5.3.3 古典概型-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教B版).docx

1、5.3.3古典概型学 习 目 标核 心 素 养1理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型(难点)2会用列举法求古典概型的概率(重点)3应用古典概型的概率计算公式求复杂事件的概率(难点)1古典概型及其特征的学习，体现了数学抽象的核心素养2通过古典概型概率的求解，培养数学运算的核心素养.我们一次向上抛掷红、黄、蓝三颗骰子，可能出现多少种不同的结果呢？问题：(1)上述试验中所有不同的样本点有何特点？(2)掷一枚不均匀的骰子，求出现偶数点的概率，这个概率模型是古典概型吗？提示(1)任何两个样本点之间是互斥的；所有样本点出现的可能性相等(2)不是，因为骰子不均匀，每个样本点出现的可能性不相等1古典概

2、型的概念一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型2古典概型的特征(1)有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的3古典概型中事件的概率在样本空间含有n个样本点的古典概型中，(1)每个基本事件发生的概率均为.(2)如果随机事件C包含m个样本点，则再由互斥事件的概率加法公式可知P(C).思考：从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概

3、型吗？提示不是因为有无数个基本事件4古典概型中概率的性质假设古典概型对应的样本空间含n个样本点，事件A包含m个样本点，则：(1)由0mn与P(A)可知0P(A)1.(2)因为中包含的样本点个数为nm，所以P()11P(A)，即P(A)P()1.(3)若事件B包含有k个样本点，而且A与B互斥，则容易知道AB包含mk个样本点，从而P(AB)P(A)P(B)1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件()(2)求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件()(3)从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率()(4)抛掷一

4、枚质地均匀的硬币首次出现正面为止()(1)(2)(3)(4)(1)中由于点数的和出现的可能性不相等，故(1)错误；(2)中的基本事件是无限的，故(2)错误；(3)中满足古典概型的有限性和等可能性，故(3)正确；(4)中基本事件既不是有限个也不具有等可能性，故(4)错误2下列随机事件的数学模型属于古典概型的是()A在适宜的条件下，种一粒种子，它可能发芽，也可能不发芽B在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个点C某射击手射击一次，可能命中0环、1环、2环、10环D四位同学用抽签的方法选一人去参加一个座谈会D利用古典概型的两个条件判断在A中，事件“发芽”与事件“不发芽”发生的概

5、率不一定相等，与古典概型的第二个条件矛盾；在B中，横坐标和纵坐标都为整数的所有点为无限个，从而有无限个结果，这与古典概型的第一个条件矛盾；在C中，命中0环、1环、2环、10环的概率都不一样3北京冬奥会将要在某高校的8名懂外文的志愿者中选1名，其中有3人懂日文，则选到懂日文的志愿者的概率为()A.B.C.D.A8名懂外文的志愿者中随机选1名其样本空间包含8个样本点，“选到懂日文的志愿者”包含3个样本点，因此所求概率为.4从甲、乙、丙三人中任选两人参加某项活动，其中“甲被选中”这一事件所含的样本点有_个2(甲，乙)，(甲，丙)，共2个基本事件的列举问题【例1】有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标

6、有数字1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1个正四面体玩具朝下的点数，y表示第2个正四面体玩具朝下的点数求(1)写出试验的样本空间；(2)事件“朝下点数之和大于3”；(3)事件“朝下点数相等”；(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”思路探究根据事件的定义，按照一定的规则找到试验中所有可能发生的结果，列举出来即可解(1)这个试验的样本空间为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)(2)设事件“朝下

7、点数之和大于3”为A，则A(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)(3)设事件“朝下点数相等”为事件B，则B(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)(4)设事件“朝下点数之差的绝对值小于2”为事件C，则C(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)确定样本空间的方法随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间必须明确事件发生的条件，根据题意，按一定的次序列出问题的答案求基本事件时，一定要注意结果出现

8、的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏1袋中有红、白、黄、黑四个颜色不同、大小相同的球各一个，按下列要求分别进行试验：(1)从中任取一个球，观察其颜色；(2)从中任取两个球，观察其颜色；(3)一先一后取两个球，观察其颜色分别写出上面试验的样本空间，并指出样本点的总数解(1)试验“从中任取一个球，观察其颜色”的样本空间红，白，黄，黑，样本点总数为4.(2)试验“从中任取两个球，观察其颜色”的样本空间(红、白)，(红，黄)，(黄，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(红，黑)，样本点总数为6.(3)试验“一先一后取两个球，观察其颜色”的样本空间(红，白)，(白，红)，(红，黄)，(黄，红)，

9、(黄，黑)，(黑，黄)，(白，黄)，(黄，白)，(白，黑)，(黑，白)，(红，黑)，(黑，红)，样本点总数为12.古典概型的判定【例2】下列概率模型是古典概型吗？为什么？(1)从区间1,10内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；(3)从1,2,3，100这100个整数中任意取出一个整数，求取得偶数的概率思路探究根据直观印象判断两个试验的基本事件数是否有限，每个基本事件是否等可能发生即可解(1)不是古典概型，因为区间1,10中有无限多个实数，取出的那个实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾(2)不是古典概型，因为硬

10、币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相等”矛盾(3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等判断一个事件是否是古典概型，关键看该事件是否具备古典概型的两大特征：(1)有限性：在一次试验中，所有可能出现的基本事件只有有限个(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等2(1)在数轴上03之间任取一点，求此点的坐标小于1的概率此试验是否为古典概型？为什么？(2)从1,2,3,4四个数中任意取出两个数，求所取两数之一是2的概率，此试验是古典概型吗？试说明理由解(1)在数轴上03之间任取一点，此点可以在

11、03之间的任一位置，且在每个位置上的可能性是相同的，具备等可能性但试验结果有无限多个，不满足古典概型试验结果的有限性因此不属于古典概型(2)此试验是古典概型，因为此试验的所有样本点共有6个：即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，且每个样本点的出现是等可能的，因此属于古典概型古典概型概率的求法探究问题1掷一枚骰子共有多少种不同的结果？提示共有6种不同的结果2掷一枚骰子，落地时向上的点数为偶数，包含几种结果？提示2,4,6共三种结果3掷一枚均匀的骰子，落地时向上的点数为偶数的概率怎样求？提示记事件A为落地时向上的点数为偶数，则P(A).【例3】现有6道题，其中4

12、道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率思路探究用列举法列出试验的所有可能结果以及事件所包含的可能结果，然后利用公式求解解(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6，任取2道题，样本空间(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，样本点共15个用A表示所取的2道题都是甲类题，则A(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，

13、样本点共6个，所以P(A).(2)法一：用B表示所取2道题不是同类题则B(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)样本点共8个，所以P(B).法二：用C表示所取2道题是乙类题则C(5,6)由对立事件的概率公式可知所取的2道题不是同一类的概率为P1P(A)P(C)1.古典概型的概率求法求随机事件的概率时，首先要判断试验是不是古典概型，若是古典概型，则求事件A的概率P(A)的计算步骤是：(1)计算样本空间所有可能的样本点数n.(2)计算事件A包含的样本点数m.(3)计算事件A的概率P(A).3袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸三次，

14、求基本事件的个数，写出所有基本事件的全集，并计算下列事件的概率：(1)三次颜色恰有两次同色；(2)三次颜色全相同；(3)三次摸到的红球多于白球解所有的基本事件个数n8个样本空间(红，红，红)，(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)，(白，白，白)(1)记事件A为“三次颜色恰有两次同色”则A(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)A中含有样本点个数为m6，P(A)0.75.(2)记事件B为“三次颜色全相同”则B(红，红，红)，(白，白，白)B中含有样本点个数为m2，P(B)0.25.(3

15、)记事件C为“三次摸到的红球多于白球”则C(红，红，红)，(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)C中含有样本点个数为m4，P(C)0.5.一、知识总结1古典概型问题(1)要准确判断；(2)正确写出样本空间，得到样本点的总数n，确定事件包含的样本点个数m；(3)代入公式计算2注意古典概型与互斥事件概率公式的综合运用，解决较为复杂的概率计算问题二、方法归纳列举法、列表法、树状图法三、常见误区1列举基本事件时易漏掉或重复2判断一个事件是否是古典概型易出错1集合A2,3，B1,2,3，从A、B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是()A.B.C.D.C本题主要考查了古典概型，从集合A、B

16、中任取一个数的所有情况有：(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(3,3)共6种，和为4的有(2,2)、(3,1)共2种，则所求概率为P.2从0,1,2,3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为()A. B. C. D.D能组成的两位数有10,12,13,20,21,23,30,31,32，共9个，其中偶数有5个，故组成的两位数是偶数的概率为.3从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为()A0.6 B0.5 C0.4D0.3D将2名男同学分别记为x，y,3名女同学分别记为a，b，c.设“选中的2人都是女同

17、学”为事件A，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，其中事件A包含的可能情况有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种，故P(A)0.3.故选D.4三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为_考虑B的位置关系，知道B只可能排三个位置，BEE恰是其中一种，因此P.5先后掷两枚大小相同的骰子，求点数之和能被3整除的概率解先后抛掷两枚大小相同的骰子，样本空间为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1

18、,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36种不同的结果记“点数之和能被3整除”为事件A，则A(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)，共包含12个样本点，故P(A).