2024高考数学 基础知识综合复习 优化集训9 函数的应用.docx

1、优化集训9函数的应用基础巩固1.函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为()A.(-14,0)B.(0,14)C.(14,12)D.(12,34)2.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如表所示.时间1234利润/千元23.988.0115.99现构建一个销售这种空调的函数模型,应是下列函数中的()A.y=log2xB.y=2xC.y=x2D.y=2x3.函数f(x)=|lg x|-12x的零点个数为()A.3B.0C.1D.24.已知函数f(x)=1-ex,x0,x2-2x,x0,若函数y=f(x)-m有两个不同的零点,则m的取值范围为()A.(-1,1)B.(-1,1C.(-1,+)D

2、.-1,+)5.若ab2.方程f(x)=15的所有实数根之和是()A.8B.13C.18D.257.(多选)(2023浙江衢州)已知函数f(x)=x2+2x-3,x0,lnx-2,x0,则下列说法正确的是()A.ff(1)=-3B.f(x)的值域为RC.方程f(x)=k最多只有两个实数解D.方程ff(x)=0有5个实数解8.(多选)已知函数f(x)=2x+x-2,g(x)=log2x+x-2,h(x)=x3+x-2的零点分别为a,b,c,则有()A.c=1,a0,b1B.bcaC.a+b=2,c=1D.a+b2,c=19.用“二分法”求方程x3+x-4=0在区间(1,2)内的实根,首先取区间中

3、点x=1.5进行判断,那么下一个取的点是x=.10.已知a是正实数,函数f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函数y=f(x)在区间-1,1上有零点,则a的取值范围是.11.设函数f(x)=|x-a|-2x+a,若关于x的方程f(x)=1有且仅有两个不同的实数根,则实数a的取值构成的集合为.12.设函数f(x)=a2x-2-x(aR).(1)若函数y=f(x)的图象关于原点对称,求函数g(x)=f(x)+32的零点x0;(2)若函数h(x)=f(x)+4x+2-x在x0,1的最大值为-2,求实数a的值.13.(2023浙江杭州)某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量P(单位:

4、mg/L)与时间t(单位:h)间的关系为P=P0e-kt(其中P0,k是正常数).已知在前5个小时消除了10%的污染物.(1)求k的值(精确到0.01);(2)求污染物减少50%需要花的时间(精确到0.1 h).参考数据:ln 20.693,ln 31.099,ln 51.609.14.某乡镇以“共富果园”为目标,促进农业产业高质量发展,经调研发现,某特色果树的单株产量W(单位:千克)与施用肥料x(单位:千克)满足如下关系:W(x)=5(x2+5),0x2,60-60x+3,2x6,另肥料成本投入为10x元,其他成本投入(如培育管理、施肥等人工费)为20x元.已知这种水果的市场售价大约为18元

5、/千克,且销路畅通供不应求,记该水果树的单株利润为f(x)(单位:元).(1)写出f(x)关于x的函数解析式;(2)当施用肥料为多少千克时,该果树的单株利润最大?最大利润是多少?能力提升15.(2023浙江杭州)杭州亚运会火炬如图1所示,小红在数学建模活动时将其抽象为图2所示的几何体.假设火炬装满燃料,燃烧时燃料以均匀的速度消耗,记剩余燃料的高度为h,则h关于时间t的函数的大致图象可能是()16.设定义域为R的函数f(x)=|lg|x-1|,x1,0,x=1,则关于x的方程f(x)2+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是()A.b0B.b0且c0C.b0,则下列选项正确的是()A.函

6、数f(x)在(0,+)内单调递增B.函数f(x)的值域为-1,+)C.方程f(x)=f(f(18)有两个不同的实根D.不等式f(f(x)0)有四个不相等的实数根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=.20.已知函数f(x)=-x2+2x+a(a0),若f(f(x)有三个零点,则a=.21.为了预防某病毒,某中学对教室进行药熏消毒,室内每立方米空气中的含药量y(单位:毫克)随时间x(单位:h)的变化情况如图所示,在药物释放过程中,y与x成正比,药物释放完毕后,y与x的函数关系式为y=(116)x-a(a为常数),根据图中提供的信息,回答下列问题:(1)写出从药物释放开始,y与x之间的

7、函数关系;(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低至0.25毫克以下时,学生方可进入教室,那么从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室?22.某化工厂每一天中污水污染指数f(x)与时刻x(单位:时)的函数关系为f(x)=|log25(x+1)-a|+2a+1,x0,24,其中a为污水治理调节参数,且a(0,1).(1)若a=12,求一天中哪个时刻污水污染指数最低;(2)规定每天中f(x)的最大值作为当天的污水污染指数,要使该厂每天的污水污染指数不超过3,则调节参数a应控制在什么范围内?23.(2023浙江宁波)某夜市的一位文化工艺品售卖者,通过对每天销售情况的调查发现:该工艺

8、品在过去的一个月内(按30天计),每件的销售价格f(x)(单位:元)与时间x(单位:天)(1x30,xN*)的函数关系满足f(x)=10+kx(k为常数,且k0),日销售量g(x)(单位:件)与时间x的部分数据如下表所示:x15202530g(x)105110105100设该文化工艺品的日销售收入为M(x)(单位:元),且第15天的日销售收入为1 057元.(1)求k的值.(2)给出以下四种函数模型:g(x)=ax+b;g(x)=a|x-m|+b;g(x)=abx;g(x)=alogbx.请你根据上表中的数据,从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量g(x)与时间x的变化关系,并求出该函数的

9、解析式.(3)利用问题(2)中的函数g(x),求M(x)的最小值.优化集训9函数的应用基础巩固1.C解析 因为函数f(x)=ex+4x-3在R上连续且单调递增,且f(14)=e14+414-3=e14-20,所以函数的零点在区间14,12上,故选C.2.B解析 y=log2x,当x=1时,y=0,x=2时,y=1,与表格相差比较大,A不正确;y=2x,满足x=1时,y=2,x=2时,y=4,x=3时,y=8,x=4时,y=16,结合表格可知函数的表达式,比较接近,B正确;y=x2,当x=1时,y=1,x=2时,y=4,x=3时,y=9,x=4时,y=16,与表格相差比较大,C不正确;y=2x,

10、当x=1时,y=2,x=2时,y=4,x=3时,y=6,x=4时,y=8,与表格相差比较大,D不正确.故选B.3.D解析 由f(x)=|lgx|-12x=0得|lgx|=12x,分别作出函数y=|lgx|与y=12x的图象(图略),由图象可知两个函数有2个交点,即函数f(x)=|lgx|-12x的零点个数为2,故选D.4.A解析 作出函数f(x)=1-ex,x0,x2-2x,x0的图象,考察它与直线y=m有两个不同点,即可得m的取值范围是(-1,1).5.A解析 由于ab0,f(b)=(b-c)(b-a)0,因此有f(a)f(b)0,f(c)f(b)0,lnx-2=0,故x=-3或x=e2,故

11、方程f(x)=0有2个实数解,下面考虑ff(x)=0的解,令t=f(x),则f(t)=0的解为t=-3或t=e2,再考虑f(x)=-3或f(x)=e2的解,即x0,x2+2x-3=-3或x0,x2+2x-3=e2或x0,lnx-2=-3或x0lnx-2=e2,故x=-2或x=0或x=-1-4+e2或x=1e或x=e2+e2,共5个不同的解,故D正确.f(x)的图象如图所示.由图象可得f(x)的值域为R,故B正确.当-4k-3时,直线y=k与y=f(x)的交点个数为3,故此时f(x)=k有3个不同的实数根,故C错误.故选ABD.8.ABC解析 f(x)在R上单调递增,f(0)=-1,f(1)=1

12、,0a1,g(x)在(0,+)内单调递增,g(1)=-1,g(2)=1,1bca,A,B选项正确.函数y=2x,y=log2x,y=2-x的图象均关于直线y=x对称,设y=2x,y=log2x与y=2-x的交点为A,B,则A,B关于直线y=x对称,故A(a,b),B(b,a)在直线y=2-x上,a+b=2,故选ABC.9.1.25解析 令f(x)=x3+x-4,当x=1时,x3+x-4=1+1-4=-20,所以方程x3+x-4=0在区间(1,1.5)内有实根,所以下一个取的点是1.25.10.1,+)解析 f(x)=2ax2+2x-3-a图象的对称轴为直线x=-12a.当-12a-1,即0a1

13、2时,需f(-1)0,f(1)0,即a5,a1,则a.当-1-12a12时,需f(-12a)0,f(1)0,解得a1,实数a的取值范围是1,+).11.1-222,1+222,2解析 由方程f(x)=1,得|x-a|+a=2x+1有两个不同的解,令h(x)=|x-a|+a,g(x)=2x+1,当xa时,h(x)=x,当x0,x=-1.函数g(x)的零点为-1.(2)h(x)=a2x-2-x+4x+2-x,x0,1,令2x=t1,2,h(x)=H(t)=t2+at,t1,2,对称轴t=-a2,当-a232,即a-3时,H(t)max=H(2)=4+2a=-2,a=-3;当-a232,即a-3时,

14、H(t)max=H(1)=1+a=-2,a=-3(舍).综上,实数a的值为-3.13.解 (1)由P=P0e-kt知,当t=0时,P=P0;当t=5时,P=(1-10%)P0,即0.9P0=P0e-5k,所以k=-15ln0.9,即k=-15ln910=-15(2ln3-ln10)=-15(2ln3-ln2-ln5)0.02.(2)当P=0.5P0时,0.5P0=P0e-0.02t,即0.5=e-0.02t,则t=50ln234.7.故污染物减少50%需要花的时间约为34.7h.14.解 (1)由已知f(x)=18W(x)-20x-10x=18W(x)-30x=185(x2+5)-30x,0x

15、2,18(60-60x+3)-30x,2x6=90x2-30x+450,0x2,1080-1080x+3-30x,2x6,即f(x)=90x2-30x+450,0x2,1080-1080x+3-30x,2x6.(2)由(1)得当0x2时,f(x)=90x2-30x+450=90(x-16)2+447.5;当x=2时,f(x)max=750;当2x6时,f(x)=1080-1080x+3-30x=1080-3036x+3+(x+3)+90=1170-3036x+3+(x+3)1170-30236x+3(x+3)=810,当且仅当36x+3=x+3,即x=3时,等号成立,因为7500时,方程f(x

16、)=t有不同的实数解4个;(2)当t=0时,方程f(x)=t有不同的实数解3个;(3)当t0时,方程f(x)=t没有实数解.所以,关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是方程x2+bx+c=0有两个根,其中一个根等于0,另一个根大于0.此时应b0的图象,如图所示,可知A错误,B正确;对C,f(f(18)=f(2)=0,f(x)=f(f(18)=0有两个不同实根,C正确;不等式f(f(x)0,设f(x)=t,即f(t)0,由f(t)0得12t2,再由12f(x)0)有四个不相等的实数根x1,x2,x3,x4,方程|f(x)|=m(m0)即|x+16x-10|=m,x

17、(0,+),即|x2-10x+16|=mx,当f(x)0即x2-10x+160时,方程可转化为x2-10x+16=mx,即x2-(10+m)x+16=0;当x2-10x+160,f(x)的图象开口向下,对称轴为x=1,f(1)=1+a,由f(x)=-x2+2x+a=0,解得x1=-2+4+4a-2=1-1+a,x2=-2-4+4a-2=1+1+a,x10.1.(2)令(116)x-0.10.25,即(14)2x-0.21,解得x0.6,即至少需要经过0.6h后,学生才能回到教室.22.解 (1)因为a=12,则f(x)=log25(x+1)-12+22.当f(x)=2时,log25(x+1)-

18、12=0,得x+1=2512=5,即x=4.所以一天中早上4点该厂的污水污染指数最低.(2)设t=log25(x+1),则当0x24时,0t1.设g(t)=|t-a|+2a+1,t0,1,则g(t)=-t+3a+1,0ta,t+a+1,at1,显然g(t)在0,a上是减函数,在(a,1上是增函数,则f(x)max=maxg(0),g(1),因为g(0)=3a+1,g(1)=a+2,则有g(0)=3a+13,g(1)=a+23,解得a23,又a(0,1),故调节参数a应控制在0,23内.23.解 (1)因为第15天的日销售收入为1057元,所以M(15)=f(15)g(15)=(10+k15)1

19、05=1057,解得k=1.(2)由表中的数据知,当时间x变化时,g(x)先单调递增后单调递减.而函数模型g(x)=ax+b;g(x)=abx;g(x)=alogbx都是单调函数,所以选择函数模型g(x)=a|x-m|+b.由g(15)=g(25),g(15)=5a+b=105,g(20)=b=110,解得a=-1,b=110,m=20,所以日销售量g(x)与时间x的变化关系为g(x)=-|x-20|+110(1x30,xN*).(3)由(2)知g(x)=-|x-20|+110=x+90,1x20,xN*,-x+130,20x30,xN*,所以M(x)=f(x)g(x)=(10+1x)(x+90),1x20,xN*,(10+1x)(-x+130),20x30,xN*,即M(x)=10x+90x+901,1x20,xN*,-10x+130x+1299,20x30,xN*.当1x20,xN*时,M(x)=10x+90x+9012900+901=961,当且仅当10x=90x,即x=3时,等号成立.当20961.综上所述,当x=3时,M(x)取得最小值,最小值为961.