2023年中国西部数学邀请赛第一、二天试题.pdf

1、2023 年中国西部数学邀请赛中国 重庆金华一中数学竞赛组整理第一天8 月 6 日8：0012：00每题 15 分1是否存在 6 个两两不同的整数,a b c d e f，使得它们恰为关于 x 的方程2320()xa xbxc xdxexf的 6 个根？2某个国家有 2023 个岛和 2022 座桥，任意一座桥连接两个不同的岛，任意两个岛之间至多有一座桥相连，且可以从任意一个岛通过若干座桥到达其他任何岛若三个岛中的某个岛与另两个岛都有桥连接，则称这三个岛组成“岛群”已知任两个“岛群”中都有相同的岛，那么恰有一座桥的岛最少有多少个？3如图，已知ABCD内两点,P Q 满足PBCQBA 且PCBQ

2、CA，线段 BC 上一点 D 满足PDBQDC 设点 A 关于直线,BP CQ 的对称点分别为,X Y 证明：DXDY4设 p 为质数，整数,a b c 均与 p 互质证明：存在绝对值均小于p 的整数1234,x xx x，满足1234(mod)ax xbx xcp#QQABQQwUogAIABJAABhCAQnQCkKQkACCCIgGhAAMoAAACQFABAA=#2023 年中国西部数学邀请赛中国 重庆金华一中数学竞赛组整理第二天8 月 7 日8：0012：00每题 15 分5设非负实数12100,a aa满足对任意 299i，有11max,iiiiaa aai 求12100aaa的最

3、小值6如图，设圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点为 E，ABED的外心为 K，点 B 关于直线 CD 的对称点为 X，点 Y 满足四边形 DKEY 是平行四边形证明：点,D E X Y 共圆7对于正整数,x y，用()xr y 表示满足(mod)ryx的最小正整数 r 对任意正整数,a b n，证明：1()()2nbin abr ai8一个100 100方格表的左下角小方格中有一只老鼠，右下角小方格中有一块奶酪老鼠希望移动到右下角小方格中吃奶酪，每次可以从一个小方格移动到相邻的小方格（两个小方格相邻指它们有公共边）现在在一些小方格的边上放置隔板，老鼠在移动时不能越过隔板称一种放置隔板的方式是“仁蒸的”，如果放置隔板后老鼠仍能吃到奶酪求最小的正整数 n，使得对任意一种“仁蒸的”放置 2023 个隔板的方式，老鼠都能通过不超过 n 次移动吃到奶酪#QQABQQwUogAIABJAABhCAQnQCkKQkACCCIgGhAAMoAAACQFABAA=#