4.3.2等比数列的前n项和公式第二课时教学设计-（新教材 新高考高中数学）-2021-2022学年高二上学期数学（人教A版（2019）选择性必修第二册）.docx

1、4.3.2等比数列的前n项和公式 (2)教学设计-李德峰（一）教学内容 等比数列的前n项和公式（二）教材分析 1. 教材来源 本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修二第四章数列2. 地位与作用 数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位。（三）学情分析 1.认知基础：学生上一节课已经学习了前n项和公式。2.认知障碍：公式灵活应用及构造新数列（四）教学目标 1. 知识目标：熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题2.能力目标：通过本节课例

2、题讲解提高学生分析解决问题的能力.3.素养目标：通过利用等比数列的前n项和公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.（五）教学重难点：1. 重点： 等比数列的前n项和公式及其应用2. 难点： 运用等比数列解决实际问题（六）教学思路与方法 教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段（七） 课前准备多媒体（八）教学过程 教学环节：复习引入教学内容师生活动设计意图等比数列前n项和的性质(1)数列an为公比不为1的等比数列(或公比为1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍构成等比数列.(2)若an是公比为q的等比数列，则SnmSnqnSm(n，

3、mN*).(3)若an是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：在其前2n项中，q；在其前2n1项中，S奇S偶a1a2a3a4a2na2n1(q1).教师提问，学生回答强化知识结构，为本节课做好准备教学环节：例题解析教学内容师生活动设计意图例10. 如图，正方形ABCD 的边长为5cm ，取正方形ABCD 各边的中点E,F,G,H, 作第2个正方形 EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L，作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去. (1) 求从正方形ABCD 开始，连续10个正方形的面积之和；(2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这

4、些正方形的面积之和将趋近于多少？分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列。解：设正方形的面积为a1，后续各正方形的面积依次为a2, a3,an,，则a1=25,由于第k+1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以ak+1=12ak,因此an，是以25为首项，12为公比的等比数列.设an的前项和为Sn（1）S10=251-12101-12=501-1210=25575512所以，前10个正方形的面积之和为25575512cm2.(2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和a1+a2+a3+an+，而Sn=251-12n1-12=501-12n,随着n的无限

5、增大，12n将趋近于0，Sn将趋近于50.所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.例11. 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列。因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算。解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列an，每年以环保方式处理的垃圾量（

6、单位：万吨）构成数列bn， n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为 Sn （单位：万吨），则an=20(1+5%)n, bn=6+1.5 n,Sn=a1-b1+a2-b2+an-bn=a1+a2+an-b1+b2+bn=(201.05+201.052+201.05n)-(7.5+9+6+1.5n)=(201.05)(1-1.05n)1-1.05-n2(7.5+6+1.5n)=4201.05n-34n2-274n-420当n=5时，S5 63.5所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为 63.5万吨.解决数列应用题时一是：明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列还是等比数列问题，还是含

7、有递推关系的数列问题；二是：明确是求an，还是求Sn.细胞繁殖、利率、增长率等问题一般为等比数列问题例12. 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8% ，且在每年年底卖出100头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1,c2,c3,（1）写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系；（2）将（1）中的递推公式表示成cn+1 -k=r(cn-k)的形式，其中k, r为常数；（3）求S10=c1+c2+c3+c10的值（精确到1）.分析：（1）可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立cn+1与cn的关系；（2）这是待定系数法的应用，可以

8、将它还原为（1）中的递推公式形式，通过比较系数，得到方程组；（3）利用（2）的结论可得出解答。解（1）由题意，得c1=1200,并且cn+1=1.08cn-100. （2）将cn+1 -k=r(cn-k)化成cn+1=rcn-rk+k. 比较的系数，可得r=1.08,k-rk=-100.解这个方程组，得r=1.08,k=1250.所以（1）中的递推公式可以化为（3）由（2）可知，数列cn-1250是以-50为首项，1.08为公比的等比数列，则(c1-1250)+(c2-1250)+(c3-1250)+ (cn-1250)=-501-1.08101-1.08-724.8.所以S10=c1+c2+

9、c3+c10125010-724.8=11775.711776.师生共同探讨以正方形面积求和问题为背景，引导学生运用等比数列求和知识解决问题。通过问题（2）渗透极限思想。等比数列与等差数列的前n项和的综合应用，让学生学会如何求这个“陌生”数列的和的问题。以牧场中牛的繁殖问题为背景，引导学生运用等比数列求和知识解决问题，并学会运用构造法，构造等比数列解决问题，为后续的求通项公式奠定基础。教学环节：课堂练习1.已知等比数列an的公比为2，且其前5项和为1，那么an的前10项和等于( )A.31 B.33 C.35 D.37解析 设an的公比为q，由题意，q2，a1a2a3a4a51，则a6a7a8

10、a9a10q5(a1a2a3a4a5)q52532，S1013233.答案 B2.数列an中，已知对任意正整数n，有a1a2a3an3n1，则aaa( )A.(3n1)2 B.(27n1)C.(3n1) D.27n1解析 设Sna1a2a3an3n1，则当n2时，Sn13n11，故anSnSn123n1，又a12，所以an23n1，所以aaa.答案 B3.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天

11、后到达目的地”，则该人最后一天走的路程为( )A.24里 B.12里 C.6里 D.3里解析 由题知，设该人每天行走的里数构成一个等比数列an(nN*)，公比q，S6378，a1192，a61926.故该人最后一天走的路程为6里.答案 C4.设等比数列an中，a1a2a33，a4a5a681，则数列an的公比为_.解析 易得a4a5a6q3(a1a2a3)，故q327，则q3.答案 35.设等比数列an的前n项和为Sn，且S41，S87，求S12.解 因为S4，S8S4，S12S8成等比数列.所以(S8S4)2S4(S12S8)，即(71)21(S127)，解得S1243.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。教学环节：小结思考 布置作业小结（1）掌握用等比数列知识解决增长率等问题的数学模型，尤其要注意公比与项数的选取；（2）根据实际问题，先分清等比数列与等差数列, 再建立不同的数学模型；（3）通过实际问题，发现等差数列与等比数列的不同特点.作业：课本40页练习1、2、3题。课本41页7、8、11题教学环节：板书设计知识回顾：例10 例11例12小结：