4.4.3 不同函数增长的差异（课时教学设计)（刘均锋）-高中数学新教材必修第一册小单元教学 专家指导（视频 教案）.docx

1、4.4.3 不同函数增长的差异（一）教学内容 1、指数函数与一次函数的增长差异；2、对数函数与一次函数的增长；3、理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的含义。（二）教学目标1、了解指数函数、对数函数、一次函数的增长差异；2、了解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的含义，提升对三类函数的认识。（三）教学重点及难点1.教学重点指数函数、对数函数、一次函数的增长差异。2.教学难点几种增长函数模型的应用.（四）教学过程设计引语 ：在前面的学习中我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就

2、可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异问题1：现在我们先研究一次函数与指数函数增长的差异，你觉得用什么方法可以探究出他们的差异？师生活动：（1）学生思考讨论回答问题。从特殊到一般，从具体到抽象的方法。（2） 追问1：分别选取哪个具体的函数呢？分别选取y=2x ， y=2x（3） 追问2：在哪个区间研究？0， +）（4）借助信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表，并在同一坐标系中画出y=2x ， y=2x的图象。xy=2xy=2x0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386

3、（4） 追问3：通过表格和图象，你观察到他们有交点吗？有几个交点？有两个交点，（1,2），（2,4）（5） 追问4：通过表格和图象，你观察到他们的增长差异了吗？1、在区间0,1）上y=2x 的图象位于y=2x之上；2、在区间（1,2）上y=2x 的图象位于y=2x之下；3、在区间（2,3）上y=2x的图像位于y=2x之上。这表明：虽然函数与y=2x在都是单调递增，但是它们的增长速度不同，函数y=2x的增长速度不变，但是的增长速度改变.（6） 追问5：在更大的范围，你们能观察到他们的增长情况吗？总结：1、函数 y=2x与 y=2x在0,+)上都是单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在一个“档次

4、”.2、随着x的增大，y=2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2x的增长速度.3、尽管在 x 的一定范围内, 2x x0时, 恒有2x 2x.（7）追问5：类比上述能否推广到一般情况？一般地，指数函数y=ax(a1)与一次函数y=kx(k0)的增长情况与上述情况类似。即使k值远远大于a值， y=ax(a1)的增长速度最终都会大大超过y=kx(k0)的增长速度. y=ax(a1)的这种增长方式称为指数爆炸增长。设计意图：通过画出特殊的指数函数和一次函数的图形，观察归纳出两类函数增长的差异和特点，发展学生逻辑推理数学抽象数学运算等核心素养。问题2：类比探究指数函数与一次函数的增长差异，你可

5、以可以探究出对数函数与一次函数的差异吗？师生活动：（1）学生类比刚才的探究分组探究对数函数与一次函数的差异。（2）追问1：分别选取哪个具体的函数呢？以函数与为例.(3)追问2：在哪个区间研究？在区间0,+)上.（4）借助信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表，并在同一坐标系中画出与的图象。y=lgx（5）追问3：通过表格和图象，你观察到他们有交点吗？有几个交点？有1个交点，（10,1）（6）追问4：通过表格和图象，你观察到他们的增长差异了吗？虽然在0，）上都单调递增，但增长速度存在着明显的差异随着x的增大，函数的图象离x轴越来越远，而函数ylgx的图象越来越平缓，就象与x轴平行一

6、样例如：lg10=1，lg100=2，lg1000=3，lg10000=4；这表明，当，即，比相比增长得就很慢了.（7） 追问5：将放大1000倍，将函数与 比较，仍有上面规律吗？仍然有.总结：一般地，虽然对数函数与一次函数 在(0,+)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.随着x的增大，一次函数保持固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来越慢.不论值比值大多少，在一定范围内，可能会大于，但由于的增长会慢于的增长，因此总存在一个，当时，恒有.设计意图：通过观察图象结合数据分析，数形结合地抽象出一次函数与对数函数的增长差异，发展学生逻辑推理数学抽象数学运算等核心素养。问题3：类比上述过程，画出一

7、次函数，对数函数和指数函数的图象，并比较它们的增长差异；师生活动：学生交流展示总结。总结：1、 函数y=2x ，y=lgx与y=2x在(0,+)上都是单调递增，但它们的增长速度存在明显差异. 2、y=2x在(0,+)上增长速度不变，函数y=lgx与y=2x在(0,+)上的增长速度在变化. 3、函数y=2x的增长速度越来越快，图象越来越陡，就像与 x 轴垂直一样；函数y=lgx的增长速度越来越慢，图象越来越平缓，就像与x轴平行一样.设计意图：通过同时比较三种函数的增长差异，体会它们之间增长的差异，发展学生逻辑推理核心素养。问题4：能总结一次函数、对数函数和指数函数的增长差异吗?师生活动：学生交流

8、展示总结。总结：1、一般地，一次函数y=kx(k0) ,对数函数y=logax(a1)和指数函数y=bx(b1) 在(0,+)上都是单调递增，但它们的增长速度不同. 2、 随着x的增大，一次函数y=kx(k0)保持固定的增长速度，而指数函数y=bx(b1)的增长速度越来越快；对数函数y=logax(a1的增长速度越来越慢. 3、不论b值比k值小多少，在一定范围内，bx可能会小于kx ，但由于y=bx的增长会快于y=kx的增长，因此总存在一个x0 ，当xx0时，恒有bxkx. ； 4、 不论a值比k值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx ，但由于y=logax的增长会慢于y=kx的增长

9、，因此总存在一个x0，当xx0时，恒有kxlogax.设计意图：进一步认识一次函数、对数函数和指数函数的性质，体会它们之间增长的差异，发展学生数学抽象核心素养。问题5：如何理解“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义？师生活动：学生交流总结： (1)直线上升: y=kx(k0)的增长方式增长速度不变，是一个固定的值；(2)对数增长：y=logax(a1)的增长方式增长速度越来越慢，图象越来越平缓，就像与x 轴平行一样；(3)指数爆炸：y=ax(a1)的增长方式增长速度越来越快，以相同倍数增加，图象越来越陡，最终就像与 x轴垂直一样.设计意图：通过总结使学生理解“直线上升”“对数增长”“指数爆

10、炸”的含义。问题6：回忆本节课的内容，请你回答以下几个问题：（1）一次函数，指数函数，对数函数在定义域内增长方式的差异是什么？（2）如何理解“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”？师生活动：老师提问同学作答.设计意图：通过回顾本节课内容，形成知识体系，进行知识内化。五、目标检测设计课堂检测1. 下列函数中，随着x 的增大，增长速度最快的是( )A. y=50 B. y=1000x C. y=0.42x1 D. y=11000ex 解析因为指数函数模型增长速度最快，所以排除A ，B ，又因为e2 ，所以随着x 的增大，y=11000ex 的增长速度最快，故选D.2. 测得x,y 的两组对应值分别为

11、1,2 ，2,5 ，现有两个待选模型：甲：y=x2+1 ，乙：y=3x1 ，若又测得x,y 的一组对应值为3,10.2 ，则应选用 （选填“甲”或“乙”）作为函数模型.解析选用甲：y=x2+1 ，当x=3 时，y=10 .选用乙：y=3x1 ，当x=3 时，y=8 .因为测得x,y 的一组对应值为3,10.2 ，所以甲更接近，应选用甲作为函数模型.3. 函数y=x2 与函数y=xlnx 在区间1,+ 上增长速度较快的是 .解析当x 增大时，y=x 比y=lnx 增长要快，所以y=x2 的增长速度较快.4. 函数fx=lgx ，gx=0.3x1 的图象如图所示.（1） 指出曲线C1 ，C2 分别对应哪一个函数；解析由函数图象特征及变化趋势，知曲线C1 对应的函数为gx=0.3x1 ，曲线C2 对应的函数为fx=lgx .（2） 比较两函数增长速度的差异（以两图象交点为分界点，对fx ，gx 的大小进行比较）解析当x0,x1 时，gxfx ；当xx1,x2 时，gxfx .gx 呈直线增长，其增长速度不变，fx 随着x 的增大而逐渐增大，其增长速度越来越慢.设计意图：巩固本节所学知识，巩固对函数增长差异性的认识，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。课后作业教科书第139页练习1,2,3,4设计意图：巩固本节课的主要知识、方法。