7.5 角度计算中的经典模型【八大题型】（北师大版）（教师版）.docx

1、专题7.5 角度计算中的经典模型【八大题型】【北师大版】【题型1 双垂直模型】1【题型2 A字模型】7【题型3 8字模型】10【题型4 飞镖模型】16【题型5 风筝模型】23【题型6 两内角角平分线模型】29【题型7 两外角角平分线模型】35【题型8 内外角角平分线模型】39【知识点1 双垂直模型】【条件】B=D=ACE=90.【结论】BAC=DCE，ACB=CED.【证明】B=D=ACE=90；BAC+ACB=90；又ECD+ACB=90；BAC=DCE同理,ACB+DCE=90，且CED+DCE=90；ACB=CED，得证.【题型1 双垂直模型】【例1】（2022春建邺区期末）如图，在Rt

2、ABC中，ACB90，D是AB上一点，且ACDB（1）求证：CDAB证明：在RtABC中，ACB90（已知）A+B90（直角三角形两锐角互余）又ACDB（已知）A+ACD90（等量代换）ADC90 （三角形内角和定理）CDAB（2）如图，若BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F，求证：AECCFE；（3）如图，若E为BC上一点，AE交CD于点F，BC3CE，AB4AD，SABC36求SCEFSADF的值；四边形BDFE的面积是21【分析】（1）根据直角三角形的性质、三角形内角和定理解答即可；（2）根据角平分线的定义得到CAEBAE，根据三角形的外角性质计算，证明结论；（3）根据三角形的面积公

3、式分别求出SACD、SACE，结合图形计算即可；连接BF，设SADFx，根据三角形的面积公式列出方程，求出x，把x代入计算得到答案【解答】（1）证明：在RtABC中，ACB90（已知）A+B90（直角三角形两锐角互余）又ACDB（已知）A+ACD90（等量代换）ADC90 （三角形内角和定理），CDAB故答案为：直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理；（2）证明：AE平分BAC，CAEBAE，AECBAE+B，CFEACD+CAE，AECCFE；（3）解：BC3CE，AB4AD，SABC36，SACD=14SABC9，SACE=13SABC12，SCEFSADFSACESACD1293；连接B

4、F，设SADFx，则SCFE3+x，AB4AD，SBDF3x，BC3CE，SBEF2（x+3）2x+6，x+3+2x+6+3x=3436，解得，x3，四边形BDFE的面积3x+2x+621，故答案为：21【变式1-1】（2022春润州区期末）已知ABC中，ABC90，BD是AC边上的高，AE平分BAC，分别交BC、BD于点E、F求证：BFEBEF【分析】根据角平分线的定义可得BAECAE，再根据等角的余角相等求出BEFAFD，然后根据对顶角相等可得BFEAFD，等量代换即可得解【解答】证明：AE平分BAC，BAECAE，BDAC，ABC90，BAE+BEFCAE+AFD90，BEFAFD，BF

5、EAFD（对顶角相等），BEFBFE【变式1-2】（2022绥棱县校级期中）（1）如图，ABC是锐角三角形，高BD、CE相交于点H，找出BHC和A之间存在何种等量关系；（2）如图，若ABC是钝角三角形，A90，高BD、CE所在的直线相交于点H，把图补充完整，并指出此时（1）中的等量关系是否仍然成立？【分析】（1）根据对顶角的性质，可得BHC与EHD的关系，根据四边形的内角和定理，可得答案；（2）根据对顶角的性质，可得BHC与EHD的关系，根据四边形的内角和定理，可得答案【解答】解：（1）由BHC与EHD是对顶角，得BHCEHD由高BD、CE相交于点H，得ADHAEH90由四边形内角和定理，得A

6、+AEH+EHD+HDA360，A+EHD360AEHHDA3609090180，BHC+A180；（2）如图，由BHC与EHD是对顶角，得BHCEHD由高BD、CE相交于点H，得ADHAEH90由四边形内角和定理，得H+AEH+EHD+HDA360，H+DAE360AEHHDA3609090180，BHC+BAC180【变式1-3】（2022春香洲区期末）如图1，线段ABBC于点B，CDBC于点C，点E在线段BC上，且AEDE（1）求证：EABCED；（2）如图2，AF、DF分别平分BAE和CDE，EH平分DEC交CD于点H，EH的反向延长线交AF于点G求证EGAF；求F的度数【提示：三角形

7、内角和等于180度】【分析】（1）利用同角的余角相等即可证明；（2）想办法证明EAG+AEG90即可解决问题；利用DFADFM+AFM=12CDE+12EAB=12（CDE+EAB）即可解决问题；【解答】解：（1）ABBC，EAB+AEB90，AEED，CED+AEB90，EABCED（2）AF平分BAE，EAG=12EAB，EH平分CED，HED=12CED，EABCED，HEDEAG，HED+AEG90，EAG+AEG90，EGA90，EGAF作FMCDABBC，CDBC，ABCD，FMAB，DFMCDF=12CDE，AFMFAB=12EAB，CDE+CED90，CDE+EAB90，DFA

8、DFM+AFM=12CDE+12EAB=12（CDE+EAB）45【知识点2 A字模型】【条件】ADE与ABC.【结论】AED+ADE=B+C.【证明】根据三角形内角和可得，AED+ADE=180-A，B+C=180-A，AED+ADE=B+C，得证.【题型2 A字模型】【例2】（2022江阴市校级月考）如图是某建筑工地上的人字架这个人字架夹角1120，那么32的度数为60【分析】根据平角的定义求出4，再利用三角形的外角的性质即可解决问题；【解答】解：如图1+4180，1120，460，32+4，32460，故答案为60【变式2-1】（2022春道里区期末）如图，ABC中A115，若图中沿虚线

9、剪去A，则1+2等于（）A180B230C290D295【分析】根据题意由三角形内角和可得出B+C65，再根据四边形的内角和可求出1+2【解答】解：A115，B+C65，1+2+B+C360，1+236065295故选：D【变式2-2】（2022武功县期末）如图，点D、E分别在ABC的边AB、AC上，连接DC、DE，在CD上取一点F，连接EF，若1+2180，3B，求证：DEBC【分析】先利用平行线的判定定理判定ABEF，利用平行线的性质定理得到3ADE，利用等量代换得到BADE，最后利用同位角相等，两直线平行判定即可【解答】证明：1+DFE180，1+2180，2DFEABEF3ADE3B，

10、BADEDEBC故答案为：240【变式2-3】（2022春新野县期末）旧知新意：我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？尝试探究：（1）如图1，DBC与ECB分别为ABC的两个外角，试探究A与DBC+ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？初步应用：（2）如图2，在ABC纸片中剪去CDE，得到四边形ABDE，1130，则2C50；（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在ABC中，BP、CP分别平分外角DBC、ECB，P与A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案P90-12A拓展提升：（4）如图4

11、，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角EBC、FCB，P与A、D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由）【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出DBC+ECB，再利用三角形内角和定理整理即可得解；（2）根据（1）的结论整理计算即可得解；（3）表示出DBC+ECB，再根据角平分线的定义求出PBC+PCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解；（4）延长BA、CD相交于点Q，先用Q表示出P，再用（1）的结论整理即可得解【解答】解：（1）DBC+ECB180ABC+180ACB360（ABC+ACB）360（180A）180+

12、A；（2）1+2180+C，130+2180+C，2C50；（3）DBC+ECB180+A，BP、CP分别平分外角DBC、ECB，PBC+PCB=12（DBC+ECB）=12（180+A），在PBC中，P180-12（180+A）90-12A；即P90-12A；故答案为：50，P90-12A；（4）延长BA、CD于Q，则P90-12Q，Q1802P，BAD+CDA180+Q，180+1802P，3602P【知识点3 8字模型】【条件】AD、BC相交于点O.【结论】A+B=C+D.(上面两角之和等于下面两角之和)【证明】在ABO中，由内角和定理：A+B+BOA=180，在CDO中，C+D+COD

13、=180，A+B+BOA=180=C+D+COD，由对顶角相等：BOA=CODA+B=C+D，得证.【题型3 8字模型】【例3】（2022春叙州区期末）如图，BP平分ABC交CD于点F，DP平分ADC交AB于点E，若A45，P40，则C的度数为（）A30B35C40D45【分析】根据三角形内角和定理，得A+ADGC+GBC，A+ADEP+PBE根据角平分线的定义，得到GBC2PBE，ADG2ADE，进而推断出A+C2P，从而解决此题【解答】解：A+ADG+AGD180，ABC+C+BGC180，A+ADG+AGDABC+C+BGC又AGDBGC，A+ADGC+GBCACGBCADG同理可得，A

14、+ADEP+PBEAPPBEADEBP平分ABC交CD于点F，DP平分ADC交AB于点E，GBC2PBE，ADG2ADEAC2（AP）A+C2P又A45，P40，C35故选：B【变式3-1】（2022春靖江市校级月考）已知，如图，线段AD、CB相交于点O，连结AB、CD，DAB和BCD的平分线AP和CP相交于点P试问P与D、B之间存在着怎样的数量关系，请说明理由【分析】根据“8字形”可得OAB+BOCD+D，1+P2+D，由角平分线的定义可得OAB21，OCD22，整理可得结论【解答】解：2PB+D，理由如下：如图，在AOB和COD中，AOBCOD，OAB+BOCD+D，在AEP和CED中，A

15、EPCED，1+P2+D，AP、CP分别是DAB和BCD的角平分线，OAB21，OCD22，2PB2DD，整理得，2PB+D【变式3-2】（2022春新野县期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后，数学老师安排了自主探究内容一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明请将下面（1）中的证明补充完整（1）已知：如图1，三角形ABC，求证：BAC+B+C180，证明：过点A作EFBC（2）如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称之为

16、“8字形”请利用小颖探究的结论直接写出A、B、C、D之间的数量关系：A+DC+B；（3）在图2的条件下，DAB和BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，得到图3，请判断P与D、B之间存在的数量关系，并说明理由【分析】（1）通过作平行线把三角形的内角转移到同一个顶点，然后利用平角的定义解决问题；（2）利用（1）的结论即可求解；（3）利用（2）的结论即可求解【解答】（1）证明：过A作EFBC，EABB，FACC，又EAB+BAC+FAC180，B+C+BAC180；（2）解：根据（1）得A+D+AODC+B+COB180，又AODBOC，A+DC+B；故答案为：A+D

17、C+B；（3）解：2PD+B根据（2）D+DAPP+DCP，PAB+PB+PCB，DAB和BCD的平分线AP和CP相交于点P，DAPPAB，DCPPCB，得：DPPB，2PD+B【变式3-3】（2022春石家庄期中）如图1至图2，在ABC中，BAC，点D在边AC所在直线上，作DE垂直于直线BC，垂足为点E；BM为ABC的角平分线，ADE的平分线交直线BC于点G特例感悟：（1）如图1，延长AB交DG于点F，若BMDG，F30解决问题：ABC60；求证：ACAB；深入探究；（2）如图2，当90，DG与BM反向延长线交于点H，用含的代数式表示BHD45-12；拓展延伸：（3）当点D在直线AC上移动时

18、，若射线DG与射线BM相交，设交点为N，直接写出BND与的关系式【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义可得答案；根据平行线的性质得DGCCBM30，再根据垂直的定义和角平分线的定义可得结论；（2）由八字模型可得，BHG和DEG中，BHDEDG+90HBG，再整理可得答案；（3）分情况讨论，分别画出对应图形，再整理即可【解答】解：（1）BMDG，ABMF30，BM为ABC的角平分线，ABC2ABM60，故答案为：60；证明：由得，CBMABM30，BMDG，DGCCBM30，DEBC，EDG60，DG平分ADE，ADF60，A180306090，ACAB；（2）由八字模型可得，BHG和D

19、EG中，BHDEDG+90HBG=12ADE+90（180-12ABC）=12（ADE+ABC）9045-12故答案为：45-12；（3）如图，由八字模型可得，ABM和NMD中，BNDABN+AMDN=12ABC+-12（90ACB）=12（ABC+ACB）+4545+12；如图，由四边形的内角和得，BND36090-12ABC-12ADE270-12（270）135+12；如图，由八字模型可得，BND+ABMADG+DAB，BND=12ADE+（180）-12ABC=12（90ACB）+（180）-12ABC135-12；综上，BND45+12或13512【知识点4 飞镖模型】【条件】四边形

20、ABDC如上左图所示.【结论】D=A+B+C.(凹四边形凹外角等于三个内角和)【证明】如上右图，连接AD并延长到E，则：BDC=BDE+CDE=(B+1)+(2+C)=B+BAC+C.本质为两个三角形外角和定理证明.【题型4 飞镖模型】【例4】（2022春三明期末）探究与思考：（1）如图，BPC是ABP的一个外角，则有结论：BPCA+B成立若点P沿着线段PB向点B运动（不与点B重合），连接PC形成图形，我们称之为“飞镖”图形，那么请你猜想“飞镖”图形中BPC与A、B、C之间存在的数量关系？并证明你的猜想；（2）利用（1）的结论，请你求出五角星（如图）中A+B+C+D+E的值，说明你的理由；（3

21、）若五角星中的点B向右运动，形成如图形状，（2）中的结论还成立吗？请从图中任选一个图形说明理由【分析】（1）连接AP并延长至F，将“飞镖”图形转化为两个三角形，再根据三角形的外角的性质进行解答；（2）两次运用三角形外角的性质得到C+E1，B+D2，相加即可得到A+B+C+D+E180；（3）根据三角形外角的性质可知，在ACG中，AGEA+C，在BDF中，DFEDBF+D，所以，A+C+DBF+D+E180【解答】解：（1）如图，BPCA+B+C，连接AP并延长至F，则有B+BAPBPF，C+CAPCPF，所以B+C+CAP+BAPBPF+CPFBPC，即B+C+ABPC，（2）如图，C+E1，

22、B+D2，则A+B+C+D+EA+1+2180（3）如图，在ACG中，AGEA+C，在BDF中，DFEDBF+D，所以，A+C+DBF+D+EAGE+DFE+E180【变式4-1】（2022春井研县期末）RtABC中，C90，点D、E分别是ABC边AC、BC上的点，点P是一动点令PDA1，PEB2，DPE（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且60，则1+2150；（2）若点P在线段AB上运动，如图（2）所示，则、1、2之间的关系为 90+；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则、1、2之间有何关系？猜想并说明理由；（4）若点P运动到ABC形外，如图（4）所示，则、1、2之

23、间有何关系？猜想并说明理由【分析】（1）由平角的定义得出，CDP1801，CEP1802，最后用四边形CDPE的内角和是360即可求得1+2（2）同（1）的方法（3）利用三角形的外角的性质即可得出结论（4）利用外角的性质和对顶角相等即可得出结论【解答】解：（1）由平角的定义知，1+CDP180，2+CEP180，在四边形CDPE中，CDP+PEC+C360，即（1801）+（1802）+C360，1801+1802+90360，1+290+当60时，1+2150故答案为：150（2）由（1）知，1+290+故答案为：90+（3）190+2+理由如下：由三角形的外角的性质知，DMC2+，1C+D

24、MC，1C+（2+），即190+2+（4）290+1理由如下：由三角形的外角的性质知，2CFE+C，1PFD+，CFEPFD，2C1，2C+1，即290+1【变式4-2】（2022春深圳校级期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）已知AB平行于CD，如a图，当点P在AB、CD外部时，BPD+DB即BPDBD，为什么？请说明理由如b图，将点P移动到AB、CD内部，以上结论是否仍然成立？若不成立，则BPD、B、D之间有何数量关系？请说明结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则BPD、B、D、BQD之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（

25、2）的结论求图d中A+B+C+D+E+F的度数【分析】（1）利用平行线的性质和三角形的外角即可；利用平行线的特点作出平行线，再利用平行线的性质即可；（2）利用三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和即可；（3）利用三角形的外角的性质把角转化到四边形CDHM中，用四边形的内角和即可【解答】解：（1）ABCD，BCOP，COPBPD+D，BBPD+D，即：BPDBD，不成立，结论：BPDB+D，理由：如图b，过点P作PGAB，BBPG，PGAB，CDAB，PGCD，DPGD，BPDBPG+DPGB+D；（2）结论：DPQB+BQD+D，理由：如图c，连接QP并延长，BPG是BPQ的外角，BPGB+B

26、QP，同理：DPGD+DQP，BPDBPG+DPGB+BQP+DQP+DB+BQD+D；（3）如图d，DHM是BFH的外角，DHMB+F，同理：CMHA+E，A+B+C+D+E+FDHM+CMH+C+D360【变式4-3】（2022吉州区期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品圆规我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（1）观察“规形图”，试探究BDC与A、B、C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：如图2，把一块三角尺XYZ放置在ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，A40，则ABX+ACX50；如图3，DC平分ADB，EC平分

27、AEB，若DAE40，DBE130，求DCE的度数；如图4，ABD，ACD的10等分线相交于点G1、G2、G9，若BDC133，BG1C70，求A的度数【分析】（1）首先连接AD并延长至点F，然后根据外角的性质，即可判断出BDCA+B+C（2）由（1）可得ABX+ACX+ABXC，然后根据A40，BXC90，求出ABX+ACX的值是多少即可由（1）可得DBEDAE+ADB+AEB，再根据DAE40，DBE130，求出ADB+AEB的值是多少；然后根据DCE=12（ADB+AEB）+DAE，求出DCE的度数是多少即可根据BG1C=110（ABD+ACD）+A，BG1C70，设A为x，可得ABD+

28、ACD133x，解方程，求出x的值，即可判断出A的度数是多少【解答】解：（1）如图（1），连接AD并延长至点F，根据外角的性质，可得BDFBAD+B，CDFC+CAD，又BDCBDF+CDF，BACBAD+CAD，BDCA+B+C；（2）由（1），可得ABX+ACX+ABXC，A40，BXC90，ABX+ACX904050，故答案为：50由（1），可得DBEDAE+ADB+AEB，ADB+AEBDBEDAE1304090，12（ADB+AEB）90245，DCE=12（ADB+AEB）+DAE45+4085；BG1C=110（ABD+ACD）+A，BG1C70，设A为x，ABD+ACD133x

29、110（133x）+x70，13.3-110x+x70，解得x63，即A的度数为63【知识点5 风筝模型】 【条件】四边形ABPC，分别延长AB、AC于点D、E，如上左图所示.【结论】PBD+PCE=A+P.【证明】如上右图，连接AP，则：PBD=PAB+APB，PCE=PAC+APC，PBD+PCE=PAB+APB+PAC+APC=BAC+BPC，得证.【题型5 风筝模型】【例5】（2022春南通期末）如图所示，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），图中1+2+3+4+5+6360【分析】由折叠可知1+2+3+4+5+6等于六边形的内角和减去（BFG+BGF）以及（

30、CHI+CIH）和（ADE+AED），再利用三角形的内角和定理即可求解【解答】解：由题意知，1+2+3+4+5+6720（BFG+BGF）（CHI+CIH）（ADE+AED）720（180B）（180C）（180A）180+（B+C+A）又BB，CC，AA，A+B+C180，1+2+3+4+5+6360故答案为：360【变式5-1】（2022春铜山区期中）（1）如图1，把ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，请直接写出1+2与A的关系：1+22A（2）如图2，把ABC分别沿DE、FG折叠，使点A落在点A处，使点B落在点B处，若1+2+3+4220，则C70（3）如图3，在锐角ABC中，BMAC于

31、点M，CNAB于点N，BM、CN交于点H，把ABC沿DE折叠使点A和点H重合，则BHC与1+2的关系是AABHC180-12（1+2）BBHC1+2CBHC90+12（1+2）DBHC90+12（4）如图4，BH平分ABC，CH平分ACB，把ABC沿DE折叠，使点A与点H重合，若1+2100，求BHC的度数【分析】（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可；（2）根据（1）的结论即可得到结果；（3）根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，AMH+ANH90+90180，进而求出A=12（1+2），即可得出答案；（4）根据三角形角平分线的性质得出HBC+HCB90-12A，

32、得出BIC的度数即可；【解答】解：（1）1+22A；理由如下：由折叠的性质得：1+2ADE180，2+2AED180，1+2ADE+2+2AED360，又A+ADE+AED180，2（A+ADE+AED）360，由得：1+22A；故答案为：1+22A；（2）由（1）可得，A=12（1+2），B=12（3+4），A+B=12（1+2+3+4）=12220110，C180AB70，故答案为：70；（3）理由：BMAC，CNAB，AMH+ANH90+90180，MHN+A180，BHCMHN180A，由（1）知1+22AA=12（1+2）BHC180-12（1+2）故选A；（4）由（1）得：1+22

33、A，得2A100，A50，HB平分ABC，HC平分ACB，HBC+HCB=12（ABC+ACB）=12（180A）90-12A，BHC180（HBC+HCB）180（90-12A）90+12A90+1250115【变式5-2】（2022春常州期中）已知ABC是一张三角形的纸片（1）如图，沿DE折叠，使点A落在边AC上点A的位置，DAE与1的之间存在怎样的数量关系？为什么？（2）如图所示，沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的内部点A的位置，A、1与2之间存在怎样的数量关系？为什么？（3）如图，沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A的位置，A、1与2之间存在怎样的数量关系？为什么？【分析

34、】（1）根据翻折的性质可得ADAE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答即可；（2）根据翻折变换的性质用1、2表示出ADE和AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（3）根据翻折的性质可得ADAE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解【解答】解：（1）点A沿DE折叠落在点A的位置，ADAE，根据三角形外角性质，1A+DAE2DAE，即12DAE；（2）点A沿DE折叠落在点A的位置，ADEADE，AEDAED，ADE=12（1801），AED=12（1802），在ADE中，A+ADE+AED180，A+12（1801）+12（1802

35、）180，整理得，2A1+2；（3）如图，点A沿DE折叠落在点A的位置，AA，根据三角形的外角性质，32+A，1A+3，1A+2+A2+2A，即12+2A【变式5-3】（2022春姜堰市期中）ABC，直线DE交AB于D，交AC于E，将ADE沿DE折叠，使A落在同一平面上的A处，A的两边与BD、CE的夹角分别记为1，2如图，当A落在四边形BDEC内部时，探索A与1+2之间的数量关系，并说明理由如图，当A落在BC下方时，请直接写出A与1+2之间的数量关系如图，当A落在AC右侧时，探索A与1，2之间的数量关系，并说明理由【分析】（1）根据图中A与DAE是相等的，再结合四边形的内角和及互补角的性质可得

36、结论2A1+2；（2）与（1）的证明过程完全相同；（3）根据图中由于折叠A与A是相等的，再两次运用三角形外角的性质可得结论2A12【解答】解：（1）2A1+2理由如下：如图，A+A+AEA+ADA360，又1+ADA+2+AEA360，A+A1+2，又AA，2A1+2；（2）2A1+2理由：A+A+AEA+ADA360，又1+ADA+2+AEA360，A+A1+2，又AA，2A1+2；（3）2A12理由如下：如图，设DA交AC于点F1A+DFA，DFAA+2，1A+A+2，A+A12，ADE是由ADE沿直线DE折叠而得，AA，2A12【知识点6 两内角角平分线模型】【条件】ABC中，BI、CI

37、分别是ABC和ACB的角平分线，且相交于点I.【结论】【证明】BI是ABC平分线，CI是ACB平分线，由ABICA的飞镖模型可知：I=A+2+3=A+=A+=.【题型6 两内角角平分线模型】【例6】（2022春靖江市校级月考）如图，ABC中，BAC50，ABC的角平分线与ACB的角平分线交于点O则BOC115【分析】利用三角形内角和定理先求出ABC+ACB的度数，再利用角平分线的定义即可求解【解答】解：BAC50，ABC+ACB18050130，ABC的角平分线与ACB的角平分线交于点O，ABOOBC=12ABC，ACOOCB=12ACB，OBC+OCB=12ABC+12ACB=12（ABC+

38、ACB）=1213065，BOC180OBCOCB18065115，故答案为：115【变式6-1】（2022春昌平区校级期中）如图，BD，CE，AF分别是ABC的角平分线，且相交于点O，OHBC于H，试问12？请说明理由【分析】根据角平分线定义得ABO=12ABC，BAO=12BAC，OCB=12ACB，再根据三角形外角性质得1ABO+BAO，则1=12（ABC+BAC），然后根据三角形内角和定理得ABC+BAC+ACB180，所以1=12（180ACB）90-12ACB；再由OHBC得OHC90，利用三角形内角和定理得290OCH90-12ACB，于是可得到12【解答】解：12理由如下：BD

39、，CE，AF分别是ABC的角平分线，ABO=12ABC，BAO=12BAC，OCB=12ACB，1ABO+BAO，1=12（ABC+BAC），ABC+BAC+ACB180，1=12（180ACB）90-12ACB，又OHBC，OHC90，290OCH90-12ACB，12【变式6-2】（2022春秀英区校级期末）如图，在ABC中，ABC，ACB的平分线BD，CE相交于点O（1）若A60，求BOC的度数；（2）求证：BOC90+12A【分析】（1）利用角平分线的性质求出2+4的度数，再由三角形的内角和定理便可求出BOC；（2）方法同（1）【解答】（1）解：ABC和ACB的平分线BD、CE相交于点

40、O，12，34，2+4=12（180A）=12（18060）60，故BOC180（2+4）18060120（2）证明：ABC和ACB的平分线BD、CE相交于点O，12，34，2+4=12（180A）90-12A，故BOC180（2+4）180（90-12A）90+12A【变式6-3】（2022春海淀区校级期中）已知ABCD，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，点G为落在直线AB和直线CD之间的一个动点（1）如图1，点G恰为BEF和DFE的角平分线的交点，则EGF90；（2）若点G恰为BEF和DFE的三等分线的交点，有如下结论：EGF一定为钝角；EGF可能为60；若EGF为直角，则EFCD其中

41、正确结论的序号为 （3）进一步探索，若EFCD，且点G不在线段EF上，记AEG，CFG，EM为AEG最接近EG的n等分线，FN是CFG最接近CF的n等分线（其中n2）直线EM、FN交于点Pn，是否存在某一正整数n，使得EPnF90？说明理由【分析】（1）根据平行线的性质定理，两直线平行同旁内角互补，以及三角形内角和定理来完成（2）根据平行线的性质定理，两直线平行同旁内角互补，以及三角形内角和定理，另外角的等分来判断（3）按题意添加辅助线，画出相应的EM、FN、点Pn，再根据平行线的性质定理，两直线平行同旁内角互补，以及三角形内角和定理、角的n等分，通过分类别讨论推测出n是否存在，存在的值【解答

42、】解：（1）ABCD，BEF+DFE180，点G恰为BEF和DFE的角平分线的交点，FEG+EFG=1218090，EGF1809090故答案为：90（2）若点G恰为BEF和DFE的三等分线的交点，FEG+EFG=13180或者FEG+EFG=23180，FEG+EFG60或FEG+EFG120，EGF18060120或EGF18012060，错误，正确，当EGF为直角，只有13BEF+23DFE90或23BEF+13DFE90，不妨假设13BEF+23DFE90，23BEF+13DFE90，13（BEFDFE）+23（DFEBEF）0，BEFDFE，BEF+DFE180，BEFDFE90，E

43、FCD，故正确故答案为：（3）不存在某一整数n，使得EPnF90，理由如下：EM为AEG最接近EG的n等分线，FN是CFG最接近CF的n等分线（其中n2），AEM=n-1n，CFM=1n当点G在EF的左侧，此时90，90，Pn必在EF的左侧，如图2所示，过点Pn作PnQAB，ABCD，PnQCD，EPnFEPnQ+FPnQAEM+CFN=n-1n+1nn-1n90+1n9090，当点G在右侧，此时90，90若n-1n90，则Pn在EF的左侧，如图3中，同理可得EPnF=n-1n+1n90若n-1n90，则Pn与F重合，不存在EPnF，舍弃若n-1n90，则Pn在EF的右侧，如图4中，过点Pn作

44、PnQAB，ABCD，PnQCD，EPnFEPnQFPnQBEM+CFN（180-n-1n）-1n，n-1n90，1n0，（180-n-1n）-1n90，即EPnF90，综上所述，不存在某一整数n，使得EPnF90【知识点7 两外角角平分线模型】【条件】ABC中，BI、CI分别是ABC的外角的角平分线，且相交于点O.【结论】.【证明】BO是EBC平分线，CO是FCB平分线，由BCO中内角和定理可知：O=180-2 -5 =180-=180-=【题型7 两外角角平分线模型】【例7】（2022平湖市模拟）如图，在ABC中，B，C的外角平分线相交于点O，若A74，则O53度【分析】根据三角形的内角和

45、定理，得ACB+ABC18074106；再根据邻补角的定义，得两个角的邻补角的和是360106254；再根据角平分线的定义，得OCB+OBC127；最后根据三角形的内角和定理，得O53【解答】解：A74，ACB+ABC18074106，BOC180-12（360106）18012753【变式7-1】（2022春新北区校级期中）（1）如图，在ABC中，ABC、ACB的平分线相交于点O，A40，求BOC的度数；（2）如图，ABC的外角平分线相交于点O，A40，求BOC的度数；（3）上面（1）、（2）两题中的BOC与BOC有怎样的数量关系若AAn，BOC与BOC是否还具有这样的关系？这个结论你是怎样

46、得到的？【分析】（1）（2）根据三角形内角和定理和角平分线定义解答；（3）由前两问提供的思路，进一步推理【解答】解：（1）在ABC中，ABC、ACB的平分线相交于点O，则1+2=12ABC+12ACB=12（ABC+ACB）=12（180A）=12（18040）70故BOC18070110；（2）因为A的外角等于18040140，ABC另外的两外角平分线相交于点O，根据三角形的外角和等于360，所以1+2=12（360140）110，BOC18011070；（3）（1）（2）中BOC+BOC110+70180，BOC与BOC互补；证明：当An时，BOC180（180n）290+n2，An，BO

47、C180360（180n）290-n2，A+A90+n2+90-n2=180，BOC与BOC互补，所以当AAn，BOC与BOC还具有互补的关系【变式7-2】（2022春江夏区期末）如图，在四边形ABCD中，ADBC，BD，延长BA至E，连接CE交AD于F，EAD和ECD的角平分线相交于点P若E60，APC70，则D的度数是（）A80B75C70D60【分析】由角平分线的定义可知，12，34，根据三角形的内角和定理，可得：E+1P+3，进而13PE70601024，同理24DP10，从而求出D的度数【解答】解：由题意得：12，34，E60，P70，在AME和PMC中，由三角形的内角和定理得：E+

48、1P+3，13PE70601024，同理：P+2D+4，24DP10，D80故选：A【变式7-3】（2022春丰县月考）如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角MBC和NDC，若BAD，BCD（1）如图1，若+105，求MBC+NDC的度数；（2）如图1，若BE与DF相交于点G，BGD45，请直接写出，所满足的数量关系式；（3）如图2，若，判断BE，DF的位置关系，并说明理由【分析】（1）利用四边形的内角和和平角的定义推导即可；（2）利用角平分线的定义，四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可；（3）利用角平分线的定义以及平行线的判定与性质即可解答【解答】解：（1）四边形ABCD的

49、内角和为360，+A+BCD360（ABC+ADC），MBC和NDC是四边形ABCD的外角，MBC180ABC，NDC180ADC，MBC+NDC180ABC+180ADC360（ABC+ADC），+105；（2）90（或90等均正确）理由：如图1，连接BD，由（1）有，MBC+NDC+，BE、DF分别平分四边形的外角MBC和NDC，CBG=12MBC，CDG=12NDC，CBG+CDG=12MBC+12NDC=12（MBC+NDC）=12（+），在BCD中，BDC+CBD180BCD180，在BDG中，BGD45，GBD+GDB+BGD180，CBG+CBD+CDG+BDC+BGD180，（

50、CBG+CDG）+（BDC+CBD）+BGD180，12（+）+180+45180，90（3）BEDF理由：如图2，过点C作CPBE，则EBCBCP，DCPBCDBCPEBC，由（1）知MBC+NDC+，MBC+NDC2，又BE、DF分别平分MBC和NDC，EBC+FDC=12（MBC+NDC），FDCEBC，又DCPEBC，FDCDCP，CPDF，又CPBE，BEDF【知识点8 内外角角平分线模型】【条件】ABC中，BP、CP分别是ABC的内角和外角的角平分线，且相交于点P.【结论】【证明】 BP是ABC平分线， CP是ACE平分线，由ABC外角定理可知：ACE=ABC+A即：21=23+A

51、 对式两边同时除以2，得：1=3+ 又在BPC中由外角定理可知：1=3+P 比较式子可知：.=.【题型8 内外角角平分线模型】【例8】（2022春榕城区期末）如图，AOB60，点M、N分别在OA、OB上运动（不与点O重合），ME平分AMN，ME的反向延长线与MNO的平分线交于点F，在M、N的运动过程中，F的度数（）A变大B变小C等于45D等于30【分析】由AMN是OMN的外角，EMN是FMN的外角，得到AMNO+ONM，EMNF+FNM，再由角平分线，得到AMN2EMN，ONM2FNM，从而得到F=12O【解答】解：AMN是OMN的外角，AMNO+ONM，EMN是FMN的外角，EMNF+FNM

52、，ME平分AMN，FN平分MNO，AMN2EMN，ONM2FNM，O2F，F30故选：D【变式8-1】（2022春海陵区校级期末）ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作ODCAOC，交边BC于点D（1）如图1，求BOD的度数；（2）如图2，作ABC外角ABE的平分线交CO的延长线于点F求证：BEOD；若F50，求BAC的度数；若FABC50，将BOD绕点O顺时针旋转一定角度（003600）后得BOD，BD所在直线与FC平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度的值【分析】（1）根据角平分线的定义，结合三角形内角和即可得到答案（2）根据角平分线的定义，结合三角形内角和即可得到答案结合角平分线的

53、性质，根据三角形外角的性质即可得到答案求出ODB的度数即可解决【解答】解：（1）三个内角的平分线交于点O，OAC+OCA=12（BAC+BCA）=12（180ABC），OBC=12ABC，AOC180（OAC+OCA）90+12ABC90+OBC，ODCBOD+OBCAOC，BOD90；（2）三个内角的平分线交于点O，EBF=12ABE=12（180ABC）90DBO，ODB90OBD，FBEODB，BFOD；三个内角的平分线交于点O，EBF=12ABE=12（BAC+ABC），FCB=12ACB，FFBEBCF=12（BAC+ACB）-12ACB=12BAC，F50，BAC2F100；FAB

54、C40，由可知，BAC80，BDOACB60，OCD30，COD30，易知BOD绕点O顺时针旋转30或210后得BOD，BD所在直线与FC平行【变式8-2】（2022平湖市模拟）如图，在ABC中，A，ABC的平分线与ABC的外角ACD的平分线交于点A1，得A12；A1BC的平分线与A1CD的平分线交于点A2，得A2；A2010BC的平分线与A2010CD的平分线交于点A2011，得A2011，则A201122011【分析】根据角平分线的定义可得A1BC=12ABC，A1CD=12ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得ACDA+ABC，A1CDA1BC+A1，整理即可求出

55、A1的度数，同理求出A2，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解【解答】解：A1B是ABC的平分线，A1C是ACD的平分线，A1BC=12ABC，A1CD=12ACD，又ACDA+ABC，A1CDA1BC+A1，12（A+ABC）=12ABC+A1，A1=12A，A，A1=2；同理可得A2=12A1=1212=22，An=2n，A2011=22011故答案为：2，22011【变式8-3】（2022春东海县期中）在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验【结论发现】小明在处理教材第43页第2

56、1题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半【结论探究】（1）如图1，在ABC中，点E是ABC内角ACB平分线CE与外角ABD的平分线BE的交点，则有E=12A请补齐下方的说理过程理由如下：因为EBC+EBD180，又因为在EBC中，EBC+E+ECB180，所以EBC+EBDEBC+E+ECB所以EBDE+ECB（理由是：等式性质）同理可得ABDA+ACB又因为BE和CE分别是ABD和ACB的角平分线，所以EBD=12ABD，ECB=12ACB所以12ABDE+12ACB即E=12ABD-12ACB=12（ABDACB）所以E=12A请直接应

57、用上面的“结论发现”解决下列问题：【简单应用】（2）如图2，在ABC中，ABC40延长BA至G，延长AC至H，已知BAC、CAG的角平分线与BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，求F的度数；【变式拓展】（3）如图3，四边形ABCD的内角BCD与外角ABG的平分线形成如图所示形状已知A150，D80，求E+F的度数；直接写出E+F与A+D的关系【分析】（1）根据解题思路完成填空即可；（2）根据角平分线的定义可得EAF90，再根据（1）的结论可得E20，最后由三角形的内角和可得答案；（3）延长BA、CD交于点M，延长BF、CE交于点H，求出M和H的度数可得答案；由的思路可得结论【解答】解：（1

58、）因为EBC+EBD180，又因为在EBC中，EBC+E+ECB180，所以EBC+EBDEBC+E+ECB所以EBDE+ECB（理由是：等式性质），同理可得ABDA+ACB又因为BE和CE分别是ABD和ACB的角平分线，所以EBD=12ABD，ECB=12ACB所以12ABDE+12ACB，即E=12ABD-12ACB=12（ABDACB），所以E=12A故答案为：ECB，ACB，ECB；（2）AE平分BAC，AF平分GAC，EAFEAC+FAC=12BAG90，由（1）得，E=12B20，F180902070；（3）延长BA、CD交于点M，延长BF、CE交于点H，BAD150，ADC80，MAD18015030，MDA18080100，M1803010050，由（1）得，H=12M25，HFE+HEF18025155，BFE+AEF360155205；由的思路可得，BFE+AEF360（180H）180+H，BAD+ADC360（180M）180+M180+2H，2（BFE+AEF）BAD+ADC+180