2024高考数学常考题型：第2讲 函数的对称性与周期性（解析版）.docx

1、第2讲 函数的对称性与周期性【考点分析】1.函数的对称性、周期性是高考命题热点，近两年新高考都考了一道选择题，分值5分，知识点比较灵活，需要全面掌握常见对称性，周期性的结论考点一：函数常见对称性结论若函数对于任意的均满足，则函数关于直线对称若函数对于任意的均满足则关于点对称考点二：函数常见周期性结论若函数对于任意的都满足，则为的一个周期，且几个常见周期性结论若函数满足，则若函数满足，则若函数满足，则若函数满足，则若函数的图象关于直线，都对称，则为周期函数且是它的一个周期函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数若函数满足，则函数是以为周期的

2、周期函数【题型目录】题型一：利用周期性求函数值题型二：利用周期性求函数解析式题型三：根据函数的对称性、周期性、奇偶性写函数题型四：根据函数的对称性、奇偶性、周期性综合运用【典型例题】题型一：利用周期性求函数值【例1】设是定义在上周期为2的函数，当时，其中若，则的值是 答案：1解析：是定义在上周期为2的函数，当时，【例2】设为定义在上的奇函数，当时，则_答案：解析：，是周期为4的函数，所以【例3】定义在上的函数对任意，都有，则等于A. B. C. D. 答案：D解析：，所以是周期为4的函数，【例4】（重庆南开高一上期中）已知定义在上的奇函数满足,且,则的值为( )A. B. C. D. 答案：C

3、解析：所以，所以，所以【例5】（2022云南昭通高一期末）已知函数是定义在上的周期函数，且周期为2，当时，则（）ABCD【答案】C【分析】利用函数的周期性，则，又根据函数在的解析式，求解的值，即可得的值.【详解】解：由题可知所以又当时，所以即.故选：C.【题型专练】1.（2021山东临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）已知是R上的奇函数，且，当时，则（）A3BC255D【答案】B【分析】根据题意可知是周期函数，根据周期以及奇函数即可求解.【详解】由可得，故是以4为周期的周期函数，故，故选：B2.（2023全国高三专题练习）已知是定义在上的偶函数，且，若当时，则（）A0B1C6D216【答案】C

4、【分析】由可得函数周期为6，进而，最后求出答案.【详解】根据题意，偶函数满足，即，是周期为6的周期函数，则，当时，则，故故选：C3.（重庆南开高一上期末）函数的定义域为，且，.若对任意实数，都有，则（ ）A B. -1 C. 0 D. 1答案：D解析：由题意知，令，可得，因，所以所以，所以，所以，所以4（2022云南红河高一期末）已知是定义在R上的奇函数，都有，若当时，则（）AB0C1D2【答案】C【分析】是定义在R上的奇函数得，有得到是周期函数，利用函数周期性可得答案.【详解】是定义在R上的奇函数，得，当时，都有，是周期为4的周期函数，.故选：C.5（2022黑龙江大庆中学高二期末）是定义在

5、上的奇函数，且满足，又当时，则_【答案】【分析】依题意可得，即可得到是以为周期的周期函数，再根据对数的运算及奇函数的性质计算可得.【详解】解：因为，所以，即，所以是以为周期的周期函数，又所以，又是定义在上的奇函数，所以，且当时，所以.故答案为：题型二：利用周期性求函数解析式【例1】已知定义在实数集R上的函数满足：（1）；（2）；（3）当时解析式为，当时，求函数的解析式。答案：解析：，所以是偶函数，又因，所以关于对称，所以，设，则，所以，因，所以；当时，因此因此当时，函数的解析式为【例2】（2022全国高一专题练习）已知是定义在上周期为的函数，当时，那么当时， _.【答案】【分析】根据周期性求函

6、数解析式即可.【详解】解：因为当时，,是定义在上周期为的函数所以，故答案为：【例3】（2021山东师范大学附中高三期中）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有.当时，.(1)当时，求的解析式；(2)计算.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用奇函数和判断出为周期为4 的函数，用代入法求出解析式；（2）利用函数的周期即可求值.(1)，是周期为4的周期函数.当时，由已知得.又是奇函数，又当时，又是周期为4的周期函数，从而求得时，.(2)，又是周期为4的周期函数，.又，.【题型专练】1.（2021上海南汇中学高三期中）设是定义在R上以2为周期的奇函数，当时，则函数在上的解析式_【答案】【分析】设

7、是时函数图象上的任意一点，然后利用周期和奇偶性将转化到区间上，进而代入解析式化简即可.【详解】因为函数的周期为2，设是时函数图象上的任意一点，则点在时函数的图象上，而函数是R上的奇函数，则点在时的图象上，所以，即在上的解析式.故答案为：.2.（2021吉林梅河口市第五中学高三阶段练习（文）函数满足是，且，当时，则当时，的最小值为_.【答案】#【分析】由题设递推关系可得，令结合已知区间解析式即可求时的解析式，再应用二次函数的性质求最小值.【详解】由题设，若，则，即，上，当时的最小值为.故答案为：3.（2021江苏高一专题练习）设是定义在上以2为周期的奇函数，当时，则函数在4，6上的解析式是_【答

8、案】【分析】根据函数的周期及函数为奇函数，分段求解函数的解析式即可.【详解】因为是定义在上以2为周期的奇函数且时，设，则，所以，设，则，,故.综上可得，函数在上的解析式是，故答案为：4.（2021北京市十一学校高一期中）若定义在R上的奇函数满足，且时，则：（1）_；（2）当时，_.【答案】 【分析】（1）由题可得，再结合条件可求；（2）由题可求当时，再结合函数的周期性即求.【详解】定义在R上的奇函数满足，即函数是以4为周期的周期函数，又时，当时，当时，.故答案为：（1）；（2）题型三：根据函数的对称性、周期性、奇偶性写函数【例1】（2023全国高三专题练习）写出一个最小正周期为3的偶函数_.【

9、答案】（答案不唯一）【分析】利用余弦函数的性质，结合已知函数性质写出满足要求的函数解析式即可.【详解】由余弦函数性质知：为偶函数且为常数，又最小正周期为3，则，即，所以满足要求.故答案为：(答案不唯一)【例2】（2022江苏金陵中学高三学业考试）写出一个满足以下三个条件的函数：_定义域为R；不是周期函数；是周期为的函数【答案】（答案不唯一）【分析】由的周期为，结合正余弦函数的性质确定的解析式形式，即可得符合要求的函数式.【详解】的解析式形式：或均可如：定义域为R，不是周期函数，且是周期为的函数.故答案为：（答案不唯一）【例3】（2022全国高三专题练习）写出一个同时满足下列性质的函数：_.定义

10、域为；为偶函数；为奇函数.【答案】（答案不唯一）【分析】根据题意和函数的奇偶性和周期性可知是关于轴对称、关于中心对称、以4为周期的函数，进而直接得出结果.【详解】由为偶函数，知关于轴对称；由为奇函数，知关于中心对称，所以关于轴对称；所以，则以4为周期，故可取.故答案为：.【题型专练】1（2022广东茂名二模）请写出一个函数_，使之同时具有以下性质：图象关于y轴对称；，【答案】(答案不唯一)【分析】根据题设函数性质的描述，只需写出一个周期为4的偶函数，结合余弦函数的性质即可写出函数解析式.【详解】由题设，写出一个周期为4的偶函数即可，所以满足题设要求.故答案为：(答案不唯一)2.（2022北京通

11、州高三期末）最小正周期为2的函数的解析式可以是_（写出一个即可）【答案】【分析】根据正弦型三角函数的周期公式即可找出【详解】根据正弦型三角函数的周期公式，最小正周期为2的函数的解析式可以是故答案为：3.（2022全国高三专题练习（理）函数满足以下条件：的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线；，；当且，；恰有两个零点，请写出函数的一个解析式_【答案】 （答案不唯一）【分析】由题意可得函数是偶函数，且在上为增函数，函数图象与轴只有2个交点，由此可得函数解析式【详解】因为，所以是偶函数，因为当且，所以在上为增函数，因为恰有两个零点，所以图象与轴只有2个交点，所以函数的一个解析式可以为，故答案为： （

12、答案不唯一）题型四：根据函数的对称性、奇偶性、周期性综合运用【例1】（2022贵州铜仁高二期末（理）已知函数的定义域为，且满足：，又为偶函数，当时，则的值为（）A4BC0D2【答案】C【分析】由，可得，再根据条件得到周期后即可求解.【详解】由，可知函数关于点中心对称，即有；由为偶函数，可知函数关于对称，即有.于是有，从而可得，因此可得函数的周期为4.所以，.再由，令，有，即.所以.故选：C【例2】（2022陕西长安一中高一期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则函数的周期是（）ABCD【答案】C【分析】由奇函数性质可得，由偶函数性质可得，化简整理可得，即可求出周期.【详解】因为为奇函数

13、，所以， 因为为偶函数，所以，则，则，即，所以，即，则，所以的周期是4.故选：C.【例3】（2022湖南长沙一中高三开学考试）已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，则（）AB0CD1【答案】D【分析】根据奇偶性的性质化简可得是以4为周期的函数，即可求出.【详解】因为是定义在上的奇函数，故可得，又为偶函数，故可得，则，故以4为周期，故.故选：D.【例4】（2022山东日照高二期末）已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，且与的图像关于y轴对称，则（）A是奇函数B是偶函数C2是一个周期D关于直线对称【答案】A【分析】根据函数奇偶性，对称性、周期性的定义一一判断即可；【详解】解：根据题意，

14、是定义域为的奇函数，则关于点成中心对称，是定义域为的偶函数，则关于对称，与的图像关于y轴对称，则关于对称，所以关于原点中心对称，故是奇函数，故A正确.是奇函数，且与的图像关于y轴对称，故是奇函数，故B错误.是定义域为的奇函数，则，关于对称，故，可得，联立得，故，可得，故，函数是周期为4的周期函数，由题意可得出4是函数的周期，故C错误.因为4是函数的周期，关于点中心对称，所以是的中心对称，关于y轴对称为，为的对称中心，故D错误.故选：A【例5】已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，下列有关命题的说法错误的是（ ）A函数是周期函数B函数为上的偶函数C的图象关于点对称函数D为上的单调函数答案：

15、D解析：，是周期为3的函数，故A正确；因为为奇函数，所以，令可得，即，又因，所以，所以为上的偶函数，所以B对，D错，因为奇函数，所以它关于原点对称，故把向左平移单位，得到的图象，所以的图象关于点对称，所以C对。【例6】（2021新高考2卷8）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）A B C D答案：B解析：是偶函数，所以关于对称，因为为奇函数，所以，所以关于对称，所以，又因为奇函数，所以，又因，令，得，所以【例7】若函数的定义域为R，且，则（ ）A. B. C. 0D. 1【答案】A【解析】【分析】根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出【详解】因为，令

16、可得，所以，令可得，即，所以函数为偶函数，令得，即有，从而可知，故，即，所以函数的一个周期为因为，所以一个周期内的由于22除以6余4，所以故选：A【题型专练】1.（2022四川雅安高二期末（文）已知函数是上的偶函数，且，当时，则的值为（）A1B2CD0【答案】A【分析】由偶函数可得，由可得对称性，再化简整理可得周期，进而根据性质转换到，再代入解析式求解即可.【详解】由题，因为偶函数，所以，又，所以,即，所以是周期函数，故故选：A2（2022河南新乡高二期末（理）已知是定义在R上的奇函数，且满足，当时，若，则（）A8B4C0D4【答案】B【分析】结合条件证得的周期为8，即可求出结果.【详解】因为

17、是定义在R上的奇函数，所以，所以，所以，所以的周期为8，所以，故故选：B.3（2022湖南高二期末）已知定义域是R的函数满足：，为偶函数，则（）A1B-1C2D-3【答案】B【分析】根据对称性可得函数具有周期性，根据周期可将.【详解】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，所以，又由，得，所以，所以，所以，故的周期为4，所以故选:B4.函数的定义域为，若与都是奇函数，则（ ）A. 是偶函数 B. 是奇函数C. D. 是奇函数答案：D解析：是奇函数，所以关于对称，因为为奇函数，所以，所以关于对称，所以，所以为奇函数。5.（2021全国卷甲卷理科12）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，若，

18、则（ ） 答案：D解析：是奇函数，所以关于对称，是偶函数，所以关于对称，所以，又因为奇函数，所以，所以，因令，得，因，所以，所以，又因，解得，所以当时，所以6.已知是定义在上的函数，且对任意都有，若函数的图象关于点对称，且，则 答案：解析：，令，得，解得，所以，所以关于对称，因为的图象关于点对称，所以关于对称，所以，且为奇函数，所以7.（2020岳麓区校级模拟）若对任意的，都有，且，则的值为答案：解析：若对任意的，都有，所以，得，所以，所以，所以，所以8.（2022河北深州市中学高三阶段练习多选）已知函数对，都有，且，则（）A的图像关于直线对称B的图像关于点中心对称CD【答案】ABC【分析】A

19、选项根据题目条件立即得出，BCD选项通过已知条件合理的进行“取代”，推出函数周期后便容易得出结果.【详解】因为，所以关于对称，A选项正确；又，令去取代，所以，再令取代，所以，所以的周期为4，由可得：，所以的图像关于对称，结合的周期为4，所以的图像关于点中心对称，故B正确；定义在上的奇函数满足，令中，可得，所以，故C正确；，故D不正确.故选：ABC.9.（2022黑龙江齐齐哈尔高二期末多选）已知是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，则下列结论正确的是（）A函数的图象关于直线对称B当时，的零点有6个CD若，则【答案】AC【分析】根据函数奇偶性的性质化简整理即可得出.【详解】对A，因为函数为偶函数，所

20、以的图象关于直线对称，故A正确；对B，因为的变化情况不确定，所以无法确定零点个数，故B错误；对C，因为为奇函数，所以，因为函数为偶函数，所以，则，所以，故C正确；对D，由C选项可得是周期为4的函数，因为为奇函数，所以，所以，所以，故D错误.故选：AC.10（2022山西省长治市第二中学校高二期末多选）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，下列有关命题的说法正确的是（）A为周期函数B为上的偶函数C为上的单调函数D的图象关于点对称【答案】ABD【分析】由周期性的定义可判断A，由奇偶性的定义可判断B，由偶函数的单调性的特点可判断C，由奇函数的对称性结合图像平移可判断D【详解】对于：函数，是周期

21、为的函数，故正确；对于B：，即又的周期为，又是奇函数，,令，则是偶函数，即是偶函数，故B正确；对于C：由B知是偶函数，在和上的单调性相反，在上不单调，故C错误；对于D：函数为奇函数，的图象关于点对称，的函数图象是由的图象向右平移个单位得到的，的函数图象关于点对称，故D正确故选：ABD11.（2022辽宁瓦房店市高级中学高二期末多选）已知定义在上的函数满足，且当时，则下列说法正确的是（）A是偶函数B是周期函数CD时，【答案】AB【分析】首先判断函数的奇偶性与周期性，根据奇偶性求出函数在上的解析式，最后根据周期性求出.【详解】解：因为定义在上的函数满足，所以是偶函数，故A正确；又，所以是以为周期的周期函数，故B正确；设，则，所以，又是偶函数，则，即当时，故D错误；，故C错误；故选：AB