9.1 直线方程与圆的方程（精讲）（学生版）.docx

1、9.1 直线方程与圆的方程（精讲）一 直线的斜率与倾斜角1.直线的方向向量设A，B是直线上的两点，则就是这条直线的方向向量2直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角(2)范围：直线的倾斜角的取值范围为01803直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率斜率常用小写字母k表示，即ktan (90)(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)，其斜率k二直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不含垂

2、直于x轴的直线两点式(x1x2，y1y2)不含直线xx1和直线yy1截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用三直线的位置关系1两条直线的平行与垂直(1)两条直线平行若l1l2，则l1与l2的倾斜角1与2相等，由12，可得tan 1tan 2，即k1k2.因此，若l1l2，则k1k2(2)两条直线垂直设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量分别是a(1，k1)，b(1，k2)，于是l1l2abab011k1k20，即k1k21.也就是说，l1l2k1k212两条直线的交点坐标已知两条直线l1：A1xB1yC1

3、0，l2：A2xB2yC20相交，则交点P的坐标是方程组的解四三种距离点点距点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|点线距点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d线线距两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离d五圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心C(a，b)半径为r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)充要条件：D2E24F0圆心C：半径r 六 有关圆的位置关系1.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2之间存在着下列关系：(1)|MC|

4、rM在圆外，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆外；(2)|MC|rM在圆上，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆上；(3)|MC|rM在圆内，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆内2直线与圆的位置关系直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系的判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离ddrdrdr代数法：由消元得到一元二次方程根的判别式0003.圆与圆位置关系的判定(1)几何法若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系dr1r2dr1r2|r1r2|d

5、r1r2d|r1r2|(r1r2)0d|r1r2|(r1r2)(2)代数法通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断一元二次方程一斜率的求法1.定义法：若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值，一般根据ktan 求斜率；2.公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k(x1x2)求斜率二倾斜角及斜率取值范围的两种求法1.数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；2.函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可三求圆的方程的两种方法1.直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出圆的方程2

6、.待定系数法若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值四判断直线与圆的位置关系的方法1.几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断2.代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断如果0，那么直线与圆相交五圆的切线方程1.过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2.2.过圆(xa)2(y

7、b)2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.3.过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0xy0yr2.4两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆C1：x2y2D1xE1yF10，圆C2：x2y2D2xE2yF20，若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由所得，即(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.考点一 直线的倾斜角与斜率【例1-1】（2022秋吉林高三校考期末）已知点.若直线与线段相交,则的取值范围是（）ABC或D【例1-2】（2023全国高三专题练习）函数的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾

8、斜角的取值范围为（）ABCD【例1-3】（2023全国高三专题练习）已知直线的倾斜角为，则实数的值为（）ABCD【一隅三反】1（2023黑龙江哈尔滨）设点，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A或B或CD2（2023秋四川成都高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考开学考试）在等差数列中，直线过点，则直线的斜率为（）ABCD考点二 直线方程【例2-1】（2023全国高三专题练习）过点且方向向量为的直线的方程为（）ABCD【例2-2】（2023全国高三专题练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）ABC或D或【一隅三反】1（2023全国高三专题练习）已

9、知两条直线和的交点为，则过点且与直线垂直的直线的方程为（）ABCD2（2023全国高三专题练习）已知两点，则线段的中垂线的方程为 .3（2023全国高三专题练习）已知一条直线经过点A（2,），且它的倾斜角等于直线xy0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为 ；4（2023全国高三专题练习）过点且与直线平行的直线方程为 .考点三 两条直线的位置关系【例3-1】（2024四川成都成都七中校考一模）直线：与直线：平行，则（ ）ABC2D【例3-2】（2023秋河北高三校联考阶段练习）已知，则“直线与直线垂直”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件，【一隅三反】1（20

10、23山东山东省实验中学校联考模拟预测）若曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（）ABCD12（2023全国高三专题练习）若直线与垂直，则 .3（2023全国高三专题练习）已知直线和直线，若，则 考点四 三种距离【例4-1】（2023全国高三专题练习）直线，之间的距离是 .【例4-2】（2023全国高三专题练习）点，到直线l的距离分别为1和4，写出一个满足条件的直线l的方程： .【一隅三反】1（2023全国高三专题练习）当点到直线的距离取得最大值时，（）ABCD2（2023全国高三专题练习）已知两条平行直线：，：，则与间的距离为 .3（2022秋黑龙江哈尔滨高三哈尔滨七十三中校考期中）点到直线的

11、距离的最大值是 考点五 圆的方程【例5-1】（2023全国高三专题练习）（多选）已知的三个顶点为，则下列关于的外接圆圆M的说法正确的是（）A圆M的圆心坐标为B圆M的半径为C圆M关于直线xy0对称D点在圆M内【例5-2】（2023全国高三专题练习）已知点在圆C：的外部，则的取值范围是（）ABCD【一隅三反】1（2023秋云南临沧）已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（）ABCD2（2023春重庆沙坪坝）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（）ABCD3（2023宁夏银川）已知直线经过圆的圆心，其中，则的最小值为（）A7B8C9D12考点六 直线与圆的

12、位置关系【例6】（2024秋浙江高三舟山中学校联考开学考试）（多选）已知圆：，直线：，则下列说法正确的是（）A直线恒过定点B直线被圆截得的弦最长时，C直线被圆截得的弦最短时，D直线被圆截得的弦最短弦长为【一隅三反】1（2023秋云南昆明高三云南师大附中校考开学考试）（多选）设直线与圆，则下列结论正确的为（）A可能将的周长平分B若圆上存在两个点到直线的距离为1，则的取值范围为C若直线与圆交于两点，则面积的最大值为2D若直线与圆交于两点，则中点的轨迹方程为2（2023秋山西忻州高三校联考开学考试）（多选）已知直线与圆，则（）A直线l过定点B圆C的半径是4C直线l与圆C一定相交D圆C的圆心到直线l的

13、距离的最大值是3（2024秋安徽高三合肥市第八中学校联考开学考试）（多选）已知直线及圆，则（）A直线过定点B直线截圆所得弦长最小值为2C存在，使得直线与圆相切D存在，使得圆关于直线对称考点七 圆与圆的位置关系【例7-1】（2023春江苏扬州）圆与圆的位置关系为（）A相交B内切C外切D外离【例7-2】（2023全国高三专题练习）圆：与圆：公切线的条数为（）A1B2C3D4【一隅三反】1（2023春四川成都高三统考阶段练习）“”是“圆：与圆：有公切线”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2（2023安徽）（多选）点在圆：上，点在圆：上，则（）A的最小值为B的最

14、大值为C两个圆心所在的直线斜率为D两个圆公共弦所在直线的方程为3（2023湖南校联考二模）（多选）已知点在圆上，点在圆上，则（）A两圆外离B的最大值为9C的最小值为1D两个圆的一条公切线方程为考点八 圆的切线、弦长问题【例8-1】（2023秋湖南）已知圆，过点作圆C的两条切线，切点分别为A，B则四边形的面积为（）A6B12C14D18【例8-2】（2023春山东菏泽高三校考开学考试）过点与圆相切的两条直线的夹角为则（）A1BCD【一隅三反】1（2023全国高三专题练习）（多选）圆和圆的交点为A，B，则（ ）A公共弦AB所在直线的方程为B线段AB中垂线方程为C公共弦AB的长为DP为圆上一动点，则

15、P到直线AB距离的最大值为2（2023广东珠海珠海市斗门区第一中学校考三模）（多选）已知圆与圆，下列说法正确的是（）A与的公切线恰有4条B与相交弦的方程为C与相交弦的弦长为D若分别是圆上的动点，则3（2023秋广东深圳高三校联考开学考试）“”是“圆：与圆：存在公切线”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A考点九 与圆的有关最值问题【例9-1】（2023全国模拟预测）已知圆与圆交于，两点，点在圆上，则点到直线距离的最大值为（）A6BCD7【例9-2】（2023秋上海浦东新高三华师大二附中校考开学考试）已知复数满足，则的最大值为 【一隅三反】1（202

16、3全国高三专题练习）设点是圆：上的动点，定点，则的最大值为 2（2023春福建宁德高三统考阶段练习）已知圆与圆内切，则的最小值为 3（2023陕西咸阳武功县普集高级中学校考模拟预测）过直线上的任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线距离的最大值为 .考点十 对称问题【例10-1】（2023秋广东湛江高三校联考阶段练习）汉代初年成书的淮南万毕术记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”这是中国古代入民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后的光线所在的直线与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）AB或1C1D2【例10-2】（2023全国高三专题练习）在中，的内角平分线方程为，则角的正切值为 【一隅三反】1（2023全国高三专题练习）已知的顶点，一条角平分线所在直线为，则点A坐标为 .2（2023湖北黄冈浠水县第一中学校考模拟预测）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 .3（2022秋四川绵阳高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）已知圆：，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论不正确的是（）A圆关于轴的对称圆的方程为B若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线方程为C若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则D若反射光线与圆交于，两点，则面积的最大值为