9.2.2 向量的数乘-2021-2022学年高一数学《重点•难点•热点》精讲与精练分层突破（苏教版2019必修第二册）.docx

1、9.2.2向量的数乘【考点梳理】考点一向量数乘的定义实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，其长度与方向规定如下：(1)|a|a|.(2)a (a0)的方向特别地，当0时，a0.，当1时，(1)aa.考点二向量数乘的运算律1 .(1)(a)()a.(2)()aaa.(3)(ab)ab.特别地，()aa(a)，(ab)ab.2.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数，1，2，恒有(1a2b)1a2b.考点三向量共线定理向量a (a0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使ba.【题型归纳】题型一：向量的线性运算1下列结论

2、正确的是（）A若，则或B若，则C若，则或D若，其中，则2已知，是实数，是向量，则下列命题中正确的为（）；若，则；若，则ABCD3下面给出四个命题： 对于实数m和向量,恒有m(-)=mm； 对于实数m,n和向量，恒有(m-n)=m-n； 若m = m ( m R), 则有=； 若m = n (m, n R, ), 则m = n.其中正确命题的个数是A1B2C3D4题型二：平面向量的混合运算4已知M，P，Q三点不共线，且点O满足，则下列结论正确的是（）ABCD5已知和点满足.若存在实数使得成立，则（）ABCD6如图，在中，点是的中点，设，则（）ABCD题型三：向量的线性运算的几何应用7如图，在矩形

3、中，为的中点，与交于点，则（）ABCD8若点是所在平面内的一点，点是边靠近的三等分点，且满足，则与的面积比为（）ABCD9如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（）ABCD题型四：三角形的心的向量表示10在中，则直线通过的（）A垂心B外心C重心D内心11已知O为内一点，若分别满足；(其中为中，角所对的边).则O依次是的A内心、重心、垂心、外心B外心、垂心、重心、内心C外心、内心、重心、垂心D内心、垂心、外心、重心12在中，为的重心，为上一点，且满足，则（）ABCD【双基达标】一、单选题13在中，D是AB边上的一点，且，则（）ABCD14已知O是ABC所在平面上的一点，若，则点O是ABC的（）

4、A外心B内心C重心D垂心15设是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是（）A与的方向相同B与的方向相反CD16已知点在所在平面内，且，则点依次是的（）A重心外心B重心内心C外心重心D外心内心17在等边中，点E在中线上，且，则（）ABCD18已知是的边的中点，点在上，且满足，则与的面积之比为（）ABCD194()3()等于（）ABCD20下列说法中，正确的是（）A与的方向不是相同就是相反B若，共线，则C若|2|，则2D若2，则|2|21计算：（1）；（2）.【高分突破】一：单选题22在ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且若，则（）ABC D23已知，是不共线的两个向量，若，则（）A，三

5、点共线B，三点共线C，三点共线D，三点共线24已知中，点为线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，点是直线与的交点，则（）ABCD25已知是所在平面内的一定点，动点满足，则的轨迹一定通过的（）A外心B内心C重心D垂心二、多选题26下列说法错误的是（）A若，则B若，分别表示，的面积，则C两个非零向量，若，则与共线且反向D若向量，则与一定不是共线向量27下列命题中正确的是（）A若，则BC若向量是非零向量，则与方向相同D向量与共线的充要条件是：存在唯一的实数，使28设O为所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则正确的（）AO为的外心BO为的重心CO为的垂心DO为的内心29正五角星是一

6、个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，下列关系中正确的是（）ABCD30有下列说法，其中错误的说法为A若/，则/B若，分别表示，的面积，则C两个非零向量，若，则与共线且反向D若/，则存在唯一实数使得三、填空题31如果实数p和非零向量与 满足，则向量和_(填“共线”或“不共线”)32化简_.33已知ABC中，点D在边AB上，且，设，那么等于_（结果用、表示）34如图，在中，设，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，则用、表示的式子为_.四、解答题35已知，设，(1)求作：，(2)向量，分别与有什么关系？36在四边形ABC

7、D中，已知，其中，是不共线的向量，试判断四边形ABCD的形状37如图，在中，C是AB上一点，且设，试用，表示38（1）已知，求.（2）已知向量，且，求，.39若点为的重心.（1）化简：；（2）求证：.【答案详解】1C【解析】【分析】根据向量的定义，共线，数乘的定义分别进行判断【详解】时，与可能不共线，如，满足，但没有或成立，A错；，若，则与可能不共线，B错；由向量数乘定义知C正确；时，但与可以是任意向量，不一定相等，D错故选：C2B【解析】【分析】结合平面向量的数乘运算即可判断，举出反例即可说明.【详解】对于：根据数乘向量的法则可得：，故正确；对于：根据数乘向量的法则可得：，故正确；对于：由可

8、得，当m0时也成立，所以不能推出，故错误；对于：由可得，当，命题也成立，所以不能推出mn. 故错误；故选：B3C【解析】【详解】对于根据向量的数乘满足分配律,故恒有：m(-)=mm，故正确，对于,根据向量的数乘运算律,恒有：(m-n)=m-n，故正确，对于,若m=0,不一定有=故不正确，对于,若m = n ,则(mn),由于，则m=n，故正确.综上，正确，故选C.4D【解析】根据向量的差的运算，相反向量，化简条件即可求解.【详解】由，得，则，即,故选：D5C【解析】【分析】利用向量的线性运算可求的值.【详解】由可得，故，所以，故.故选：C.【点睛】本题考查向量的线性运算，注意根据目标向量式的特

9、点对已知向量式进行合理的变形，本题属于基础题.6B【解析】【分析】连结，根据向量加法三角形法则有，由题意，再转化为，整理即可得结论.【详解】解：连结，在中，因为，点是的中点，所以,故选：B.7A【解析】【分析】结合平面图形的几何性质以及平面向量的线性运算即可求出结果.【详解】因为矩形，所以，所以，所以,又因为为的中点，所以，即，因此，从而，又因为，所以，故选：A.8C【解析】【分析】连接，延长至使，可以得到四边形是平行四边形，然后根据，所以，又，所以，进而得到答案.【详解】是所在平面内一点，连接，延长至使，连接，则四边形是平行四边形，向量和向量平行且模相等，由于，所以，又，所以，在平行四边形中

10、，则与的面积比为，故选：C.9B【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】解：因为，所以，因为，所以，所以，又，所以，故选B10D【解析】【分析】根据向量的加法的几何意义，结合菱形的对角线为相应角的平分线，得到在的角平分线上，从而作出判定.【详解】因为,，设,则，又，在的角平分线上，由于三角形中,故三角形的边上的中线，高线，中垂线都不与的角平分线重合，故经过三角形的内心，而不经过外心，重心，垂心，故选D.11B【解析】对，易得点O到点的距离相等即可判断.对，根据向量的数量积运算可求得， ，即可判断.对，根据重心的性质与数量积的运算判断即可.对，根据平面向量的线性运算可得，进而可

11、知在三个角的角平分线上即可证明.【详解】对于，因为，所以点O到点的距离相等，即点O为的外心;对于，因为，所以，所以，即，同理，即点O为的垂心;对于，因为，所以，设D为的中点，则，即点O为的重心;对于，因为，故，整理得.又，所以.因为分别为，方向的单位向量，故与的角平分线共线.同理与的角平分线共线，与的角平分线共线.故点O为的内心.故选：B【点睛】本题主要考查了根据根据平面向量的关系分析三角形四心的问题，需要根据题意结合四心的性质，利用平面向量的运算以及性质求证.属于中档题.12D【解析】根据条件，画出几何图形，即可由向量的线性运算用基底表示出【详解】根据题意,画出几何关系如下图所示:由平面向量

12、线性运算可得 故选:D【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理的应用，属于基础题.13D【解析】【分析】利用图形中线段的关系，结合平面向量的线性运算即可求出结果.【详解】故选：D.14C【解析】【分析】作BDOC，CDOB，连接OD，OD与BC相交于点G,可得，又=-，则有=-，即AG是BC边上的中线，同理，BO，CO也在ABC的中线上,即可得出结果.【详解】作BDOC，CDOB，连接OD，OD与BC相交于点G，则BG=CG(平行四边形对角线互相平分)，又，可得=-，=-，A，O，G在一条直线上，可得AG是BC边上的中线，同理，BO，CO也在ABC的中线上.点O为三角形ABC的重

13、心.故选：C.15A【解析】【分析】对选项A，根据，即可判断A正确；对选项B，当时不成立，故B错误；对选项C，当时不成立，故C错误；对选项D，当时不成立，故D错误.【详解】对选项A，因为，所以与的方向相同，故A选项正确；对选项B，当时，与的方向相同，故B选项错误；对选项C，因为，当时，故C选项错误；对选项D，当时，故D选项错误.故选：A16C【解析】【分析】由外心到三角形顶点距离相等、重心的性质：且，结合题设即可判断是的哪种心.【详解】，到的三个顶点的距离相等，故是的外心，如下图，若是三条中线的交点，是上的中线，又，故题设中的是的重心.故选：C17A【解析】【分析】利用向量的加、减以及数乘运算

14、即可求解.【详解】因为，所以.故选：A18C【解析】【分析】作出图形，确定点的位置，由此可计算得出与的面积之比.【详解】如图，由得，即，即，故，故与以为底，其高的比为，故故选：C19D【解析】【分析】根据向量的运算法则，计算化简，即可求得答案.【详解】原式4()3().故选：D20D【解析】【分析】A.由判断；B. 由判断；C. 利用平面向量共线定理判断； D. 利用平面向量共线定理判断；【详解】A. 当时，结论不成立；B. 当时，结论不成立； C. 当|2|，与2不一定共线；D. 因为2，所以|2|，故正确；故选：D21（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据向量的运算法则，展开整理，即可

15、得答案.（2）根据向量的运算法则，展开整理，即可得答案.【详解】（1）=.（2）=22A【解析】由已知得到利用，得到，利用及和平面向量的线性运算法则运算即得.【详解】由已知可得，.故选：A.【点睛】本题考查平面向量的线性运算，是基础题，只要熟练掌握平面向量的加减数乘运算法则,并注意将有关向量转化为基底向量表示，即可得解.23D【解析】由于向量、以及之间没有数量关系，所以考查，可得，即可得解.【详解】由，故，所以，三点共线.故选：D.24B【解析】设，由点是线段的中点可得，由点为线段上靠近的三等分点可得，然后可得，然后可得，即可解出答案.【详解】设，因为点是线段的中点，所以所以，所以，即因为点为

16、线段上靠近的三等分点，所以所以，因为三点共线，所以由可解得故选：B【点睛】结论点睛：若，则三点共线25B【解析】【分析】由于表示的是方向上的单位向量，作出图象，设，根据平面向量的平行四边形法则，得出故四边形为菱形，所以平分，结合条件得出，从而三点共线，可知点在的角平分线上，故动点必过三角形的内心.【详解】解：由于表示的是方向上的单位向量，如图，设，已知均为单位向量，而，故四边形为菱形，所以平分，由，而，则，所以，又与有公共点，故三点共线，所以点在的角平分线上，故动点的轨迹经过的内心.故选：B.26AD【解析】【分析】A向量平行传递性的前提是都为非零向量；B若分别是的中点，结合已知得，再过作上的

17、高，由线段比例确定高的比例关系即可；C由向量反向共线的性质即可判断；D根据共线向量的定义即可判断.【详解】A：如果都是非零向量，而，显然满足已知条件，但是结论不一定成立，错误；B：若分别是的中点，由题设有，即，所以三点共线且，过作上的高，易知，则，所以，正确； C：两个非零向量，若，则与共线且反向，正确；D：若向量，则与可能是共线向量，如相反向量，错误.故选：AD27CD【解析】【分析】利用向量的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】向量不等比较大小，故A选项错误.向量加法、减法的结果仍为向量，故B选项错误.与方向相同，C选项正确.根据向量共线的知识可知D选项正确.故选：CD28BCD

18、【解析】【分析】由三角形四心的定义，利用正弦定理，向量共线定理和平面几何的知识，即可得出结果.【详解】A.当O为三角形的外心，由正弦定理可得：，故A错误；B.当O为三角形的重心，O为中线的交点，延长AO交BC于点M，可得，所以.反之，取BC中点M，若，则，则可得A,O,M三点共线且，即A为三角形的重心.故B正确；C.当O为三角形的垂心，同理可证，即，反之也成立，故C正确；D. 当O为三角形的内心，O为三角形的角平分线，则，如图过A作CF的平行线交BE的延长线于点N，过A作BE的平行线交CF于点M，则四边形AMON为平行四边形所以，反之也成立，故D正确；故选：BCD【点睛】关键点点睛：平面向量结

19、合平面几何的知识进行推理是解题的关键.本题考查了理解辨析能力、逻辑推理能力和解决问题能力，属于难题.29AC【解析】【分析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题【详解】在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且在A中，故A正确； 在B中，故B错误；在C中，故正确；在D中，若，则，不合题意，故D错误故选：AC30AD【解析】【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 若/，则/，如果，都是非零向量，显然满足已知条件，但是结论不一定成立，所以该选项是错误的；B. 如图，D,E分别是AC,BC的中点， 所以则,所以该选项是正

20、确的；C. 两个非零向量，若，则与共线且反向，所以该选项是正确的；D. 若/，如果是非零向量，则不存在实数使得，所以该选项是错误的.故选A,D【点睛】本题主要考查平面向量的运算，考查向量的平行及性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.31共线【解析】【分析】由结合向量共线定理得出向量和的关系.【详解】由题知实数p0，则可化为，由向量共线定理可知，共线故答案为：共线32【解析】【分析】根据平面向量的加减、数乘运算，即可得出结果.【详解】原式故答案为：33【解析】【分析】根据以及进行线性运算，由此可求得的表示.【详解】因为，所以，故答案为：.34【解析】【分析】根据平面向量的线性运

21、算，以及AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，可得到，化简整理即可求出结果.【详解】因为AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，所以，所以，即，故答案为：.35(1)答案见解析(2)，【解析】【分析】（1）根据数乘向量的定义即可求解；（2）根据三角形相似的性质及数乘向量的定义即可求解.(1)解：在线段AB、AC上分别取点、，使得，在BA、CA的延长线上分别取点、，使得，则，对应的图形如下图所示：(2)解：，=， ， ，同理可得.36四边形是梯形【解析】【分析】根据共面向量基本定理可知，即可判断四边形形状.【详解】如图所示，所以，即，且.所以四边形是梯形.37【解析】【分析】根

22、据向量的加法、减法、数乘运算即可.【详解】根据向量的加法，减法及数乘运算法则可得：38（1）-5；（2）-.【解析】【分析】(1)利用向量的数乘及加减法计算即可；（2）解方程即可得出结果.【详解】解(1)原式 =+=-+.，原式=-(3+2)+(2-)= +=-5.(2)将3-=两边同乘2，得6-2=2.与5+2=相加，得11=+2，=+.=3-=3-=-.39(1)；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)延长AG交BC于D，由重心定理可得，在中用表示出即可得解；(2)利用(1)的结论，借助向量的线性运算即可得解.【详解】(1)延长AG交BC于D，如图，因点为的重心，则D是BC边中点，并且有，即，又是的中线，则有，于是得,所以；(2)由(1)知：，取所在平面内任意一点O，则有，即，亦即，所以.