数学必修五北师大版 2.1　正弦定理与余弦定理教案.doc

1、 正弦定理和余弦定理教案 第一课时 正弦定理(一) 课题引入如图11-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。 A思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B (图1.1-1)(二) 探索新知在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1.1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，又, A则 b c从而在直角三角形ABC中， C a B(图1.1-2)思考：那么对于任意的三角形

2、，以上关系式是否仍然成立？（让学生进行讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1.1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则， C 同理可得， b a从而 A D B (图1.1-3)让学生思考：是否可以用其它方法证明这一等式？证明二：（等积法）在任意斜ABC当中SABC= 两边同除以即得：=证明三：（外接圆法）如图所示， (R为外接圆的半径)同理 =2R，2R由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。证明四：（向量法） 过A作单位向量垂直于由+ = 两边同乘以单位向量 得 (+)=则+=|cos90+|cos(90-C

3、)=| |cos(90-A)同理，若过C作垂直于得： = =从而 类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（让学生课后自己推导）从上面的研究过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即(三) 理解定理(1) 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，；(2）等价于，从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。(四) 例题剖析例1在中，已知，cm，

4、解三角形。(课本p3，例1)解：根据三角形内角和定理，根据正弦定理，根据正弦定理，例2在中，已知cm，cm，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。(课本p4，例4)解：根据正弦定理，因为，所以，或(1) 当时，(2) 当时， 评述：例1，例2都使用正弦定理来解三角形，在解三角形过程中都使用三角形内角和定理，可见，三角形内角和定理在解三角形中的重要应用。应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。(五) 课堂练习第5页练习第1(1)、2(1)题。(六) 课时小结(让学生归纳总结)(1) 定理的表示形式：；或，(2) 正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知

5、两边和其中一边对角，求另一边的对角。第二课时 余弦定理(一) 课题引入如图1.1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, C已知a,b和C，求边c。 b a A c B(图1.1-4)(二) 探索新知联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 如图11-5，设，那么c=a-b， =cc=(a-b) (a-b) A=a a + b b -2ab b c从而 C a B 同理可证 (图11-5)于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边

6、与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 让学生思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：(三) 理解定理从而知余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。让学生思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若ABC中，C=，则，这时由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。(四) 例题剖析例1 在ABC中，已知B=60 c

7、m，C=34 cm，A=41，解三角形(角度精确到1，边长精确到1 cm）。(课本P7 例3)解：根据余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA=602+342-26034cos413 600+1 156-4 0800.754 71 676.82，所以，a41 cm.由正弦定理得sinC=0.544 0.因为C不是三角形中最大的边，所以C是锐角.利用算器可得C33,B=180-(A+C)=180-(41+33)=106.例2 在ABC中，已知，解三角形。解：由余弦定理的推论得：coscos 评述：例1和例2是对余弦定理及其推论的运用，加深对定理及其推论的理解和运用。在利用余弦定理解三角形时，也要注意判断有两解的情况。(五) 课堂练习 第8页练习第1(1)、2(1)题。补充练习在ABC中，若，求角A（答案：A=120）(六) 课时小结(让学生归纳总结) (1) 余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；(2) 余弦定理的应用范围： 已知三边求三角； 已知两边及它们的夹角，求第三边。