3.1 变量之间的关系【六大题型】（举一反三）（北师大版）（教师版）.docx

1、专题3.1 变量之间的关系【六大题型】【北师大版】【题型1 常量与变量】1【题型2 自变量与因变量】3【题型3 用表格表示变量之间的关系】4【题型4 用关系式表示变量之间的关系】8【题型5 用图象表示变量之间的关系】10【题型6 根据变量之间的关系判断图象】13【题型1 常量与变量】【例1】（2022春四川七年级校考期中）球的体积是V，球的半径为R，则V=43R3，其中变量和常量分别是（）A变量是V，R；常量是43，B变量是R，；常量是43C变量是V，R，；常量是43D变量是V，R3；常量是【答案】A【分析】所谓变量是指变化的量，常量是指固定不变的量，根据变量、常量的含义即可作出判断【详解】解

2、：球的体积是V，球的半径为R，则V=43R3，其中变量是V，R；常量是43，故选：A【点睛】本题考查了常量与变量，知道其含义是关键【变式1-1】（2022春四川成都七年级统考期末）如图，把两根木条AB和AC的一端A用螺栓固定在一起，木条AC自由转动至AC位置在转动过程中，下面的量是常量的为（）ABAC的度数BBC的长度CABC的面积DAC的长度【答案】D【分析】根据常量和变量的定义进行判断【详解】解：木条AC自由转动至AC位置中，AC的长度始终保持不变，AC的长度是常量；故选：D【点睛】本题考查常量和变量，理解题意，确定变与不变是求解本题的关键【变式1-2】（2022春四川七年级校考期中）下面

3、说法中正确的是()A两个变量间的关系只能用关系式表示B图象不能直观的表示两个变量间的数量关系C借助表格可以表示出因变量随自变量的变化情况D以上说法都不对【答案】C【详解】表示函数的方法有三种：解析法、列表法和图象法解：A、两个变量间的关系只能用关系式表示，还能用列表法和图象法表示，故错误；B、图象能直观的表示两个变量间的数量关系，故错误；C、借助表格可以表示出因变量随自变量的变化情况，正确；D、以上说法都不对，错误；故选C【变式1-3】（2022春河南驻马店七年级校联考期中）一本笔记本5元，买x本共付y元，则常量和变量分别是（）A常量：5；变量：xB常量：5；变量：yC常量：5；变量：x，yD

4、常量：x，y；变量：5【答案】C【分析】在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量，所以5是常量，x、y是变量，据此判断即可【详解】解：一本笔记本5元，买x本共付y元，则5是常量，x、y是变量故选：C【点睛】此题主要考查了常量与变量问题，解题的关键是要明确：常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化【题型2 自变量与因变量】【例2】（2022春四川七年级校考期中）某销售商对某品牌豆浆机的销量与定价的关系进行了调查，结果如下表所示，则（）定价（元）10011

5、0120130140150销量（台）801001101008060A定价是常量B销量是自变量C定价是自变量D定价是因变量【答案】C【分析】根据自变量、因变量、常量的定义即可得【详解】由表格可知，定价与销量都是变量，其中，定价是自变量，销量是因变量，故选：C【点睛】本题考查了常量与变量、自变量与因变量，掌握理解相关概念是解题关键【变式2-1】（2022春四川七年级校考期中）重百大楼的销售量随商品价格的高低而变化，在这个变化过程中，自变量是（ ）A销售量B顾客C商品D商品的价格【答案】D【详解】试题分析：根据题意，销售量随商品价格的高低而变化，结合函数的定义，分析可得答案解：根据题意，销售量随商品

6、价格的高低而变化，则在这个变化过程中，自变量是商品的价格，故选D点评：本题考查函数的概念，在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量【变式2-2】（2022秋云南昆明七年级统考期中）生活中太阳能热水器已经慢慢普及使用在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒太阳时间的长短而变化，这个问题中因变量是()A太阳光的强弱B水的温度C晒太阳的时间D热水器【答案】B【详解】在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温是随所晒太阳时间的长短而变化的，在这个问题中，“因变量”是“水的温度”.故选B.【变式2-3】（202

7、2春四川七年级校考期中）圆柱的高是6cm，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也随之发生变化在这个变化过程中，自变量是_，因变量是_【答案】 r V【详解】圆柱的高固定为6cm，当圆柱底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积v也随之发生变化，在上述变化过程中，自变量是：r，因变量是v.故答案为（1）r；（2）v.【题型3 用表格表示变量之间的关系】【例3】（2022春河南焦作七年级校考期末）某种蔬菜的价格随月份变化如下表所示，根据表中信息，下列结论错误的是（）月份x123456789101112价格y(元/千克)5.005.505.004.802.001.500.901.001.503.

8、003.303.50Ax与y都是变量，且x是自变量，y是因变量B7月份这种蔬菜的价格最低，最低为0.90元千克C17月份这种蔬菜的价格一直在下跌D712月份这种蔬菜的价格一直在上涨【答案】C【分析】列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，依据表格中的数据即可得到正确答案【详解】解：A、x是自变量，y是因变量，本选项不合题意；B、7月份这种蔬菜的价格最低，最低为0.90元千克，本选项不合题意；C、27月份这种蔬菜的价格一直在下降，原说法错误，本选项符合题意；D、712月份这种蔬菜的价格一直在上涨，本选项不合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，列表法能具体地反映自变量与函数的

9、数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律【变式3-1】（2022秋云南昆明七年级统考期中）一个蓄水池有水50m3，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表：放水时间（min）1234水池中水量（m3）48464442则放水14min时，水池中有水_m3【答案】22【分析】根据表格中“放水时间”与“水池中水量”之间的变化规律可得答案【详解】解：由表格中“放水时间”与“水池中水量”对应值的变化规律可知，放水时间每增加1min，水池中水量就

10、减少2m3，所以当放水时间为14min时，水池中水量为482（141）22(m3)，故答案为：22【点睛】本题考查用表格表示变量间的关系，掌握表格中两个变量的变化规律是解决问题的关键【变式3-2】（2022春江西九江七年级统考期中）心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：min）之间有如下关系（其中2x20）：提出概念所用的时间x257101213141720学生对概念的接受能力y47.853.556.359.059.859.959.858.355.0(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)当提出概念所用的时间是5min时，学生的接受能

11、力是多少？(3)根据表格中的数据回答：当提出概念所用的时间是几分钟时，学生的接受能力最强？(4)根据表格中的数据回答：当x在什么范围内时，学生的接受能力在增强？当x在什么范围内时，学生的接受能力在减弱？【答案】(1)提出概念所用的时间x和对概念的接受能力y；提出概念所用时间x是自变量，对概念的接受能力y是因变量(2)53.5(3)13(4)当2x13时，学生的接受能力逐步增强；当13x20时，学生的接受能力逐步减弱【分析】（1）根据自变量与因变量的定义即可求解；（2）根据表格中数据即可求解；（3）根据表格中x=13时，y的值最大是59.9，即可求解；（4）根据表格中的数据即可求解【详解】（1）

12、解：提出概念所用的时间x和对概念的接受能力y两个变量；提出概念所用时间x是自变量，对概念的接受能力y是因变量（2）解：当x=5时，y=53.5，答：当提出概念所用时间是5min时，学生的接受能力是53.5（3）解：当x=13时，y的值最大是59.9，答：提出概念所用时间为13分钟时，学生的接受能力最强（4）解：由表中数据可知：当2x13时，y值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当1315输出因变量y=20故答案为：20【点睛】本题主要考查求因变量的值，熟练掌握自变量对应的因变量的值的求法是解决本题的关键【变式4-2】（2022秋八年级课时练习）某移动通信公司开设了两种通信业务“全球通”，使用时

13、首先交50元月租，然后每通话1min，付费0.4元；“动感地带”：不交月租费，每通话1min，付费0.6元若一个月通话xmin，两种方式的费用分别为y1元和y2元（本题的通话均指市内通话，通话不足一分钟的按1分计）(1)分别写出y1，y2与x之间的关系式；(2)一个月内通话多少分，两种移动通信业务费用相同？(3)某人估计一个月内通话300min那么他选择哪种移动通信业务更合适？【答案】(1)y1500.4x；y20.6x(2)250分钟(3)选择“全球通”移动通信业务更合适【分析】（1）由“第一种通讯业务费用y1月租费通话时间每分钟通话费用”可得出y1与x的关系式，由“第二种通讯业务费用y2通

14、话时间每分钟通话费用”可得出y2与x的关系式；（2）令y1y2，即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论；（3）将x300分别代入y1、y2中，求出y值，比较后即可得出结论【详解】（1）解：由题意得：y1500.4x；y20.6x（2）令y1y2，即500.4x0.6x解得：x250答：一个月内通话250分钟，两种通信费用相同（3）在y1500.4x中，令x300，则y1170，在y20.6x中，令x300，则y2180180170答：选择“全球通”移动通信业务更合适【变式4-3】（2022春安徽七年级校考期中）如图所示，梯形ABCD上底的长是xcm，下底长BC=30cm，高DE=16

15、cm(1)梯形面积ycm2与上底长xcm之间的关系式是什么？(2)当x每增加1cm时，y如何变化？(3)当x=0时，y等于什么？此时y表示的是什么？【答案】(1)y=8x+240(2)当x每增加1cm时，y增加8cm(3)y等于240，此时y表示的是三角形的面积【分析】（1）根据梯形的面积=（上底+下底）高2即可得；（2）直接根据（1）的结论即可得；（3）将x=0代入（1）的结论即可得y的值，再根据梯形的上底为0时，梯形就变成了三角形，由此即可得y表示的是三角形的面积（1）解：梯形ABCD上底的长是xcm，下底长BC=30cm，高DE=16cm，梯形面积y=16x+302=8x+240，即y=

16、8x+240（2）解：由（1）已得：y=8x+240，则当x每增加1cm时，y增加8cm（3）解：将x=0代入y=8x+240得：y=240，当x=0时，梯形的上底为0时，梯形就变成了三角形，则此时y表示的是三角形的面积【点睛】本题考查了利用关系式表示变量之间的关系、求函数值，熟练掌握梯形的面积公式是解题关键【题型5 用图象表示变量之间的关系】【例5】（2022秋八年级课时练习）图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家其中x表示时间，y表示张强离家的距离则体育场离张强家_千米，张强在体育场锻炼了_分钟，张强从早餐店回家的平均速度是_千米/

17、小时【答案】 2.5 15 3【分析】结合图象，可得出体育场离张强家的距离为第一段图象所对应的y轴的最高点；进而得出在体育场锻炼的时间；根据图象，可得出早餐店离张强家为1.5千米，所用时间为30分钟，注意要将单位转化为小时，再根据“平均速度=总路程总时间”，即可得出结果【详解】解：由图象得：体育场离张强家的距离2.5千米，张强在体育场锻炼的时间为：30-15=15分钟，早餐店离张强家为1.5千米，又张强从早餐店回家所用时间为：95-65=30分钟，即30分钟=0.5小时，张强从早餐店回家的平均速度为：1.50.5=3千米/小时故答案为：2.5；15；3【点睛】本题考查了用图象表示变量之间的关系

18、，解本题的关键在充分利用数形结合思想【变式5-1】（2022春辽宁沈阳七年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校考阶段练习）一港口受潮汐的影响，某天24小时港内的水深大致如图，港口规定：为了保证航行安全，只有当船底与水底间的距离不少于4米时，才能进出该港一艘吃水深度（即船底与水面的距离）为2米的轮船进出该港的时间最多为（单位：时） _小时【答案】9【分析】从图像上找到当水深为6米的两个时间相减即可得到本题的答案【详解】解：当船底与水底间的距离不少于4米时，才能进出该港水深度(即船底与水面的距离)为2米的轮船在水深为2+4=6米时才可以通航，从图像可知水深为6米的时间为6时和15时，进出该

19、港口的时间为15-6=9小时，故答案为：9【点睛】本题考查了用图像表示变量之间的关系，解决本题的关键是理解吃水的概念【变式5-2】（2022春四川雅安七年级统考期末）在雨地里放置一个无盖的容器，如果雨水均匀地落入容器，容器内水面高度h与时间t的函数图象如图所示，那么这个容器的形状可能是（）ABCD【答案】C【分析】根据图象得到高度随时间的增大，高度增加的速度，即可判断【详解】根据图象可以得到：杯中水的高度h随注水时间t的增大而增大，而增加的速度越来越小则杯子应该是越向上开口越大故杯子的形状可能是C故选：C【点睛】本题考查了函数的图象，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过

20、程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小【变式5-3】（2022秋八年级课时练习）如图，是骆驼的体温随时间变化而变化的的关系图，据图回答下列问题：(1)一天中，骆驼体温的变化范围是什么？它的体温从最低上升到最高需要多少时间？(2)从16时到24时，骆驼的体温下降了多少？(3)在什么时间范围内骆驼的体温在上升？在什么时间范围内骆驼的体温在下降？(4)A点表示的是什么？【答案】(1)3540；12小时(2)3(3)4时到16时体温上升；0时到4时，16时到24时体温下降(4)12时，骆驼的体温为39【分析】观察0时到24时，骆驼的体温变化，进行解答即可【详解】（1）解：由

21、图可知，最低体温为35，最高体温为40，骆驼体温的变化范围为3540；16-4=12， 从最低体温上升到最高体温需要12小时（2）解：由图可知16时体温为40，24时体温为3740-37=3骆驼体温下降了3（3）解：由图可知，在4时到16时，骆驼体温上升；在0时到4时，16时到24时，骆驼体温下降（4）解：A点表示，在12时，骆驼的体温为39【点睛】本题考查了图象表示变量间的关系解题的关键在于从图中获取正确的信息【题型6 根据变量之间的关系判断图象】【例6】（2022春河南郑州七年级校考期中）小明从家骑自行车上学，先以0.4千米/分的速度匀速骑行5分钟，途经超市时，买文具用了5分钟，为按时到校

22、，再以0.5千米/分的速度骑行2分钟到学校设小明骑自行车的速度为v（千米/分），离家路程为s（千米），上学时间为t（分）下列图象能表达这一过程的是（）ABCD【答案】D【分析】根据路程、速度与时间的关系以及函数图象的特点，结合题意逐项判断解答即可【详解】解：由题意，小明先以0.4千米/分的速度匀速骑行5分钟，路程从0 开始随时间匀速增加到2千米；途经超市时，买文具用了5分钟，路程不变；再以0.5千米/分的速度骑行2分钟到学校，离家路程随时间匀速增加到3千米故选：D【点睛】本题考查用图象表示变量间关系，理解题意，能判断出路程与时间的关系是解答的关键，注意买文具时路程不变【变式6-1】（2022春

23、河南郑州七年级校考期中）一年365天，天安门广场的升旗仪式与太阳的节奏同步，唤醒一座城市的梦，唤醒一个国家的清晨当升旗手匀速升旗时，旗子的高度h（米）与时间t（分）这两个变量之间的关系用图象可以表示为（）ABCD【答案】B【分析】利用用图像表示变量间关系的方法解答即可【详解】解升旗手匀速升旗，高度h将随时间t的增大而变增大，且变化快慢相同，应当用上升趋势的直线型表示，只有B符合题意，故选B【点睛】本题考查了用图象表示的变量间关系，根据题意明确因变量随自变量变化的趋势是解题的关键【变式6-2】（2022春广东佛山七年级统考期末）历史上某地曾干旱缺水，因此在全国开展了献爱心、建母亲水窖的活动，如图

24、是某母亲水窖的横断面示意图，如果这个母亲水窖以固定的流量注水，下面能大致表示水的深度h和时间t之间的关系的图象是（）ABCD【答案】C【分析】首先看图可知，母亲水窖的下部分比上部分的底面积小，故h与t的关系为先快后慢【详解】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢故选C【点睛】考查了用图像表示的变量间关系，能根据几何图形和图象上的数据分析得出所对应的变量间关系是解题的关键【变式6-3】（2022春湖南郴州八年级统考期末）小明观看了中国诗词大会第三期，主题为“人生自有诗意”，受此启发根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还”，如图用y轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用x轴表示父亲离家的时间，那么下面图象与上述诗的含义大致相吻合的是（ ）ABCD【答案】D【分析】开始时，父亲离家的距离越来越远，而儿子离家的距离越来越近，车站在两人出发点之间，而父亲早到，两人停一段时间以后，两人一起回家，则离家的距离与离家时间的关系相同【详解】解：开始时，父亲离家的距离越来越远，而儿子离家的距离越来越近，车站在两人出发点之间，而父亲早到，故A、B、C不符合题意；两人停一段时间以后，两人一起回家，则离家的距离与离家时间的关系相同，则选项D符合题意故选D