,求ABC的面积.解析(1)由tan4+A=2,得tanA=13,所以sin2Asin2A+cos2A=2tanA2tanA+1=25.(2)由tanA=13,A(0,),得sinA=1010,cosA=31010.又由a=3,B=4及正弦定理asinA=bsinB,得b=35.由sinC=sin(

51、A+B)=sinA+4得sinC=255.设ABC的面积为S,则S=12absinC=9.评析本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.23.(2015天津文,16,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为315,b-c=2,cosA=-14.(1)求a和sinC的值;(2)求cos2A+6的值.解析(1)在ABC中,由cosA=-14,可得sinA=154.由SABC=12bcsinA=315,得bc=24,又由b-c=2,解得b=6,c=4.由a2=b2+c2-2bccosA,可得a=8.由asinA=csinC,得sinC=

52、158.(2)cos2A+6=cos2Acos6-sin2Asin6=32(2cos2A-1)-122sinAcosA=15-7316.评析本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式、两角和的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查基本运算求解能力.24.(2015课标文,17,12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.(1)求sinBsinC;(2)若BAC=60,求B.解析(1)由正弦定理得ADsinB=BDsinBAD,ADsinC=DCsinCAD.因为AD平分BAC,BD=2DC,所以sinBsinC=DCBD=12.(2)因为C=180

53、-(BAC+B),BAC=60,所以sinC=sin(BAC+B)=32cosB+12sinB.由(1)知2sinB=sinC,所以tanB=33,即B=30.评析本题考查了正弦定理;考查了解三角形的能力.属中档题.25.(2015安徽理,16,12分)在ABC中,A=34,AB=6,AC=32,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.解析设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(32)2+62-2326cos34=18+36-(-36)=90,所以a=310.又由正弦定理得sinB=bsinBACa=3310=1010,由题设知0

54、Bc.已知BABC=2,cosB=13,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.解析(1)由BABC=2得cacosB=2,又cosB=13,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accosB.又b=3,所以a2+c2=9+22=13.解ac=6,a2+c2=13,得a=2,c=3或a=3,c=2.因ac,所以a=3,c=2.(2)在ABC中,sinB=1-cos2B=1-132=223,由正弦定理,得sinC=cbsinB=23223=429.因a=bc,所以C为锐角,因此cosC=1-sin2C=1-4292=79.于是cos(B-C)=cosBcosC+sin

55、BsinC=1379+223429=2327.27.(2014天津文,16,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a-c=66b,sinB=6sinC.(1)求cosA的值;(2)求cos2A-6的值.解析(1)在ABC中,由bsinB=csinC,及sinB=6sinC,可得b=6c.又由a-c=66b,有a=2c.所以,cosA=b2+c2-a22bc=6c2+c2-4c226c2=64.(2)在ABC中,由cosA=64,可得sinA=104.于是cos2A=2cos2A-1=-14,sin2A=2sinAcosA=154.所以cos2A-6=cos2Acos6

56、+sin2Asin6=15-38.评析本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角差的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.28.(2014北京理,15,13分)如图,在ABC中,B=3,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cosADC=17.(1)求sinBAD;(2)求BD,AC的长.解析(1)在ADC中,因为cosADC=17,所以sinADC=437.所以sinBAD=sin(ADC-B)=sinADCcosB-cosADCsinB=43712-1732=3314.(2)在ABD中,由正弦定理得BD=ABsinBADsinADB=833144

57、37=3.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=82+52-28512=49.所以AC=7.评析本题考查了三角变换,及利用正、余弦定理解三角形;考查分析推理、运算求解能力.29.(2014湖南理,18,12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=7.(1)求cosCAD的值;(2)若cosBAD=-714,sinCBA=216,求BC的长.解析(1)在ADC中,由余弦定理,得cosCAD=AC2+AD2-CD22ACAD=7+1-427=277.(2)设BAC=,则=BAD-CAD.因为cosCAD=277,cosBAD=-714,所以sinC

58、AD=1-cos2CAD=1-2772=217,sinBAD=1-cos2BAD=1-7142=32114.于是sin=sin(BAD-CAD)=sinBADcosCAD-cosBADsinCAD=32114277-714217=32.在ABC中,由正弦定理,得BCsin=ACsinCBA,故BC=ACsinsinCBA=732216=3.30.(2014湖南文,19,13分)如图,在平面四边形ABCD中,DAAB,DE=1,EC=7,EA=2,ADC=23,BEC=3.(1)求sinCED的值;(2)求BE的长.解析设CED=.(1)在CDE中,由余弦定理,得EC2=CD2+DE2-2CDD

59、EcosEDC.于是由题设知,7=CD2+1+CD,即CD2+CD-6=0,解得CD=2(CD=-3舍去).在CDE中,由正弦定理,得ECsinEDC=CDsin.于是sin=CDsin23EC=2327=217,即sinCED=217.(2)由题设知,03,于是由(1)知,cos=1-sin2=1-2149=277.而AEB=23-,所以cosAEB=cos23-=cos23cos+sin23sin=-12cos+32sin=-12277+32217=714.在RtEAB中,cosAEB=EABE=2BE,故BE=2cosAEB=2714=47.评析本题考查解三角形及三角函数式的恒等变形,解

60、题时要运用从已知到未知的思路,利用角的关系进行恒等变形.31.(2013课标理,17,12分)如图,在ABC中,ABC=90,AB=3,BC=1,P为ABC内一点,BPC=90.(1)若PB=12,求PA;(2)若APB=150,求tanPBA.解析(1)由已知得,PBC=60,所以PBA=30.在PBA中,由余弦定理得PA2=3+14-2312cos30=74.故PA=72.(2)设PBA=,由已知得PB=sin.在PBA中,由正弦定理得3sin150=sinsin(30-),化简得3cos=4sin.所以tan=34,即tanPBA=34.评析本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形,考查了运算求解能力和分析、解决问题的能力.题目新颖且有一定的难度,通过PB把PBC和PAB联系起来利用正弦定理是解题关键.