4.4 幂函数-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教B版).docx

1、4.4幂函数学 习 目 标核 心 素 养1.掌握幂函数的概念、图像和性质(重点)2熟悉1,2,3，1时的五类幂函数的图像、性质及其特点(易错点)3能利用幂函数的图像与性质解决综合问题(难点)1.通过幂函数概念与图像的学习，培养数学抽象素养2借助幂函数性质的学习，提升数学运算、逻辑推理素养.数学史上很早就借用“幂”字，起先用于表示面积，后来扩充为表示平方或立方.1859年中国清末大数学家李善兰(18111882)译成代微积拾级一书，创设了不少数学专有名词，如函数、极限、微分、积分等，并把“Power”这个词译为“幂”这样“幂”就转译为若干个相同数之积大约到15世纪，人们才意识到要用一个缩写的方式

2、来表示若干个相同数的乘积直至17世纪才开始出现在幂的符号中将指数与底数分开来表示的趋势1636年苏格兰人休姆(Hume)引进了一种较好的记法，他用罗马数字表示指数，写在底数的右上角，如“A4”写作“A”，这种记法与现在相比较，除了数字采用罗马数字外，其余完全一样一年以后，法国数学家笛卡儿将其进行了改进，把罗马数字改用阿拉伯数字，成了今天的样子此后由英国数学家渥里斯(Wallis,16161703)、牛顿等人分别引入负指数幂和分数指数幂的概念及符号，从而使幂的概念及符号发展得更完备了那么，什么是幂？幂与an又有什么关系呢？1幂函数的概念一般地，函数yx称为幂函数，其中为常数思考：幂函数yx与指数

3、函数yax(a0且a1)有什么样的区别？提示幂函数yx的底数为自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数yax中，底数是常数，指数是自变量2五个常见幂函数的图像3幂函数的图像特征及性质(1)幂函数在第一象限内的图像，在经过点(1,1)且平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图像从下到上分布(2)当0时，图像过点(1,1)，(0,0)，且在第一象限随x的增大而上升，函数在区间0，)上是单调增函数(3)当0时，幂函数的图像过点(1,1)，且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间(0，)上是单调减函数，且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴(4)当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶

4、数时，幂函数为偶函数1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)函数yx是幂函数()(2)函数y2x是幂函数()(3)幂函数的图像都不过第二、四象限()(1)(2)(3)(1)函数yx符合幂函数的定义，所以是幂函数(2)幂函数中自变量x是底数，而不是指数，所以y2x不是幂函数(3)幂函数yx2过第二象限2下列函数中不是幂函数的是()AyByx3Cy2xDyx1C形如yx的函数为幂函数，只有C不是3幂函数yx(R)的图像一定不经过()A第四象限B第三象限C第二象限D第一象限A由幂函数的图像可知，其图像一定不经过第四象限4已知幂函数f(x)x(是常数)的图象过点，则函数f(x)的值域为_(，0)

5、(0，)由题意得2，1.f(x)x10，f(x)的值域为(，0)(0，)幂函数的概念【例1】函数f(x)(m2m1)xm2m3是幂函数，且当x(0，)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式解根据幂函数定义得，m2m11，解得m2或m1，当m2时，f(x)x3在(0，)上是增函数；当m1时，f(x)x3在(0，)上是减函数，不合要求f(x)的解析式为f(x)x3.1只有形如yx(其中为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数2判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为yx(为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且(1)指数为常数，(2)底数为自变量，(3)底数系数为1.

6、形如y(3x)，y2x，yx5，形式的函数都不是幂函数反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式1已知f(x)(m22m)xm2m1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数？(2)反比例函数？(3)二次函数？(4)幂函数？解(1)若f(x)为正比例函数，则m1.(2)若f(x)为反比例函数，则m1.(3)若f(x)为二次函数，则m.(4)若f(x)为幂函数，则m22m1，所以m1.幂函数的图像及其应用【例2】给定一组函数解析式：yx；yx；yx；yx；yx；yx.如图所示的一组函数图像，请把图像对应的函数解析式的序号填在图像下面的括号内思路探究根据幂函数的定义域、奇偶性、单调性等性

7、质确定相应的图像由第一、二、三个图像在第一象限的图像特征可知0，而第一个图像关于原点对称，则为奇函数；第二个图像关于y轴对称，则为偶函数；第三个图像在y轴左侧无图像，即在(，0)上无意义，因而这三个图像从左到右看，下面的括号内应分别填.由第四、五个图像在第一象限的图像特征可知01，而第四个图像关于y轴对称，则为偶函数；第五个图像在y轴左侧无图像，即函数在(，0)上无意义，因而这两个图像从左到右看，下面的括号内应分别填.第六个图像对应的幂指数大于1，故填.解决幂函数图像问题应把握的两个原则(1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图像越靠近x轴(简记为指大图底

8、)；在(1，)上，指数越大，幂函数图像越远离x轴(简记为指大图高)(2)依据图像确定幂指数与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于yx1或yx或yx3)来判断2(1)函数f(x)x的大致图像是()(2)如图所示，图中的曲线是幂函数yxn在第一象限的图像，已知n取2，四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为()A2，2B2，2C，2,2，D2，2，(1)A(2)B(1)因为0，所以f(x)在(0，)上单调递减，排除选项B，C；又f(x)的定义域为(0，)，故排除选项D.(2)考虑幂函数的图像在第一象限内的增减性，注意当n0时，对于yxn，n越大，yxn增幅越快，n0时，

9、n越大，yxn递增速度越快，故C1的n2，C2的n，当n0，且a1)的单调性与实数a有什么关系？幂函数yx在(0，)上的单调性与有什么关系？提示当a1时，函数yax单调递增；当0a0时，幂函数yx在(0，)上单调递增；当，0.50.5.(2)幂函数yx1在(，0)上是单调递减的，又1.(3)函数y1x为R上的减函数，又，.又函数y2x在0，)上是增函数，且，.利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法角度二探究幂函数的图像与性质【例4】求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性：(1)yx；(2)yx；(3)yx2.解(1)函数yx，即y，其定义域为R，是偶函数，它在(0，)上单调递增，在(，0

10、上单调递减(2)函数yx，即y，其定义域为(0，)，它既不是奇函数，也不是偶函数，它在(0，)上单调递减(3)函数yx2，即y，其定义域为(，0)(0，)，是偶函数，它在区间(，0)上单调递增，在(0，)上单调递减关于函数图像、性质的探究(1)探究顺序：一般按照定义域、奇偶性、图像、单调性的顺序进行探究(2)几点说明：奇偶性决定了图像是否具有对称性，具有奇偶性的函数可先描点作出y轴右侧的图像，再根据对称性作左侧的图像；作图时尽可能多地选取点，而且选取的点要具有代表性，这样作出的图像才更加准确；这种方法是对函数图像和性质的粗略探究，适用的函数有限，更加准确、科学的探究方法会在以后进一步学习3(1

11、)已知a2，b4，c25，则()AabcBbacCcabDbca(2)已知幂函数yx3m9(mN*)的图像关于y轴对称，且在(0，)上单调递减，求满足(a3)(52a)的a的取值范围(1)Bc255，a24，yx在(0，)上为增函数，所以ac.因为y4x为增函数，所以ba，所以bac.(2)解因为函数在(0，)上单调递减，所以3m90，解得m3，又mN*，所以m1,2.因为函数的图像关于y轴对称，所以3m9为偶数，故m1，则原不等式可化为(a3)52a0或52aa30或a3052a，解得a或a3，所以a的取值范围为(，3).一、知识总结1幂函数图像在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x1的

12、右侧，图像从上到下相应的幂的指数由大变小；在直线x1的左侧，图像从下到上相应的幂的指数由大变小2简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)1.(2)0时，幂函数在0，)上有意义，且是增函数(3)0时，幂函数在x0处无意义，在(0，)上是减函数二、方法归纳数形结合三、常见误区幂函数与指数函数的区别；幂函数的奇偶性1下列函数中，其定义域和值域不同的函数是()AyxByxCyxDyxDA中定义域和值域都是R；B中定义域和值域都是(0，)；C中定义域和值域都是R；D中定义域为R，值域为0，)2函数yx的图像大致是图中的() A B CDB函数yx是奇函数，且1，函数图像为B.3若幂函数f(x)(m2m1)x1m是偶函数，则实数m()A1B2C3D1或2A因为f(x)(m2m1)x1m为幂函数，所以m2m11，解得m1或2，又f(x)是偶函数，则1m为偶数故m1.4已知幂函数f(x)的图像经过点(2，)，则f(4)_.2设f(x)x，f(4)42.5已知幂函数f(x)xm22m3(mZ)为偶函数，且在区间(0，)上是单调增函数，求函数f(x)的解析式解f(x)在区间(0，)上是单调增函数 ，m22m30，即m22m30，解得1m3.又mZ，m0,1,2，而m0,2时，f(x)x3不是偶函数，m1时，f(x)x4是偶函数，f(x)x4.