9.2 椭圆（精讲）（学生版）.docx

1、9.2椭圆（精讲）一椭圆的定义1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹2.焦点：两个定点F1，F2.3.焦距：两焦点间的距离|F1F2|.4.半焦距：焦距的一半5.其数学表达式：集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若ac，则集合P为线段；(3)若ac，则集合P为空集.二椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa且bybbxb且aya顶点A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A

2、2(0，a)，B1(b，0)，B2(b，0)轴长短轴长为2b，长轴长为2a焦点F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c对称性对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点离心率e(0e1)a，b，c的关系a2b2c2一.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则1.b|OP|a；2.ac|PF|ac.二.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫作焦点三角形，r1|PF1|，r2|PF2|，F1PF2，PF1F2的面积为S，则在椭圆1(ab0)中：(1)当r1r2时，即点P的位置为短轴端点时，最大；(2)Sb2tan c|y0|，当|y0|b时，即

3、点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.三标准方程1.利用定义法求椭圆标准方程，要注意条件2a|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式.2.椭圆的标准方程的两个应用方程1与(0)有相同的离心率.与椭圆1(ab0)共焦点的椭圆系方程为1(ab0，kb20)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便.四椭圆离心率建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：1.直接求出a，c，利用离心率公式e求解2.由a与b的关系求离心率，利用变形公式e 求解3.构造a，c的齐次式离心率e的求解中可以不求出

4、a，c的具体值，而是得出a与c的关系式，从而求得e.五弦长(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长|AB|x1x2|y1y2|(k0)六直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数问题；(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点 考点一 椭圆的定义及应用【例1-1】（2023春江西高三统考阶段练习）已知椭圆为两个焦点，为椭圆上一点，若的周长为4，则（）A2B3CD【例1

5、-2】（2023河南开封统考三模）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（）A6B12CD【一隅三反】1（2023春贵州黔东南高三校考阶段练习）已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则（）A1B2C4D52（2024秋广东广州高三华南师大附中校考开学考试）椭圆的两焦点分别为 ，是椭圆上一点，当的面积取得最大值时，（）ABCD3（2023全国高三专题练习）已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，则（）ABCD考点二 椭圆的标准方程【例2】（2023秋课时练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)焦点在轴上，且经过两个点和；(2)经过点和点Q

6、.(3)两个焦点的坐标分别为和，且椭圆经过点；(4)焦点在y轴上，且经过两个点和；(5)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点【一隅三反】1（2023秋课时练习）若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（）ABCD2（2023秋高二课时练习）以下方程表示椭圆的是（）ABCD3（2023秋广东）已知是椭圆的一个焦点，则实数（）A6BC24D4（2023秋高二课时练习）F，A分别为椭圆的一个焦点和顶点，若椭圆的长轴长是6，且，则椭圆的标准方程为（）ABC1或D1或考点三 离心率【例3-1】（2023秋陕西西安高三校联考开学考试）已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（）ABCD【例3-2】（20

7、23秋安徽高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知椭圆C的左右焦点分别为，P，Q为C上两点，若，则C的离心率为（）ABCD【一隅三反】1（2022秋广东惠州高三统考阶段练习）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（）ABCD2（2023秋四川成都高三树德中学校考开学考试）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）ABCD3（2023河南校联考模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的离心率是（）ABCD考点四 直线与椭圆的位置关系【例4-1】（2023秋课时练习）若直线与椭圆有唯一公共点，则实数 【例4-2】（2022全国高三专题练习）椭圆上点P(1

8、,1)处的切线方程是 【一隅三反】1（2023春上海闵行）直线与椭圆恒有两个不同的交点，则a的取值范围是 2（2022秋江西南昌）如果直线l：与椭圆C：总有公共点，则实数a的取值范围是 .3（2023全国专题练习）直线与椭圆(m0)有且仅有一个公共点P，则m ，点P的坐标是 .考点五 弦长与中点弦的问题【例5-1】（2023春河南高三校联考阶段练习）已知椭圆，左右焦点分别为，直线与椭圆交于，两点，弦被点平分(1)求直线的方程；(2)求的面积【例5-2】（2023全国高三专题练习）已知椭圆C： ，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点P恰为弦AB的中点，则直线l的斜率是（）ABCD【一隅三反】

9、1（2023秋河南郑州高三校考开学考试）已知椭圆C：的一个焦点为，且离心率为(1)求椭圆C的方程；(2)若过椭圆C的左焦点，倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积2（2023全国高三对口高考）中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得弦的中点的横坐标为，则椭圆的方程为 考点六 直线与椭圆的综合运用【例6】（2023全国高三对口高考）中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得弦的中点的横坐标为，则椭圆的方程为 【一隅三反】1（2024海南省直辖县级单位校考模拟预测）椭圆的离心率，过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，椭圆的左顶点为，求直线与直线的斜率之积.2（2023海南海口校考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知定点 ，定直线，动点在上的射影为，且满足.(1)记点的运动轨迹为，求的方程；(2)过点作斜率不为0 的直线与交于 两点，与轴的交点为，记直线和直线的斜率分别为，求证：.