2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第7章　必刷大题14　空间向量与立体几何.docx

1、必刷大题14空间向量与立体几何1(2022新高考全国改编)如图，直三棱柱ABCA1B1C1的体积为4，A1BC的面积为2.(1)求A到平面A1BC的距离；(2)设D为A1C的中点，AA1AB，平面A1BC平面ABB1A1，求平面ABD与平面BCD夹角的正弦值解(1)设点A到平面A1BC的距离为h，因为直三棱柱ABCA1B1C1的体积为4，所以SABCAA1，又A1BC的面积为2，2h，所以h，即点A到平面A1BC的距离为.(2)取A1B的中点E，连接AE，则AEA1B.因为平面A1BC平面ABB1A1，平面A1BC平面ABB1A1A1B，AE平面ABB1A1，所以AE平面A1BC，又BC平面A

2、1BC，所以AEBC.又AA1平面ABC，BC平面ABC，所以AA1BC.因为AA1AEA，AA1，AE平面ABB1A1，所以BC平面ABB1A1，又AB平面ABB1A1，所以BCAB.以B为坐标原点，分别以，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由(1)知，AE，所以AA1AB2，A1B2.因为A1BC的面积为2，所以2A1BBC，所以BC2，所以A(0,2,0)，B(0,0,0)，C(2,0,0)，A1(0，2,2)，D(1,1,1)，E(0,1,1)，则(1,1,1)，(0,2,0)设平面ABD的法向量为n(x，y，z)，则即令x1，得n(1,0，1)又平面BDC的

3、一个法向量为(0，1，1)，所以cos，n.设平面ABD与平面BCD的夹角为，则sin ，所以平面ABD与平面BCD夹角的正弦值为.2. 如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PA平面ABCD，M是PC的中点，PAAB.(1)求证：AM平面PBD；(2)设直线AM与平面PBD交于O，求证：AO2OM.证明(1)由题意知，AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图，设PAAB2，则P(0,0,2)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，C(2,2,0)，M(1,1,1)，(2,0，2)，(0,2，2)，(1,1,1)，设平面P

4、BD的法向量为n(x，y，z)，则取x1，得n(1,1,1)，n，AM平面PBD.(2)如图，连接AC交BD于点E，则E是AC的中点，连接PE，AM平面PBDO，OAM且O平面 PBD，AM平面PAC，O平面PAC，又平面PBD平面PACPE，OPE，AM，PE的交点就是O，连接ME，M是PC的中点，PAME，PA2ME，PAOEMO，AO2OM.3. 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABCD，PAAB2CD2，ADC90，E，F分别为PB，AB的中点(1)求证：CE平面PAD；(2)求点B到平面PCF的距离(1)证明连接EF(图略)，E，F分别为PB，AB的中点，EFPA，EF

5、平面PAD，PA平面PAD，EF平面PAD，ABCD，AB2CD，AFCD，且AFCD.四边形ADCF为平行四边形，即CFAD，CF平面PAD，AD平面PAD，CF平面PAD，EFCFF，EF，CF平面EFC，平面PAD平面EFC，CE平面EFC，则CE平面PAD.(2)解ADC90，ABCD，ABAD，CFAB，又PA平面ABCD，PACF，又PAABA，CF平面PAB，CFPF.设CFx，则SAFC1x，SPFCxx，设点A到平面PCF的距离为h，由VPAFCVAPFC，得2h，则h.点F为AB的中点，点B到平面PCF的距离等于点A到平面PCF的距离，为.4. (2022全国乙卷)如图，四

6、面体ABCD中，ADCD，ADCD，ADBBDC，E为AC的中点(1)证明：平面BED平面ACD；(2)设ABBD2，ACB60，点F在BD上，当AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值(1)证明因为ADCD，E为AC的中点，所以ACDE.在ADB和CDB中，因为ADCD，ADBCDB，DBDB，所以ADBCDB，所以ABBC.因为E为AC的中点，所以ACBE.又BEDEE，BE，DE平面BED，所以AC平面BED，又AC平面ACD，所以平面BED平面ACD.(2)解由(1)可知ABBC，又ACB60，AB2，所以ABC是边长为2的正三角形，则AC2，BE，AE1.因为ADCD，

7、ADCD，所以ADC为等腰直角三角形，所以DE1.所以DE2BE2BD2，则DEBE.由(1)可知，AC平面BED.连接EF，因为EF平面BED，所以ACEF，当AFC的面积最小时，点F到直线AC的距离最小，即EF的长度最小在RtBED中，当EF的长度最小时，EFBD，EF.方法一由(1)可知，DEAC，BEAC，所以EA，EB，ED两两垂直，以E为坐标原点，EA，EB，ED所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0，0)，D(0,0,1)，C(1,0,0)，(1，0)，(0，1)易得DF，FB，所以3.设F(0，y，z)，则(0，y，z1)，(0，y

8、，z)，所以3(0，y，z1)(0，y，z)，得y，z，即F，所以.设平面ABD的法向量为n(x1，y1，z1)，则不妨取y11，则x1，z1，n(，1，)记CF与平面ABD所成的角为，则sin |cos，n|.所以CF与平面ABD所成角的正弦值为.方法二因为E为AC的中点，所以点C到平面ABD的距离等于点E到平面ABD的距离的2倍因为DEAC，DEBE，ACBEE，AC，BE平面ABC，所以DE平面ABC.因为VDAEBVEADB，所以AEBEDESABD，其中d为点C到平面ABD的距离在ABD中，BABD2，AD，所以SABD，所以d.由(1)知AC平面BED，EF平面BED，所以ACEF

9、，所以FC.记CF与平面ABD所成的角为，则sin .所以CF与平面ABD所成角的正弦值为.方法三如图，过点E作EMAB交AB于点M，连接DM，过点E作EGDM交DM于点G.因为DEAC，DEBE，ACBEE，AC，BE平面ABC，所以DE平面ABC，又AB平面ABC，所以DEAB，又EMDEE，EM，DE平面DEM，所以AB平面DEM，又EG平面DEM，所以ABEG，又ABDMM，AB，DM平面ABD，所以EG平面ABD，则EG的长度等于点E到平面ABD的距离因为E为AC的中点，所以EG的长度等于点C到平面ABD的距离的.因为EMAEsin 60，所以EG，所以点C到平面ABD的距离d.FC

10、.记CF与平面ABD所成的角为，则sin .所以CF与平面ABD所成角的正弦值为.5(2023青岛模拟)如图，在梯形ABCD中，ABDC，ADBCCD2，AB4，E为AB的中点，以DE为折痕把ADE折起，连接AB，AC，得到如图的几何体，在图的几何体中解答下列问题(1)证明：ACDE；(2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求平面DAE与平面AEC夹角的余弦值四棱锥ABCDE的体积为2；直线AC与EB所成角的余弦值为.(1)证明在图中，连接CE(图略)，因为DCAB，CDAB，E为AB的中点，所以DCAE，且DCAE，所以四边形ADCE为平行四边形，所以ADCECDAE2，同理可证DE2

11、，在图中，取DE的中点O，连接OA，OC(图略)，则OAOC，因为ADAECECD，所以DEOA，DEOC，因为OAOCO，OA，OC平面AOC，所以DE平面AOC，因为AC平面AOC，所以DEAC.(2)解若选择：由(1)知DE平面AOC，DE平面BCDE，所以平面AOC平面BCDE，且交线为OC，所以过点A作AHOC交OC于点H(图略)，则AH平面BCDE，因为S四边形BCDE2，所以四棱锥ABCDE的体积VABCDE22AH，所以AHOA，所以AO与AH重合，所以AO平面BCDE，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，C(，0,0)，E(0,1,0)，A(0,0，)，易知平面

12、DAE的一个法向量为(，0,0)，设平面AEC的法向量为n(x，y，z)，因为(，1,0)，(，0，)，所以取n(1，1)，设平面DAE与平面AEC的夹角为，则cos ，所以平面DAE与平面AEC夹角的余弦值为.若选择：因为DCEB，所以ACD即为异面直线AC与EB所成的角，在ADC中，cosACD，所以AC，所以OA2OC2AC2，即OAOC，因为DE平面AOC，DE平面BCDE，所以平面AOC平面BCDE，且交线为OC，又OA平面AOC，所以AO平面BCDE，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，C(，0,0)，E(0,1,0)，A(0,0，)，易知平面DAE的一个法向量为(，

13、0,0)，设平面AEC的法向量为n(x，y，z)，因为(，1,0)，(，0，)，所以取n(1，1)，设平面DAE与平面AEC的夹角为，则cos ，所以平面DAE与平面AEC夹角的余弦值为.6. (2022连云港模拟)如图，在三棱锥ABCD中，ABC是正三角形，平面ABC平面BCD，BDCD，点E，F分别是BC，DC的中点(1)证明：平面ACD平面AEF；(2)若BCD60，点G是线段BD上的动点，问：点G运动到何处时，平面AEG与平面ACD的夹角最小(1)证明因为ABC是正三角形，点E是BC的中点，所以AEBC，又因为平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，AE平面ABC，所以AE平面

14、BCD，又因为CD平面BCD，所以CDAE，因为点E，F分别是BC，CD的中点，所以EFBD，又因为BDCD，所以CDEF，又因为AEEFE，AE平面AEF，EF平面AEF，所以CD平面AEF，又因为CD平面ACD，所以平面ACD平面AEF.(2)解在平面BCD中，过点E作EHBD，垂足为H，此时EHCD，即H为BD的中点，设BC4，则EA2，DFFC1，EF.以E为原点，以EH，EF，EA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0,0,0)，A(0,0,2)，C(1，0)，D(1，0)，设G(1，y,0)(y)，则(0,0,2)，(1，2)，(2,0,0)，(1，y,0), 设平面AEG的法向量为n1(x1，y1，z1)，则令y11，得n1(y，1,0)，设平面ACD的法向量为n2(x2，y2，z2)，则令z21，得n2(0,2,1)，设平面AEG与平面ACD的夹角为，则cos |cosn1，n2|，当y0时，cos 最大，此时平面AEG与平面ACD的夹角最小，故当点G为BD的中点时，平面AEG与平面ACD的夹角最小