8.6.1 直线与直线垂直(析训练）-2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列（人教A版2019必修第二册）.docx

1、2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第二册)8.6.1直线与直线垂直一、单选题1在正方体中，与垂直的直线是（）AABBCDCD2设a，b，c是三条直线，且ca，cb，则a和b（）A平行B相交C异面D以上都有可能3如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若，AB=BC=1，则异面直线B1C1与AC所成角的大小为（）ABCD4如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD=2AB=4，EFBA，则EF与CD所成的角为（）A90B45C60D305如图，在长方体ABCDA1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（）A2条B4条C6条D8条6在

2、长方体中，则异面直线与所成的角为（）ABCD7如图，在三棱锥中，且，E，F分别是棱，的中点，则EF和AC所成的角等于A30B45C60D908如图，在矩形中，为边的中点，现将绕直线翻转至处，若为线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为（）AB2CD4二、多选题9（多选）如图，在四面体中，点分别是棱的中点，截面是正方形，则下列结论正确的是（）AB截面PQMNCD异面直线与所成的角为10一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，正确的是（）AABEFBAB与CM所成的角为60CEF与MN是异面直线DMNCD11（多选）四棱锥的所有棱长都相等，M、N分别为PA、CD的中点，下列说法正

3、确的是（）AMN与PD是异面直线B平面PBCCD12如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是（）ACC1与B1E是异面直线BC1C与AE共面CAE与B1C1是异面直线DAE与B1C1所成的角为60三、填空题13如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为_（填序号）.14如图，在四面体中，与所成的角为，、分别为、的中点，则线段的长为_15如图所示，在空间四边

4、形ABCD中，ABCD且AB与CD所成的角为30，E，F分别是BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小为_ 16如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AB，AA1AC若ABACAA11，BC，则异面直线A1C与B1C1所成的角为_四、解答题17如图，已知正方体.（1）求与所成角的大小；（2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：.18如图，已知点在圆柱的底面上，分别为，的直径，且.若圆柱的体积，回答下列问题：（1）求三棱锥的体积.（2）在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与所成的角的余弦值为？若存在，请指出点M的位置，并证明；若不存在，请说明理由.19如图，在四棱柱中，侧面都是矩

5、形，底面四边形是菱形且，若异面直线和所成的角为，试求的长.20如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角.参考答案：1C【解析】【分析】证明平面,从而得到，可得答案.【详解】连结, 则为直线与所成角,在直角三角形中，为锐角，所以与不垂直，选项D不正确.为直线与所成角,在直角三角形中，为锐角，所以与不垂直由，所以与不垂直，故选项A,B不正确.在正方体中, 平面，且平面,所以由,所以平面平面,所以故选: C.2D【解析】【分析】【详解】如下图，若，则和相交；若，则和异面；若，则和平行；所以空间中垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交

6、或异面故选：D.3A【解析】【分析】由BCB1C1，所以ACB(或它的补角)为异面直线B1C1与AC所成角在可得答案.【详解】因为BCB1C1，所以ACB(或它的补角)为异面直线B1C1与AC所成角，因为，AB=BC=1，所以，所以异面直线B1C1与AC所成角为故选：A.4D【解析】【分析】设G为AD的中点，连接GF，GE，由三角形中位线定理可得，则GFE即为EF与CD所成的角，结合AB=2，CD=4，EFAB，在GEF中，利用三角函数即可得到答案.【详解】解：设G为AD的中点，连接GF，GE则GF，GE分别为ABD，ACD的中线. ，且，且，则EF与CD所成角的度数等于EF与GE所成角的度数

7、又EF AB， EF GF则GEF为直角三角形，GF=1，GE=2，GFE=90 在直角GEF中， GEF=30.故选：D.5D【解析】【分析】根据线线之间的垂直关系判断即可.【详解】在长方体ABCDA1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条故选：D.6C【解析】连接，则为异面直线与所成的角，再在三角形中利用三角函数求出角的大小即可.【详解】解：如图，连接，因为，所以为异面直线与所成的角.因为，所以，故选：【点睛】本题考查异面直线所成的角，属于中档题.7B【解析】【分析】取BC的中点G，连接FG、EG，则为EF与AC所成的角

8、解【详解】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG，F分别是CD，AB的中点，且，为EF与AC所成的角又，又，为等腰直角三角形，即EF与AC所成的角为45故选：B【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，找角证角求角，主要是通过平移将空间角转化为平面角，再解三角形，属于基础题8A【解析】取的中点，利用中位线可证且，利用矩形，可知且，从而证得，则异面直线与所成角可转化为直线与所成角 (或其补角)，在直角可求得所成角的正切值.【详解】如图，取的中点，连接为线段的中点，且.又矩形中，为边的中点，且.，且，四边形为平行四边形， (或其补角)是异面直线与所成角在直角中，异面直线与所成角的正切值为.故选：A.

9、【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角9ABD【解析】【分析】根据线线、线面平行判定和性质逐一判断即可.【详解】解：因为截面是正方形 ，所以，又平面，平面所以平面又平面,平面平面所以因为截面，截面，所以截面，故B正确同理可证因为，所以，故A正确又

10、所以异面直线与所成的角为，故D正确和 不一定相等，故C错误故选：ABD10AC【解析】【分析】由题可先画出正方体,再利用空间中判断线线夹角的一般方法逐个选项判断即可.【详解】还原正方体,以正方形为底面有对选项A,因为,且有,故A正确.对选项B,因为,所以B错误.对选项C,由图可得显然正确.对选项D,故D错误.故选：AC11ABD【解析】【分析】画出图形，利用直线与平面平行的判定及性质判逐项判断即可【详解】由题意可知四棱锥所有棱长都相等，分别为，的中点，与是异面直线，正确；取的中点为，连接，可得，所以平面，正确；，不正确；因为，所以正确；故选：ABD12ABD【解析】【分析】根据异面直线的定义及

11、异面直线的夹角问题可一一判断.【详解】由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E共面，A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，而E为BC中点，ABC为正三角形，所以AEBC，即AE与B1C1所成为90，D错误.故选：ABD.13【解析】【分析】本题直接判断直线AM与CC1是异面直线，直线与MB1是异面直线，直线AM与DD1是异面直线，用反证法证明直线AM与BN不平行，即可得到答案.【详解】根据平面外一点与平面

12、内一点的连线与平面内不过该点的直线成异面直线，因为平面，平面，平面，直线不过点，所以直线AM与CC1是异面直线，同理直线与MB1是异面直线，直线AM与DD1是异面直线，故错误，正确；若AM与BN是平行直线，取中点，连，则，所以四边形是平行四边形，则有，这与相交矛盾，所以不平行，故错误. 故答案为：.【点睛】本题考查异面直线，是基础题.14或【解析】【分析】取的中点，连接、，求出的值，利用余弦定理可求得线段的长.【详解】取的中点，连接、，、分别为、的中点，且，同理可得且，为异面直线与所成的角或其补角，则或.在中，.若，则为等边三角形，此时，；若，由余弦定理可得.综上所述，或.故答案为：或.【点睛

13、】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角15或【解析】【详解】分析：取的中点，连接与，则与（异面直线）所成的角为，从而或，由此能求出与所成的角的大小详解：取的中点，连接与，则与（异面直线）所成的角为，因为，所以或，而，则，所以或，即异面直线与所成的角或点

14、睛：本题主要考查了异面直线所成的求解，解答中认真审题，通常通过平移把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，从而求解异面直线所成的角，着重考查了空间想象能力和推理、运算能力1660【解析】【分析】通过平移后再解三角形即可.【详解】依题意，得BCB1C1，故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角连接A1B，在A1BC中，BCA1CA1B，故A1CB60，即异面直线A1C与B1C1所成的角为60故答案为：60.17（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据正方体的性质，证出，由此得到就是与所成的角然后在正三角形中加以计算，可得与所成角的大小；（2）平行四边形中可得， 可证，又即可得证

15、；【详解】解：（1）如图，连接，由几何体是正方体，知四边形为平行四边形，所以，从而与所成的角为与所成的角，由，可知.故与所成的角为.（2）如图，连接，易知四边形为平行四边形，所以，因为为的中位线，所以.又，所以，所以.【点睛】本题在正方体中求异面直线所成角的大小，着重考查了正方体的性质、异面直线所成角的定义及求法等知识，属于中档题18（1）（2）存在，点M为AP的中点【解析】（1）根据圆柱的体积计算，根据计算，代入体积公式计算棱锥的体积；（2）根据可得，故为的中点，再证明即可【详解】解：（1）由题意，得，解得.由，得，三棱锥的体积.（2）当点为的中点时，异面直线与所成的角的余弦值为.证明如下：

16、，分别为，的中点，就是异面直线与所成的角.，.又，当点为的中点时，异面直线与所成的角的余弦值为.【点睛】本题考查棱锥的体积计算，异面直线所成的角，属于中档题19【解析】【分析】连接，得到，根据题意，得到，再求得，结合，即可求解.【详解】如图，连接，在四棱柱中，所以四边形是平行四边形，所以，所以（或其补角）为和所成的角，因为异面直线和所成的角为，所以，因为四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形，所以是等腰直角三角形，所以，因为底面四边形是菱形且，所以，所以.2045.【详解】解：因为D、E分别是VB、VC的中点，所以BCDE，因此ABC是异面直线DE与AB所成的角，又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以ABC是以ACB为直角的等腰直角三角形，于是ABC45，故异面直线DE与AB所成的角为45.