22.15正方形的性质与判定大题专练（解析版）【沪教版】.docx

1、2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【沪教版】专题22.15正方形的性质与判定大题专练姓名：_ 班级：_ 得分：_一解答题（共24小题）1（2021春浦东新区期末）如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在边AD的延长线上，且PAPE，PE交CD于点F（1）求证：PAPC；（2）求证：PCPE【分析】（1）欲证明PCPE，只要证明ADPCDP即可（2）作PMAE，PNCD，再证RtPMERtPNC，得MPENPC和MPNMPE+NPENPC+NPEEPC90，由此解答即可【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，ADCD，ADPCDP，在ADP和CDP中，AD

2、PCDP（SAS），PAPC，（2）作PMAE于M，PNCD于N，PD平分ADC，PMPN，ADC90，PNDM是矩形，MPN90，在RtPME和RtPMC中，PCPE，PMPN，RtPMERtPNC（HL），MPENPC，MPNMPE+NPENPC+NPEEPC90PCPE2（2021春浦东新区期末）如图，正方形ABCD中，点G是CD边上的一点（点G不与点C，点D重合），以CG为一边向正方形ABCD外做正方形GCEF，联结DE交BG的延长线于点H（1）求证：BHDE；（2）若正方形ABCD的边长为1，当点H为DE中点时，求CG的长【分析】（1）先由四边形ABCD和CGFE是正方形求证DCEB

3、CG，再得出BGDE（2）连接BD，解题关键是利用垂直平分线的性质得出BDBE，从而找到BD，CEBEBC1，根据全等三角形的性质求解即可【解答】（1）证明：正方形ABCD，BCD90，BCCD，同理：CGCE，GCE90，BCDGCE90，BCGDCE（SAS），GBCCDE，在RtDCE中CDE+CED90，GBC+BEH90，BHE180（GBC+BEH）90，BHDE；（2）连接BD，点H为DE中点，BHDE，BH为DE的垂直平分线，BEBD，BCCD1，BD，BEBD，CEBEBC1，CGCE13（2019奉贤区二模）已知：如图，正方形ABCD，点E在边AD上，AFBE，垂足为点F，

4、点G在线段BF上，BGAF（1）求证：CGBE；（2）如果点E是AD的中点，联结CF，求证：CFCB【分析】（1）证明AFBBGC，通过角的代换即可得到BGC90，即CGBE；（2）先证明AEBFAB，得到，根据中点线段关系结合比例式推导出FGBG，又CGBE，所以CFCB【解答】证明：（1）四边形ABCD是正方形，ABBC，ABC90AFBE，FAB+FBA90FBA+CBG90，FABCBG又AFBG，AFBBGC（SAS）AFBBGCBGC90，CGBE（2）ABFEBA，AFBBAE90，AEBFAB点E是AD的中点，ADAB，AFBG，即FGBGCGBE，CFCB4（2019春浦东新

5、区期末）如图，一次函数y2x+4的图象与x、y轴分别相交于点A和B，以AB为边作正方形ABCD（1）求点A、B、D的坐标（2）设点M在x轴上，如果ABM为等腰三角形，求点M的坐标【分析】（1）由于一次函数y2x+4的图象与x、y轴分别相交于点A、B，所以利用函数解析式即可求出AB两点的坐标，然后过D作DHx轴于H点，由四边形ABCD是正方形可以得到BADAOBAHD90，ABAD，接着证明ABODAH，最后利用全等三角形的性质可以得到DHAO2，AHBO4，从而求出点D的坐标；（2）运用分类讨论的数学思想，根据等腰三角形的定义，分类讨论，数形结合，即可解决问题【解答】解：（1）当y0时，2x+

6、40，x2点A（2，0）当x0时，y4点B（0，4）过D作DHx轴于H点，四边形ABCD是正方形，BADAOBAHD90，ABADBAO+ABOBAO+DAH，ABODAHABODAHDHAO2，AHBO4，OHAHAO2点D（2，2）（2）A（2，0），B（0，4），OA2，OB4，AB2，当ABMB时，OBAM，OMOA2，M（2，0）；当ABAM时，则OMOA+AM2+2，M（22，0）；当ABAM时，则AMAB2，OMAMOA22，M（22，0）当MBMA，可得M（3，0），综上，M点的坐标为（2，0）或（22，0）或（22，0）或（3，0）5（2018春宝山区期末）如图，四边形ABC

7、D是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是边AD上两动点，且AEDF，BE与对角线AC交于点G，联结DG，DG交CF于点H（1）求证：ADGDCF；（2）联结HO，试证明HO平分CHG【分析】（1）根据题意可得DFCAFB，AGBADG，可得ADGDCF（2）由题意可证CFDG，由CHDCOD90，则D，F，O，C四点共圆，可得CDOCHO45，可证OH平分CHG【解答】证明（1）四边形ABCD是正方形ABADCDBC，CDADAB90，DACCAB45，ACBDDCAB，DFAE，CDADAB90DFCAEBABEDCFAGAG，ABAD，DACCAB45ADGABGADGABEDCFA

8、DG（2）DCFADG，且ADG+CDG90DCF+CDG90CHDCHG90CHDCODC，D，H，O四点共圆CHOCDO45GHOCHO45HO平分CHG6（2018浦东新区二模）已知：如图，在正方形ABCD中，点E为边AB的中点，连接DE，点F在DE上CFCD，过点F作FGFC交AD于点G（1）求证：GFGD；（2）连接AF，求证：AFDE【分析】（1）方法一证明GFDGDF，方法二证明CGFCGD即可；（2）方法一证明AGGDGF即可解决问题；方法二证明AFGH即可解决问题；【解答】证明：（1）四边形ABCD是正方形，ADC90，FGFC，GFC90，CFCD，CDFCFD，GFCCF

9、DADCCDE，即GFDGDF，GFGD（2）连接CGCFCD，GFGD，点G、C在线段FD的中垂线上，GCDE，CDF+DCG90，CDF+ADE90，DCGADE四边形ABCD是正方形，ADDC，DAECDG90，DAECDG，AEDG，点E是边AB的中点，点G是边AD的中点，AGGDGF，DAFAFG，GDFGFD，DAF+AFG+GFD+GDF180，2AFG+2GFD180，AFD90，即AFDE证法2：（1）连接CG交ED于点H四边形ABCD是正方形，ADC90，FGFC，GFC90，在RtCFG与RtCDG中，RtCFGRtCDG，GFGD（2）CFCD，GFGD，点G、C在线段

10、FD的中垂线上，FHHD，GCDE，EDC+DCH90，ADE+EDC90，ADEDCH，四边形ABCD是正方形，ADDCAB，DAECDG90，ADEDCH，ADDC，EADGDCADEDCG，AEDG，点E是边AB的中点，点G是边AD的中点，点H是边FD的中点，GH是AFD的中位线，GHAF，AFDGHD，GHFD，GHD90，AFD90，即AFDE7（2021春杨浦区期末）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，联结DE，过点B作BFDE，垂足为点F，BF与边CD相交于点G（1）求证：CGCE；（2）联结CF，求证：BFC45；（3）如果正方形ABCD的边长为2，点G是边DC

11、的中点，求EF的长【分析】（1）把CG和CE分别放在RtBCG和RtDCE中，说明它们全等即可得证；（2）连接CF，过点C作MCCF交BG于M，说明MCF为等腰三角形即可得证；（3）过点C作CNBF于N，构造CNGDFG，即可求出DFNC，再利用线段和差即可求出EF的长【解答】解：（1）四边形ABCD为正方形，BCCD，BCGDCE，BFDE，E+CBGE+EDC，CBGEDC，在RtBCG与RtDCE中，RtBCGRtDCE（ASA），CGCE（2）作CMCF交BF于点M，BCGDCE，EBGC，MCG+FCGECF+FCG90，MCGFCE，在MCG和FCE中，MCGFCE（ASA），MG

12、FE，MCFC，MCF为等腰直角三角形，BFC45（3）作CNBF于点N，CNF为等腰直角三角形，CNNF，G为CD中点，正方形ABCD的边长为2，CGDGCE1，BGDE，BCCGBGCN，CN，在CNG和DFG中，CNGDFG（AAS），DFCN，EFDEDF8（2021浦东新区模拟）已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，AEBF，且AEBF（1）求证：矩形ABCD是正方形；（2）联结BE、EF，当线段DF是线段AF与AD的比例中项时，求证：DEFABE【分析】（1）根据正方形的性质得到BADADE90，进而证明ABFDAE，得到ABFDAE，根据全等三角形的性质得

13、到ABAD，根据正方形的判定定理证明结论；（2）证明FDEBCE，根据相似三角形的性质得到DEFCEB，根据平行线的性质证明【解答】证明：（1）四边形ABCD是矩形，BADADE90，ABF+AFB90，AEBF，DAE+AFB90，ABFDAE，在ABF和DAE中，ABFDAE（AAS），ABAD，矩形ABCD是正方形；（2）由（1）可知，ABFDAE，AFDE，DFCE，线段DF是线段AF与AD的比例中项，DF2AFAD，FDEBCE90，FDEBCE，DEFCEB，ABCD，ABECEB，ABEDEF9（2019金山区二模）已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若CADD

14、BC（1）求证：四边形ABCD是正方形（2）E是OB上一点，DHCE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OEOF【分析】（1）由菱形的性质得出ADBC，BAD2DAC，ABC2DBC，得出BAD+ABC180，证出BADABC，求出BAD90，即可得出结论；（2）由正方形的性质得出ACBD，ACBD，COAC，DOBD，得出COBDOC90，CODO，证出ECOEDH，证明ECOFDO（ASA），即可得出结论【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形，ADBC，BAD2DAC，ABC2DBC，BAD+ABC180，CADDBC，BADABC，2BAD180，BAD90，四边形ABCD是正方形

15、；（2）证明：四边形ABCD是正方形，ACBD，ACBD，COAC，DOBD，COBDOC90，CODO，DHCE，垂足为H，DHE90，EDH+DEH90，ECO+DEH90，ECOEDH，在ECO和FDO中，ECOFDO（ASA），OEOF10（2019杨浦区二模）已知：如图，在ABC中，ABBC，ABC90，点D、E分别是边AB、BC的中点，点F、G是边AC的三等分点，DF、EG的延长线相交于点H，连接HA、HC求证：（1）四边形FBGH是菱形；（2）四边形ABCH是正方形【分析】（1）由三角形中位线知识可得DFBG，GHBF，根据菱形的判定的判定可得四边形FBGH是菱形；（2）连接BH

16、，交AC于点O，利用平行四边形的对角线互相平分可得OBOH，OFOG，又AFCG，所以OAOC再根据对角线互相垂直平分的平行四边形得证四边形ABCH是菱形，再根据一组邻边相等的菱形即可求解【解答】证明：（1）点F、G是边AC的三等分点，AFFGGC又点D是边AB的中点，DHBG同理：EHBF四边形FBGH是平行四边形，连接BH，交AC于点O，OFOG，AOCO，ABBC，ABC90，四边形FBGH是菱形；（2）四边形FBGH是平行四边形，BOHO，FOGO又AFFGGC，AF+FOGC+GO，即：AOCO四边形ABCH是平行四边形ACBH，ABBC，四边形ABCH是正方形11（2017春凌源市

17、期末）如图，正方形ABCD中，G为DC上一点，E为BC上一点AG平分DAE，AG的延长线交BC的延长线于点F（1）若BF8，CD4，求BE的长（2）求证：EFDGBE【分析】（1）利用正方形的对边平行和四边相等及角平分线的性质，说明AEEF，用含AE的代数式表示BE，在RtABE中，利用勾股定理求出AE（2）要证明EFDGBE，即EFBE+DG，考虑延长线段CB到点H，使 BHDG，连接AH由（1）知AEEF，可考虑证明AEEH，证明HAEH是解决问题的关键，可利用BAHDAGEAF及互余关系求解【解答】（1 ） 解：四边形ABCD是正方形，ADBF，ABDC4DAGEFGAG平分DAE，DA

18、GEAGEAGEFGAEEF令AEEFx，BF8，BEBFEF，BE8x在 RtABE 中，AB2+BE2AE2，42+（8x）2x2x5BE853（2）证明：延长线段CB到点H，使 BHDG，连接AH四边形ABCD是正方形，ABAD，BADDABH90ABHADGBAHDAGDAG+BAGBAD90，HAFBAH+BAG90EAG+HAEF+H90，HAEHHEAE由（1）知：AEEFHEEFHEHB+BE，DG+BEEF即 BEEFDG12（2019春西城区期末）如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上任意一点，连接EO并延长，交BC于点F，连接AF，CE（1）求证：四边形

19、AFCE是平行四边形；（2）若DAC60，ADB15，AC4直接写出ABCD的边BC上的高h的值；当点E从点D向点A运动的过程中，下面关于四边形AFCE的形状的变化的说法中，正确的是DA平行四边形矩形平行四边形菱形平行四边形B平行四边形矩形平行四边形正方形平行四边形C平行四边形菱形平行四边形菱形平行四边形D平行四边形菱形平行四边形矩形平行四边形【分析】（1）由“AAS”可证AOECOF，可得OFOE，且AOCO，即可得结论；（2）由锐角三角函数可求h的值，当AOE90时，是菱形，当AOE60时，平行四边形AECF是矩形，即可得出结论【解答】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形ADBC，AOC

20、OAEFCFE，EACFCA，且AOCOAOECOF（AAS）OFOE，且AOCO四边形AFCE是平行四边形；（2）DAC60sinDAChAC2DAC60，ADB15，根据三角形得内角和定理得，AOD105，点E从D点向A点移动过程中，当AOE90时，EFAC，OAOC，AECE，平行四边形AECF是菱形；当BCE90时，平行四边形AECF是矩形，OEOC，ACE30，OEC30，AOE2ACE60，即：AOE60时，平行四边形AECF是矩形；综上述，当点E从D点向A点移动过程中（点E与点D，A不重合），则四边形AFCE的变化是：平行四边形菱形平行四边形矩形平行四边形故选：D13（2021春

21、海淀区校级期末）如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EFAB，EGBC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40cm（1）求证：四边形BFEG是矩形；（2）求四边形EFBG的周长；（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？【分析】（1）由正方形的性质可得出ABBC、B90，根据EFAB、EGBC可得出BFE90，BGE90，再结合B90，即可证出四边形BFEG是矩形；（2）由正方形的周长可求出正方形的边长，根据正方形的性质可得出AEF为等腰直角三角形，进而可得出AFEF，再根据矩形的周长公式即可求出结论；（3）由正方形的判定可知：若要四边形BFEG是正方形，只需EFBF，

22、结合AFEF、AB10cm，即可得出结论【解答】解：（1）证明：四边形ABCD为正方形，ABBC，B90EFAB，EGBC，BFE90，BGE90又B90，四边形BFEG是矩形；（2）正方形ABCD的周长是40cm，AB40410cm四边形ABCD为正方形，AEF为等腰直角三角形，AFEF，四边形EFBG的周长C2（EF+BF）2（AF+BF）20cm（3）若要四边形BFEG是正方形，只需EFBF，AFEF，AB10cm，当AF5cm时，四边形BFEG是正方形14（2021春中山市期末）如图，已知四边形ABCD为正方形，点E在对角线AC上，连接DE，过点E作EFDE，交BC于点F，以DE，EF

23、为邻边作矩形DEFG，连接CG（1）求证：EDEF；（2）若四边形DECG的面积为9，求CE+CG的值【分析】（1）过E作EMBC于M点，过E作ENCD于N点，即可得到ENEM，然后判断DENFEM，得到DENFEM，则有DEEF即可（2）同（1）的方法证出ADECDG得到CGAE，四边形EDE的面积等于ADC的面积，从而求出AD的长度，继而求出AC的长度即CE+CG的值【解答】证明：（1）过E作EMBC于M点，过E作ENCD于N点，如图所示：四边形ABCD是正方形，BCD90，ECN45，EMCENCBCD90，CEN90ECN45，四边形EMCN为矩形，CENECN，NENC，四边形EMC

24、N为正方形，EMEN，MEN90，四边形DEFG是矩形，DEN+NEFMEF+NEF90，DENMEF，又DNEFME90，在DEN和FEM中，DENFEM（ASA），EDEF；（2）EDEF，矩形DEFG为正方形，DEDG，EDC+CDG90，四边形ABCD是正方形，ADDCABBC，ADE+EDC90ADECDG，在ADE和CDG中，ADECDG（SAS），AECG，SADESDCG，AE+CECE+CGAC，四边形DECG的面积为9，SADC9，即ADCD9，ADCD，ADCD3，AC6，即CE+CG615（2020昭阳区模拟）如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作PE

25、BC，PFCD，垂足分别为E，F（1）求证：四边形PECF为矩形；（2）若正方形ABCD的边长为2，EC：FC1：3，求AP的值【分析】（1）根据正方形的性质和矩形的判定解答即可；（2）根据正方形的性质和矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，利用勾股定理解答即可【解答】证明：（1）在正方形ABCD中，BCD90，PEBC，PFDC，PECPFC90，BCDPECPFC90，四边形PECF是矩形；（2）如图，连接PC在正方形ABCD中，ABAC，ABDCBP45，BPBP，在ABP与CBP中，ABPCBP（SAS），APCP，由（1）知四边形PECF为矩形，得CPCF，APEF，在正方形ABCD

26、中，CDB45，PFDC，PFDF，在矩形PECF中，PFEC，DFEC，设ECx，则FC2x，EC：FC1：3，x：（2x）1：3，解得：x0.5，即EC0.5，FC1.5，在RtCEF中，EF2EC2+CF2，得EF，AP16如图，在AFE中，FAE90，AB是EF边上的高，以AB为一边在AB的右侧作正方形ABCD，CD交AE于点M（1）求证：ABFADM；（2）若AF13，DM5，求CM的长；（3）连接DF交AB于点G，连接GM，若DFBFAB，求证：四边形AGMD是矩形【分析】（1）由“ASA“可证ABFADM；（2）由全等三角形的性质和勾股定理可求CM的长；（3）由“ASA”可证AD

27、MDAG，可得AGDM，可证四边形ADGM是平行四边形，且ADM90，可证四边形AGMD是矩形【解答】证明：（1）四边形ABCD是正方形，ABADCDBC，ABCBADADC90，FAEBADFABDAM，且ABAD，ABFADM90，ABFADM（ASA）（2）ABFADM，BFDM5，AF13，BF5，AB12CD12，CMCDDM1257（3）ADBCADGDFB，且DFBFABDAM，ADGDAM，且ADAD，GADADM90ADMDAG（ASA）AGDM，且AGDM四边形ADGM是平行四边形，且ADM90，四边形AGMD是矩形17（2019春沙河市期末）如图，矩形ABCD和正方形EC

28、GF其中E、H分别为AD、BC中点，连接AF、HG、AH（1）求证：AFHG；（2）求证：FAEGHC；【分析】（1）由AEHC，AEHC，得到四边形AHCE为平行四边形，所以AHEC，AHEC，再根据正方形的性质可推导出AHFG，AHFG，所以四边形AHGF是平行四边形，即AHFG；（2）由平行四边形AHGF可得FAH+AHG180，根据ADBC，可得DAHAHB，又AHB+AHG+GHC180，所以FADGHC【解答】证明：（1）四边形ABCD是矩形，且E、H分别为AD、BC的中点，AEHC，AEHC，四边形AHCE为平行四边形，AHEC，AHEC，又四边形ECGF为正方形，ECFG，EC

29、FG，AHFG，AHFG，四边形AHGF是平行四边形，AHFG；（2）四边形AHGF是平行四边形，FAH+AHG180，四边形ABCD是矩形，ADBC，DAHAHB，又AHB+AHG+GHC180，FADGHC18（2021南关区一模）问题呈现下面是华师版八年级下册数学教材第121页的第1题，请结合图完成这道题的证明如图，点E是正方形ABCD的边CD上的一点，点F是CB的延长线上的一点，且EAAF求证：DEBF拓展探究如图，在ABC中，ACB90，ACCB2，CDAB，垂足为点D，点E是边AC上的动点，点F是边CB上的一点，且EDDF（1）直接写出四边形EDFC的面积（2）若CDE15，则四边

30、形EDFC的周长为4+2【分析】问题呈现通过ASA证明ADEABF拓展探究（1）先通过AAS证明DCEDBF，将四边形EDFC的面积转化为三角形BCD的面积（2）作DMAC于点M，先求出MEDCDE+ACD60，通过解直角三角形求出MD长度，再通过等量代换将四边形EDFC的周长转化为ED+FD+EC+BF2ED+BC【解答】证明：问题呈现四边形ABCD是正方形，ADAB，BADDABF90EAAF，FAE90DAE+BAEBAF+BAE90，BAFDAE在ADE和ABF中，ADEABF（ASA），DEBF拓展探究（1）ACB90，EDDF，CED+CFD180，BFDCFD180，CEDBFD

31、，又ACCB2，CDAB，ABC为等腰直角三角形，CDBDAD，BDCE45，DCEDBF（AAS）S四边形CEDFSCDBSABCACBC3（2）作DMAC于点M，则CMAMDMAC，CDE15，ACD45，MEDCDE+ACD60，sinMED，ED2DCEDBF，EDFD，ECBF，四边形EDFC的周长ED+FD+EC+BF2ED+BC4+2故答案为：4+219（2021春沙坪坝区期末）在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，连结AE、AF（1）如图1，过点E作EMAF交AD于点M，求证：AFEM；（2）如图2，若AE平分BAF，求证：AFBE+DF【分析】（1）如图1，过M作

32、MNBC于N，根据正方形的性质得到DC90，根据矩形的性质得到MNCD，AMNDMN90，由全等三角形的性质即可得到AFEM；（2）如图2，延长CB到G，使BGDF，连接AG，根据正方形的性质得到DABCABG90，ADAB，根据全等三角形的性质得到GABDAF，AGAF，求得GAEDAE，根据平行线的性质得到DAEAEB等量代换得到GAEAEB，根据线段的和差即可得到结论【解答】（1）证明：如图1，过M作MNBC于N，MNC90，四边形ABCD是正方形，DC90，MNCCD90，四边形MNCD是矩形，MNCD，AMNDMN90，ADCD，MNAD，MEAF，MAF+AMEAME+NME90，

33、DAFEMN，在DAF与NME中，DAFNME（ASA），AFEM；（2）证明：如图2，延长CB到G，使BGDF，连接AG，四边形ABCD是正方形，DABCABG90，ADAB，在ABG与ADF中，ABGADF（SAS），GABDAF，AGAF，AE平分BAF，BAEFAE，GAB+BAEDAF+EAF，即GAEDAE，ADBC，DAEAEB，GAEAEB，AGGE，AFGE，GEBG+BEDF+BE，AFDF+BE20（2019宽城区一模）问题探究：如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，且AEDF线段BE与AF相交于点G，GH是BFG的中线（1）求证：ABEDAF（2）判

34、断线段BF与GH之间的数量关系，并说明理由问题拓展：如图，在矩形ABCD中，AB4，AD6点E在边AD上，点F在边CD上，且AE2，DF3，线段BE与AF相交于点G若GH是BFG的中线，则线段GH的长为【分析】（1）由正方形的性质得出BADD90，ABDA，由SAS证明ABEDAF即可；（2）由全等三角形的性质得出ABEDAF，证出BGFABE+BAG90，在RtBFG中，由直角三角形斜边上的中线性质得出BF2GH；问题拓展：由三角函数得出ABEDAF，证出BGF90，在RtBFG中，由直角三角形斜边上的中线性质得出BF2GH，由矩形的性质得出C90，BCAD6，CDAB4，得出CFCDDF1

35、，由勾股定理求出BF，即可得出GH的长【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，BADD90，ABDA，在ABE和DAF中，ABEDAF（SAS）；（2）解：BF2GH；理由如下：ABEDAF，ABEDAF，DAF+BAGBAD90，ABE+BAG90，BGFABE+BAG90，在RtBFG中，GH是边BF的中线，BF2GH；问题拓展：解：tanABE，tanDAF，ABEDAF，DAF+BAGBAD90，ABE+BAG90，AGB90，BGF90，在RtBFG中，GH是边BF的中线，BF2GH，四边形ABCD是矩形，C90，BCAD6，CDAB4，CFCDDF1，BF，GHBF；故答案为：

36、21（2020春潼南区期末）如图，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，F为AB边上一点，满足CFCP，过点B作BMCF，分别交AC、CF于点M、N（1）若ACAP，AC3，求ACP的面积；（2）若BCMC，证明：CPBM+2FN【分析】（1）由正方形的性质及已知条件可得AP和CD的长，再按照三角形的面积计算公式计算即可得出答案；（2）如图，在CF上截取NGFN，连接BG，先判定BCFDCP（ASA），从而可得CFCP；再求得BCF、CFB、FBG、FBN和CBG的度数；然后判定BCGABM（ASA），则BMCG，利用等量减等量差相等可CPBMCFCGFG2FN，最后变形

37、即可证得结论【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，ACAP，AC3，APAC3，ADCD3，SACPAPCD3ACP的面积为；（2）证明：如图，在CF上截取NGFN，连接BG，四边形ABCD是正方形，ABCBCD，CBFCDPBCDBCF+FCD90又CFCP，DCP+FCD90BCFDCP，BCFDCP（ASA）CFCPBCMC，BMCF，BCFACFBCA22.5，CFB67.5BMCF，NGFN，BFBG，FBG45，FBN22.5CBG45在BCG和ABM中，BCGABM，BCAB，CBGBAM，BCGABM（ASA）BMCG，CPBMCFCGFG2FN，CPBM+2FN22（20

38、20春兴化市期中）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上的动点（不与点B、C重合），将射线AE绕点A按逆时针方向旋转45后交CD边于点F，AE、AF分别交BD于G、H两点（1）当BEA55时，求HAD的度数；（2）设BEA，试用含的代数式表示DFA的大小；（3）点E运动的过程中，试探究BEA与FEA有怎样的数量关系，并说明理由【分析】（1）根据正方形的性质和三角形的内角和解答即可；（2）根据正方形的性质和三角形内角和解答即可；（3）延长CB至I，使BIDF，根据全等三角形的判定和性质解答即可【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，EBABAD90，EAB90AEB905535，HADB

39、ADEAFEAB90453510；（2）四边形ABCD是正方形，EBABADADF90，EAB90AEB90，DAFBADEAFEAB9045（90）45，DFA90DAF90（45）135；（3）BEAFEA，理由如下：延长CB至I，使BIDF，连接AI四边形ABCD是正方形，ADAB，ADFABC90，ABI90，又BIDF，DAFBAI（SAS），AFAI，DAFBAI，EAIBAI+BAEDAF+BAE45EAF，又AE是EAI与EAF的公共边，EAIEAF（SAS），BEAFEA23（2019秋邳州市期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，EAF45（1）如图

40、（1），试判断EF，BE，DF间的数量关系，并说明理由；（2）如图（2），若AHEF于点H，试判断线段AH与AB的数量关系，并说明理由【分析】（1）延长FD到G，使DGBE，连接AG，证GDAEBA，GAFEAF，根据全等三角形的性质得出GD+DFBE+DFEF进而求出即可；（2）把ADF绕点A顺时针旋转90得到ABQ，如图，根据旋转的性质得AQAF，FAQ90，ABQD90，则可判断点Q在CB的延长线上，由EAF45得到QAE90EAF45，然后根据“SAS”判断AEQAEF，得到EQFE，再根据全等三角形对应边上的高相等得到结论【解答】（1）解：BE+DFEF；理由如下：如图1，延长FD到

41、G，使DGBE，连接AG，在GDA和EBA中，GDAEBA（SAS），AGAE，GADEAB，故GAF45，在GAF和EAF中，GAFEAF（SAS），GFEF，即GD+DFBE+DFEF；（2）AHAB，理由如下：四边形ABCD为正方形，ABAD，BAD90，把ADF绕点A顺时针旋转90得到ABQ，如图2，AQAF，FAQ90，ABQD90，而ABC90，点Q在CB的延长线上，EAF45，QAE90EAF45，EAFQAE，在AEQ和AEF中，AEQAEF（SAS），EQEF，ABEQ，AHFE，ABAH24（2020秋海珠区校级期中）（1）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上

42、，EDF45，连接EF，求证：EFAE+FC（2）如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，EDF45，猜想EF、AE、FC的数量关系，并说明理由【分析】（1）延长BA，使AMCF，由题意可证AMDCFD，可得MDFD，ADMCDF，即可得MDEEDF45，即可证MDEFDE，可得EFEM，则可得EFAE+CF；（2）将CDF绕点D顺时针旋转90，可得ADN，由旋转的性质可得DNDF，ANCF，DANDCF45，CDFADN，由“SAS”可证EDFEDN，可得EFEN，即可得结论【解答】证明：（1）四边形ABCD是正方形，ABBCCDAD，BCADCDAB90，如图：延长BA，使AMCF，连接MD，在AMD和CFD中，AMDCFD（SAS），MDACDF，MDDF，EDF45，ADE+FDC45，ADM+ADE45MDE，MDEEDF，在EDF和EDM中，EDFEDM（SAS），EFEM，EMAM+AEAE+CF，EFAE+CF；（2）EF2AE2+CF2，理由如下：如图，将CDF绕点D顺时针旋转90，可得ADN，由旋转的性质可得DNDF，ANCF，DANDCF45，CDFADN，CANCAD+DAN90，EN2AE2+AN2，EDF45，CDF+ADE45，ADE+ADN45NDEEDF，在EDF和EDN中，EDFEDN（SAS），EFEN，EF2AE2+CF2