4.2.1.docx

1、4.2.1&4.2.2 等差数列的概念与等差数列的通项公式一、等差数列的定义1、文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示2、符号语言：若，则数列为等差数列（通常可称为AP数列）【注意】（1）“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合（2）“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：作差的顺序；这两项必须相邻（3）定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列二、等差数列的通项公式与等差中项

2、1、等差数列的通项公式已知等差数列的首项为a1，公差为d，则通项公式为：等差数列通项公式的推导过程：如果等差数列的首项是，公差是，根据等差数列的定义得到：，所以，由此归纳出等差数列的通项公式为2、等差中项如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项这三个数满足的关系式是A.三、判断或证明一个数列是等差数列的方法1、定义法：（常数）是等差数列；2、中项法：是等差数列；3、通项公式法：（，为常数）是等差数列。四、等差数列的性质1、若是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足mnpq，则.特别地，当mn2k（m，n，kN*）时，.2、对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等

3、于首末两项的和，即3、若是公差为d的等差数列，则（c为任一常数）是公差为d的等差数列；（c为任一常数）是公差为cd的等差数列；（k为常数，kN*）是公差为2d的等差数列4、若，分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列 (p，q是常数)是公差为的等差数列5、通项公式的推广： (n，mN*)五、设元法巧解等差数列中常见的设元技巧1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，公差为；2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：，公差为；3、四个数成等差数列且知其和，常设成，公差为。六、等差数列的实际应用1、解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息若一组数按

4、次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列。2、合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题题型一 等差数列的判断【例1】(多选)下列数列是等差数列的有（ ）A2, 2, 2, 2, 2BC0, 2, 0, 2, 0, 2D2, 0, 2, 4, 6【变式1-1】以下不能构成等差数列的是（ ）A2，2，2，2 B，C， D，【变式1-2】已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数为（ ） A0 B1 C2 D3【变式1-3】如果一个数列的前5项分别是1，2，3，4，5，则下列说法正确的是（ ）A该数列一定是等差数列 B该数列一定不是等差数

5、列C该数列不一定是等差数列 D以上结论都不正确【变式1-4】已知数列满足，且，则下列说法正确的是（ ）A数列是以为首项，为公差的等差数列B数列是以为首项，为公差的等差数列C数列是以为首项，为公差的等差数列D数列是以为首项，为公差的等差数列题型二 等差数列的通项及基本量【例2】已知数列为等差数列，那么数列的通项公式为（ ）A B C D【变式2-1】在等差数列-5，-2，的每相邻两项中插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则新的数列的通项公式为（ ）A BC D【变式2-2】若数列满足，则数列的通项公式为（ ）A B C D【变式2-3】已知数列中，且，则（ ）A B C D【变式2-4】已知数

6、列为等差数列，若，则（ ）A4 B6 C12 D16【变式2-5】已知两个等差数列：5，8，11，；：3，7，11，都有100项，则它们的公共项的个数为（ ）A20 B23 C25 D27题型三 等差中项及其应用【例3】与的等差中项是_【变式3-1】若m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是_【变式3-3】在等差数列中，则（ ）A14 B16 C18 D28【变式3-4】已知数列是等差数列，且满足，则（ ）A B C D【变式3-5】已知数列满足，且，则（ ）A B C D题型四 等差数列的性质【例4】是等差数列，且，则_【变式4-1】已知数列，都是等差数列，且，则

7、（ ）A B C1 D2【变式4-2】已知数列为等差数列，且，则（ ）A B C D【变式4-3】若一个等差数列的前5项和为15，后5项和为145，且该数列共有31项，则这个等差数列的公差为_.【变式4-4】（多选）已知等差数列满足，则（ ）A B C D题型五 设元法巧解等差数列【例5】设等差数列由三个数构成，三项和为21，平方和为179，求此数列.【变式5-1】成等差数列的三个数的和为24，第二数与第三数之积为，求这三个数【变式5-2】（多选）已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，则这四个数依次为（ ）A-2，4，10，16 B16，10，4，-2C2，5，8，11 D

8、11，8，5，2【变式5-3】已知5个数成等差数列,它们的和为5，平方和为165，求这5个数.题型六 等差数列的证明【例6】已知数列中，点在直线上，且求证：数列是等差数列【变式6-1】已知为数列的前n项和，且，其中为常数.（1）求证：数列为等差数列；（2）是否存在，使得是等差数列？并说明理由.【变式6-2】已知数列满足，且（1）求，；（2）证明：数列是等差数列；（3）求数列的通项公式【变式6-3】已知数列的前n项和为，且，（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；【变式6-4】已知数列满足，证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；题型七 等差数列的实际应用【例7】周髀算经中有这样一

9、个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（ ）A4 B8.5 C12.5 D15.5【变式7-1】天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”

10、，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立100周年时为（ ）A甲申年 B癸巳年 C己卯年 D己巳年【变式7-2】孙子算经是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在算书九章大衍求一术中将此问题系统解决“大衍求一术”属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”现有一道同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列数，则281是第几个数（ ）A18 B19 C20 D21【变式7-3】孙子算经一书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子60颗，人别加3颗问：五人各得几何？”其大意为“有5人分60个橘子，他们分得的橘子数构成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子？”根据上述问题的已知条件，则分得橘子最多的人所得的橘子数为（ ）A15 B16 C17 D18