6.1 反比例函数的图象与性质（一）【十大题型】（北师大版）（教师版）.docx

1、专题 6.1反比例函数的图形与性质（一）【十大题型】【北师大版】【题型 1 反比例函数概念辨析】.1【题型 2 反比例函数图象上点的坐标特征】.3【题型 3 由反比例函数解析式判断其性质】.5【题型 4 由反比例函数经过的象限求 k】.7【题型 5 由反比例函数的增减性求 k】.9【题型 6 由反比例函数的性质比较大小】.11【题型 7 由反比例函数的图象求 k】.13【题型 8 由反比例函数 k 的几何意义求面积】.16【题型 9 由图形的面积求 k】.21【题型 10 反比例函数与几何的综合】.26【知识点 1 反比例函数的定义】一般的，形如0kykkx为常数，的函数，叫做反比例函数。其中

2、 x 是自变量，y 是函数。自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数。【题型 1 反比例函数概念辨析】【例 1】（2023 春河南南阳九年级统考期中）已知压力 F、受力面积 S、压强 P 之间的关系是=则下列说法不正确的是（）A当压强 P 为定值时，压力 F 与受力面积 S 成正比函数关系；B当压强 P 为定值时，受力面积 S 越大，压力 F 也越大；C当压力 F 为定值时，压强 P 与受力面积 S 成正比例函数关系；D当压力 F 为定值时，压强 P 与受力面积 S 成反比例函数关系【答案】C【分析】由正比例函数关系和反比例函数关系的定义进行判断即可【详解】解：A在=中，当压强 P 为定

3、值时，压力 F 与受力面积 S 成正比函数关系，故选项正确，不符合题意；B在=中，当压强 P 为定值时，受力面积 S 越大，压力 F 也越大，故选项正确，不符合题意；C在=中，当压力 F 为定值时，压强 P 与受力面积 S 成反比例函数关系，故选项不正确，符合题意；D在=中，当压力 F 为定值时，压强 P 与受力面积 S 成反比例函数关系，故选项正确，不符合题意故选：C【点睛】此题考查了正比例函数关系和反比例函数关系，熟练掌握正比例函数关系和反比例函数关系的定义是解题的关键【变式 1-1】（2023 春广西贺州九年级统考期末）当 k时，关于 x 的函数=1 是反比例函数【答案】1【分析】本剧反

4、比例函数的定义解题即可【详解】函数=1 是反比例函数，1 0，解得：1，故答案为 1【点睛】本题考查反比例函数的定义，掌握形如=(0)的函数是反比例函数是解题的关键【变式 1-2】（2023 春广西贵港九年级统考期中）下列函数中，不是反比例函数的是（）A=1B=5C=3D=12【答案】C【分析】由反比例函数的三种形式判断即可【详解】解：反比例函数的三种形式为：=（为常数，0），=（为常数，0），=1（为常数，0），由此可知：只有=3不是反比例函数，其它都是反比例函数，故选：C【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的三种形式是解题的关键【变式 1-3】（2023 春湖南永州九年级

5、统考期中）已知关于 x 的反比例函数=(2)|3，则 m 的值为【答案】2【分析】由反比例函数的定义得到 2 0，|3=1，即可求得 m 的值【详解】解：=(2)|3是反比例函数，2 0，|3=1，=2且 2，=2，故答案为：2【点睛】此题考查了反比例函数，形如=(0)的函数是反比例函数，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键【题型 2 反比例函数图象上点的坐标特征】【例 2】（2023 春湖南衡阳九年级校联考期末）已知点(2,1)，(3,2)，(2,3)都在反比例函数=6的图象上，那么1、2、3的大小关系正确的是（）A3 1 2B1 3 2C1 2 3D3 2 1【答案】C【分析】分别把点(2

6、,1)，(3,2)，(2,3)代入函数解析式求出1,2,3的值即可判断【详解】解：点(2,1)，(3,2)，(2,3)都在反比例函数=6的图象上，1=62=3；2=63=2；3=62=3，3 2 3，1 2 0，它的图象在第一、三象限，故该说法正确；C、在每个象限内，y 的值随 x 的值增大而减小，故该说法错误；D、若点(,)在它的图象上，则点(,)也在它的图象上，故该说法正确；故选：C【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，关键是掌握和灵活运用反比例函数的图象和性质【变式 3-2】（2023 春广东中山九年级广东省中山市中港英文学校校考期中）对于反比例函数=3，下列说法不正确的是（）A

7、图像分布在第二、四象限B当 0时，y 随 x 的增大而增大C图像经过点(1,3)D若点(1，1)，(2，2)都在图像上，且 x1x2，则 y1y2【答案】D【分析】由反比例函数的性质分别判断各选项即可解答【详解】解：反比例函数=3，A、=3 0，图像布在第二、四象限，故此选项正确，不符合题意；B、=3 0时，y 随 x 的增大而增大，故此选项正确，不符合题意；C、3=31，图像经过点(1,3)，故此选项正确，不符合题意；D、=3 0时，在每一个象限内，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小；当 2结合选项可知，只有-1符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，当 0时，双曲线的两

8、个分支在一，三象限，在每一分支上 y随 x 的增大而减小；当 0时，双曲线的两个分支在二，四象限，在每一分支上 y 随 x 的增大而增大【变式 4-2】（2023 春山西大同九年级统考期末）反比例函数=2+1（m 为常数）的图象在第二、四象限，那么 m 的取值范围是（）A 12C 0【答案】A【分析】利用反比例函数的性质：当 0时，图象过一、三象限；当 0时，图象过二、四象限可得到答案【详解】解：反比例函数的图象在第二、四象限，2+1 0，2 1，0)图像上有两个点(1,1)，(2,2)，(1 2)(1 2)0，则=的图像不经过第（）象限A一B二C三D四【答案】B【分析】由(1 2)(1 2)

9、0可得1 2 0 或 1 2 01 2 0)图像上有两个点(1,1)，(2,2)，(1 2)(1 2)0，1 2 0 或 1 2 01 2 0，当1 2 或1 21 0)在 0时，随的增大而减小，则 0，0时，y 随 x的增大而增大，则 m 的值为（）A1B1C1D2【答案】B【分析】反比例函数的自变量次数为1，y 随 x 的增大而增大，说明反比例函数在第四象限，且 1 0，据此列出方程与不等式即可求得 m 的值【详解】由题意得：2 2=1 1 0 =1且 1=1故选：B【点睛】本题考查了反比例函数的定义及其增减性，解题的关键由反比例函数的定义及增减性列出方程与不等式【变式 5-2】（2023

10、 春海南省直辖县级单位九年级统考期末）如果反比例函数=2（a 是常数）的图象所在的每一个象限内，y 随 x 增大而减小，那么 a 的取值范围是（）Aa0Ca2【答案】D【分析】由反比例函数的性质，k0 时，图象所在的每一个象限内，y 随 x 增大而减小，建立不等式，求解即可【详解】反比例函数=2（a 是常数）的图象所在的每一个象限内，y 随 x 增大而减小，a-20，解得 a2，故选 D【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟记 k0 时，图象所在的每一个象限内，y 随 x 增大而减小是解题的关键【变式 5-3】（2023 春北京海淀九年级北京市十一学校校考期末）在平面直角坐标系 xOy 中，若

11、函数=(0)的函数值 y 随着自变量 x 的增大而增大，则函数=(0)的图象所在的象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】B【分析】由反比例函数的性质求解【详解】解：反比例函数=(0)的函数值 y 随着自变量 x 的增大而增大，所以双曲线的两支分别位于第二、第四象限，而 x0，则分支在第二象限故选：B【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数=（k0）的图象是双曲线；当 k0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小；当 k0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大【题型 6 由反比例函数的性质比较大小

12、】【例 6】（2023 春河北唐山九年级校联考期中）（2023 春江苏苏州九年级统考期中）在反比例函数 y-k2+1x 图象上有三个点 A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3），若 x10 x2x3，则 y1、y2、y3 的大小关系为（用“0，所以-（2+1）0，-（2+1）0，y-k2+1x，图象在二，四象限，第二象限 y 为正，1最大，第四象限内 y 随 x 增大而增大，所以2最小，因此 y2y3y1故答案为：y2y3y1【点睛】此题考查反比例函数图像和系数 k 的关系，会数形结合是本题解题关键，学会利用图像解题【变式 6-1】（2023天津模拟预测）在反比例函数 y1的图象上

13、有三点 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），若 x10 x2x3，则下列各式中正确的是（）Ay1y3y2By3y2y1Cy1y2y3Dy2y1y3【答案】A【分析】由反比例函数的图象性质判断即可；【详解】解：反比例函数 y1的图象位于一、三象限，x0 时 y0，x0 时 y0，1最小，x0 时函数递减，0 2 3，1 3 2，故选：A【点睛】本题考查了反比例函数的性质：比例系数大于 0 时，函数的两个分支分布在一、三象限，在每个象限内，y 都随 x 的增大而减小；掌握其性质是解题关键【变式 6-2】（2023 春山东东营九年级统考期中）如图是三个反比例函数 y=1，y=2，y

14、=3 在 x 轴上方的图象，由此观察得到 k1、k2、k3 的大小关系为（）Ak1k2k3Bk2k1k3Ck3k2k1Dk3k1k2【答案】C【分析】由反比例函数的性质进行解答即可【详解】解：反比例函数 y13 的图象在第一象限，k30反比例函数 y2=2，y1=1 的图象在第二象限，k20，k10y=1 的图象据原点较远，k1k2，k3k2k1故选：C【点睛】本题考查了反比例函数的图象，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键【变式 6-3】（2023 春辽宁沈阳九年级校考阶段练习）若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数 y1图象上的点，且 y10y2y3，

15、则下列各式中正确的是（）Ax1x2x3Bx2x1x3Cx1x3x2Dx2x3x1【答案】C【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到 y111，y212，y313，然后利用 y10y2y3比较 x1、x2、x3的大小【详解】解：点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数 y1图象上的点，y111，y212，y313，y10y2y3，x1x3x2故选：C【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y（k 为常数，k0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xyk【题型 7 由反比例函数的图象求 k】【例 7】（2023 春河北邯郸

16、九年级校考期末）在平面直角坐标系中，反比例函数=的图象如图所示，则的值可以为（）A4B3C2D2【答案】B【分析】由函数图象确定 k 的取值范围【详解】解：如图所示，反比例函数=的图象位于第二、四象限，则 0又 2 2 1 (2)，即4 0，逐一判断即可得到答案【详解】解：双曲线图像在第一象限和第二象限，0，应选，故答案为：【点睛】本题考查了反比例函数图像，解题关键是掌握反比例函数=的图像是双曲线，当 0时，图像位于第一、三象限；当 3，点（3，2）在反比例函数图象上方，32，即 k6，3k 0和 0时，如图，点 A 在=2图像上，四边形的面积为 2，的面积为 4，=(0)的图像在=2图像上方

17、，=，=2，代入=中，得=，=2，=2=2，=2 =22，=12 =12 2 22=4，解得：=2（舍）或=6；当 0)的图象经过菱形的顶点 C，若菱形的面积为 20，则 k 的值为【答案】12【分析】过点作 ，由点 A 的坐标，求出菱形的边长，由菱形的面积，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长，进而求出点坐标，利用横纵坐标之积，即可求出的值【详解】解：如图，过点作 ，点 A 的坐标是(5,0)，四边形为菱形，=5，菱形的面积为 20，=20，=4，=2 2=3，(3,4)，=3 (4)=12；故答案为：12【点睛】本题考查由图形面积求值熟练掌握菱形的性质和勾股定理，求出点坐标，是解决本题的关

18、键【变式 9-2】（2023陕西西安西安市铁一中学校考模拟预测）如图，点(，3)，(，6)在反比例函数=(0)的图像上，的面积=9，则的值为【答案】12【分析】如图所示，过点 A 作 轴于 C，过点 B 作 轴于 D，先由反比例函数的性质得到=3=6，则=2，再证明梯形=9，然后由梯形面积公式求出=2，则=12【详解】解：如图所示，过点 A 作 轴于 C，过点 B 作 轴于 D，点(，3)，(，6)在反比例函数=(0)的图像上，=3=6，=2，=+=+梯形，=2，梯形=9，=，=，=6，=3，6+32 ()=9，92 =9，=2，=12，故答案为：12【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的

19、几何意义，反比例函数图象上点的坐标特点，正确作出辅助线证明梯形=9是解题的关键【变式 9-3】（2023 春四川宜宾九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，轴，分别交=2(0)，=(0)的图象于，两点，若 的面积是3，则的值为【答案】4【分析】连接、，因为 轴，可以得出=，结合反比例函数的几何意义即可求出的值【详解】解：如图所示：连接、，轴，=，=12 2+12|，又 的面积是3，12 2+12|=3，=4，又=(0)的图象上，则正方形的边长为【答案】223【分析】设的中点为 E，连接交于点 F，由对称性得到=，进而求得(1,1)，勾股定理求出=12+12=2，然后=，

20、则=2，利用+=解方程求解即可【详解】如图所示，设的中点为 E，连接交于点 F，四边形是正方形，=，边的中点正好在反比例函数=1(0)的图象上，由对称性可得，是平分线=，点 E 在反比例函数=1(0)的图象上，(1,1)，=12+12=2，=，=90，是等腰直角三角形，=，设=，=2，=90，四边形是矩形，=2，+=，+2=2，解得=23 正方形边长为：23 2故答案为：223【点睛】此题考查了反比例函数与几何综合题，正方形和矩形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点【变式 10-1】（2023 春河北九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点在函数=3(0)的图象上，

21、点在函数=(0)的图象上点的坐标为(,2)连接,若=,=90，则的值为【答案】25 2【分析】过点作 轴于点，过点作 于点，证明 ，进而由全等三角形的性质得出=,=，由点(,2)，进而得出(2+,2 )，由点,在反比例函数=(0)的图象上列出方程，求得的值，进而即可求解【详解】解：如图所示，过点作 轴于点，过点作 于点，=90，=,=90，=90 =,=点的坐标为(,2)=2，=(2+,2 ),在反比例函数=(0)的图象上，2=(2+)(2 )解得：=5 1或=5 1（舍去）=2=25 2故答案为：25 2【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，求得点的坐标是解题的关

22、键【变式 10-3】（2023 春浙江宁波九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点 A、C恰好落在双曲线=22 上，且点 O在上，交 x轴于点 E当A点坐标为(1,)时，D点的坐标为；当平分时，正方形的面积为【答案】(22,1)12【分析】先求解(1,22)，如图，连接，过作 轴于，过作 轴于，证明 ，可得=22,=1，从而可得答案；(22,1)；设(,)，同理可得：(,)，求解直线为=+2+2，可得(2+2+,0)，求解2=(2+2+)2+2=2()2(+)2+2，2=(2+2+)2+2=2()2(+)2+2，如图，过作 于，证明2=22，可得2()2(+)2+2=22()2(

23、+)2+22，可得2=22，而=22，求解2=2，2=4，从而可得答案故答案为：(22,1)，12【详解】解：(1,)在=22 上，=22，即(1,22)，如图，连接，过作 轴于，过作 轴于，=90，正方形，,=，=90=，=，=22,=1，(22,1)；设(,)，同理可得：(,)，设直线为=+，+=+=，解得：=+=2+2，直线为=+2+2，当=0时，则+2+2=0，解得：=2+2+，即(2+2+,0)，2=(2+2+)2+2=2()2(+)2+2，2=(2+2+)2+2=2()2(+)2+2，如图，过作 于，平分，=，=1212=1212，=2，2=22，2()2(+)2+2=22()2(+)2+22，整理可得：2(+)2+()2=22(+)2+()2，2=22，而=22，2=2，2=4，正方形的面积=2=()2+(+)2=2(2+2)=12故答案为：(22,1)，12【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，反比例函数的应用，勾股定理的应用，利用平方根的含义解方程，角平分线的性质，本题难度较大，属于压轴题