2021高考数学（江苏专用）一轮复习学案：第九章 9-3 变量间的相关关系、统计案例 WORD版含解析.docx

1、9.3变量间的相关关系、统计案例1相关关系与回归方程(1)相关关系的分类正相关在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关负相关在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关(2)线性回归方程能用直线方程x近似表示的相关关系叫做线性相关关系，该方程叫线性回归方程(3)最小平方法是一种求回归直线的方法，用这种方法求得的回归直线能使样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小(4)给出一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，用最小平方法求得线性回归方程的系数，满足上式还可以表示为(5)回归分析定义：对具有相关关

2、系的两个变量进行统计分析的一种常用方法样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中(，)称为样本点的中心相关系数|r|1；当r0时，表明两个变量正相关；当rr0.05，则否定H0，表明有95%的把握认为x与y之间具有线性相关关系；若|r|r0.05，则没有理由拒绝原来的假设H0，即就目前数据而言，没有充分理由认为y与x之间有线性相关关系2独立性检验(1)22列联表一般地，对于两个研究对象和，有两类取值，即类A和类B，也有两类取值，即类1和类2，得到如下列联表所示的抽样数据：类1类2合计类Aabab类Bcdcd合计acbdabcd上述表格称为22

3、列联表|adbc|越小，说明两个分类变量x，y之间的关系越弱；|adbc|越大，说明两个分类变量x，y之间的关系越强(2)2统计量2.用2的大小可判断事件A，B有关联的可信程度(3)独立性检验独立性检验的步骤要判断“与有关系”，可按下面的步骤进行：a提出假设H0：与没有关系；b根据22列联表及2公式，计算2的值；c查对临界值，作出判断其中临界值如表所示：P(2x0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001x00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828表示在H0成立的情况下，事件“2x0”

4、发生的概率推断依据a若210.828，则有99.9%的把握认为“与有关系”；b若26.635，则有99%的把握认为“与有关系”；c若22.706，则有90%的把握认为“与有关系”；d若22.706，则认为没有充分的证据显示“与有关系”，但也不能作出结论“H0成立”，即不能认为与没有关系概念方法微思考1变量的相关关系与变量的函数关系有什么区别？提示相同点：两者均是指两个变量的关系不同点：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系2线性回归方程是否都有实际意义？根据回归方程进行预报是否一定准确？提示(1)不一定都有实际意

5、义回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义(2)根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)散点图是判断两个变量是否相关的一种重要方法和手段()(2)回归方程x至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中的一个点()(3)若事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的2的观测值越小()(4)两个变量的相关系数的绝对值越接近于1，它们的相关性越强()题组二教材改编2为调查中学生近视情况，测得某校150

6、名男生中有80名近视，在140名女生中有70名近视在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力()A回归分析 B均值与方差C独立性检验 D概率答案C解析“近视”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断3下面是22列联表：y1y2合计x1a2173x2222547合计b46120则表中a，b的值分别为()A94,72 B52,50C52,74 D74,52答案C解析a2173，a52.又a22b，b74.4某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程0.67x54.9.零件数x (个)

7、1020304050加工时间y(min)62758189现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为_答案68解析由30，得0.673054.975.设表中的“模糊数字”为a，则62a758189755，a68.题组三易错自纠5某医疗机构通过抽样调查(样本容量n1 000)，利用22列联表和2统计量研究患肺病是否与吸烟有关计算得24.453，经查阅临界值表知P(23.841)0.05，现给出四个结论，其中正确的是()A在100个吸烟的人中约有95个人患肺病B若某人吸烟，那么他有95%的可能性患肺病C有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”D只有5%的把握认为“患肺病与吸烟有关”答案C解析由

8、已知数据可得，有10.0595%的把握认为“患肺病与吸烟有关”6(多选)在统计中，由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)利用最小二乘法得到两个变量的线性回归方程为x，那么下列说法正确的是()A相关系数r不可能等于1B直线x必经过点(，)C直线x表示最接近y与x之间真实关系的一条直线D相关系数为r，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小答案BCD解析相关系数的取值范围是|r|1，故A错；直线x必过样本点中心即点(，)，故B正确；直线x是采用最小二乘法求解出的直线方程，接近真实关系，故C正确；相关系数r的绝对值越接近于1，表示相关程度越大，越接近于0

9、，相关程度越小，故D正确故选BCD.7设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i1,2，n)，用最小二乘法建立的回归方程为0.85x85.71，则下列结论中不正确的是_(填序号)y与x具有正的线性相关关系；回归直线过样本点的中心(，)；若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg；若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg.答案解析正确；正确；正确对于，当x170 cm时，0.8517085.7158.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79 kg.故不正确. 相关关系的判断1在一

10、次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图根据该图，下列结论中正确的是()A人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%B人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%C人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%D人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%答案B解析观察图形，可知人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%，故选B.2某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：月份123456人均销售额658347利润率(%)12.610.418.53

11、.08.116.3根据表中数据，下列说法正确的是()A利润率与人均销售额成正相关关系B利润率与人均销售额成负相关关系C利润率与人均销售额成正比例函数关系D利润率与人均销售额成反比例函数关系答案A解析由统计表可得利润率与人均销售额不是正比例关系，也不是反比例关系，排除C和D；其属于正相关关系，A正确，B错误思维升华判定两个变量正、负相关性的方法(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关(2)相关系数：当r0时，两个变量正相关；当r0时，两个变量正相关；当 0时，两个变量负相关 回归分析命题点1线性回归分析例1(2020湖北部分重点中学联考)

12、“精准扶贫”的重要思想最早在2013年11月提出，习近平到湘西考察时首次作出“实事求是，因地制宜，分类指导，精准扶贫”的重要指导.2015年习总书记在贵州调研时强调要科学谋划好“十三五”时期精准扶贫开发工作，确保贫困人口到2020年如期脱贫某农科所实地考察，研究发现某贫困村适合种植A、B两种药材，可以通过种植这两种药材脱贫，通过大量考察研究得到如下统计数据：药材A的亩产量约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：编号12345年份20152016201720182019单价(元/公斤)1820232529药材B的收购价格始终为20元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：(1

13、)若药材A的单价y(单位：元/公斤)与年份编号x具有线性相关关系，请求出y关于x的线性回归方程，并估计2020年药材A的单价；(2)用上述频率分布直方图估计药材B的平均亩产量，若不考虑其他因素，试判断2020年该村应种植药材A还是药材B？并说明理由附：，.解(1)3，23，所以2.7，又因为，即232.73，解得14.9，所以2.7x14.9；当x6时，31.1.(2)3600.13800.24000.354200.254400.1401，若种植A种药材每亩地的收入约为31.13009 330，若种植B种药材每亩地的收入约为401208 0206.635.又P(26.635)0.01.所以有9

14、9%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间是否优秀与年级有关”思维升华 独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据制成22列联表(2)根据公式2计算2.(3)比较2与临界值的大小关系，作统计推断跟踪训练2(2017全国)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50 kg箱产量50 kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，对两

15、种养殖方法的优劣进行比较附：P(2x0)0.0500.0100.001x03.8416.63510.8282.解(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.0120.0140.0240.0340.040)50.62.因此，事件A的概率估计值为0.62.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表如下：箱产量6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg到55 kg之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg到50 kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认

16、为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法数据分析是指针对研究对象获得相关数据，运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断，形成知识的过程主要包括：收集数据、整理数据、提取信息、构建模型对信息进行分析、推断、获得结论例(2019全国)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到

17、P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)解(1)由已知得0.70a0.200.15，故a0.35.b10.050.150.700.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为20.1530.2040.3050.2060.1070.054.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.0540.1050.1560.3570.2080.156.00.素养提升考题从所给直方图中的数据来进行求甲、乙离子残留百分化的平均值的过程体现的就是数据分析素养1已知变量x和y满足关系0.1x1，变

18、量y与z正相关下列结论中正确的是()Ax与y正相关，x与z负相关Bx与y正相关，x与z正相关Cx与y负相关，x与z负相关Dx与y负相关，x与z正相关答案C解析因为 0.1x1，0.10)，所以 0.1 x ，0.1 0，所以x与z负相关故选C.2(2020合肥检测)某公司一种型号的产品近期销售情况如下表：月份x23456销售额y/万元15.116.317.017.218.4根据上表可得到线性回归方程0.75x，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为()A19.5万元 B19.25万元C19.15万元 D19.05万元答案D解析由题意，4，16.8，回归直线0.75x过(，)，可得13.8

19、，当x7时，可得0.75713.819.05.3下列现象中线性相关程度最强的是()A商店的职工人数与商品销售额之间的线性相关系数为0.87B流通费用率与商业利润率之间的线性相关系数为0.94C商品销售额与商业利润率之间的线性相关系数为0.51D商品销售额与流通费用率之间的线性相关系数为0.70答案B解析线性相关系数r的绝对值越接近于1，两个变量间的线性相关程度越强4.以下关于线性回归的判断，正确的个数是()若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；散点图中的绝大多数点都在一条直线附近，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A，B，C点；已知线性回归方程为0.50x0.81，则x25时

20、，y的估计值为11.69；回归直线的意义是它反映了样本整体的变化趋势A0 B1 C2 D3答案D解析能使所有数据点都在它附近的直线不止一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数，得到的直线x才是回归直线，不对；正确；将x25代入0.50x0.81，得11.69，正确；正确，故选D.5(2019南通模拟)2018世界特色魅力城市200强新鲜出炉，包括黄山市在内的28个中国城市入选，美丽的黄山风景和人文景观迎来众多宾客现在很多人喜欢“自助游”，某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在黄山旅游节期间，随机抽取了100人，得如下所示的列联表：赞成“自助游”不赞成“自助游”合计男性3

21、01545女性451055合计7525100参考公式：2，其中nabcd.P(2x0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001x02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参照公式，得到的正确结论是()A有99.5%以上的把握认为“赞成自助游与性别无关”B有99.5%以上的把握认为“赞成自助游与性别有关”C在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“赞成自助游与性别无关”D在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“赞成自助游与性别有关”答案D解析将22列联表中的数据代入计算，得23.030，2.7063.0307.879，所以能在犯错误的概率

22、不超过0.005的前提下认为“是否为网购达人与性别有关”13(2019福州四校联考)某汽车的使用年数x与所支出的维修总费用y的统计数据如表：使用年数x/年12345维修总费用y/万元0.51.22.23.34.5根据上表可得y关于x的线性回归方程x0.69，若该汽车维修总费用超过10万元就不再维修，直接报废，据此模型预测该汽车最多可使用(不足1年按1年计算)()A8年 B9年 C10年 D11年答案D解析由y关于x的线性回归直线x0.69过样本点的中心(3,2.34)，得1.01，即线性回归方程为1.01x0.69，由1.01x0.6910得x10.6，所以预测该汽车最多可使用11年，故选D.

23、14某工厂为了对一种新研究的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)456789销量y(件)908483807568由表中数据，求得线性回归方程为4x.若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为_答案解析由表中数据得6.5，80，由4，得106，故线性回归方程为4x106.将(4,90)，(5,84)，(6,83)，(7,80)，(8,75)，(9,68)分别代入回归方程，可知有6个基本事件，因844510686,684910670，故(5,84)和(9,68)在回归直线的左下方，满足条件的只有2个，故所求概率为.15在一组样本数据(x1，y1

24、)，(x2，y2)，(x6，y6)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i1,2，6)都在曲线ybx2附近波动经计算xi12，yi14，x23，则实数b的值为_答案解析令tx2，则曲线的回归方程变为线性的回归方程，即ybt，此时，代入ybt，得b，解得b.16为研究某种图书每册的成本费y(元)与印刷数x(千册)的关系，收集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值(xi)2(xi)(yi)(ui)2(ui)(yi)15.253.630.2692 085.5230.30.7877.049表中ui，i.(1)根据散点图判断：yabx与yc哪一个更适宜作为每册成本费y(元)与印刷

25、数x(千册)的回归方程类型？(只要求给出判断，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据建立y关于x的回归方程；(回归系数的结果精确到0.01)(3)若每册书定价为10元，则至少应该印刷多少千册才能使销售利润不低于78 840元？(假设能够全部售出，结果精确到1)(附：对于一组数据(1，v1)，(2，v2)，(n，vn)，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， )解(1)由散点图判断，yc适宜作为每册成本费y与印刷数x的回归方程(2)令u，先建立y关于u的线性回归方程，由于8.957.3.638.9570.2691.22，y关于u的线性回归方程为1.228.96u，从而y关于x的线性回归方程为1.22.(3)假设印刷x千册，由题意，得10xx78.840.即8.78x87.8，x10，至少印刷10千册