4 微专题：利用空间向量证明平行与垂直(用空间向量解答立体几何问题)-上海外国语大学附属浦东外国语学校2022届高考数学二轮复习专题讲义.docx

1、【学生版】微专题：利用空间向量证明平行与垂直对于高考考点：利用空间向量证明平行与垂直关系；关键就是：找准三个不共面的基向量，与适当建立空间直角坐标系，利用向量的知识与运算证明空间的平行与垂直关系；设直线l，m的方向向量分别为(a1，b1，c1)，(a2，b2，c2)；平面，的法向量分别为(a3，b3，c3)，(a4，b4，c4)；1、线线平行：lmka1ka2，b1kb2，c1kc2；2、线线垂直：lm0a1a2b1b2c1c20；3、线面平行：l0a1a3b1b3c1c30；4、线面垂直：lka1ka3，b1kb3，ckc3；5、面面平行：ka3ka4，b3kb4，c3kc4；6、面面垂直：

2、0a3a4b3b4c3c40；【注意】用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线ab，只需证明向量=（R）即可；若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外；【典例】题型1、求直线的方向向量、平面的法向量例1、（1）已知，写出直线的一个方向向量；设平面经过点，且是的法向量，是平面内任意一点，试写出满足的关系式；【提示】【答案】【解析】（2）如图在长方体中，M是的中点，以D为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系；求平面

3、的法向量；求平面的法向量【提示】【答案】【解析】【说明】本题考查了直线的方向向量、平面的法向量的概念与空间向量的坐标表示的交汇；注意：代数计算要规范与准确；题型2、直线的方向向量、平面的法向量的坐标表示与直接应用例2、根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：（1）直线，的方向向量分别是，；（2）直线的方向向量、平面的法向量分别是，；（3）直线的方向向量、平面的法向量分别是，；（4）平面，的法向量分别是，；题型3、利用空间向量证明平行问题例3、如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ3QC；证明：PQ平面BCD.

4、题型4、利用空间向量证明垂直问题例4、如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点；求证：AB1平面A1BD。【归纳】1、利用空间向量证明平行与垂直的方法与步骤（1）基向量运算法：一般步骤：选基向量，要尽量选用三个不共面的且夹角最好为90(其次为60或120)、模长或其关系已知的向理为基向量；将相关向量用基向量表示；将证明问题转化为向量的运算；根据运算结果得结论；（2）坐标运算法：一般步骤：建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系；建立空间图形与空间向量之间的关系，用向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；通过空间向

5、量的运算研究平行、垂直关系；根据运算结果解释相关问题；2、直线的方向向量和平面的法向量（1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量为直线l的方向向量；（2）平面的法向量：直线l，取直线l的方向向量，则向量叫做平面的法向量；3、方法与规律（1）用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想；（2）用向量的坐标法证明几何问题，建立空间直角坐标系是关键，以下三种情况都容易建系：有三条两两垂直的直线；有线面垂直；

6、*有两面垂直；（3）解决立体几何中探索性问题的基本方法：通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理；探索性问题的关键是设点：（1）空间中的点可设为(x，y，z)；（2）坐标平面内的点其中一个坐标为0，如xOy面上的点为(x，y，0)；（3）坐标轴上的点两个坐标为0，如z轴上的点为(0，0，z)；（4）直线(线段)AB上的点P，可设为，表示出点P的坐标，或直接利用向量运算；【即时练习】1、已知直线l的方向向量是，平面的法向量是，则l与的位置关系是( )A.B.C.或D.l与相交但不垂直2、已知平面内两向量,若为平面的法向量且，则的值分别为( )A.B.C.1，2D.3

7、、设直线l的方向向量为，平面的法向量为(2，2，4)，若(1，1，2)，则直线l与平面的位置关系为 ；若(1，1，1)，则直线l与平面的位置关系为 4、在直三棱柱ABCA1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是 5、如图所示，正方体的棱长为，分别为和上的点，且，则与平面的位置关系是 6、已知平面和平面的法向量分别为，且，则_7、如图，正方体中，点，是上的两个三等分点，点，是上的两个三等分点，点，分别为，和的中点，点是上的一个动点，下面结论中正确的是_与异面且垂直；与相交且垂直；平面；，四点共面.8、如图，在三棱锥中，平面平面，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成30的角

8、，则线段长的取值范围是 9、如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点（1）求证：MNAB，MNCD；（2）求MN的长10、如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ3QC；证明：PQ平面BCD；【教师版】微专题：利用空间向量证明平行与垂直对于高考考点：利用空间向量证明平行与垂直关系；关键就是：找准三个不共面的基向量，与适当建立空间直角坐标系，利用向量的知识与运算证明空间的平行与垂直关系；设直线l，m的方向向量分别为(a1，b1，c1)，(a2，b2，c2)；平面，

9、的法向量分别为(a3，b3，c3)，(a4，b4，c4)；1、线线平行：lmka1ka2，b1kb2，c1kc2；2、线线垂直：lm0a1a2b1b2c1c20；3、线面平行：l0a1a3b1b3c1c30；4、线面垂直：lka1ka3，b1kb3，ckc3；5、面面平行：ka3ka4，b3kb4，c3kc4；6、面面垂直：0a3a4b3b4c3c40；【注意】用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线ab，只需证明向量=（R）即可；若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证

10、明线面平行，仍需强调直线在平面外；【典例】题型1、求直线的方向向量、平面的法向量例1、（1）已知，写出直线的一个方向向量；设平面经过点，且是的法向量，是平面内任意一点，试写出满足的关系式；【提示】根据直线方向向量的求法求得正确答案；由来求得满足的关系式；【答案】；【解析】直线的一个方向向量为.是的法向量，所以，即，即；（2）如图在长方体中，M是的中点，以D为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系；求平面的法向量；求平面的法向量【提示】可以观察出y轴垂直于平面，故就是平面的一个法向量；利用求解平面的法向量的方法进行求解；【答案】；【解析】因为y轴垂直于平面，所以是平面

11、的一个法向量；因为，是的中点，所以，的坐标分别为，；因此，；设是平面的法向量，则，所以，所以，取，则，于是是平面的一个法向量；【说明】本题考查了直线的方向向量、平面的法向量的概念与空间向量的坐标表示的交汇；注意：代数计算要规范与准确；题型2、直线的方向向量、平面的法向量的坐标表示与直接应用例2、根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：（1）直线，的方向向量分别是，；（2）直线的方向向量、平面的法向量分别是，；（3）直线的方向向量、平面的法向量分别是，；（4）平面，的法向量分别是，；【提示】注意：空间向量的运算与几何位置关系的交汇；【答案】（1）；（2）与相交，且不与垂直；（3）或在内；（4）；

12、【解析】（1）因为，所以，所以，即（2）因为，所以且，所以与既不共线也不垂直，即与相交，且不与垂直；（3）因为，所以，所以，即或在内；（4）因为，所以，所以，即【说明】本题主要是已知直线的方向向量与平面的法向量共线，结合向量运算，会判别对应的几何位置关系；注意：（1）两直线的方向向量共线（垂直）时，两直线平行（垂直）；否则两直线相交或异面但不垂直；（2）直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线与平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面平行或直线在平面内；否则直线与平面相交但不垂直；（3）两个平面的法向量共线（垂直）时，两平面平行（垂直）；否则两平面相交但不垂直；题型3、利用空间

13、向量证明平行问题例3、如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ3QC；证明：PQ平面BCD.【提示】注意：题设条件“AD平面BCD，BCCD”；与空间直角坐标系建系前提的联系；【证明】方法1、如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线分别为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知，A(0，2)，B(0，0)，D(0，0).设点C的坐标为(x0，y0，0).因为3，所以Q.因为M为AD的中点，故M(0，1)，又P为BM的中点，故P，所以，又平面BCD的一个法向量为 (0，0，1)，故0.又

14、PQ平面BCD，所以PQ平面BCD；方法2、在线段CD上取点F，使得DF3FC，连接OF，同法一建立空间直角坐标系，写出点A，B，C的坐标，设点C坐标为(x0，y0，0).因为，设点F坐标为(x，y，0)，则(xx0，yy0，0)(x0，y0，0)，所以，所以，又由方法1知，所以，所以，PQOF；又PQ平面BCD，OF平面BCD，所以，PQ平面BCD；【说明】本题是利用空间向量的坐标表示，证明平行问题：一般方法：（1）恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键；（2）证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平

15、面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算；题型4、利用空间向量证明垂直问题例4、如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点；求证：AB1平面A1BD。【提示】注意：题设中“ABCA1B1C1的所有棱长都为2”； 等价：长度都为2；直线夹角有情况；【证明】方法1、设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为，由共面向量定理，则存在实数，使m；令，显然它们不共面，并且|2，0，2，以它们为空间的一个基底，则，m，m(c)4240，故m，结论得证.

16、方法2、如图所示，取BC的中点O，连接AO；因为ABC为正三角形，所以AOBC；因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1；取B1C1的中点O1，以O为原点，分别以，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)；设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，(1，2，)，(2，1，0)；因为n，n，故令x1，则y2，z，故n(1，2，)为平面A1BD的一个法向量，而(1，2，)，所以n，所以n，故AB1平面A1BD；【说明】本题是利用空间向量的坐标表示，证明垂直

17、问题：一般方法：（1）利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算；其中灵活建系是解题的关键；（2）用向量证明垂直的方法：线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零；线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示；面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示；【归纳】1、利用空间向量证明平行与垂直的方法与步骤（1）基向量运算法：一般步骤：选基向量，要尽量选用三个不共面的且夹角最好为90(其次为60或120)、模长或其关系已知的向理为基向量；将相关向量用基向量表示；将证

18、明问题转化为向量的运算；根据运算结果得结论；（2）坐标运算法：一般步骤：建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系；建立空间图形与空间向量之间的关系，用向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；通过空间向量的运算研究平行、垂直关系；根据运算结果解释相关问题；2、直线的方向向量和平面的法向量（1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量为直线l的方向向量；（2）平面的法向量：直线l，取直线l的方向向量，则向量叫做平面的法向量；3、方法与规律（1）用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推

19、理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想；（2）用向量的坐标法证明几何问题，建立空间直角坐标系是关键，以下三种情况都容易建系：有三条两两垂直的直线；有线面垂直；*有两面垂直；（3）解决立体几何中探索性问题的基本方法：通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理；探索性问题的关键是设点：（1）空间中的点可设为(x，y，z)；（2）坐标平面内的点其中一个坐标为0，如xOy面上的点为(x，y，0)；（3）坐标轴上的点两个坐标为0，如z轴上的点为(0，0，z)；（4）直线(线段)AB上的点P，可设为，表示出点P的

20、坐标，或直接利用向量运算；【即时练习】1、已知直线l的方向向量是，平面的法向量是，则l与的位置关系是( )A.B.C.或D.l与相交但不垂直【答案】C【解析】直线的方向向量是，平面的法向量是，l与的位置关系为或.故选C.2、已知平面内两向量,若为平面的法向量且，则的值分别为( )A.B.C.1，2D.【答案】A【解析】.由为平面的法向量,得,即,解得.故选A.3、设直线l的方向向量为，平面的法向量为(2，2，4)，若(1，1，2)，则直线l与平面的位置关系为 ；若(1，1，1)，则直线l与平面的位置关系为 【答案】ll或l【解析】当(1，1，2)时，则l；当(1，1，1)时，(1，1，1)(2

21、，2，4)0，则l或l.4、在直三棱柱ABCA1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是 【提示】由直棱柱的性质可知侧棱与底面垂直，从而可得答案【答案】【详解】因为三棱柱ABCA1B1C1为直棱柱，所以平面 ，平面，所以和可以作为平面ABC法向量，故选：5、如图所示，正方体的棱长为，分别为和上的点，且，则与平面的位置关系是 【提示】设，由空间向量的线性运算可得到，由此证得与，共面，可知平面，进而得到结论；【答案】平行；【详解】设，由题意知：，又，则，与，共面，平面，又平面平面，平面6、已知平面和平面的法向量分别为，且，则_【答案】4【解析】因为平面和平面的法向量分别为，且，所以，解得：

22、 4；故答案为：47、如图，正方体中，点，是上的两个三等分点，点，是上的两个三等分点，点，分别为，和的中点，点是上的一个动点，下面结论中正确的是_与异面且垂直；与相交且垂直；平面；，四点共面.【提示】建立空间直角坐标系：判断是否为零即可；判断是否为零即可；分别求得平面面和平面EFN的一个法向量，判断两个法向量是否共线即可；由判断即可；【答案】【解析】建立如图所示空间直角坐标系：设正方体棱长为3，因为,，所以，又矩形EFHG与矩形的中心重合，且过矩形的中心，所以与异面且垂直，故正确；因为,，所以，所以与不垂直，故错误；由，设平面的一个法向量 ，则，即，令，则,同理求得平面EFN的一个法向量，因为

23、，所以平面平面，又因为平面，所以平面，故正确；因为，则，所以，则，所以，四点共面，故正确，故答案为：8、如图，在三棱锥中，平面平面，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成30的角，则线段长的取值范围是 【提示】向量法. 以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，根据各点的坐标写出向量，点，对于点的设法，采用向量式，而后利用异面直线所成的角的向量计算公式列方程求解；【答案】【解析】如图，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则，设，设，则，异面直线PQ与AD成的角，即，解得，可得.9、如图所示

24、，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点（1）求证：MNAB，MNCD；（2）求MN的长【解析】（1）证明设p，q，r.由题意可知，|p|q|r|a，且p，q，r三向量两两夹角均为60.()(qrp)，(qrp)p(qprpp2)(a2cos 60a2cos 60a2)0.，即MNAB.同理可证MNCD.(2)解由(1)可知(qrp)，|2(qrp)2q2r2p22(qrpqrp)2a2.|a.MN的长为a.10、如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ3QC；证明：P

25、Q平面BCD；【证明】方法1、如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线分别为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知，A(0，2)，B(0，0)，D(0，0)设点C的坐标为(x0，y0，0)因为3，所以Q.因为M为AD的中点，故M(0，1)又P为BM的中点，故P，所以.又平面BCD的一个法向量为a(0，0，1)，故a0.又PQ平面BCD，所以PQ平面BCD.法二在线段CD上取点F，使得DF3FC，连接OF，同法一建立空间直角坐标系，写出点A，B，D的坐标，设点C坐标为(x0，y0，0)，设点F坐标为(x，y，0)，则(xx0，yy0，0)(x0，y0，0)，又由法一知，PQOF.又PQ平面BCD，OF平面BCD，PQ平面BCD.