2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第14讲导数的概念及运算（讲）（Word版附解析）.docx

1、第14讲 导数的概念及运算思维导图知识梳理1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数一般地，称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)(3)函数f(x)的导函数称函数f(x)为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin

2、xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax(a0且a1)f(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax(x0，a0且a1)f(x)f(x)ln x (x0)f(x)3.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)(g(x)0)4复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积题型归纳题型1 导数的运算【例1-1】（2020春房山区期末）已知函数，则它的导函数等于AB CD【分析】根据题

3、意，有导数的计算公式可得数（1），化简变形即可得答案【解答】解：根据题意，函数，其导数（1）；故选：【例1-2】（2020春南阳期末）已知：函数，其导函数若函数的导函数，且，则的值为AB1CD【分析】求出函数的解析式，计算的值即可【解答】解：由题意设，则，符合题意，故，解得：，故，故选：【跟踪训练1-1】（2020新课标）设函数，若（1），则 【分析】先求出函数的导数，再根据（1），求得的值【解答】解：函数，若（1），则，故答案为：1【跟踪训练1-2】（2020春金凤区校级期末）已知（1），则（1）的值为【分析】根据题意，求出函数的导数，令，可得（1）（1），变形解可得（1）的值【解答】解：根

4、据题意，（1），其导数（1），令，得（1）（1），所以（1），故答案为：【名师指导】1求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导2常见形式及具体求导6种方法连乘形式先展开化为多项式形式，再求导三角形式先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导分式形式先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导根式形式先化为分数指数幂的形式，再求导对数形式先化为和、差形式，再求导复合函数先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元题型2 求切线方程【例2-1】（2020春蓝田县期末）曲线在点处的切线方程为ABCD【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再由直线方程的斜截式得答案【解答】解：由，得，曲线在

5、点处的切线方程为即故选：【例2-2】已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为_【解析】因为点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，所以设切点为(x0，y0)又因为f(x)1ln x，所以直线l的方程为y1(1ln x0)x.所以由解得x01，y00.所以直线l的方程为yx1，即xy10.【跟踪训练2-1】（2020海东市模拟）已知函数，则曲线在点处的切线的方程为 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再由直线方程的斜截式得答案【解答】解：由，得，则曲线在点处的切线的方程为故答案为：【跟踪训练2-2】(2020江西吉安一模)过点P

6、(1,1)且与曲线yx3相切的直线的条数为()A0B1C2 D3【解析】当点P为切点时，y3x2，y|x13，则曲线yx3在点P处的切线方程为y13(x1)，即3xy20.当点P不是切点时，设直线与曲线切于点(x0，y0)(x01)，则kxx01.y3x2，y|xx03x，2xx010，x01(舍)或x0，过点P(1,1)与曲线yx3相切的直线方程为3x4y10.综上，过点P的切线有2条，故选C.【名师指导】求曲线过点P的切线方程的方法(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为yy0f(x0)(xx0)(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P(x1，f

7、(x1)；第二步：写出过点P(x1，f(x1)的切线方程yf(x1)f(x1)(xx1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程yf(x1)f(x1)(xx1)可得过点P(x0，y0)的切线方程题型3 求切点坐标【例3-1】（2020春大兴区期末）过点作曲线的切线，则切点坐标为ABCD【分析】设切点的坐标为，求得函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由两点的斜率公式，解方程可得切点【解答】解：设切点的坐标为，的导数为，可得切线的斜率为，又切线过，可得，解得，则切点为故选：【跟踪训练3-1】（2020沈阳三模）过点作曲线的切线，则切点坐标为 【

8、分析】由已知结合直线的斜率公式及导数的几何意义即可求解【解答】解：因为，所以，设切点为，根据题意可得，即切点坐标故答案为：【名师指导】求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标题型4 由曲线的切线（斜率）求参数取值范围【例4-1】（2020春海淀区校级期末）曲线在点处的切线斜率为8，则实数的值为AB6C12D【分析】求得的导数，由导数的几何意义，可得切线的斜率，解方程可得的值【解答】解：的导数为，可得在点处的切线斜率为，解得故选：【例4-2】（2020春渭滨区期末）函数的图象存在与

9、直线平行的切线，则实数的取值范围是A，B，C，D，【分析】易知切线斜率为1，由题意可知，只需的值域中含有1即可由此构造的不等式，解出的范围【解答】解：，由题意，只需，有解，则只需的值域中包含1即可当时，显然不符合题意；当时，的开口向下，在对称轴处取得最大值，故，即，结合得，即为所求故选：【跟踪训练4-1】（2020春未央区校级期末）直线与曲线相切，则的值为【分析】求出原函数的导函数，设直线与曲线相切于，得到函数在处的导数，再由题意列关于与的方程组求解【解答】解：由，得，设直线与曲线相切于，则，解得的值为2故答案为：2【名师指导】1利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切

10、线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围2求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上题型5 两曲线的公切线问题【例5-1】（2020上饶三模）已知与有相同的公切线，设直线与轴交于点，则的值为A1B0CD【分析】分别设出切点，然后利用导数表示出切线方程，再利用是公切线，列出方程，求出切点，问题即可获解【解答】解：对于，设切点为，因为，故故切线方程为：即；对于，设切点为，故切线为：，即根据为公切线得：，解得故切线为令得故选：【跟踪训练5-1】（2020遂宁模拟）若存在，使得函数与在这两函数图象的公共点处的切线相同，则的最大值为ABCD【分析】设公共点为，然后根据公共点处函数值相等、导数值相等，列出关于公共点满足的方程组，将消去，得到关于，的等量关系式，整理成（a）的形式，求函数的最值即可【解答】解：设公共点为，且所以，由得，解得或（舍将代入式整理得：，令（a），令（a）得，且时，（a）故（a）在上递增，在上递减故（a）故的最大值为故选：【名师指导】解决此类问题通常有两种方法：一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；二是设公切线l在yf(x)上的切点P1(x1，f(x1)，在yg(x)上的切点P2(x2，g(x2)，则f(x1)g(x2).