2023版高考数学一轮总复习 专题检测 9.docx

1、9.3双曲线及其性质一、选择题1.(2022届安徽名校联盟质检(一),5)已知双曲线x225-y25=1上一点P到其左焦点F的距离为8,则PF的中点M到坐标原点O的距离为()A.9B.6C.5D.4答案A由题意知,|PF|=8,设双曲线的右焦点为F2,则由双曲线的定义,可得|PF2|-|PF|=10,又|PF2|0,所以|PF2|=18,因为M是PF的中点,O是FF2的中点,所以由三角形中位线定理可知|MO|=12|PF2|=182=9,故选A.2.(2022届江苏百校大联考,4)图1所示的为陕西历史博物馆收藏的国宝金筐宝钿团花纹金杯,杯身曲线内收,玲珑娇美,巧夺天工,是唐代金银细作的典范之作

2、.如图2,该杯的主体部分可以近似看作是由双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右支、y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体.若该金杯主体部分的上杯口外直径为1033,下底座外直径为2393,杯高为6,且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍,则双曲线C的离心率为()A.2B.2C.3D.4答案A由题意知M533,4,N393,-2,M,N都在双曲线上,253a2-16b2=1,133a2-4b2=1,解得a=3,b=3,则c=a2+b2=23,e=ca=2,故选A.3.(2022届江西赣州月考,6)已知双曲线C1经过点A(4,-33),并

3、且和双曲线C2:x216-y29=1有共同的渐近线,则双曲线C1的方程为()A.y29-x216=1B.y216-x29=1C.x232-y218=1D.y218-x232=1答案D设双曲线C1的方程为x216-y29=(0),将点A的坐标(4,-33)代入,可得1616-(-33)29=,解得=-2,所以双曲线C1的方程为y218-x232=1.故选D.4.(2022届成都零诊,5)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一个焦点到其中一条渐近线的距离为2a,则该双曲线的渐近线方程为()A.y=2xB.y=12xC.y=xD.y=2x答案A不妨取双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b

4、0)的一条渐近线bx-ay=0,右焦点(c,0),则右焦点到该渐近线的距离d=|bc|a2+b2=b,由题意可知b=2a,即ba=2,所以该双曲线的渐近线方程为y=2x,故选A.5.(2022届昆明质检(一),7)直线3x+y=0是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线,且双曲线的一个顶点和一个焦点到渐近线的距离之和为332,则该双曲线的虚轴长为()A.23B.3C.1D.2答案A由双曲线渐近线方程知ba=3,不妨取右顶点(a,0)和右焦点(c,0),则右顶点到渐近线3x+y=0的距离为3a2,易知双曲线焦点到渐近线的距离为b,则3a2+b=332,联立解得a=1,b=3,故虚

5、轴长为23,故选A.6.(2022届吉林辽源一模,10)已知双曲线C的离心率为3,F1,F2是C的两个焦点,P为C上一点,|PF1|=3|PF2|,若PF1F2的面积为2,则双曲线C的实轴长为()A.1B.2C.3D.6答案B由离心率为3,得c=3a,由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a,又知|PF1|=3|PF2|,|PF1|=3a,|PF2|=a.在PF1F2中,由余弦定理可得4c2=9a2+a2-23aacosF1PF2,解得cosF1PF2=-13,所以sinF1PF2=223,又知PF1F2的面积为2,所以123aa223=2,解得a=1,所以双曲线C的实轴长为2,故选B.7

6、.(2022届河南焦作一模,11)双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线上有一点A,若|F1F2|=10,|AF1|+|AF2|=14,且AF1AF2,则双曲线的方程为()A.x225-y224=1B.x224-y225=1C.x2-y224=1D.x224-y2=1答案C设|AF1|=m,|AF2|=n,由|AF1|+|AF2|=14,得m+n=14,又AF1AF2,所以m2+n2=102,解方程组m+n=14,m2+n2=100得m=8,n=6或m=6,n=8,所以由双曲线定义得|AF1|-|AF2|=2a=2,所以a=1,又知|F1F2|=2c=1

7、0,所以c=5,所以b2=c2-a2=52-12=24,所以双曲线方程为x2-y224=1.故选C.8.(2021河北衡水中学联考(二),6)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦点F(c,0)到渐近线的距离为32c,且点(2,3)在双曲线上,则双曲线的方程为()A.x29-y23=1B.x212-y23=1C.x23-y212=1D.x23-y29=1答案D双曲线x2a2-y2b2=1的焦点F(c,0)到渐近线bxay=0的距离为bca2+b2=32c,解得b=32c,所以b2=34c2,又c2=a2+b2,所以b2=3a2,因为点(2,3)在双曲线上,所以4a2-3b2=1,联

8、立解得a2=3,b2=9,所以双曲线的方程为x23-y29=1.故选D.9.(2022届兰州摸底,10)已知椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1b10)和双曲线C2:x2a22-y2b22=1(a20,b20),若椭圆的离心率e1=32,椭圆和双曲线渐近线的交点与椭圆其中一个焦点的连线垂直于x轴,则双曲线的一条渐近线的斜率为()A.23B.3C.33D.36答案D设椭圆的半焦距为c1,双曲线的半焦距为c2,由已知不妨设双曲线的一条渐近线与椭圆的交点为c1,b12a1,所以双曲线的此条渐近线的斜率k=b12a1c1=a12-c12a1c1=1e1-e1=36.故选D.10.(2020河南四

9、校3月模拟,10)已知F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,点A是双曲线上第二象限内一点,且直线AF1与双曲线的渐近线y=bax平行,AF1F2的周长为9a,则该双曲线的离心率为()A.2B.5C.3D.23答案A由题意知,|AF2|-|AF1|=2a,|AF2|+|AF1|=9a-2c,解得|AF2|=11a-2c2,|AF1|=7a-2c2.因为直线AF1与双曲线的渐近线y=bax平行,所以tanAF1F2=ba,即cosAF1F2=ac,所以cosAF1F2=ac=|AF1|2+4c2-|AF2|22|AF1|2c,化简,得c2+2ac-8a2=0,即e2+

10、2e-8=0,解得e=2(舍负).故选A.11.(2022届河南十校联考(一),9)已知双曲线E:x23-y2=1,F为E的左焦点,P,Q为双曲线E右支上的两点,若线段PQ经过点(2,0),PQF的周长为83,则线段PQ的长为()A.2B.23C.4D.43答案B由已知得a=3,b=1,c=2,则双曲线E的右焦点F(2,0)在线段PQ上,则|PF|=|PF|+23,|QF|=|QF|+23,所以PQF的周长为|PF|+|QF|+|PQ|=2|PQ|+43=83,所以|PQ|=23.故选B.12.(2022届河北沧州一中月考,8)已知F1,F2分别是双曲线C:x23-y2=1的左,右焦点,点M在

11、直线x-y+3=0上,则|MF1|+|MF2|的最小值为()A.213B.6C.26D.5答案C由双曲线C:x23-y2=1可得a2=3,b2=1,所以c2=a2+b2=4,可得c=2,所以F1(-2,0),F2(2,0),设点F2(2,0)关于直线x-y+3=0对称的点为P(m,n),由m+22-n2+3=0,nm-2=-1可得m=-3,n=5,所以P(-3,5),所以|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|PF1|,当且仅当P,M,F1三点共线时等号成立,|PF1|=-3-(-2)2+(5-0)2=26,所以|MF1|+|MF2|的最小值为26.故选C.13.(2022届四川南充适应性

12、考试,9)已知双曲线y2a2-x2b2=1(a0,b0)的上、下焦点分别为F1,F2,过F1作双曲线渐近线的垂线F1P,垂足为点P,若POF1(O为坐标原点)的面积为36a2,则双曲线的离心率为()A.2B.3C.396D.233答案D不妨取渐近线ax-by=0,则双曲线的上焦点(0,c)到该渐近线的距离为|bc|a2+b2=b,所以|F1P|=b,在RtF1PO中,|OF1|=c,所以|OP|=|OF1|2-|F1P|2=c2-b2=a,所以SOF1P=12ab,即12ab=36a2,所以ba=33,又知e=ca=1+b2a2,所以e=1+13=233.故选D.14.(2022届安徽蚌埠调研

13、,10)已知F1、F2分别为双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,P为圆x2+y2=c2与双曲线C1的交点,且tanPF1F2=13,则该双曲线的离心率为()A.102B.173C.2D.3答案A如图,不妨设点P在第一象限.由已知得PF1PF2.在RtF1PF2中,tanPF1F2=13,可设|PF2|=m,则|PF1|=3m,则|F1F2|=|PF1|2+|PF2|2=10m=2c,又由|PF1|-|PF2|=2a得2a=2m,所以e=2c2a=102.故选A.二、填空题15.(2022届湖北部分学校11月质检,13)已知双曲线C的中心在坐标原点,一个焦点与抛物线y=

14、x212的焦点相同,且它的一条渐近线方程为y=255x,则C的方程为.答案y24-x25=1解析由题意可设双曲线C的方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0),因为双曲线的一条渐近线方程为y=255x,所以ab=255,又因为抛物线y=x212的焦点是(0,3),所以c=3,则a2+b2=c2=9.由解得a2=4,b2=5,则C的方程为y24-x25=1.16.(2022届湖南岳阳一中入学考试,14)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦距为25,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则该双曲线的方程为.答案x24-y2=1解析双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近

15、线方程为y=bax,由已知得与直线2x+y=0垂直的渐近线为y=bax,所以-2ba=-1,即a=2b,又a2+b2=c2=5,则a=2,b=1.故双曲线的方程为x24-y2=1.17.(2022届安徽蚌埠10月联考,14)过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A,若以C的右焦点为圆心,4为半径的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为.答案x24-y212=1解析由题意得c=4,a2+b2=16,而双曲线的渐近线方程为y=bax,故不妨设A(a,b),则有(a-4)2+b2=16,又b2=c2-a2,从而可得a=2,则a2=

16、4,b2=12,所以双曲线C的方程为x24-y212=1.18.(2022届湖北部分重点中学开学联考,13)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=2x,则C的离心率为.答案5解析由题意得ba=2,所以e2=c2a2=1+b2a2=1+22=5,即e=5.故C的离心率为5.19.(2022届长沙雅礼中学月考一,15)已知F为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,过F作与x轴垂直的直线交双曲线于A,B两点,若以AB为直径的圆过坐标原点,则该双曲线的离心率为.答案5+12解析设双曲线的半焦距为c,c0,则F(c,0),把x=c代入双曲线方程得y=b2a,不

17、妨令Ac,b2a,Bc,-b2a,因为以AB为直径的圆过坐标原点,所以c=b2a,所以ac=c2-a2,可得e2-e-1=0,又e1,所以e=1+52.三、解答题20.(2022届广东11月大联考,20)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,且过点P(2,3).(1)求C的方程;(2)斜率为55的直线l与C交于P,Q两点,且与x轴交于点M,若Q为PM的中点,求l的方程.解析(1)因为e=ca=1+ba2=2,所以ba=3,即b=3a.则双曲线方程可化为x2a2-y23a2=1,将点P(2,3)代入得4a2-93a2=1.解得a2=1,故C的方程为x2-y23=1.(2

18、)设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(m,0),因为Q为PM的中点,所以y1=2y2.因为直线l的斜率为55,所以可设l的方程为x=5y+t.联立x2-y23=1,x=5y+t,得14y2+65ty+3(t2-1)=0,=(65t)2-4143(t2-1)=12(t2+14)0,由根与系数的关系可得y1+y2=-35t7,y1y2=3(t2-1)14,因为y1=2y2,所以y1+y2=3y2=-35t7,解得y2=-5t7,y1y2=2y22=2-5t72=3(t2-1)14,解得t2=21,即t=21,故l的方程为x-5y21=0.21.(2022届广东深圳实验学校、长沙市一中联考,2

19、0)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左,右焦点分别是F1,F2,渐近线分别为l1,l2,过F2作渐近线的垂线,垂足为P,且OPF1的面积为b24.(1)求双曲线C的离心率;(2)动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且OAB的面积恒为8,是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线C?若存在,求出双曲线C的方程;若不存在,说明理由.解析(1)由题意知,|PF2|=b,|OP|=a,由PF2OP得SOPF2=ab2,又因为SOPF1=SOPF2=b24,所以ab2=b24,解得b=2a,则c=5a,所以双曲线C的离心率e=5.(2)由(1)得渐近

20、线l1:y=2x,l2:y=-2x,设双曲线的方程为x2a2-y24a2=1,依题意得直线l的斜率不为零,因此设直线l的方程为x=my+t,-12m0,设直线l交x轴于点D(t,0),A(x1,y1)(x10,y10),B(x2,y2)(x20,y20,联立x=my+t,x2a2-y24a2=1,得(4m2-1)y2+8mty+4(t2-a2)=0,若直线l与双曲线C只有一个公共点,则=0,即=64m2t2-16(4m2-1)(t2-a2)=0,将式代入可得a2=4,所以双曲线的方程为x24-y216=1,因此,存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线C,双曲线C的方程为x24-y216=1.