8.1 幂的运算【八大题型】（举一反三）（苏科版）（教师版）.docx

1、专题8.1 幂的运算【八大题型】【苏科版】【题型1 幂的基本运算】1【题型2 幂的运算法则逆用（比较大小）】2【题型3 幂的运算法则逆用（求代数式的值）】4【题型4 幂的运算法则逆用（整体代入）】5【题型5 幂的运算法则逆用（求参）】6【题型6 幂的运算法则逆用（代数式的表示）】8【题型7 幂的运算法则（混合运算）】10【题型8 幂的运算法则（新定义问题）】13【知识点1 幂的运算】同底数幂的乘法：aman=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂

2、相乘。同底数幂的除法：aman=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。任何不等于0的数的0次幂都等于1。【题型1 幂的基本运算】【例1】（2022谷城县二模）下列各选项中计算正确的是（）Am2nnn2B2（ab2）32a3b6C（m）2m4m8Dx6yx2=x3y【分析】根据实数的运算法则计算各个选项得出结论即可【解答】解：Am2nnn（m21），故A选项不符合题意；B.2（ab2）32a3b6，故B选项符合题意；C（m）2m4m6，故C选项不符合题意；D.x6yx2=x4y，故D选项不符合题意；故选：B【变式1-1】（2022秋南陵县期末）(512)2005(225)2004=（）A1

3、B512C225D(512)2003【分析】根据xaya（xy）a，进行运算即可【解答】解：原式（512125）2004512=512故选：B【变式1-2】（2022秋孝南区月考）计算x5m+3n+1（xn）2（xm）2的结果是（）Ax7m+n+1Bx7m+n+1Cx7mn+1Dx3m+n+1【分析】利用同底数幂的乘法运算、幂的乘方以及同底数幂的除法的知识求解即可求得答案【解答】解：x5m+3n+1（xn）2（xm）2x5m+3n+1x2nx2mx5m+3n+12n+2mx7m+n+1故选：B【变式1-3】（2022秋温江区校级期末）下列等式中正确的个数是（）a5+a5a10；（a）6（a）3

4、aa10；a4（a）5a20；25+2526A0个B1个C2个D3个【分析】和利用合并同类项来做；都是利用同底数幂的乘法运算法则做（注意一个负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数）【解答】解：a5+a52a5，故的答案不正确；（a）6（a）3aa10 故的答案不正确；a4（a）5a9，故的答案不正确；25+2522526故的答案正确；所以正确的个数是1，故选：B【题型2 幂的运算法则逆用（比较大小）】【例2】（2022春宣城期末）已知a8131，b2741，c961，则a、b、c的大小关系是（）AabcBbacCbcaDacb【分析】将a、b、c转化为同底数形式，即可比较大小【解答】解：a81

5、31（34）313124；b2741（33）413123；c961（32）613122；312431233122，即abc故选：A【变式2-1】（2022春晋州市期中）阅读：已知正整数a，b，c，若对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac（a1），当bc时，则有abac；若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当ac时，则有abcb，根据上述材料，回答下列问题（1）比较大小：520420，9612741；（填“”“”或“”）（2）比较233与322的大小；（3）比较312510与310512的大小注（2），（3）写出比较的具体过程【分析】（1）根据“同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当ac时

6、，则有abcb，”即可比较520，420的大小；根据“对于同底数，不同指数的两个暴ab和ac（a1），当bc时，则有abac”，即可比较961，2741的大小；（2）据“对于同底数，不同指数的两个暴ab和ac（a1），当bc时，则有abac”，即可比较233与322的大小；（3）利用作商法，即可比较312510与310512的大小【解答】解：（1）54，520420，961（32）613122，2741（33）413123，122123，9612741，故答案为：，；（2）233（23）11811，322（32）11911，89，233322；（3）312510310512=3252=925，

7、312510310512【变式2-2】（2022秋滨城区月考）已知a3231，b1641，c821，则a，b，c的大小关系是（）AabcBacbCabcDbac【分析】把a，b，c化成以2为底数的幂的形式，再进行大小比较即可【解答】解：a3231（25）312155，b1641（24）412164，c821（23）21263，cab故选：D【变式2-3】（2022春泰兴市校级月考）若a2555，b3444，c4333，d5222，试比较a、b、c、d的大小（写出过程）【分析】首先原式变形为a32111，b81111，c64111，d25111，根据指数相同，由底数的大小就可以确定数的大小【解答

8、】解：a2555，b3444，c4333，d5222，a（25）111，b（34）111，c（43）111，d（52）111，a32111，b81111，c64111，d2511181643225，81111641113211125111，bcad【题型3 幂的运算法则逆用（求代数式的值）】【例3】（2022春巨野县期中）已知：52na，9nb，则154na2b2【分析】将15写成35，根据积的乘方得到154n（35）4n34n54n，再根据幂的乘方变形即可得出答案【解答】解：9nb，（32）nb，32nb，154n（35）4n34n54n（32n）2（52n）2b2a2a2b2故答案为：a2

9、b2【变式3-1】（2022秋西青区期末）若2xa，16yb，则22x+4y的值为 a2b【分析】根据同底数幂相乘，幂的乘方的逆运算可进行求解【解答】解：22x+4y22x24y，（2x）2（24）y（2x）216y，将2xa，16yb代入，原式a2b，故答案为：a2b【变式3-2】（2022春萧山区期中）若xm5，xn=14，则x2mn（）A52B40C254D100【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则以及幂的乘方运算法则计算得出答案【解答】解：xm5，xn=14，x2mn（xm）2xn2514100故选：D【变式3-3】（2022春高新区校级月考）已知32ma，27nb求：（1）34m的

10、值； （2）33n的值； （3）34m6n的值【分析】（1）34m（32m）2，然后代入计算即可；（2）27n变形为底数为3的幂的形式即可；（3）逆用同底数幂的除法公式进行计算即可【解答】解：（1）34m（32m）2a2（2）27nb，33nb（3）34m6n34m36na2b2=a2b2【题型4 幂的运算法则逆用（整体代入）】【例4】（2022铁岭模拟）若a+3b20，则3a27b9【分析】根据幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算法则得出即可【解答】解：a+3b20，a+3b2，则3a27b3a33b3a+3b329故答案为：9【变式4-1】（2022秋淇滨区校级月考）当3m+2n30时，则8

11、m4n8【分析】先变成同底数幂的乘法，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，最后代入求出即可【解答】解：3m+2n30，3m+2n3，8m4n（23）m（22）n23m22n23m+2n238，故答案为：8【变式4-2】（2022春东台市期中）已知a2b3c2，则2a4b(18)c的值是4【分析】先将原式变形为同底数幂的形式，然后再依据同底数幂的除法和乘法法则计算即可【解答】解：原式2a22b23c2a2b3c224故答案为：4【变式4-3】（2022春昌平区期末）若5x2y20，则105x102y100【分析】根据移项，可得（5x2y）的值，根据同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案【解答】解

12、：移项，得5x2y2105x102y105x2y102100，故答案为：100【题型5 幂的运算法则逆用（求参）】【例5】（2022秋西城区校级期中）若a5（ay）3a17，则y4，若39m27m311，则m的值为 2【分析】先利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则计算a5（ay）3、39m27m，再根据底数与指数分别相等时幂也相等得方程，求解即可【解答】解：a5（ay）3a5a3ya5+3y，a5+3ya175+3y17y439m27m332m33m31+5m，31+5m3111+5m11m2故答案为：4；2【变式5-1】（2022春建湖县期中）规定a*b2a2b，例如：1*22122238，

13、若2*（x+1）64，则x的值为 3【分析】把相应的值代入新定义的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行求解即可【解答】解：2*（x+1）64，222x+126，则22+x+126，2+x+16，解得：x3故答案为：3【变式5-2】（2022秋卫辉市期末）已知2m4n1，27n3m1，则nm5【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形进而得出m，n的值即可【解答】解：2m4n1，27n3m1，2m22n2，33n3m1，故m=2n-23n=m-1，解得：m=-8n=-3，故nm5故答案为：5【变式5-3】（2022春兴化市期中）若（2m）223n84，其中m、n都是自然数，则符合条件m、n的值有

14、3组【分析】先根据幂的乘方进行计算，再根据同底数幂的乘法进行计算，求出2m+3n12，再求出二元一次方程的正整数解即可【解答】解：（2m）223n84，22m23n（23）4，22m+3n212，2m+3n12，m6-32n，m，n都是自然数，6-32n0，n0，0n4，整数n为0，1，2，3，4，当n0时，m6，当n1时，m=92，当n2时，m3，当n3时，m=32，当n4时，m0，即符合条件的m，n的值有3组，故答案为：3【题型6 幂的运算法则逆用（代数式的表示）】【例6】（2022秋崇川区校级期中）若a2m+3y=am+1x=1（1）请用含x的代数式表示y；（2）如果x4，求此时y的值【

15、分析】（1）由已知等式得出xam+1，ya2m+3，再将amx1代入ya2m+3（am）2+3，整理即可得；（2）将x4代入整理后的y关于x的代数式即可得【解答】解：（1）a2m+3y=am+1x=1，xam+1，ya2m+3，则amx1，ya2m+3（am）2+3（x1）2+3x22x+4，即yx22x+4；（2）当x4时，y1624+4168+412【变式6-1】（2022高新区校级三模）已知m89，n98，试用含m，n的式子表示7272【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则把7272变形为（89）8（98）9，再把m89，n98代入即可得出结果【解答】解：m89，n98，7272（89）7

16、2872972（89）8（98）9m8n9【变式6-2】（2022高新区校级三模）（1）若x2m+1，y3+4m，用x的代数式表示y（2）若x2m+1，y3+4m，用x的代数式表示y【分析】（1）根据幂的乘方以及完全平方公式解答即可；（2）根据幂的乘方法则解答即可【解答】解：（1）x2m+1，2mx1y3+4m3+（2m）23+（x1）23+x22x+1x22x+4；（2）x2m+1，2m=x2，y3+4m=3+(2m)2=3+(x2)2=3+x24=12+x24【变式6-3】（2022春新泰市期末）若aman（a0，a1，m、n都是正整数），则mn，利用上面结论解决下面的问题：（1）如果2x

17、2332，求x的值；（2）如果28x16x25，求x的值；（3）若x5m2，y325m，用含x的代数式表示y【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可【解答】解：（1）2x2332，2x+325，x+35，x2；（2）28x16x25，223x24x25，213x+4x25，1+x5，x4；（3）x5m2，5mx+2，y325m，y3（5m）2，y3（x+2）2x24x1【题型7 幂的运算法则（混合运算）】【例7】（2022春沭阳县校级月考）计算：（1）（a）2a3（2）（8）2013（18）2014（3）xnxn+1+x2nx（n是正整数） （ 4 ）（a2a3）4【分析】结合幂的乘方与积的

18、乘方的概念和运算法则进行求解即可【解答】解：（1）原式a2a3a2+3a5（2）原式（8）18201318（1）201318=-18（3）原式x2n+1+x2n+12x2n+1（4）原式（a5）4a20【变式7-1】（2022秋道外区校级月考）计算：（1）y3y2y （2）（x3）4x2（3）（ a4a2）3（a）5（4）（3a2）3aa5+（4a3）2【分析】（1）根据同底数幂的乘法求出即可；（2）先算乘方，再根据同底数幂的乘法求出即可；（3）先算乘方，再算乘法即可；（4）先算乘方和乘法，再合并同类项即可【解答】解：（1）y3y2yy6； （2）（x3）4x2x12x2x14；（3）（ a4

19、a2）3（a）5a12a6（a5）a23；（4）（3a2）3aa5+（4a3）227a6a6+16a612a6【变式7-2】（2022春太仓市期中）用简便方法计算下列各题（1）（45）2015（1.25）2016（2）（318）12（825）11（2）3【分析】（1）将（1.25）2016写成（-54）2015(-54)，再利用积的乘方计算即可；（2）将（318）12写成（258）11258，再运用乘法结合律与积的乘方计算即可【解答】解：（1）(45)2015(-1.25)2016=(45)2015(-54)2015(-54) 45(-54)2015（-54）1（-54）=54；（2）原式=2

20、58（258）11（825）11（8）25(258825)1125【变式7-3】（2022春漳浦县期中）计算（1）（mn）2（nm）3（nm）4 （2）（b2n）3（b3）4n（b5）n+1（3）（a2）3a3a3+（2a3）2； （4）（4am+1）32（2am）2a【分析】（1）根据同底数幂的乘法计算即可；（2）根据幂的乘方和同底数幂的除法计算即可；（3）根据幂的乘方、同底数幂的乘法和合并同类项解答即可；（4）根据积的乘方和同底数幂的除法计算即可【解答】解：（1）（mn）2（nm）3（nm）4 （nm）2+3+4，（nm）9；（2）（b2n）3（b3）4n（b5）n+1b6nb12nb5n

21、+5b6n+12n5n5b13n5；（3）（a2）3a3a3+（2a3）2 a6a6+4a64a6；（4）（4am+1）32（2am）2a64a3m+38a2m+18am+2【题型8 幂的运算法则（新定义问题）】【例8】（2022春大竹县校级期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为amanam+n（其中a0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）h（m）h（n）；比如h（2）3，则h（4）h（2+2）339，若h（2）k（k0），那么h（2n）h（2022）的结果是（）A2k+2021B2k+2022Ckn+1010D2022k【分析】根据h（m+n）h（m

22、）h（n），通过对所求式子变形，然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本题【解答】解：h（2）k（k0），h（m+n）h（m）h（n），h（2n）h（2022）h(2+2+.+2)n个h(2+2+.+2)1010个=h(2)h(2).h(2)n个h(2)h(2).h(2)1010个 knk1010kn+1010，故选：C【变式8-1】（2022兰山区二模）一般的，如果axN（a0，且a1），那么x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN例如：由于238，所以3是以2为底8的对数，记作log283；由于a1a，所以1是以a为底a的对数，记作logaa1对数作为一种运算，有如下的运算性质：如果a0，且a

23、1，M0，N0，那么（1）loga（MN）logaM+logaN；（2）logaMN=logaMlogaN；（3）logaMnnlogaM根据上面的运算性质，计算log2（238）log2165-log210的结果是 1【分析】根据所给的运算进行求解即可【解答】解：log2（238）log2165-log210log223+log28（log216log25）log2103+3（4log25）log21064+log25log2102+log25102+log2212+（1）1故答案为：1【变式8-2】（2022春泰兴市期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作ab：如果acb，那么abc例如：

24、因为329，所以392（1）根据上述规定，填空：2164，6136=-2，（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n4n34，小明给出了如下的证明：设3n4nx，则（3n）x4n，即（3x）n4n所以3x4，即34x，所以3n4n34请你尝试运用这种方法解决下列问题：证明：67+69663；猜想：（x1）n（y+1）n+（x1）n（y2）n（x1）（y2y2）（结果化成最简形式）【分析】（1）规定：如果acb，那么abc即可进行求解（2）设67x，69y，则6x+y63，易得663x+y，即可得证根据中的结论：（x1）n（y+1）n+（x1）n（y2）n（x1）（y+1）（y2）（x1）（y

25、2y2）【解答】解：（1）2416，2164，6-2=136，(-6)-2=1366136=-2，（6）136=-2，故答案为：4，6（2）设67x，69y，6x7，6y9，6x6y6x+y7963，6x+y63，663x+y，67+69663根据中的结论，得（x1）n（y+1）n+（x1）n（y2）n（x1）（y+1）（y2）（x1）（y2y2）故答案为：（x1），（y2y2）【变式8-3】（2022秋南宁期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果acb，那么（a，b）c我们叫（a，b）为“雅对”例如：238，（2，8）3我们还可以利用“雅对”定义证明等式（3，3）+（3，5）

26、（3，15）成立证明如下：设（3，3）m，（3，5）n，则3m3，3n53m3n3m+n3515（3，15）m+n，即（3，3）+（3，5）（3，15）（1）根据上述规定，填空：（2，4）2； （5，25）2； （3，27）3（2）计算：（5，2）+（5，7）（5，14），并说明理由（3）记（3，5）a，（3，6）b，（3，30）c求证：a+bc【分析】（1）根据上述规定即可得到结论；（2）设（5，2）x，（5，7）y，根据同底数幂的乘法法则即可求解；（3）根据新定义可得3a3b3c，由此可得答案【解答】解：（1）224，（2，4）2；5225，（5，25）2；3327，（3，27）3；故答案为：2，2，3（2）设（5，2）x，（5，7）y，则5x2，5y7，5x+y5x5y14，（5，14）x+y，（5，2）+（5，7）（5，14）故答案为：（5，14）；（3）（3，5）a，（3，6）b，（3，30）c，3a5，3b6，3c30，3a3b30，3a3b3c，a+bc