3.2.2双曲线的简单几何性质（基础知识 基本题型）（含解析）--【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

1、3.2.2双曲线的简单几何性质 （基础知识+基本题型）知识点一 双曲线的性质根据双曲线的标准方程研究它的几何性质1范围，即双曲线位于两条直线的外侧讨论双曲线的范围就是确定方程中变量的范围，由不等式，得，由，得.提示双曲线在直线与之间没有图象，当无限增大时，也无限增大，所以双曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭的.2对称性双曲线的图象关于轴、轴成轴对称，关于原点成中心对称，我们把轴、轴叫做双曲线的对称轴，原点叫做双曲线的对称中心，简称中心.提示（1）把双曲线标准方程中的换成，方程并没有发生变化，说明当点在双曲线上时，它关于轴的对称点也在双曲线上，所以双曲线的图象关于轴成轴对称.（2）同理，把双曲

2、线标准方程中的换成，可以说明双曲线的图象关于关于轴成轴对称；把双曲线标准方程中的换成，换成，可以说明双曲线的图象关于原点成中心对称.（3）如果曲线具有三种对称性的其中两种，那么它就具有另一种对称性.（4）对于任意一个双曲线而言，对称轴是两个焦点的连线所在直线及其垂直平分线，且双曲线的中心是双曲线的对称中心.3顶点与实轴、虚轴如图所示 （1）双曲线和其对称轴的交点叫做双曲线的顶点，双曲线的顶点为，.（2）线段叫做双曲线的实轴，线段叫做双曲线的虚轴.（3）实轴长，虚轴长，分别为双曲线的半实轴长和半虚轴长.拓展双曲线中的几何意义及特征三角形：（1）当双曲线焦点在轴上时，是半实轴长，是半虚轴长，且，所

3、以以为三边长可构成直角三角形，如图2.3-10所示，其中称为双曲线的特征三角形，双曲线的焦点永远在实轴上.（2）当双曲线的焦点在轴上时，可得类似的结论.4渐近线（1）渐近线画法：经过点，作轴的平行线，经过点，作轴的平行线，四条直线围成一个矩形，矩形 两条对角线，这两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线.双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.（2）渐近线方程：.拓展（1）双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，两者容易混淆，可先将双曲线方程中的“1”换成“0”，再因式分解即可得渐近线方程，这样就不容易记错了.（2）双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.（3）与双曲线共渐近线的双曲

4、线方程可设为；与双曲线共焦点的双曲线方程可设为.5离心率（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，定义式.（2）范围：.由等式，得，因此越大，也越大，即渐近线的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就越陡，由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔.提示因为，所以，所以，在四个参数中，只要知道其中两个，就可以求出另两个，关键要熟悉它们之间的关系.知识点二 等轴双曲线与共轭双曲线1.实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线有如下性质：（1）方程形式为；（2）渐近线方程为，它们互相垂直，并平分双曲线实轴和虚轴所成的角；（3）实轴长和虚轴长相等，离心率为.2. 以双曲线的虚轴为实

5、轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线.例如，双曲线与是一对共轭双曲线，其性质如下：（1）双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线；（2）双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距.知识点三 直线与双曲线的位置关系1. 直线与双曲线有三种位置关系：（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线.（2）有一个公共点，分两种情况：直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点.（3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一个点.2. 当直线与双曲线相交时，先联立直线方程与双曲线方程可求得两个交点的坐标，从而根据

6、距离公式求出弦长，再结合双曲线的定义，还可以求解焦点三角形的周长等.3. 当直线与双曲线相交时，涉及中点问题，可首先设出直线与双曲线两交点的坐标，然后分别代入双曲线方程，最后作差，即得中点坐标与该直线的斜率的关系式.考点一 由方程求双曲线的几何性质例1 求双曲线的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图.解：将双曲线化为，可知半实轴长，半虚轴长，于是有，所以焦点坐标为，离心率为，渐近线方程为，即.为画出双曲线的草图，首先在平面直角坐标系中画出渐近线，且顶点坐标为，然后算出双曲线在第一象限内一点的坐标，如取，算出.由题意，知点在双曲线上，将三点，依次连成光滑曲线并让

7、它逐步接近渐近线，画出第一、第四象限内双曲线的一支，最后由对称性可画出双曲线位于第二、三象限内的另一支，得双曲线的草图如图所示. 已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这样便于直观写出的值，进而求出的值及双曲线的焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程.考点二 由双曲线的几何性质求标准方程例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）一个焦点为，且离心率为；（2）渐近线方程为，且经过点 .解：（1）由题意，知双曲线的焦点在轴上，且，由于，所以，.故所求双曲线的标准方程为.（2）因为双曲线的渐近线方程为，若焦点在轴上，设所求双曲线标准方程为

8、，则.（）因为点在双曲线上，所以. （）联立（）（），无解. 若焦点在轴上，设所求双曲线标准方程为，则.（）因为点在双曲线上，所以. （）联立（）（），解得. 故所求双曲线的标准方程为.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应分类讨论.为了避免讨论，也可设双曲线方程为，从而直接求得.若已知双曲线的渐近线方程为，则可设方程为，避免讨论焦点的位置.考点三 双曲线的离心率1求离心率的值例3 已知是双曲线的两个焦点，是经过且垂直与轴的双曲线的弦，如果,求双曲线的离心率.解：设，将代入双曲线方程，得，所以. 由,知, 所以，所以. 即，解得或（舍去）. 故所求双曲线的离心率为.求双曲线离心率的

9、常用方法（1）依据条件求出，计算；（2）依据条件建立关于的关系式，一种方法是消去转化为关于的方程求解；另一种方法是消去转化为含的方程，求出后利用求解.例4 设双曲线的焦距长为，直线过点，两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为 .解析：如图所示，在OAB中，. 因为, 所以，即，两边同除以，得，解得或（舍去）， 所以.答案：2本题利用等面积法得方程，此方程可称为关于的齐次方程，转化为以为变量的一元二次方程是求解的关键.2求离心率的范围例5 双曲线的焦距为，直线过点，两点，且点到直线的距离与点到直线的距离之和，求双曲线的离心率的取值范围.解：由题意，知直线的方程为，即. 因为点到直线的距

10、离，点到直线的距离， 所以.由，得，即. 于是得，即.解得.因为，所以的取值范围是.求双曲线离心率的范围时，要根据题意挖掘题中隐含的不等关系，构造不等式，从而求出双曲线的离心率的取值范围.例6 双曲线与直线相交于两个不同的点，则双曲线的离心率的取值范围是 .解：由，消去，得到，由题意知，解得. 所以，所以.答案： .利用一元二次方程根的判别式构建不等关系是一种常用的方法，另外也可利用基本不等式构建不等关系，线性规划中的区域符号也可构建不等关系.考点四 直线与双曲线的位置关系例7 已知双曲线及直线.若直线与双曲线有两个不同的交点，求实数则的取值范围.解：由，消去，得到，由题意，知， 解得，且.故实数的取值范围是.直线与双曲线交点问题，常利用直线方程与双曲线方程构成的方程组求解.