4.1 一元一次方程及等式的性质【十大题型】（举一反三）（苏科版）（学生版）.docx

1、专题4.1 一元一次方程及等式的性质【十大题型】【苏科版】【题型1 方程及一元一次方程的定义】1【题型2 利用一元一次方程的定义求值】2【题型3 方程的解】2【题型4 列方程】3【题型5 利用等式的性质变形】3【题型6 等式的性质的应用】3【题型7 利用等式的性质解方程】4【题型8 方程的解中的遮挡问题】5【题型9 利用等式的性质检验方程的解】5【题型10 方程的解的规律问题】5【知识点1 方程及一元一次方程的定义】（1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点等式；含有未知数（2）一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数

2、是1，这样的方程叫一元一次方程通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a0）一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a0）叫一元一次方程的标准形式这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1【题型1 方程及一元一次方程的定义】【例1】（2022顺德区模拟）下列等式中不是一元一次方程的是（）A2x521B40+5x100C（1+147.30%）x8930Dx（x+25）5850【变式1-1】（2022秋博白县期末）下列式子中是方程的是（）A5x+4B3x57Cx

3、26D3215【变式1-2】（2022秋盐城校级期中）下列方程（1）x3=2；（2）5x22x（32x）；（3）xy5；（4）3x+1=-2；（5）x2x1；（6）x0中一元一次方程有（）A2个B3个C4个D5个【变式1-3】（2022江东区质检）在初中数学中，我们学习了各种各样的方程以下给出了6个方程，请你把属于一元方程的序号填入圆圈（1）中，属于一次方程的序号填入圆圈（2）中，既属于一元方程又属于一次方程的序号填入两个圆圈的公共部分3x+59：x2+4x+40；2x+3y5：x2+y0；xy+z8：xy1【题型2 利用一元一次方程的定义求值】【例2】（2022市中区模拟）若方程（m21）x

4、2mxx+20是关于x的一元一次方程，则代数式|m1|的值为（）A0B2C0或2D2【变式2-1】（2022秋婺源县期末）已知方程x2k-1+k0是关于x的一元一次方程，则方程的解等于（）A1B1C12D-12【变式2-2】（2022江阴市校级期末）如果（a2）x|a|-120是一元一次方程，那么a是【变式2-3】（2022秋鄂州月考）（3a+2b）x2+ax+b0是关于x的一元一次方程，且x有唯一解，则x【知识点2 方程的解】方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解【题型3 方程的解】【例3】（2022温州期末）若关于x的方程mx4x的解是整数，则非负整

5、数m的值为【变式3-1】（2022番禺区期末）已知关于x的方程4ax+53a的解为x=12，则3a+5的值为【变式3-2】（2022秋锦江区校级期末）对于正整数n，阶乘符号n!表示从n到1的整数的乘积（例如：6!654321），则满足方程5!9!N！12的N的值为 【变式3-3】（2022春黔江区期末）已知关于x的方程2x3=m3+x的解满足|x|1，则m的值是（）A6B12C6或12D6或12【题型4 列方程】【例4】（2022秋泗水县期末）一根细铁丝用去23后还剩2m，若设铁丝的原长为xm，可列方程为【变式4-1】（2022秋南岗区期末）列等式表示“x的三分之一减y的差等于6”是【变式4-

6、2】（2022秋雨花区校级期末）某校长方形的操场周长为210m，长与宽之差为15m，设宽为xm，列方程为 【变式4-3】（2022秋越秀区校级月考）一件衣服打八折后，售价为88元，设原价为x元，可列方程为 【知识点3 等式的性质】性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式【题型5 利用等式的性质变形】【例5】（2022青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（）A若ac=bc，则abB若acbc，则abC若a2b2，则abD若-13x6，则x2【变式5-1】（2022杭州）设x，y，c是有理数，正确的是（）A若xy，则x+c

7、ycB若xy，则xcycC若xy，则xc=ycD若x2c=y3c，则2x3y【变式5-2】（2022安徽）设a，b，c为互不相等的实数，且b=45a+15c，则下列结论正确的是（）AabcBcbaCab4（bc）Dac5（ab）【变式5-3】（2022镇海区校级二模）下列等式变形：（1）如果axay，那么xy；（2）如果a+b0，那么a2b2；（3）如果|a|b|，那么ab；（4）如果4a7b，那么a7=b4，其中正确的有（）A（1）（4）B（1）（2）（4）C（1）（3）D（2）（4）【题型6 等式的性质的应用】【例6】（2022石家庄模拟）能运用等式的性质说明如图事实的是（）A如果a+cb

8、+c，那么ab（a，b，c均不为0）B如果ab，那么a+cb+c（a，b，c均不为0）C如果acbc，那么ab（a，b，c均不为0）D如果ab，那么acbc（a，b，c均不为0）【变式6-1】（2022河北）有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（）ABCD【变式6-2】（2022芦淞区模拟）有质量分别为11克和17克的砝码若干个，在天平上称出质量为3克的物体，至少要用 个这样的砝码【变式6-3】（2022利津县一模）如图，“、”分别表示三种不同的物体，已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持

9、平衡，如果在？处只放“”那么应放“”（）A5个B4个C3个D2个【题型7 利用等式的性质解方程】【例7】（2022秋饶平县校级期末）利用等式的性质解方程：（1）5+x2（2）3x+6312x【变式7-1】（2022秋柳江区期中）利用等式的性质解方程并检验：2-14x=3【变式7-2】（2022秋盂县期中）用等式性质解下列方程：（1）4x713 （2）3x+2x+1【变式7-3】（2022秋三门县期中）利用等式的性质解方程：（1）5x2（2）3x6312x【题型8 方程的解中的遮挡问题】【例8】（2022秋玉田县期末）小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了x1-x-5，他翻阅了答案知道这

10、个方程的解为x1，于是他判断应该是【变式8-1】（2022秋红河州期末）方程2+3x，处被墨水盖住了，已知方程的解是x2，那么处的数字是 【变式8-2】（2022秋巴彦县期末）小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x3）x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x9，请问这个被污染的常数是（）A4B3C2D1【变式8-3】（2022秋郫都区期末）小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了2x+3x，他翻阅了答案知道这个方程的解为x1，于是他判断的值应为【题型9 利用等式的性质检验方程的解】【例9】（2022秋雨花区期末）x2是方程ax40的解，检验x3是不是方程2ax53x

11、4a的解【变式9-1】（2022春崇明区期末）x1 方程x2+33x+1的解（填“是”或“不是”）【变式9-2】（2022秋雨花区校级期末）判断括号内未知数的值是不是方程的根：（1）x23x40（x11，x21）；（2）（2a+1）2a2+1（a12，a2=-43）【变式9-3】（2022秋莱山区期末）有下列方程：13x1；2x31；23x-32=37；（x+1）（x+2）12；2x-2x=3；23x（x3）311其中，x2是其解的方程有 （填序号）【题型10 方程的解的规律问题】【例10】（2022春卫辉市期中）一列方程如下排列：x4+x-12=1的解是x2，x6+x-22=1的解是x3，x

12、8+x-32=1的解是x4，根据观察得到的规律，写出其中解是x2017的方程：【变式10-1】先阅读下列一段文字，然后解答问题已知：方程x-1x=112的解是x12，x2=-12；方程x-1x=223的解是x13，x2=-13；方程x-1x=334的解是x14，x2=-14；方程x-1x=445的解是x15，x2=-15问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程x-1x=101011的解，并写出检验【变式10-2】（2022秋莘县校级月考）有一系列方程，第1个方程是x4-（x2）1，解为x=43；第2个方程是x5-（x3）1，解为x=104；第3个方程是x6-（x4）1，解为x=185，根据规律第

13、7个方程x10-（x8）1，解为 【变式10-3】（2022春方城县期中）已知关于x的方程x+2x=3+23的两个解是x1=3，x2=23；又已知关于x的方程x+2x=4+24的两个解是x1=4，x2=24；又已知关于x的方程x+2x=5+25的两个解是x1=5，x2=25；，小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想关于x的方程x+2x=c+2c的两个解是x1=c，x2=2c；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）小王非常高兴，他向同学提出如下的问题（1）关于x的方程x+2x=11+211的两个解是x1和x2；（2）已知关于x的方程x+2x-1=12+211，则x的两个解是多少？