4.5.2 用二分法求方程的近似解课时教学设计（ 杨景泉）-高中数学新教材必修第一册小单元教学 专家指导（视频 教案）.docx

1、第2课时 用二分法求方程的近似解 教学设计（一）教学内容用二分法求方程的近似解.（二）教学目标通过具体实例理解二分法求简单方程近似解的方法，从中体会函数的零点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用；让学生能够初步了解逼近思想；培养学生勇于探索的精神以及数学应用意识，发展学生的数学运算、数学抽象和逻辑推理的数学核心素养.（三）教学重点及难点1.教学重点：利用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.2.教学难点：方程近似解所在初始区间的确定，利用二分法求给定精确度的方程的近似解.（四）教学过程设计引导语 通过前一节课的学习，我们根据函数零

2、点存在定理和函数单调性可以确定方程实数解的个数，今天进一步研究利用函数求方程的近似解.问题1：我们已经知道函数在开区间（2,3）内存在一个零点，如何求出这个零点？追问1：你能求出函数零点的精确值吗？为什么？师生活动：学生根据经验简单判断，思考.教师补充：大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解，在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解.（比如：当精确度为时：只要近似值与精确值之差的绝对值小于即可）追问2：当精确度为0.5时，你能得到一个符合要求的零点的近似值吗？师生活动：学生可以想到：零点在区间内，数轴上2和3之间的距离为1，它们的中点与零点的距离一定小于0.5，因此精确度为

3、0.5时，可以取2.5作为一个零点的近似值.教师给出区间的中点的定义：一般地， 称为区间 的中点. 追问3：当精确度为0.5时，3可以看做零点的一个近似值吗？为什么？ 师生活动：学生思考：零点是在内，还是在内呢？这时就要考虑的符号.由计算工具算得，由可知，零点在区间内，由数轴上和之间的距离为0.5可知,零点和之间的距离小于0.5，因此，可以看做零点的一个近似值.追问4：根据追问2和3的回答，当精确度缩小到0.01时，为了得到函数零点的近似解，我们至少需要将零点所在区间缩小到什么程度？你将采取怎样的办法来逐步缩小零点所在区间？ 师生活动：学生思考：当精确度为0.01时，长度小于0.01的零点所在

4、区间内的任意实数都可以是零点的近似值，为此至少需要将存在零点的区间长度缩小到小于0.01.根据追问2和3的回答，可以通过重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号，将零点所在区间逐次减半，达到缩小零点所在区间的目的.教师总结：通过以上问题的思考和回答可知，如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值. 为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围.具体地，就是通过重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号，将零点所在区间逐次减半地缩小到长度小于精确度的范围. 设计意图：通过研究如何求函数的零点，使学生理解二分法的基本原理.问题2：当精

5、确度为0.01时，如何求函数零点的近似值？ 师生活动：学生阅读课本第145页第二段，根据问题1的研究，取区间的中点，算得，因为， 所以零点在区间内.再取区间的中点用计算工具算得.因为，所以零点在区间内.我们可重复这样的步骤，继续缩小零点所在区间，直到区间长度小于0.01为止，如表2,见课本第145页.追问：根据填好的表格，请你给出函数零点的近似值. 师生活动：学生可以想到区间（2.53125，2.5390625）内任意一点都可以作为零点的近似值.设计意图：通过求函数的零点在一定精确度下的近似值，体会二分法的实施过程. 问题3：在问题2中，我们用怎样的方法求函数零点近似值？你能归纳总结形成二分法

6、的定义吗？ 师生活动：学生思考：通过不断地把函数的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，得到零点近似值.对于在某一区间上函数图象连续不断，且区间端点的函数值的乘积符号为负的函数，都可以利用这种方法来求零点的近似值.教师在学生回答的基础上形成“二分法”的定义：对于区间上的连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似解的方法叫做二分法.二分法是求方程近似解的常用方法.设计意图：通过归纳总结形成二分法的定义. 问题4：根据求函数零点的近似值的过程，你能提炼出给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤吗？师生活动：学生阅读课

7、本第145页第五段，归纳用二分法求函数零点的近似值的一般步骤：（1）确定零点的初始区间，验证.（2）求区间中点.（3）计算，并进一步确定零点所在区间：若（此时，）,则就是函数零点；若（此时，），则令；若（此时，），则令.4.判断是否达到精确度：若，则得到零点的近似值为（或）；否则重复步骤24.设计意图：根据求函数零点的近似值的过程，提炼出用二分法求函数零点近似值的一般步骤.例2 借助信息技术，用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）.见课本第146页例题分析：原方程即，令，用信息技术画出函数的图象（图1），并列出它的对应值表（表1）.图1x012345678f(x)-6-23102140751

8、42273表1师生活动：老师提问同学作答，观察图2或表3可知，说明该函数在区间内存在零点.取区间的中点，用信息技术算得，因为，所以. 再取区间的中点，用信息技术算得，因为，所以. 同理可得，.由于，所以，原方程的近似解可取为1.375（1.4375也可以）.设计意图：通过例题实践利用二分法求函数零点近似值的步骤，学会用二分法求方程的近似解.（五）课堂小结教师提问：（1）通过这节课，你学到了什么知识？（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？教师总结：本节课我们学习了用二分法求方程近似解的方法.二分法通过不断缩小函数零点所在区间求方程的近似解，体现出用函数观点处理数学问题的思想和逐渐逼近的极限思想

9、.回顾整个研究过程，我们通过求具体方程的近似解了解二分法并总结其实施步骤，经历了由特殊到一般的研究过程，从中不但能体会到算法思想，还获得了从具体问题的解决过程提炼出一类问题的解决方法的经验.设计意图：回顾本节课所学内容和学习过程，感悟本节课涉及的数学思想方法，交流分享关于本节课的收获. （六）目标检测设计1下列选项中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（）ABCD【答案】B由图象可知B中零点是不变号零点，其他图象中零点都是变号零点，故B不能用二分法求零点近似值. 故选：B2（2022安徽安庆市教育教学研究室高一期末）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（

10、）ABCD【答案】C根据已知，根据二分法可知该近似解所在的区间是故选：C.3（2022江苏高一）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示：121.51.751.76561.75781.7617632.6250.140630.0351810.053040.0088要使零点的近似值精确度为0.01，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（）A6次1.75B6次1.76C7次1.75D7次1.76【答案】D由表格数据，零点区间变化如下：，此时区间长度小于，在此区间内取近似值，等分了7次，近似解取故选：D4（多选）某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，下列说法正确的有（）A精确到的近似值为B精确到的近似值为C精确到的近似值为D精确到的近似值为【答案】AC，零点在内，又，则AC正确，D错误；，则B错误.故选：AC.设计意图：通过课堂达标练习，让学生及时巩固所学，巩固本节学习的内容