3.1 空间向量及其运算 讲义——2022-2023学年高二上学期数学沪教版（2020）选择性必修第一册.docx

1、学生版第 3 章 空间向量及其应用3.1 空间向量及其运算本章将要学习的空间向量是从几何直观角度讲述向量的最高境界；空间向量知识是平面向量知识的延伸与拓展，从概念理解到问题解决，或可直接化归到平面向量，或可对平面向量的理论进行类比与提升； 因此，本章的学习，特别要帮助学生在复习平面向量的基础上，理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量理论上的一脉相承，掌握它们的共性和差异；特别注意，向量理论“可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理”；在“平面向量”一章，由于只能处理平面上的问题，学生对向量这一化几何问题为代数问题的神奇功能和强大威力可能体会还不深刻；本章中，向

2、量将为处理立体几何问题展现新视角，把许多三维空间中的逻辑推理和度量问题归结到向量的计算，使向量方法成为研究几何问题的有效工具；因此，本章学习的另一个要求是，使学生能运用空间向量方法研究空间基本图形的位置关系和度量问题，体会向量方法和纯几何方法在研究立体几何问题中的共性与差异，进一步发展空间想象能力和几何直观能力；【学习目标】学习目标学科素养1、了解空间向量与平面向量的联系与区别，掌握空间向量的线性运算及其性质，理解共线向量定理的充要条件；（重点）；2、了解向量共面的含义；3、能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题；1、逻辑推理：通过平面向量与空间向量的对比；2、数学运算：共线、共

3、面向量的计算；3、直观想象：借助共线、共面向量的应用；【自主学习】问题导学：预习教材P89P95的内容，思考以下问题：1、了解空间向量的概念，向量共面；2、掌握空间向量的加法、减法运算；3、掌握空间向量平行的充要条件；【知识梳理】1、空间向量的概念及其表示（1）定义：在空间，具有 和 的量叫做空间向量；（2）长度或模：向量的 ；（3）表示方法：几何表示法：空间向量用 表示；字母表示法：用字母，表示；若向量的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|或|；坐标表示；2、共面向量如果一组向量可以平移到同一个平面上，那么称这组向量是共面的；显然，任意两个向量都是共面的；3、几类特殊的空间向量名称定义及

4、表示零向量 的向量叫做零向量，记为：；单位向量 的向量称为单位向量相反向量与向量长度 而方向 的向量，称为的相反向量，记为 ；共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量规定：对于任意向量，都有相等向量方向 且模 的向量称为相等向量4、空间向量的线性运算空间向量的运算定义（或法则）运算律加法设和是空间两个向量，过一点O作和的相等向量和，根据平面向量加法的 ，平行四边形的对角线OC对应的向量就是与的和，记作，如图所示：结合律：；交换律：；减法与平面向量类似，与的差定义为，记作，其中是的相反向量空间向量的数乘空间向量与一个实数的乘积是一

5、个向量，记作，满足：，当时，与方向 ；当时，与方向 ；当0时，；(R)；()()(R，R)；()()(R，R)空间向量的数量积空间两个向量和的数量积是一个 ，等于，记作；交换律：；分配律：；()() (R)与数量积有关的结论；（，）5、空间中共线向量定理空间两个向量与非零向量平行的充要条件是存在实数，使得；平面向量平行的充要条件同样适用于空间向量，即6、想一想1、空间中的两个向量是不是共面向量？【解析】2、空间向量的数量积运算为什么不满足结合律？【解析3、怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？【解析】4、由数乘，可否得出?【解析】【自我尝试】1、判断下列命题的真假（正确的

6、打“”，错误的打“”）模为0是一个向量方向不确定的充要条件；（ ）若向量，满足|，与同向，则；（ ）若两个非零向量，满足，则，互为相反向量；（ ）的充要条件是A与C重合，B与D重合；（ ）向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上；（ ）2、如图所示，在四棱柱ABCDA1B1C1D1所有的棱中，可作为直线A1B1的方向向量的有（ ）A1个B2个C3个D4个3、点C在线段AB上，且|AB|5，|BC|3，则_.4、化简：_.【题型探究】题型一、空间向量的有关概念例1、（1）给出下列命题：若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；是向量的必要不充分条件；向量相等的充要条件是；若A，B

7、，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；其中正确的是_（2）如图，在长、宽、高分别为AB3，AD2，AA11的长方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中：（1）单位向量共有多少个？（2）试写出的相反向量；题型二、空间向量的线性运算例2、（1）如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用，表示以下各向量：（1）；（2）；（3）；（2）已知正四棱锥PABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值yz；xy.题型三、空间向量数量积的运算例3、（1）如图，三棱锥

8、ABCD中，ABACAD2，BAD90，BAC60，则等于（ ）A2B2C2D2（2）在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA1，OB2，OC3，G为ABC的重心，求()的值；题型四、空间向量的共线问题例4、（1）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，O为A1C上一点，且，BD与AC交于点M；求证：C1，O，M三点共线；（2）如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线；【素养提升】1、空间向量有关概念问题的关键点及注意点（1）：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向（2）：注意一些特殊向量的特性零向量不是没有方向，而

9、是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性；单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1；两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量；2、特殊向量的特性（1）向量不是没有方向，而是它的方向是任意的；（2）单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1；（3）两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量；3、证明(或判断)A，B，C三点共线时，只需证明存在实数，使(或)即可，也可用“对空间任意一

10、点O，有t(1t)”来证明A，B，C三点共线【即时练习】A级：“四基”巩固训练1、下列关于空间向量的说法中正确的是（ A方向相反的两个向量是相反向量B空间中任意两个单位向量必相等C若向量，满足|，则D相等向量其方向必相同2、已知正方体ABCDA1B1C1D1，若点F是侧面CD1的中心，且mn，则m，n的值分别为（ ）A， B， C， D，3、化简：(23)53(2)_.4、化简所得的结果是 5、设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且，则四边形ABCD是 B级：“四能”提升训练6、给出下列四个命题：方向相反的两个向量是相反向量；若，满足|且，同向，则；不相等的两个空间向量的模必不相等；对于任何

11、向量，必有|.其中正确命题的序号为_7、已知向量，互相平行，其中，同向，反向，|3，|2，|1，则|_.8、设，是空间两个不共线的向量，已知k，54，2，且A，B，D三点共线，实数k_. 9、设两非零向量，不共线，且k与k共线，求k的值10、如图，点、分别是棱长为的正四面体的边和的中点，点、是线段的三等分点；（1）用向量、表示和；（2）求、；（3）求；【教师版】第 3 章 空间向量及其应用3.1 空间向量及其运算本章将要学习的空间向量是从几何直观角度讲述向量的最高境界；空间向量知识是平面向量知识的延伸与拓展，从概念理解到问题解决，或可直接化归到平面向量，或可对平面向量的理论进行类比与提升； 因

12、此，本章的学习，特别要帮助学生在复习平面向量的基础上，理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量理论上的一脉相承，掌握它们的共性和差异；特别注意，向量理论“可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理”；在“平面向量”一章，由于只能处理平面上的问题，学生对向量这一化几何问题为代数问题的神奇功能和强大威力可能体会还不深刻；本章中，向量将为处理立体几何问题展现新视角，把许多三维空间中的逻辑推理和度量问题归结到向量的计算，使向量方法成为研究几何问题的有效工具；因此，本章学习的另一个要求是，使学生能运用空间向量方法研究空间基本图形的位置关系和度量问题，体会向量方法和纯几何方法

13、在研究立体几何问题中的共性与差异，进一步发展空间想象能力和几何直观能力；【学习目标】学习目标学科素养1、了解空间向量与平面向量的联系与区别，掌握空间向量的线性运算及其性质，理解共线向量定理的充要条件；（重点）；2、了解向量共面的含义；3、能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题；1、逻辑推理：通过平面向量与空间向量的对比；2、数学运算：共线、共面向量的计算；3、直观想象：借助共线、共面向量的应用；【自主学习】问题导学：预习教材P89P95的内容，思考以下问题：1、了解空间向量的概念，向量共面；2、掌握空间向量的加法、减法运算；3、掌握空间向量平行的充要条件；【知识梳理】1、空间向量

14、的概念及其表示（1）定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量；（2）长度或模：向量的大小；（3）表示方法：几何表示法：空间向量用有向线段表示；字母表示法：用字母，表示；若向量的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|或|；坐标表示；2、共面向量如果一组向量可以平移到同一个平面上，那么称这组向量是共面的；显然，任意两个向量都是共面的；3、几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为：；单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 ；共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫

15、做共线向量或平行向量规定：对于任意向量，都有相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量4、空间向量的线性运算空间向量的运算定义（或法则）运算律加法设和是空间两个向量，过一点O作和的相等向量和，根据平面向量加法的平行四边形法则，平行四边形的对角线OC对应的向量就是与的和，记作，如图所示：结合律：；交换律：；减法与平面向量类似，与的差定义为，记作，其中是的相反向量空间向量的数乘空间向量与一个实数的乘积是一个向量，记作，满足：，当时，与方向相同；当时，与方向相反；当0时，；(R)；()()(R，R)；()()(R，R)空间向量的数量积空间两个向量和的数量积是一个数，等于，记作；交换律：；分配律：；(

16、)() (R)与数量积有关的结论；（，）5、空间中共线向量定理空间两个向量与非零向量平行的充要条件是存在实数，使得；平面向量平行的充要条件同样适用于空间向量，即6、想一想1、空间中的两个向量是不是共面向量？【解析】是；空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量；2、空间向量的数量积运算为什么不满足结合律？【解析】数量积运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即不一定等于;这是由于表示一个与共线的向量，而表示一个与共线的向量，而与不一定共线；3、怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？【解析】可以利用三角形法则和平行四边形法则

17、作出三个向量的和加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变4、由数乘，可否得出?【解析】不能；或；【自我尝试】1、判断下列命题的真假（正确的打“”，错误的打“”）模为0是一个向量方向不确定的充要条件；（ ）若向量，满足|，与同向，则；（ ）若两个非零向量，满足，则，互为相反向量；（ ）的充要条件是A与C重合，B与D重合；（ ）向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上；（ ）【提示】用类比法理解空间向量的概念与运算法则；【答案】；【解析】对于，写出原命题的逆否命题：一个向量方向确定是模不为0的充要条件；所以，是真命题；对于，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小；所以，是

18、假命题；对于，由，得，所以，互为相反向量；所以，是真命题；对于，的充要条件是|，且，同向但A与C，B与D不一定重合；所以，是假命题；对于，由向量共线与有公共点；所以，是真命题；【说明】本题主要考查了空间向量的概念、表示与运算法则；2、如图所示，在四棱柱ABCDA1B1C1D1所有的棱中，可作为直线A1B1的方向向量的有（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】D；【解析】共四条AB，A1B1，CD，C1D1；3、点C在线段AB上，且|AB|5，|BC|3，则_.【答案】；【解析】因为C在线段AB上，所以与方向相反，又因|AB|5，|BC|3，故；4、化简：_.【答案】；【题型探究】题型一、空间向量

19、的有关概念例1、（1）给出下列命题：若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；是向量的必要不充分条件；向量相等的充要条件是；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；其中正确的是_【提示】理解空间向量的相关概念；【答案】；【解析】当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但当两个向量相等时，不一定起点相同，终点也相同，故错误；，推不出，故正确；由，知与的方向相同或相反，故错误；因为，所以，|且；又A，B，C，D不共线，所以，四边形ABCD是平行四边形反之，在平行四边形ABCD中，有，故正确；答案：；【说明】空间向量有关概念问题的解题策略：

20、1、两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；2、熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键；（2）如图，在长、宽、高分别为AB3，AD2，AA11的长方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中：（1）单位向量共有多少个？（2）试写出的相反向量；【提示】注意理解长方体的结构特征与向量的相关概念；【解析】（1）由于长方体的高为1，所以长方体的4条高所对应的向量， ，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个；（2）向量的相反向量有，共4

21、个；题型二、空间向量的线性运算例2、（1）如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用，表示以下各向量：（1）；（2）；（3）；【提示】注意数形结合地用好向量的表示与运算；【解析】（1）P是C1D1的中点，；(2)N是BC的中点，；(3)M是AA1的中点，（+）；（2）已知正四棱锥PABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值yz；xy.【提示】（2）根据数乘向量及三角形或平行四边形法则求解；【解析】如图，()，yz；O为AC的中点，Q为CD的中点，2，2，2，2，22，x2，y2；【说明】1、空间向

22、量加法、减法运算的两个技巧：（1）巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接；（2）巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果；2、利用数乘运算进行向量表示的技巧：（1）数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量；（2）明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质；题型三、空间向量数量积的运算例3、（1）如图，三棱锥ABCD中，ABACAD2，BAD90，BAC60，则等于（ ）

23、A2B2C2D2（2）在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA1，OB2，OC3，G为ABC的重心，求()的值；【提示】注意理解数量积的定义与数形结合地确定向量的夹角；【答案】（1）A；（2）；【解析】（1），()022cos 602.（2）()()().()()222223212.【说明】在几何体中求空间向量的数量积的步骤：1、首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.2、利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.3、根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.4、代入公式求解；题型四、空间向量的共线问题例4、（1）如图，正方体ABCDA1B1C1

24、D1中，O为A1C上一点，且，BD与AC交于点M；求证：C1，O，M三点共线；【提示】理解向量 运算与数乘的几何意义；【证明】如图，连接AO，AC1，A1C1.，().2，2，(2).1，C1，O，M三点共线.（2）如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线；【解析】因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形，所以.又因为，以上两式相加得2，所以，即与共线；【说明】1、要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行四边形，并利用向量运算法则进行转化，从而使其中一个向量表示为另一个向

25、量的倍数关系，即可证得这两向量共线2、证明空间三点P，A，B共线的方法：（1） (R)；（2）对空间任一点O，t (tR)；（3）对空间任一点O，xy (xy1)；【素养提升】1、空间向量有关概念问题的关键点及注意点（1）：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向（2）：注意一些特殊向量的特性零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性；单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1；两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量；2、特殊向量的特性（1）向量不是没

26、有方向，而是它的方向是任意的；（2）单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1；（3）两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量；3、证明(或判断)A，B，C三点共线时，只需证明存在实数，使(或)即可，也可用“对空间任意一点O，有t(1t)”来证明A，B，C三点共线【即时练习】A级：“四基”巩固训练1、下列关于空间向量的说法中正确的是（ A方向相反的两个向量是相反向量B空间中任意两个单位向量必相等C若向量，满足|，则D相等向量其方向必相同【答案】D；【解析】A中，方向相反，长度相等的两个向量是相反向量；B

27、中，单位向量模都相等而方向不确定；C中，向量作为矢量不能比较大小，故选D.2、已知正方体ABCDA1B1C1D1，若点F是侧面CD1的中心，且mn，则m，n的值分别为（ ）A， B， C， D，【答案】A；【解析】由于()，所以m，n，故答案为A；3、化简：(23)53(2)_.【答案】c；【解析】原式363；4、化简所得的结果是 【答案】；【解析】；5、设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且，则四边形ABCD是 【答案】平行四边形；【解析】，.且|，四边形ABCD为平行四边形B级：“四能”提升训练6、给出下列四个命题：方向相反的两个向量是相反向量；若，满足|且，同向，则；不相等的两个空间向

28、量的模必不相等；对于任何向量，必有|.其中正确命题的序号为_【答案】；【解析】对于，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故错；对于，向量是不能比较大小的，故不正确；对于，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故错；只有正确；7、已知向量，互相平行，其中，同向，反向，|3，|2，|1，则|_.【答案】28、设，是空间两个不共线的向量，已知k，54，2，且A，B，D三点共线，实数k_. 【答案】1；【解析】(k)(54)(2)7(k6) .设，则7(k6) (k)，所以，解得k1；9、设两非零向量，不共线，且k与k共线，求k的值【解析】两非零向量，不共线，且k与k共线，kt(k)，则(kt) (1tk) .非零向量，不共线，kt0,1kt0，解得k1.10、如图，点、分别是棱长为的正四面体的边和的中点，点、是线段的三等分点；（1）用向量、表示和；（2）求、；（3）求；【提示】（1）利用基底表示向量，再结合空间向量的线性运算可将和用基底表示；（2）利用空间向量数量积的运算性质可求得、的值；（3）利用空间向量数量积的运算性质可求得的值.【答案】（1），；（2），（3）；【解析】（1）连接，因为为的中点，则，故，；（2）由空间向量数量积的定义可得，；（3）