2024高考数学 基础知识综合复习 优化集训15 平面向量基本定理.docx

1、优化集训15平面向量基本定理基础巩固1.已知向量a=(-2,3),b=(2,-3),则下列结论正确的是()A.向量a的终点坐标为(-2,3)B.向量a的起点坐标为(-2,3)C.向量a与b互为相反向量D.向量a与b关于原点对称2.若向量a=(3,4),且存在实数x,y,使得a=xe1+ye2,则e1,e2可以是()A.e1=(0,0),e2=(-1,2)B.e1=(-1,3),e2=(2,-6)C.e1=(-1,2),e2=(3,-1)D.e1=(-12,1),e2=(1,-2)3.(2023浙江A9协作体)平面向量a=(1,x),b=(-2,3),若a与b共线,那么x的值为()A.-32B.

2、-23C.32D.234.已知向量a=(2,x2),b=(-1,y2-2),若a=b(R),则实数y的取值范围为()A.-1,1B.-2,2C.0,2D.2,+)5.已知向量a=(2,-1),b=(-3,2),且表示向量a+3b,-2a-2b,c的有向线段首尾相接构成三角形,则向量c的坐标为()A.(5,-3)B.(-5,3)C.(-1,1)D.(1,-1)6.(2023浙江台金六校)若a=(1,2),b=(x,3)且ab=4,则x=()A.-2B.-12C.12D.107.已知|a|=3,|b|=4,则“|a+b|=7”是“向量a与b共线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条

3、件D.既不充分也不必要条件8.(2023浙江浙北G联盟)已知向量a=(-1,1),b=(1,m),若a(ma+b),则m=()A.13B.1C.-13D.-19.已知a=(1,2+sin x),b=(2,cos x),c=(-1,2),(a-b)c,则锐角x等于()A.45B.30C.15D.6010.(多选)已知向量a,b是两个非零向量,在下列条件中,一定能使a,b共线的有()A.2a-3b=4e且a+2b=-2eB.存在不相等的实数,使a-b=0C.xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0)D.已知梯形ABCD,其中AB=a,CD=b11.(多选)已知向量a=(2,1),b=(cos

4、,sin )(0),则下列说法不正确的是()A.若ab,则tan =-2B.若b在a上的投影向量为36a,则向量a与b夹角为23C.与a共线的单位向量的坐标只有一个,为(63,33)D.存在,使得|a+b|=|a|-|b|12.(2023浙江9+1联盟)已知向量a=(1,1),则与a垂直的单位向量是.13.已知|OA|=1,|OB|=2,AOB=150,OC=xOA+yOB.若点C在AOB外,且OC=2,BOC=60,则x=,y=.14.(2023浙江温州知临中学)设e1,e2是两个不共线的向量,若向量m=-e1+ke2(kR)与向量n=e2-2e1共线,则k=.15.(2023浙江强基联盟)

5、已知向量a=(2,1),b=(4-n,m),m0,n0.若ab,则nm+8n的最小值为.16.平面内给定三个向量a=(3,-2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)求满足c=xa+yb的实数x,y的值;(2)若(a+kb)(c-2a),求实数k的值.能力提升17.在ABC中,A=90,AB=1,AC=2.设点P,Q满足AP=AB,AQ=(1-)AC,R.若BQCP=-2,则等于()A.13B.23C.43D.218.在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足|OA|=|OB|=OAOB=2,则点集P|OP=OA+OB,|+|1,R所表示的区域的面积是()A.43B.42C.23D

6、.2219.(多选)(2023浙江温州十校)关于平面向量,有下列四个说法,则正确的说法有()A.已知向量a=(2,t),b=(t-2,4),若ab,则t=4B.设向量a,b,c,则(ab)c=a(bc)C.若向量a和向量b是单位向量,且=3,则(2a-b)bD.若向量a=(-2,-1),b=(1,2),则向量a在向量b上的投影向量是(-45,-85)20.(2023浙江温州十校)e1,e2是平面内两个不共线的向量,且a=e1+ke2,b=4ke1+e2.若ab,则实数k=.21.(2023浙江温州新力量联盟)根据毕达哥拉斯定理,以直角三角形的三条边为边长作正方形,从斜边上作出的正方形的面积正好

7、等于在两直角边作出的正方形的面积之和.现在对直角三角形CDE按上述操作作图后,得到如图所示的图形.若AF=xAB+yAD,则x+y=.22.如图,在等腰梯形ABCD中,ABCD,AD=DC=CB=12AB,点P是线段DC上的动点.(1)若AC=xAB+yAD,求x,y的值;(2)若AC=AP+BD,求的取值范围.优化集训15平面向量基本定理基础巩固1.C2.C解析 由题意e1,e2不共线或a,e1,e2共线,只有C符合.3.A4.B5.A解析 c+a+3b-2a-2b=0,c=a-b=(5,-3).6.A7.A解析 若向量a与b同向共线,由|a|=3,|b|=4,可得|a+b|=7;若向量a与

8、b反向共线,由|a|=3,|b|=4,可得|a+b|=1.所以由“向量a与b共线”不能推出“|a+b|=7”.若|a+b|=7,|a|=3,|b|=4,则|a|2+2ab+|b|2=49,所以ab=12,所以cos=ab|a|b|=1.因为向量a与b夹角0,所以=0,即向量a与b共线.所以由“|a+b|=7”能推出“向量a与b共线”.因此,“|a+b|=7”是“向量a与b共线”的充分不必要条件.故选A.8.D解析 ma+b=(1-m,2m),由a(ma+b)得,-2m-(1-m)=0,解得m=-1.故选D.9.A解析 由题意得a-b=(-1,2+sinx-cosx),再由(a-b)c可得-2-

9、(-1)(2+sinx-cosx)=0,化简可得sinx=cosx,tanx=1,锐角x为45.10.AB解析 对于A,因为向量a,b是两个非零向量,2a-3b=4e且a+2b=-2e,所以a=27e,b=-87e,此时a,b共线,故A正确;对于B,存在不相等的实数,使a-b=0,且a,b是两个非零向量,所以向量a,b是共线向量,故B正确;对于C,xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0),若x=y=0,则a,b不一定共线,故C不正确;对于D,已知梯形ABCD,AB=a,CD=b,若AB,CD是梯形的上、下底,则a,b共线,否则a,b不一定共线.故选AB.11.BCD解析 对于A,若ab,

10、则ab=2cos+sin=0,因为0,若=2,则ab=2cos+sin=10,不符合题意,所以cos0,所以2+tan=0,即tan=-2,故A正确;对于B,由已知可得|a|=3,|b|=1,b在a上的投影向量为|b|cosa|a|=33cosa=36a,则cos=12,因为0,则=3,故B不正确;对于C,与a共线的单位向量为a|a|=33a,故与a共线的单位向量的坐标为63,33和-63,-33,故C不正确;对于D,由B选项可知|a|-|b|=3-10,若存在,使得|a+b|=|a|-|b|,则a,b方向相反,则sin0,n0),nm+8n=nm+4m+2nn=2+nm+4mn2+2nm4m

11、n=6,当且仅当nm=4mn且2m+n=4(m0,n0),即n=2,m=1时,等号成立.故nm+8n的最小值为6.16.解 (1)由c=xa+yb得(4,1)=(3x-y,-2x+2y),3x-y=4,-2x+2y=1,解得x=94,y=114.(2)a+kb=(3-k,-2+2k),c-2a=(-2,5),(a+kb)(c-2a),5(3-k)+2(-2+2k)=0,k=11.能力提升17.B解析 (方法1坐标法)建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(0,2).由AP=AB,AQ=(1-)AC,可得P(,0),Q(0,2-2),则BQ=(-1,2-2),CP=(,-

12、2),所以BQCP=-+4-4=3-4=-2,即=23.故选B.(方法2)BQ=AQ-AB=(1-)AC-AB,CP=AP-AC=AB-AC,BQCP=(-1)AC2-AB2=4(-1)-=3-4=-2,即=23.故选B.18.A解析 由条件可知,AOB=3,点集所在区域如图中矩形ABCD,计算得其面积为S=43.故选A.19.CD解析 a=(2,t),b=(t-2,4),若ab,则24-(t-2)t=0,即t2-2t-8=0,解得t=-2或4,故A错误;当ab0且bc0,且a,c不共线时,(ab)ca(bc),故B错误;当a,b是单位向量,=3时,(2a-b)b=2ab-b2=212-1=0

13、,则(2a-b)b,故C正确;a=(-2,-1),b=(1,2),a在b上的投影向量为ab|b|b|b|=-45(1,2)=-45,-85,故D正确.故选CD.20.12解析 因为ab,所以R,使得b=a成立,即e1+ke2=4ke1+e2.因为e1,e2不共线,所以1=4k,k=,解得k=12.21.4+32解析 如图,以A为原点,分别以AB,AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,设正方形ABCD的边长为2a,则正方形DEHI的边长为3a,正方形EFGC的边长为a.可知A(0,0),B(2a,0),D(0,2a),DF=(3+1)a.则xF=(3+1)acos30,yF=(3+1)as

14、in30+2a,即F3+32a,5+32a.又AF=xAB+yAD,3+32a,5+32a=x(2a,0)+y(0,2a)=(2ax,2ay),即2ax=3+32a,2ay=5+32a,即2ax+2ay=3+32a+5+32a,化简得x+y=4+32.22.解 (1)因为AC=AD+DC=AD+12AB,所以x=12,y=1.(2)设DP=tAB,t0,12,所以AC=AP+uBD=(AD+DP)+u(AD-AB)=(AD+tAB)+u(AD-AB)=(+u)AD+(t-u)AB,由(1)得AC=AD+12AB,根据平面向量基本定理,得+u=1,t-u=12,从而(t+1)=32,=32(t+1),因为t0,12,所以1,32.从而=(1-)=-(-12)2+14-34,0.