2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第19讲导数的应用——利用导数研究函数零点问题（达标检测）（Word版附解析）.docx

1、导数的应用利用导数研究函数零点问题达标检测A组应知应会1（2020春海淀区校级期末）已知函数有最小值，则函数的零点个数为A0B1C2D不确定【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质判断即可【解答】解：，若函数有最小值，则不能恒大于等于0，故存在使得，即有2个不相等的实数根，即函数的零点个数为2个，故选：2（2020春辽宁期末）函数在上有两个零点，且，则实数的最小值为ABCD【分析】函数，变形为，令，利用导数求最值，可得结合，可得时，取得最小值再把，代入，求解，再代入，即可求得的最小值【解答】解：函数，变形为，令，得，当时，当时，可得时，函数取得最小值又当时，当时，且函数在上有两个零点，得由，

2、可得时，取得最小值由，得，解得代入，解得的最小值为故选：3（2020包头二模）已知函数是定义在上连续的奇函数，且当时，则函数的零点个数是A0B1C2D3【分析】分析可得为上连续的奇函数，且在上为增函数，说明函数只有1个零点，可得选项【解答】解：，函数是定义在上连续的奇函数，则函数，其定义域为，则，则为上连续的奇函数，则，又由当时，则有，即函数为上的增函数，又由为上连续的奇函数，且，则为上的增函数，故函数只有1个零点，故选：4（2020武汉模拟）已知函数在无零点，则实数的取值范围为AB，C，D，【分析】函数在无零点，可转化为无正实数根，研究函数的值域，只要在值域之外取值即可【解答】解：函数在无零

3、点，显然不是函数的零点故问题可转化为无正实数根，令，令得，当，时，故在上递减；当时，递增又时，；时，；时，；，作出函数与的图象：可知，当介于轴（包括轴）与点之间时，原函数在上无零点故即为所求故选：5（2020湖北模拟）已知存在唯一零点，则实数的取值范围ABCD【分析】先由题设条件得到，再研究的奇偶性，把问题转化为当时，函数无零点利用放缩法与单调性求出的取值范围【解答】解：由题意知，存在唯一零点，只有一个零点0，是奇函数，故只考虑当时，函数无零点即可当时，有，令，则，在上单调递增，故选：6（2020临汾模拟）若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为ABCD【分析】原问题等价于关于的方程有且只有

4、一个实根显然，分离参数可得有且只有一个实根，然后构造函数，结合导数分析函数的特征，结合图象可求【解答】解：函数有且只有一个零点，等价于关于的方程有且只有一个实根显然，方程有且只有一个实根设函数，则设，为增函数，又（1）当时，为增函数；当时，为减函数；当时，为增函数；在时取极小值1当趋向于0时，趋向于正无穷大；当趋向于负无穷大时，趋向于负无穷大；又当趋向于正无穷大时，趋向于正无穷大图象大致如图所示：方程只有一个实根时，实数的取值范围为，故选：7（2019兰州模拟）已知函数，当时，函数的零点个数为 【分析】通过导函数的符号判断函数的单调性，通过零点判断定理转化求解即可【解答】解：函数，可得，时，函

5、数是减函数，（1），所以函数函数，当时，函数的零点个数为1故答案为：18（2020济南二模）已知函数，若有两个零点，则实数的取值范围是 【分析】先对求导，根据的范围研究的符号，判断的单调性，结合有两个零点，求出的取值范围【解答】解：由题知：，当时，单调递增，至多有一个零点，不合题意；当时，令，易知在单调递减，在单调递增，故的最小值为有两个零点，当时，解得故答案为：9（2020春贵池区校级期中）已知函数有3个零点，则实数的取值范围为 【分析】构造函数，利用函数的图象，通过函数的导数，求出切线的斜率，然后推出的范围【解答】解：函数有3个零点，就是有3个解，也就是与的图象有3个交点，显然，在同一个坐

6、标系中画出两个函数的图象，如图：设切点，则，可得，解得，所以直线与指数函数相切时，函数有3个零点，可得故答案为：10（2020盐城三模）设函数，若函数与函数都有零点，且它们的零点完全相同，则实数的取值范围是 【分析】由题意可求，所以函数，当时，易得符合题意，当时，函数，有两个零点，由，得和，所以方程无解，利用即可求出的取值范围【解答】解：设零点为，则，函数，当时，函数，都有唯一零点，符合题意；当时，函数，有两个零点，此时，得和，已满足有两个相同的零点，方程无解，即方程无解，解得：，综上所述，实数的取值范围是：，故答案为：，11（2020春新华区校级期中）设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取

7、值范围 【分析】首先，画出函数的图象，然后，借助于图象，结合在区间上有三个零点，进行判断【解答】解：函数的图象如图示：当时，显然，不满足题意当时，如图所示，当，时，存在一个零点，当时，可得，若，可得，为减函数，若，可得，为增函数，此时必须在上有两个零点，即， 解得，在区间上有三个零点时，故答案为：12（2020春烟台期末）已知函数（1）求函数的极值；（2）若函数有3个零点，求的取值范围【分析】（1）求导得，令得或，列表格分析随着变化，变化情况，进而得出极值（2）由（1）可知要使得函数有3个零点，只需，进而解出的取值范围【解答】解：（1），令，解得或，则随着变化，变化情况如下表： ， 0 0 单

8、调递增 极大值 单调递减 极小值单调递增所以，当时，取得极大值，当时，取得极小值（2）要使得函数有3个零点，只需，解得13（2020新课标）设函数，曲线在点，处的切线与轴垂直（1）求；（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1【分析】（1）求出原函数的导函数，由题意可得，由此求得值；（2）设为的一个零点，根据题意，且，得到，由，对求导数，可得在，上的单调性，得到设 为的零点，则必有，可得，由此求得的范围得答案【解答】（1）解：由，得，即；（2）证明：设为的一个零点，根据题意，且，则，由，令，当，时，当，时，可知在，上单调递减，在，上单调递增又，（1），设 为的零点，则

9、必有，即，得，即所有零点的绝对值都不大于114（2019新课标）已知函数，为的导数证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点【分析】（1）的定义域为，求出原函数的导函数，进一步求导，得到在上为减函数，结合，由零点存在定理可知，函数在上存在唯一得零点，结合单调性可得，在上单调递增，在，上单调递减，可得在区间存在唯一极大值点；（2）由（1）知，当时，单调递减；当时，单调递增；由于在，上单调递减，且，可得函数在，上存在唯一零点，结合单调性可知，当，时，单调递增；当时，单调递减当，时，单调递减，再由，然后列，与的变化情况表得答案【解答】证明：（1）的定义域为，令，则在恒成立，在上为减函

10、数，又，由零点存在定理可知，函数在上存在唯一的零点，结合单调性可得，在上单调递增，在，上单调递减，可得在区间存在唯一极大值点；（2）由（1）知，当时，单调递增，单调递减；当时，单调递增，单调递增；由于在，上单调递减，且，由零点存在定理可知，函数在，上存在唯一零点，结合单调性可知，当，时，单调递减，单调递增；当时，单调递减，单调递减当，时，于是，单调递减，其中，于是可得下表： 0 00 单调递减 0单调递增 大于0单调递减 大于0单调递减 小于0结合单调性可知，函数在，上有且只有一个零点0，由函数零点存在性定理可知，在，上有且只有一个零点，当，时，则恒成立，因此函数在，上无零点综上，有且仅有2个

11、零点15（2020沙坪坝区校级模拟）已知函数，是自然对数的底数）（1）若，讨论函数在上的零点个数；（2）设，点是曲线上的一个定点，实数，为的导函数试比较与的大小，并证明你的结论【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最小值，判断函数的零点个数即可；（2）代入的值，原不等式等价于，不妨设，原不等式等价于，两边同除以得到，即令，根据函数的单调性证明结论即可【解答】解：（1）若，则，所以：，易知，因为，所以在上单调递增，所以：，单调递减，单调递增，所以函数在上的零点个数为0 （4分）（2）证明：，则所以，原不等式等价于，等价于（7分）不妨设，原不等式等价于两边同除以得到，即令，则令对

12、恒成立，在单调递增，因为，所以对恒成立，所以16（2020春未央区校级月考）已知函数有两个零点，（1）求实数的取值范围；（2）求证：【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间，由时，时，即对任意，存在，满足再由当时，可得函数有两个零点的充要条件为，即，化简得的范围；（2）函数有两个零点，可得，联立可得，把证转化为证，不妨设，则转化为令，即证，令，求导即可证明，故结论成立【解答】（1）解：由，解得，由，解得，函数在上单调递增，在，上单调递减当时，当时，令，则故，综上，对任意，存在，满足另一方面，当时，因此，函数有两个零点的充要条件为即，化简得：，故的范围为；（2）证明：函数有两个零点，即要证，即证

13、不妨设，则令，即证，令，则（1），即，即B组强基必备1（2020全国三模）已知函数有两个零点，且则下列结论中不正确的是ABCD【分析】求出原函数的导函数，可知当时函数有极小值，求出极小值，再由极小值小于0求解的范围判断；分析函数两零点大于0，代入原函数，可得，得到判断；由，设，则，为的两个零点，利用导数求解的范围与的范围判断与【解答】解：，当时，在上恒成立，此时在上单调递减，不合题意；当时，由，解得，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调减区间为，单调增区间为，可知当时，函数取得极小值为，又当时，时，要使函数有两个零点，则，得，故正确；由，极小值点，可得，是的两个零点，可得，故，故错误；由

14、，设，则，为的两个零点，得在上单调增，在上单调减，故正确；设，则，恒成立，则在上单调增，（1），即，得又在上单调减，即，故正确综上，错误的结论是故选：2（2020绵阳模拟）若函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围 【分析】分离参数，先证明；解得：；由于函数有且仅有一个零点；设，；所以直线与函数有且只有一个交点；研究函数的图象特点及单调性，画出大致图象，即可得出结果【解答】解：令，；则，时，；时，；于是在上递减，在上递增；最小值为（1），；由，即，解得：；设，；由于函数有且仅有一个零点；所以直线与函数有且只有一个交点；由，此时不能完全判断导函数值的正负；再令，得，当时，；当时，；于是，在上递减，

15、上递增那么（2）由此，的正负只同有关，由此得在上递减，在上递增，且的极小值为（1）；又时，；时，；图象大值如图所示，结合的图象，得或故答案为：或3（2020浙江）已知，函数，其中为自然对数的底数（）证明：函数在上有唯一零点；（）记为函数在上的零点，证明：（）；（）【分析】（）推导出时，恒成立，（2），由此能证明函数在上有唯一零点（），从而，进而，令，利用导数性质能证明要证明，只需证明，只需证，由此能证明【解答】证明：（），恒成立，在上单调递增，（2），又，函数在上有唯一零点（），令，一方面，在单调递增，另一方面，当时，成立，只需证明当时，当时，当时，（1），（1），在单调递减，综上，要证明，只需证，由得只需证，只需证，只需证，即证，