22、单线段最值问题整合.docx

1、单线段最值问题（一）基本分类邓晋荣一、单动点若要求最值的线段一端为定点，另一端为动点，则需要研究动点所在轨迹，一般为圆或直线1. 点在直线上运动点 P 是直线l 上一动点， A 是直线外一点，求 AP 的最小值 过点 A 作 AP l ，垂足为 P ，则 AP AP AlPP2. 点在圆上运动点 P 为 O 上一动点， A 是圆外一点，求 AP 的最值连接 AO 并延长，交 O 于 P1 、 P2 两点，则 AP1 AP AP2 POP1PA2例1. 如图，已知正方形 ABCD ，AB = 2 ，E 、F 分别在 BC 、CD 上运动，且 BE = CF ，AE 、BF 交于点G ，则CG 的

2、最小值为 例2. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(2, 4) ，点 P (1, 0 ) ， B 是轴 y 上一动点，过点 A作 AB AC 交 x 轴于点C ， M 是 BC 中点，则 PM 的最小值为 例3. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC 的顶点 A 在 y 轴上，OA = 3，OC = 4 ，D 是线段 AB 上一动点， 以 CD 为边在与点 B 同侧作正方形 CDEF ，则 OE 的最小值为 GyEADBFOCA DyFB EC例 1xxBAMOPC例 2例 3例4. 如图，在边长为a 的等边ABC 中，AD BC ，点 E 是直线 AD 上的一个动点，连接CE ，

3、把线段CE 绕点C 逆时针旋转60 得到CF ，连接 DF ，则 DF 的最小值为 例5. 如图，在RtABC 中，ACB = 90 ， AC = BC = 4 ， D 是 BC 边上一动点，连接 AD 交以CD 为直径的圆于点 E ，则 BE 的最小值为 例6. 如图，在ABC 中， ACB = 90 ， BAC = 30 ， BC = 2 ， D 是 AB 边上一点，以 AD 为边在ABC 外侧作等边ADE ，过点 D 作 DE 的垂线，F 是垂线上一点，G 是 EF 中点， 则CG 的最小值为 EDEDAABFGEDBCCAC B例 6F例 4例 53. 多动点转化为单动点（1） 双动点

4、转单动点例7. 如图，在RtABC 中，C = 90 ， AC = 4 ， BC = 3， D 是 AC 上一动点， DE AC ，DF BC ，则 EF 的最小值为 例8. 如图， A 与 x 轴交于 B (2, 0) 、C (4, 0) 两点，点 P 是 y 轴上一动点，DP 切A 于点 D ， 则 DP 的最小值为 AOBCDPAyDExCFB例 8例 7（2） 相对运动转化例9. 如图，在坐标系中，点 A 、B 分别在 x 、y 轴上运动，且 AB = 2 ，在第一象限作等边ABC ， 则OC 的最大值为 例10.如图，在坐标系中，点 A 、B 分别在 x 轴、直线 y = x 上运动

5、，且 AB = 2 ，以 AB 为边在点O 异侧作等边ABC ，则OC 的最大值为 CBOABCOAyyxx例 10例 9二、圆中的弦圆中的弦，由半径与圆心角（圆周角）决定，若圆心角固定，则弦的最值转化为半径的最值 半径的最值问题可以转化为单动点问题，也可以由半径与弦的关系求得（ 0 l 2r ）例11.如图，在ABC 中， AB = AC = 8 ， BAC = 120 ， D 在线段 BC 上且 CD = 3BD ，点 E 、 F 分别在射线 BA 、CA 上，若EDF = 60 ，则 EF 的最小值为 例12.如图，已知 y = - 3 x2 - 9 x + 6 与 x 轴交于 A 、B

6、 两点，与 y 轴交于点C ，D 是线段84BC 上一动点， P 是 AD 中点过点 D 分别作 AB 、AC 的垂线，垂足为 E 、F 两点，则 EF的最小值为 例13.如图，在RtABC 中， AC = 6 ， BC = 8 ， P 、Q 是 AC 、BC 上的动点，CPQ 的外接圆，恰好与直线 AB 相切，则 PQ 的最小值为 O EAPBDFCQCyADFBEA例 11xPCB例 13三、动态折叠例 12动态折叠的情况更加复杂，可以转化为单动点问题，也可能无法转化例14.如图，在RtABC 中， ACB = 90 ， AC = 6 ， BC = 4 ， D 是 AC 中点， E 在 B

7、C上运动，沿 DE 折叠，使点C 落在C 处，则 BC 的最小值为 例15.如图，在RtABC 中， ACB = 90 ， AC = 6 ， BC = 8 ， D 、 E 分别是 AC 、 BC上的动点，沿 DE 折叠，使点C 落在C 处，则 AC 的最小值为 例16.如图，已知等边ABC ，边长为4 ， D 、 E 是 AC 、 AB 上两动点，沿 DE 折叠， 使点 A 恰好落到 BC 上，则CD 的最大值为 CCAAAEDDDCEBCECBBA例 14例 15例 16单线段最值问题（二）连锁轨迹邓晋荣例1. 如图，在ABC 中， AB = 2 ， AC = 3 ，以 BC 作等边BCD

8、， B 、D 、C 三点为逆时针顺序，则 AD 的最大值为 例2. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC 的顶点 A 在 y 轴上，OA = 3，OC = 4 ，D 是线段 AB 上一动点， 以 CD 为边在与点 B 同侧作正方形 CDEF ，则 OE 的最小值为 例3. 如图，在边长为a 的等边ABC 中，AD BC ，点 E 是直线 AD 上的一个动点，连接CE ， 把线段CE 绕点C 逆时针旋转60 得到CF ，连接 DF ，则 DF 的最小值为 yEADBFOCEDAABCBCxDF例 1例 2例 3实际上，例 1 可以修改如下：例4. 如图， AC = 3 ，点 B 在以 A

9、为圆心，半径为2 的圆上运动，以 BC 为边作等边BCD ，B 、C 、 D 三点为逆时针顺序，则 AD 的最大值为 思考，我们能否证明点 D 也在某个圆上运动？如果把例 4 中的等边三角形改为等腰直角三角形呢？例5. 如图， AC = 3 ，点 B 在以 A 为圆心，半径为 2 的圆上运动，以 BC 为斜边作等腰直角BCD ， B 、C 、 D 三点为逆时针顺序，则 AD 的最大值为 DBADBACC例 4例 5如何准确确定动点所在的轨迹？直线轨迹的位置或者解析式，圆轨迹的圆心和半径。1. 位似变换如图， A 是定点，点 P 在直线 BC （或 O ）上运动， M 是 AP 中点A （定点）

10、M （从动点）A （定点）BCM （从动点）（主动点） P（从动点） MOA （定点）P （主动点）OBCP （主动点）2. 旋转变换（旋转型全等）如图， A 是定点，点 P 在直线 BC （或 O ）上运动，作等腰直角APQ ， PAQ = 90（此处可以看作点 P 绕点 A 逆时针旋转90 ）A （定点/旋转中心）（从动点） PQ （主动点）B（从动点）PA （定点/旋转中心）CQ（主动点） PA （定点）OCB（主动点）OQ（从动点）3. 旋转位似变换（旋转型相似）如图， A 是定点，点 P 在直线 BC （或 O ）上运动，作等腰直角APQ ， APQ = 902（此处可以看作点 P

11、绕点 A 逆时针旋转45 后，再以点 A 为位似中心扩大倍）A （定点）（主动点） PQ （从动点）A （定点）A （定点） P（主动点）CQ （从动点）BCOO（从动点） Q（主动点） PB结论 1：若某动点（称为主动点）在某轨迹上运动，则与其连锁运动的点（称为从动点）也在同样的轨迹上运动。主动点在某直线上运动，从动点也在另一直线上运动；主动点在某圆上运动，从动点也在另一圆上运动。（此处的“连锁运动”即指主动点经过固定几何变换得到从动点）结论 2：若主动点圆上运动，则应该把圆心进行同样的几何变换，得到从动点的圆心；若主动点在直线上运动，则选择该直线上任意一点，进行同样的几何变换，变换后的点与

12、从动点构成从动点所在直线。之后，再通过“手拉手”模型进行推导证明。结论 3：主动点所在轨迹与从动点所在轨迹的长度之比等于位似比。例6. 如图，在四边形 ABCD 中，ABC = ADC = 90 ， AD = CD = 2 2 ， E 是 BD 中点，则CE 的最小值为 例7. 如图，在坐标系中，点 A(3, 0) ，点 B 在直线 y = -3x +3 上运动，以 AB 为边作等边ABC ， B 、 A 、C 三点为逆时针顺序，则OC 的最小值为 例8. 如图， AB 是 O 的直径，C 是OB 上一点， P 是 O 上一动点，以CP 为底边作等腰直角CPD ，P 、C 、D 三点为逆时针顺

13、序，若 AB = 6 ，OC = 2 ，则 AD 的最小值为 AECBOADOCDyPABBC例 6x例 8例 7例9. 如图，点O 在线段 AB 上， OA = 1， OB = 2 ，以点O 为圆心， OA 长为半径作 O ，点P 在 O 上运动，以 BP 为边作BCP ，使PBC = 90 ， tanBPC = 2 ， P 、 B 、C 三点为逆时针顺序，则 AC 的取值范围是 例10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(2, 4) ，点 P (1, 0) ， B 是轴 y 上一动点， 过点 A 作 AB AC 交 x 轴于点C ， M 是 BC 中点，则 PM 的最小值为 BAMOP

14、CCyPOBAx例 10例 9单线段最值问题练习练1. 如图，在 O 中，半径为6 ，C 是 O 上一动点，且ACB = 30 ，延长CB 交过点 A 的切线于点 D ，则 BD 的最小值为 练2. 如图，点 A 是直线 y = -x 上的动点，点 B 在 x 轴上运动，作矩形 ABCD ，AB = 2 ，AD = 1 ，A 、 B 、C 、 D 四点为逆时针顺序，则OD 的最大值为 练3. 如图，在等边ABC 中，AB = 3 ，点 D 、E 分别在 BC 、AC 上运动，且 BD = CE ，AD 交 BE 于点 F ，则CF 的最小值为 OBDCAOBEFCyAADx练 1练 2BDC练

15、 3练4. 如图，在菱形 ABCD 中， AC = 2 ，BD = 4 ，P 是CD 上一动点，分别作点 P 关于 AC 、AD 的对称点 P1 、 P2 ，则 P1P2 的最小值为 练5. 如图，已点 A(3, 0) ， C (0, - 4) ， C 的半径为2 ，点 P 是 C 上一动点， M 是 AP 中点，则OM 的最小值为 练6. 如图，已知 O 半径为3 ，A 、B 是 O 上两点，将点 B 绕点 A 逆时针旋转90 得到点C ， 则OC 的最小值为 AOMCPACOAyBDxBPC练 4练 6练 5练7. 如图，AB 是 O 的直径，C 是 AB 中点，D 是 BC 上一动点，过

16、点C 作CE CD 交 AD于点 E ，则 BE 的最小值为 练8. 如图，在等边ABC 中， D 是 BC 上一动点， M 是 AD 中点，将线段 DM 绕点 D 顺时针旋转60 得到 DN 当点 D 从点 B 运动到点C 时，点 N 运动的轨迹长为 3练9. 如图，已知定点 A 横坐标为 2，过点 A 且垂直于 x 轴的直线交 x 轴于点 M ，交直线y = -x 于点 N P 是线段ON 上一动点，作APB ， BAP = 90 ， APB = 30 ， A 、 P 、B 三点为逆时针顺序当点 P 从点O 运动到点 N 时，点 B 运动的轨迹长为 ABOMPNCAyD EOMNABxBD

17、C练 7练 8练 9练10.如图，AP = 3 ，BP = 4 ，作正方形 ABCD ，A 、B 、C 、D 四点为逆时针顺序，CP 的最大值为 练11.如图等边ABC 中， P 是 AC 边上一动点，作BDP ， PBD = 30 ， PB = PD ，P 、 B 、 D 三点为逆时针顺序，则CD 的最小值为 ADE练12.如图，ABC，BAC = DAE = 90 ，AB = 6 ，AC = 8 ，F 是 DE 中点，若点 D 在直线 BC 上运动，连接CF ，则线段CF 的最小值为 PFADAAPEDBCBCBCD练 10练 11练 12练13.如图，已知菱形 ABCD ，AB = 8 ，BAD = 60 ，P 在线段 BC 上，CP = 3，Q 是 AD上一动点，沿 PQ 折叠四边形 ABPQ ，得到四边形 ABPQ ，当 DB 最小时， DQ 的值为 练14.如图，在ABC 中， C = 30 ， AC = 3 ，3 BC 6 ，点 D 、E 分别在 AB 、 AC上，将ADE 沿 DE 折叠，使点 A 恰好落在 BC 上，则CE 的最大值为 DEAQDABPC练 13BAC练 14