北京市2022高考数学 一模试题解析分类汇编系列五 9 圆锥曲线 文.docx

1、【解析分类汇编系列五：北京2022高三（一模）文数】:9:圆锥曲线（2022届北京东城区一模数学文科）已知点,抛物线的焦点是,若抛物线上存在一点,使得最小,则点的坐标为（）ABCDD抛物线的焦点，准线方程为，过点P，作准线的垂线交准线于B,则，所以,所以当三点共线时，最小，此时,所以,即点的坐标为。选D.（2022届北京丰台区一模文科）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,则该椭圆的离心率是（）ABCDD抛物线的焦点坐标为，所以椭圆中的。所以，即。所以椭圆的离心率为，选D.（2022届北京海淀一模文）抛物线的焦点为,点为抛物线上的动点,点为其准线上的动点,当为等边三角形时,其面积为（）AB4C

2、6DD抛物线的焦点为,准线方程为。据题意知，PMF为等边三角形，PF=PM，所以PM抛物线的准线，设P，则M，等边三角形边长为，所以由PM=FM，得，解得，所以等边三角形边长为4，其面积为。故选D（2022届北京门头沟区一模文科数学）点P是以为焦点的椭圆上的一点,过焦点作的外角平分线的垂线,垂足为M点,则点M的轨迹是（）A抛物线B椭圆 C双曲线D圆xMyQPOF2F1D由题意，延长交延长线于Q，得，由椭圆的定义知PF1+PF2=2a，故有PF1+PQ=QF1=2a，连接OM，知OM是三角形F1F2Q的中位线OM=a，即点M到原点的距离是定值，由此知点M的轨迹是圆,故选D（2022届北京大兴区一

3、模文科）抛物线绕轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转体内水平放入一个正方体,使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的棱长是（）A1B2CDB，做出轴截面，设正方体的边长为，则，为面的对角线，所以，所以，代入得。所以，即，解得，所以正方体的体积为。选B.（2022届北京大兴区一模文科）已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的离心率为,实轴长为4,则双曲线的方程是_由题意知，所以，即，所以双曲线的方程为。（2022届北京市朝阳区一模数学文）以双曲线的右焦点为焦点，顶点在原点的抛物线的标准方程是 . 抛物线的右焦点为，所以抛物线的焦点为，即抛物线的方程为。其中，所以，所以抛物线的

4、方程为。（2022届北京市石景山区一模数学文）设抛物线的焦点为F，其准线与轴的交点为Q，过点F作直线交抛物线于A、B两点，若，则直线的方程为 设A（x1，y1），B（x2，y2）因为AQB=90，所以kAQkBQ=-1，可得即y1y2=（x1+1）（x2+1），整理可得y1y2=x1x2+（x1+x2）+1（*），因为直线AB经过抛物线y2=4x的焦点F（1，0），所以根据抛物线的性质，可得x1x2=p2=1，y1y2=p2=4，代入（*）得：4=1+（x1+x2）+1，可得x1+x2=2。结合x1x2=1，可得x1=x2=1，即A、B两点的横坐标相等，所以直线AB的方程为，即直线l的方程为。

5、（2022届北京西城区一模文科）抛物线的准线方程是_;该抛物线的焦点为,点在此抛物线上,且,则_.；由得焦点坐标为，准线方程为。过作准线的垂线交准线于，则，即，所以。（2022届北京市延庆县一模数学文）在平面直角坐标系中,椭圆的中心为原点,焦点在轴上,离心率为.过的直线交椭圆于两点,且的周长为.过定点的直线与椭圆交于两点(点在点之间).() 求椭圆的方程;()设直线的斜率,在轴上是否存在点,使得以、为邻边的平行四边形为菱形.如果存在,求出的取值范围;如果不存在,请说明理由.解:()设椭圆的方程为,离心率, 的周长为, 解得,则, 所以椭圆的方程为 ()直线的方程为, 由,消去并整理得(*) ,

6、解得, 设椭圆的弦的中点为,则“在轴上是否存在点,使得以、为邻边的平行四边形为菱形.”等价于“在轴上是否存在点,使得” 设,由韦达定理得, 所以, , 所以,解得 ,所以, 函数在定义域单调递增, 所以满足条件的点存在,的取值范围为 （2022届北京市朝阳区一模数学文）（本小题满分14分）已知椭圆过点,离心率为.（）求椭圆的方程；（）过点且斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，直线，分别交直线 于，两点,线段的中点为.记直线的斜率为，求证: 为定值.解：（）依题得解得，.所以椭圆的方程为. 4分（）根据已知可设直线的方程为.由得.设,则.直线，的方程分别为：，令，则,所以.所以. 14分（2022

7、届北京东城区一模数学文科）已知椭圆:的两个焦点分别为,离心率为,且过点.()求椭圆的标准方程;(),是椭圆上的四个不同的点,两条都不和轴垂直的直线和分别过点,且这两条直线互相垂直,求证:为定值. ()解:由已知, 所以. 所以. 所以:,即. 因为椭圆过点, 得,. 所以椭圆的方程为. ()证明:由()知椭圆的焦点坐标为,. 根据题意, 可设直线的方程为, 由于直线与直线互相垂直,则直线的方程为. 设,. 由方程组消得 . 则 . 所以=. 同理可得. 所以. （2022届北京丰台区一模文科）已知椭圆C:()的右焦点为F(2,0),且过点P(2,).直线过点F且交椭圆C于A、B两点.()求椭圆

8、C的方程;()若线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M(),求直线的方程.【解】:()设椭圆C的方程为,则 ,解得,所以椭圆C的方程为, ()当斜率不存在时,不符合题意, 当斜率存在时设直线l的方程为y=k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点为N(x0,y0), 由得, 因为, 所以, 所以, 因为线段AB的垂直平分线过点M(), 所以,即,所以, 解得, 所以直线l的方程为 或 （2022届北京海淀一模文）已知圆:,若椭圆:()的右顶点为圆的圆心,离心率为. (I)求椭圆的方程;(II)已知直线:,若直线与椭圆分别交于,两点,与圆分别交于,两点(其中点在线段上),且,求的

9、值.解:(I)设椭圆的焦距为, 因为,所以 所以 所以椭圆: (II)设(,),(,) 由直线与椭圆交于两点,则 所以, 则, 所以 点()到直线的距离 则 显然,若点也在线段上,则由对称性可知,直线就是轴,矛盾, 因为,所以 所以 解得,即 （2022届北京门头沟区一模文科数学）已知椭圆与双曲线有相同的焦点,且离心率为.(I)求椭圆的标准方程;(II)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A、B两点,O为坐标原点,若,求的面积.解:(I)设椭圆方程为, 由,可得, 既所求方程为 (II)设, 由有 设直线方程为,代入椭圆方程整理,得 解得 若, 则 解得 又的面积 答:的面积是 （2022届北京

10、大兴区一模文科）已知动点P到点A(-2,0)与点B(2,0)的斜率之积为,点P的轨迹为曲线C.()求曲线C的方程;()若点Q为曲线C上的一点,直线AQ,BQ与直线x=4分别交于M、N两点,直线BM与椭圆的交点为D.求线段MN长度的最小值.解:()设,由题意知 ,即 化简得曲线C方程为: ()思路一 满足题意的直线的斜率显然存在且不为零,设其方程为, 由()知,所以,设直线方程为, 当时得点坐标为,易求点坐标为 所以=, 当且仅当时,线段MN的长度有最小值. 思路二:满足题意的直线的斜率显然存在且不为零,设其方程为, 联立方程: 消元得, 设, 由韦达定理得:, 所以,代入直线方程得, 所以,又

11、 所以直线BQ的斜率为 以下同思路一 思路三:设,则直线AQ的方程为 直线BQ的方程为 当,得,即 当,得,即 则 又 所以 利用导数,或变形为二次函数求其最小值. （2022届北京市石景山区一模数学文）（本小题满分13分） 设椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，左焦点到直线的距离等于长半轴长（）求椭圆的方程；（）过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中垂线与轴相交于点，求实数的取值范围解：（）由已知可得， 由到直线的距离为，所以， 3分解得 所求椭圆方程为. 5分（）由（）知, 设直线的方程为： 消去得 7分 因为过点，所以恒成立 设， 则， 中点 9分 当时，为长轴，中点为原点，则 1

12、0分当时中垂线方程 令， 11分 ， 可得 综上可知实数的取值范围是 13分（2022届北京西城区一模文科）如图,已知椭圆的左焦点为,过点的直线交椭圆于两点,线段的中点为,的中垂线与轴和轴分别交于两点.()若点的横坐标为,求直线的斜率;()记的面积为,(为原点)的面积为.试问:是否存在直线,使得?说明理由. ()解:依题意,直线的斜率存在,设其方程为 将其代入,整理得 设,所以 故点的横坐标为. 依题意,得, 解得 ()解:假设存在直线,使得 ,显然直线不能与轴垂直. 由()可得 因为 , 所以 , 解得 , 即 因为 , 所以 所以 , 整理得 因为此方程无解, 所以不存在直线,使得 （2022届房山区一模文科数学）已知椭圆和点,垂直于轴的直线与椭圆交于两点,连结交椭圆于另一点.()求椭圆的焦点坐标和离心率;()证明直线与轴相交于定点. ()由题意知: 所以 所以,焦点坐标为; 离心率 ()由题意知:直线PB的斜率存在,设直线PB的方程为 , ,则, 由 得 则 (1) 直线AE的方程为, 令,得 (2) 又 , 代入(2)式,得 (3) 把(1)代入(3)式,整理得 所以直线AE与轴相交于定点