4.1 指数（六大题型）（解析版）.docx

1、41 指数课程标准学习目标1、理解n次方根、n次根式的概念2、能正确运用根式运算性质化简、求值3、体会分类讨论思想、符号化思想的作用1、数学抽象：根式的概念，分数指数幂的概念的掌握2、逻辑推理：根式概念与方根概念二者之间的关系3、数字运算：掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简4、直观想象：让学生感受由特殊到一般的数学思想方法5、数学建模：通过对实际问题的探究过程，感受应用数学解決问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化的思想在数学中的应用知识点01 整数指数幂的概念及运算性质1、整数指数幂的概念2、运算法则（1）；（2）；（3）；（4）【即学即练1】（2023全国高一专题练习

2、） 【答案】3【解析】知识点02 根式的概念和运算法则1、次方根的定义：若，则称为的次方根为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为2、两个等式（1）当且时，；（2）知识点诠释：要注意上述等式在形式上的联系与区别；计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误【即学即练2】（2023河北石家庄高一校考阶段练习）若，则 .【答案】【解析】因为，所以.故答案为：知识点03 分数指数幂的概念

3、和运算法则为避免讨论，我们约定，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：【即学即练3】（2023江苏高一专题练习）化简的值为 .【答案】【解析】原式= .故答案为:.知识点04 有理数指数幂的运算1、有理数指数幂的运算性质（1）（2）（3）当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用知识点诠释：（1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；（2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换如；（3）幂指数不能随便约分如2、指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算负指数幂化为正指数幂的倒数底数是负数，先确

4、定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质在化简运算中，也要注意公式：，的运用，能够简化运算【即学即练4】（2023江苏高一专题练习）（1）已知，求的值；（2）已知，求的值【解析】（1）（2），原式题型一：由根式的意义求范围例1（2023全国高一专题练习）若，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】因，则有，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：D例2（2023江苏高一专题练习）若有意义，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】由负分数指数幂的意义可知，所以，即，因此的取值范围是故选：C.例3（2023全国高

5、一专题练习）若有意义，则的取值范围是（）A，B，C，D，【答案】B【解析】由题意可知，且故选：B变式1（2023河北石家庄高一石家庄市第九中学校考期中）若有意义，则x的取值范围是（）Ax2Bx3C2x3DxR【答案】C【解析】由题意知，所以2x3.故选：C变式2（2023高一课时练习）若有意义，则x的取值范围是（）A且BCD【答案】A【解析】直接根据开偶次方根，被开方数大于等于0，0的0次幂无意义.要使原式有意义，则解得且.故选：A.【方法技巧与总结】使根式有意义题型二：利用根式的性质化简或求值例4（2023高一校考课时练习）当有意义时，化简的结果是（）A2x5B2x1C1D52x【答案】C【

6、解析】因为有意义，可得，即，又由故选：C.例5（2023高一课时练习）计算下列各式（1） ；（2） ；（3） .【答案】 【解析】（1）.（2）.（3）.故答案为：（1）；（2）；（3）例6（2023江苏高一专题练习）使得等式成立的实数a的值为 【答案】8【解析】由题意可得，所以，故.设，则.解得，或（舍），或（舍）所以所以故答案为：8变式3（2023高一课时练习）已知，化简 【答案】【解析】由已知，即，即，所以，故答案为：变式4（2023高一课时练习） 【答案】-6【解析】解析：6，|4|4，4，所以原式6446.故答案为：6【方法技巧与总结】此类问题应熟练应用当所求根式含有多重根号时，要搞

7、清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简题型三：有限制条件的根式的化简例7（2022上海高一专题练习）求使等式成立的实数a的取值范围.【解析】，要使|成立，需解得a-3，3例8（2022全国高一专题练习）已知，化简：_【答案】【解析】，因为，所以，所以故答案为：.例9（2022全国高一专题练习）把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（）ABCD【答案】A【解析】 ，即 ， ， . 故选：A .变式5（2022全国高一专题练习）若满足关系+=+，则的值为_【答案】21【解析】由题意得：，则，xy19，0，则3x5y2m0，2x3ym0，得：x2y20，x19y，

8、y17，x36，m21故答案为：21变式6（2022全国高一课前预习）求下列各式的值；(1)；(2)【解析】(1)= (2)原式=因为，所以，当，即时，当，即时，,所以.【方法技巧与总结】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可题型四：根式与指数幂的互化例10（2023高一课时练习）若a0，b0，则化简的结果为 .【答案】1【解析】=1.故答案为：1.例11（2023高一课时练习） 的值为 【答案】【解析】原式 .故答案为：例12（2023湖南益阳高一统考期末）计算： .【答案】【解析】由

9、题知.故答案为:变式7（2023上海徐汇高一上海市南洋模范中学校考阶段练习）化简： 【答案】【解析】.故答案为：.变式8（2023上海松江高一上海市松江二中校考期中）将化成有理数指数幂的形式为 .【答案】【解析】.故答案为：.变式9（2023上海浦东新高一上海南汇中学校考期中）把化成有理数指数幂的形式为 .【答案】【解析】，.故答案为：变式10（2023全国高一专题练习）已知，化简：= （用分数指数幂表示）【答案】/【解析】.故答案为：变式11（2023江苏高一专题练习）用分数指数幂表示下列各式：(1) ;(2) ；(3) ;(4) ；(5) .【答案】 / 【解析】（1）；（2）=；（3）=

10、；（4）；（5）故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.变式12（2023高一单元测试）下列各式：；.其中正确的式子的序号有 .【答案】【解析】，结论正确；，结论正确；根据定义，分数指数幂的底数为正数，结论错误；，结论错误；，结论正确。故答案为：【方法技巧与总结】（1）运算顺序（能否应用公式）；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂题型五：利用分数指数幂的运算性质化简求值例13（2023高一课时练习）化简.【解析】，原式.例14（2023新疆和田高一期中）化简或求值（1）；（2）【解析】（1）原式（2）原式例15（2023广东深圳高一翠园中学校考期中）（1）计算：；（2）化简

11、：【解析】（1）；（2）.变式13（2023广西桂林高一校考期中）（1）计算：；（2）化简【解析】(1)原式.(2)原式.变式14（2023黑龙江牡丹江高一校考阶段练习）求值：.【解析】变式15（2023广东惠州高一惠州市惠阳高级中学实验学校校考期中）化简求值:(1);(2).【解析】（1）解:原式为（2）解:原式为变式16（2023江苏高一假期作业）计算：【解析】原式=.变式17（2023高一课时练习）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)【解析】（1）；（2）；（3）（4）.变式18（2023高一课时练习）完成下列式子的化简：(1)；(2)【解析】(1)原式(2)原式变式19（20

12、23江苏高一专题练习）化简或求值：(1)；(2)；(3)；(4)（且）.【解析】（1）原式=.（2）=21.（3）.（4）.【方法技巧与总结】根式的化简结果应写为最简根式（1）被开方数的指数与根指数互质；（2）被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；（3）被开方数的每个因数的指数小于根指数题型六：整体代换法求分数指数幂例16（2023高一课时练习）已知，求的值【解析】因为，则，可得，则，可得，且，所以.例17（2023高一课时练习）已知，求下列各式的值：(1)；(2).【解析】（1）因为，所以.（2）因为，所以.例18（2023浙江宁波高一效实中学校考期中）计算：(1)；(2)已知，求的值.【

13、解析】（1）（2）， ， ， .变式20（2023江西萍乡高一江西省莲花中学校考期中）计算下列各式(1)；(2)已知，求下列各式的值：；【解析】（1）原式；（2），又由得，所以；（法一），（法二），而，又由得，所以.变式21（2023高一课时练习）（1）若，求的值；（2）已知，求的值【解析】（1），则（2），且,变式22（2023高一课时练习）若，求的值【解析】因为，则有，所以的值23.变式23（2023江苏高一专题练习）已知，求下列各式的值(1)；(2)；(3)【解析】（1）将两边平方，得，所以（2）将两边平方，得，所以（3）因为，所以变式24（2023高一课时练习）化简，求值：(1)已知，

14、求的值；(2)已知，求的值；(3)已知，求值【解析】（1）依题意，可知，则，所以（2）因为，两边平方后得所以（3），两边平方可得，所以所以=变式25（2023高一课时练习）已知，计算：(1)；(2).【解析】(1)将两边平方，得，即，即，.(2)将两边平方，得，.变式26（2023高一课时练习）已知，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)【解析】（1），（2），（3），变式27（2023高一单元测试）对于正整数a，b，c(abc)和非零实数x，y，z，有axbycz70，求a，b，c的值【解析】ax70，且x，为非零实数，.同理，可得.，即，又，a，b，c为正整数，abc70257.abc，a

15、2，b5，c7.【方法技巧与总结】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式一、单选题1已知实数满足，则（）ABCD【答案】D【解析】设，.又，.故选：D2化简(其中，)的结果是（）ABCD【答案】C【解析】因，所以.故选：C3已知，下列各式中正确的个数是（）；A1B2C3D4【答案】C【解析】,正确；，正确；因为可知，所以，故错误；，正确.故选：C4下列各式中成立的是ABCD【答案】D【解析】A中应为；B中等式左侧为正数，右侧为负数；C，xy1时不成立错误

16、D中正确；故选：D5已知，则的值为（）A3B4CD5【答案】D【解析】 .故选:D.6已知，则的值是ABCD【答案】B【解析】由题意知， ，由于，故，则原式.故选B.7若，则等式成立的条件是A，B，C，D，【答案】C【解析】，由 ，得 .故选C.8 ()AB1C33D33【答案】A【解析】由于，故原式.本题选择A选项.二、多选题9已知，则下列选项中正确的有（）ABCD【答案】AC【解析】，；，；故A正确，B错误；，故C正确，D错误故选：AC10已知实数a满足，下列选项中正确的是（）ABCD【答案】ACD【解析】,，故选项A正确;，故选项B错误;,，故选项C正确;,且，故选项D正确.故选：ACD

17、11若，则下列四个式子中有意义的是（）ABCD【答案】AC【解析】因为，所以为偶数，所以有意义，A正确；取，则，所以无意义，B错误；因为的根指数为奇数，所以有意义，C正确；若，则，所以无意义，D错误.故选：AC12下列说法正确的是（）A16的4次方根是2B的运算结果是2C当n为大于1的奇数时，对任意都有意义D当n为大于1的偶数时，只有当时才有意义【答案】CD【解析】对于A，由于，所以16的4次方根是，故A不正确对于B，故B不正确对于C，由根式的意义知，当为大于1的奇数时，对任意都有意义，故C正确对于D，由根式的意义知，当为大于1的偶数时，只有当时才有意义，故D正确故选：CD三、填空题13设，且

18、，求= .【答案】【解析】对左右同时平方得同时由可判断，则，故答案为14已知m=2，n=3，则3的值是 【答案】【解析】m=2，n=3，则原式=mn-3=23-3=，故答案为15已知实数则 .【答案】-1【解析】由题意，实数 满足，则，又由，则，所以.16已知则= .【答案】【解析】因为所以，所以=.四、解答题17计算下列各式(1)；(2).【解析】（1）原式.（2）原式.18计算下列各式：(1).(2).(3)已知，求的值.【解析】（1）原式.（2）原式.（3）因，两边平方得，所以.19（1）计算：；（2）化简：【解析】（1）原式(2)原式 20（1）已知a0，b0，且ab=ba，b=9a，求a的值.（2）已知67x=27，603y=81，求的值.【解析】（1）a0，b0，又ab=ba，（2）由67x=33，得由603y=81，得=9=32，故.21（1）化简：；（2）计算：.【解析】（1）由题中式子可知，当时，原式 ；当时，原式 .综上.（2）原式.