4.1 导数的概念及其意义、导数的运算（精讲）（学生版）.docx

1、4.1 导数的概念及其意义、导数的运算（精讲）一导数的概念1.如果当x0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极根，则称yf(x)在xx0处可导，并把这个确定的值叫做yf(x)在xx0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f(x0)或，即f(x0)2.当xx0时，f(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，yf(x)就是x的函数，我们称它为yf(x)的导函数(简称导数)，记为f(x)(或y)，即f(x)y二导数的几何意义函数yf(x)在xx0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)（点斜式）三基本初等函数的导数公式

2、原函数导函数f(x)c(c为常数)0f(x)xn(nQ*)nxn1f(x)sin xcos xf(x)cos xsinxf(x)ax(a0且a1)axln af(x)exexf(x)logax(x0，a0且a1)f(x)ln x(x0)四导数的运算法则(1)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)g(x)f(x)(3)(g(x)0)五复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)与ug(x)的复合函数，记作yf(g(x)(2)复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为y

3、xyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积一 导数概念理解f(x)y，应是两个变量的差值，如果不是两个变量的差值，要进行拼凑二 导数运算连乘形式：先展开化为多项式形式，再求导三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导分式形式：先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导对数形式：化为和、差形式，再求导复合函数：先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元三 导数的几何意义四 在型与过型的切线方程1.在型2.过型3.求参（1）斜率：（2）代点：切点在切线上，代入切线方程；切点在曲线上，代入曲线五公切线法一：利用其中一曲线在某

4、点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；法二：设公切线l在yf(x)上的切点P1(x1，f(x1)，在yg(x)上的切点P2(x2，g(x2)，则f(x1)g(x2).法三：两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解六切点或切线数量1.判断切点或切线数量：利用在型或过型列出关于切点x0的方程f(x0)，判断方程解的个数：（1）f(x0)是一元二次方程，可以用判别式判断（2）f(x0)若不是一元二次方程，则判断其零点个数或与x轴交点的个数，一般采用图像法；画未学过函数图像一般需要知道单

5、调区间（导数法），极值和端点值或端点值的正负2.已知切点或切线数量求参：一般采用分离参数，变成两个函数的交点个数问题考法一 导数的概念及应用【例1-1】（2023山东潍坊统考模拟预测）设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（）A2B-1C1D【例1-2】（2023湖南）如图，直线是曲线在处的切线，则_.【例1-3】（2023云南）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（）ABCD【例1-4】（2022湖北武汉市第一中学）已知，则（）ABCD【一隅三反】1（2023春河南）已知是函数的导函数，若，则（）AB2CD82（2022秋江苏徐州高三徐州市第七中学校考阶段练习）

6、设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（）ABCD3（2023春江苏）如图，函数的图象在点处的切线是，则（）ABC2D14.（2023江西）若函数的导函数为，且满足，则（）ABCD考法二 导数的运算【例2】（2023广东湛江）求下列函数的导数(1) (2)； (3)(4)； (5)；【一隅三反】1（2023春四川）求下列函数的导数(1)； (2) (3) (4)(5)； (6)； (7) (8)；考法三 导数的几何意义【例3-1】（2023吉林）曲线在处切线的斜率为（）A1B2C3D4【例3-2】（2023全国模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线的倾斜角为，则_【例3-3】（2023

7、春内蒙古呼和浩特高三统考阶段练习）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（）ABCD【例3-4】（2023湖南）设点是曲线上任意一点，直线过点与曲线相切，则直线的倾斜角的取值范围为_.【一隅三反】1（2023四川）函数在处切线的倾斜角为_.2（2023重庆）若曲线在点处的切线与平行，曲线在点处的切线与直线垂直，则_3（2023全国高三专题练习）已知，则曲线在点处的切线的斜率为 4（2023春河南）点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是 考点四 在型与过型的切线方程【例4-1】（1）（2023上海）已知函数，则曲线在点处的切线方程是_.（2）（2023春河北）若，则曲线在处

8、的切线方程为 【例4-2】（1）（2023北京东城统考一模）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为 （2）2023江苏南通二模）过点 作曲线的切线，写出一条切线的方程_【例4-3】（1）（2023江西校联考模拟预测）若直线与曲线相切，则_.（2）（2022全国模拟预测）已知函数在处的切线过原点，则a的值为 （3）（2023新疆阿克苏校考一模）若直线与曲线相切，则k的取值范围是 【一隅三反】1.（2023吉林）函数在点处的切线的方程是_.2（2023陕西咸阳）已知函数，那么在点处的切线方程为_3（2023春上海浦东新）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为_.4（2023吉林）已知函数，则曲线

9、过点的切线方程为_5（2023四川成都成都实外校考模拟预测）若直线为曲线的一条切线，则实数k的值是（）AeBCD6（2023春上海杨浦）已知为实数，函数在处的切线方程为，则的值为_考法五 公切线【例5-1】（2023安徽）已知直线l与曲线、都相切，则直线l的方程为_【例5-2】（2023山西校联考模拟预测）若直线与函数和的图象都相切，则（）ABCD【例5-3】（2023陕西榆林校考模拟预测）若直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点为，则的值为（）ABC0D1【一隅三反】1（2023云南）已知曲线与曲线有相同的切线，则这条切线的斜率为_.2（2023陕西渭南统考一模）已知直线是曲线与曲线的公

10、切线，则等于 3（2023河北）若函数与的图像存在公共切线，则实数的最大值为 考点六 切线条数或切点个数【例6-1】（2023福建）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数最多为（）A1B2C3D4【例6-2】（2023四川眉山统考二模）已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（）ABCD【例6-3】（2023秋黑龙江哈尔滨高三哈尔滨市第六中学校校考期末）过点可以作曲线的两条切线，切点的横坐标分别为m，n，则的值为（）A1B2CD3【一隅三反】1（2023全国高三专题练习）过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为_.2（2023春湖南株洲高三株洲二中校考阶段练习）若过点可以作曲线的

11、两条切线，则（）ABCD3（2023春江苏南通高三校考开学考试）已知函数，存在两条过原点的直线与曲线相切，则实数a的取值范围是（）ABCD4（2023陕西西安统考一模）过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为（）ABCD考点七 导数几何意义与其他知识综合【例7-1】（2023湖北统考模拟预测）已知，直线与曲线相切，则的最小值是（）A16B12C8D4【例7-2】（2023福建福州福州三中校考模拟预测）已知函数，且其图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（）ABCD【例7-3】（2023全国高三专题练习）设点P在曲线上，点Q在直线y=2x上，则PQ的最小值为A2B1CD【一隅三反】 1（2023山东）函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则sin2=（）ABCD2.（2022湖北黄冈中学）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（）A8B9C10D133（2023广东）已知点A是函数f(x)x2ln x2图象上的点，点B是直线yx上的点，则|AB|的最小值为()A. B2C. D.