9.3.1 平面向量基本定理-2021-2022学年高一数学《重点•难点•热点》精讲与精练分层突破（苏教版2019必修第二册）.docx

1、9.3.1平面向量基本定理【考点梳理】考点一：平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.2.基底：若e1，e2不共线，我们把e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.【题型归纳】题型一：基底的概念问题1（2021云南镇雄县第四中学高一）设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（）A和B和C和D和2（2021全国高一）若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（）A，B，C，D，3（2021全国高一）若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量

2、中不能作为一组基底的是（）A和B和C和D和题型二：基底表示向量问题4（2022内蒙古阿拉善盟第一中学高一期末）如图，等腰梯形中，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（）ABCD5（2021全国高一课时练习）我国东汉末数学家赵爽在周髀算经中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图中，若，则（）ABCD6（2021河北张家口高一期末）如图所示，在中，若，则（）ABCD题型三：平面向量基本定理7（2021浙江宁波市北仑中学高一期中）若是平面内两个不共线的向量，则下列说法中正确的是（）A不可

3、以表示平面内的所有向量；B对于平面中的任一向量，使的实数有无数多对；C若均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使；D若存在实数使，则.8（2021浙江金乡卫城中学高一阶段练习）在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边，交于，若，则（）ABCD9（2022辽宁东港市第二中学高一开学考试）直角三角形中，是斜边上一点，且满足，点、在过点的直线上，若，则下列结论错误的是（）A为常数B的最小值为C的最小值为D、的值可以为，题型四：平面向量基本定理求参数10（2021福建泉州科技中学高一阶段练习）如图，在ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且，连接AC，MN交于P点，若，则的值为（）AB

4、CD11（2022全国高一）如图，在中，若，则的值为（）ABCD12（2021安徽定远县育才学校高一阶段练习（理）在ABC中，若N是AC上一点，且3，点P在BN上，并满足m，则实数m的值为（）ABCD题型五：平面向量基本定理证明共线问题13（2021全国高一课时练习）已知两个非零向量与不共线，如果，求证：A，B，D三点共线14（2021江西宜春九中高一）如图所示，在中，分别是，的中点，.（1）用，表示向量，；（2）求证：，三点共线.15（2021全国高一）如图，在ABC中，D为BC的四等分点，且靠近点B，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设（1）试用a，b表示（2）证明：

5、B，E，F三点共线【双基达标】一、单选题16（2022湖南高一）在ABC中，已知D是AB边上的一点，若，则等于（）ABCD17（2022四川达州高一期末）已知，分别是的边和的中点，若，则（）ABCD18（2022辽宁高一期末）如图，在中，若，则（）ABCD19（2022湖北省天门中学高一阶段练习）在中，点满足，若存在点，使得，且，则（）AB2C1D20（2021全国高一课时练习）.如图，在中，是线段上一点，若，则实数的值为（）ABC2D21（2021全国高一课时练习）如图，在平面内将两块直角三角板接在一起，已知，记.（1）试用表示向量;（2）若，求.【高分突破】一：单选题22（2021全国高一

6、）已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（），；，；，ABCD23（2021全国高一单元测试）在给出的下列命题中，错误的是（）A设是同一平面上的四个点，若，则点必共线B若向量是平面上的两个向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的C已知平面向量满足，则为等腰三角形D已知平面向量满足，且，则是等边三角形24（2021广东汕头市潮南区陈店实验学校高一）已知ABC的边BC上有一点D满足，则可表示为（）ABCD25（2021山西晋中市新一双语学校高一阶段练习（文）下列说法不正确的是（）A为不共线向量，若，则BC若，则与不一定共线D若为平面内两个不相等向量，则平面内任意向量都

7、可以表示为26（2021安徽合肥艺术中学 高一阶段练习）如图，中，分别是，边的中点，与相交于点，则（）ABCD27（2021陕西西安电子科技大学附中高一阶段练习）平面内有三个向量，其中的夹角为，的夹角为，且，若则（）ABCD二、多选题28（2022全国高一单元测试）如图所示，已知P，Q，R分别是三边的AB，BC，CA的四等分，如果，以下向量表示正确的是（）ABCD29（2021全国高一课时练习）设是已知的平面向量，向量，在同一平面内且两两不共线，其中真命题是（）A给定向量，总存在向量，使；B给定向量和，总存在实数和，使；C给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；D若，存在单位向量，和正实

8、数，使，则30（2021广东江门市新会第二中学高一阶段练习）如果是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是（）A+ (，R)可以表示平面内的所有向量B对于平面内任一向量，使=+的实数对(，)有无穷多个C若向量1+1与2+2共线，则12-21 =0D若实数，使得，则=031（2021江苏苏州中学高一）如图1，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），若，则的取值可能是（）ABCD三、填空题32（2022湖南高一课时练习）已知(，是同一平面内的两个不共线向量)，则_.(用，表示)33（2021

9、北京市西城区教委高一阶段练习）如图，在中，点D，E分别在，上，且，若，则_.34（2021全国高一单元测试）如图，在中，若延长CB到点D，使，当点E在线段AB上移动时，设，当取最大值时，的值是_.35（2021全国高一）设，是不共线的两个向量，已知，若A，B，D三点共线，则k的值为_.36（2021全国高一）如图，C，D是AOB中边AB的三等分点，设=，=，以，为基底来表示=_，=_四、解答题37（2022辽宁东港市第二中学高一开学考试）如图所示，中，.线段相交于点.(1)用向量与表示及；(2)若，试求实数的值.38（2022全国高一课时练习）如图，已知，分别是三边，上的点，且，如果，试用基底

10、表示向量，39（2021上海高一课时练习）如图，在边长为1的正ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若m，n，m，n(0，1)设EF的中点为M，BC的中点为N（1）若A，M，N三点共线，求证：mn；（2）若m+n=1，求的最小值40（2021全国高一课时练习）如图，在中，与相交于点M，设，（1）试用，表示向量：（2）在线段上取一点E，在上取一点F，使得过点M，设，求证：【答案详解】1D【解析】如果两个向量共线便不能作为基底，从而找为共线向量的一组即可，可根据共面向量基本定理进行判断【详解】解：、是平面内所有向量的一组基底，与，不共线，可以作为基底，与，不共线，可以作为基底，与不共线，可以作

11、为基底，与，存在实数，使得，所以和共线，不可以作为基底，故选：2B【解析】【分析】不共线的向量能作为基底，逐一判断选项即可.【详解】不共线的向量能作为基底，因为，所以向量，共线，故排除A；假设，解得，无解，所以向量，不共线，故B正确；因为，所以，共线，故排除C；因为，所以，共线，故排除D，故选：B3B【解析】【分析】根据平面向量的基底的概念：平面内不共线的两个向量可以作为平面的一组基底，结合共线向量的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】因为向量，是平面内的一组基底，可得向量，为平面内不共线向量，对于A中，设，可得，此时方程组无解，所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底；对于B中，设，可得，

12、解得，所以向量和为共线向量，不能作为平面的一组基底；对于C中，设，可得，此时方程组无解，所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底；对于D中，设，可得，此时方程组无解，所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底.共线：B.4B【解析】【分析】利用平面向量的加法和减法以及平面向量的基本定理求解.【详解】由题可得：故选：B5D【解析】【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可；【详解】由题意,， 故选：D6B【解析】【分析】根据向量的加法、减法、数乘，利用基底表示所求向量即可.【详解】因为，所以，故选：B7D【解析】【分析】根据平面向量基本定理可以判定ABD，取向量+与2+2均为零向量

13、或者2+2为零向量的特殊情况，可以判定C.【详解】由平面向量基本定理可知，A错误，D正确；对于B：由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故B错误；对于C：当两个向量均为零向量时，即1=2=1=2=0时，这样的有无数个，或当1+1为非零向量，而2+2为零向量(2=2=0)，此时不存在，故C错误；故选：D.8D【解析】【分析】根据M，H，N共线，设，再根据，以，为基底表示，再根据是的中点，是的中点，以，为基底表示，然后利用向量相等求解.【详解】因为M，H，N共线，所以设，因为，所以，则，又因为是的中点，是的中点，所以，则，即，解得，即，

14、故选：D9B【解析】【分析】作出图形，由可得出，根据三点共线的结论得出，结合基本不等式可判断出各选项的正误，即可得出结论.【详解】如下图所示：由，可得，若，则，、三点共线，故A正确；所以，时，也满足，则D选项正确；，当且仅当时，等号成立，C选项成立；，当且仅当时，即，时等号成立，故B选项错误.故选：B10D【解析】【分析】由题意可得，进而可得，即可得解.【详解】，设，则即，故选：D11B【解析】【分析】求出，得，即得解.【详解】因为，所以，则.故选：B12D【解析】【分析】把用表示，利用在中，设，这样有再化为用表示，结合已知得关于的方程组，解之可得【详解】3，点P在BN上，存在实数，使，(1)

15、m又与不共线，故选：D13证明见解析【解析】【分析】由，结合已知可得，根据向量共线定理即可证结论.【详解】，根据共线向量基本定理得，与共线又与有公共点B，A，B，D三点共线，得证14（1），；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）用一组基底来表示其他向量的问题利用三角形法则进行计算即可；（2）将三点共线转化成两个向量共线即可得证.【详解】解：（1），分别是，的中点，；（2）由（1）知，与共线，又与有公共点，故，三点共线.15（1）ba，ab，ab；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）将向量a,b作为基底表示向量，要在封闭图形中去找；（2）运用向量共线定理，再强调有一个公共点即可证明.【详

16、解】(1) 由题意，得ba，a(ba)ab，ab.(2) 因为ab，a(ab)aba+b，所以，所以与共线又与有公共点B，所以B，E，F三点共线16B【解析】【分析】利用共线向量定理求解.【详解】因为D是AB边上的一点，所以A，B，D三点共线，所以，则，因为，所以，因为A，B，C不共线，所以，解得，故选：B17D【解析】【分析】根据向量的基底表示与线性运算计算.【详解】如图，因为，分别是的边和的中点， .故选：D18C【解析】【分析】利用向量运算求得，进而求得.【详解】，所以.故选：C19A【解析】【分析】由可得，又，结合已知得，从而可得结果.【详解】，可得，则.故选：A.20A【解析】【分析

17、】设，由向量的运算法则得到，又由，列出方程组，即可求解.【详解】设，因为，所以，则，又因为，所以，解得.故选：A.21（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由题易知，再结合即可得，进而即可得答案；（2）由题知，进而根据向量数量积运算求解即可.【详解】（1）因为，所以，由题意可知， ，所以，则，（2）因为，所以， ，所以22A【解析】【分析】根据平面向量共线定理得到，对于，故两向量共线；对于，故两向量共线；对于不存在实数满足，故不共线.【详解】对于，故两向量共线；对于，故两向量共线；对于，假设存在，因为，是不共线向量，故得到无解.故选：A.23B【解析】【分析】对A，化简得出，根据向量共线定理

18、可判断；对B，根据平面向量基本定理可判断；对C，根据可得，根据可得为的角平分线即可判断；对D，由平方可求得的夹角，即可判断.【详解】对A，若，则，即，则，且有公共点，故共线，故A正确；对B，根据平面向量基本定理可得若共线，则不满足题意，故B错误；对C，即，所以，又，所以为的角平分线，所以为等腰三角形，故C正确.对D，若，且，则，则，即，则，则的夹角为，同理的夹角为，的夹角为，所以是等边三角形，故D正确.综上，错误的选项为B.故选：B.24A【解析】【分析】根据向量的线性运算，由题意可得，整理即可得解.【详解】由，可得，整理可得，所以，故选：A25D【解析】【分析】对于A：根据向量加法的平行四边

19、形法则得到及矩形的判定定理的即可判断；对于B：由向量数乘的运算法则即可判断；对于C：对向量是否为零向量进行分类讨论；对于D：利用平面向量的基本定理直接判断.【详解】对于A：为不共线向量，则两向量均为非零向量，又由得以向量模长为邻边的平行四边形的两对角线长度相等，因此该平行四边形为矩形，即邻边垂直，故A正确；对于B：由向量数乘的运算法则知，B正确；对于C：若均为非零向量，因为，则共线；若为零向量，则不一定共线，故C正确；对于D：由平面向量的基本定理知，只有当非零且不共线时可以作为一组基底，平面内任意向量都可以表示为故命题才成立.故D不一定成立.故选：D.26A【解析】【分析】由重心定义和性质知，

20、结合可得结果.【详解】分别为中点，为的重心，又，.故选：A.27C【解析】【分析】如图所示：过点作，交直线于点，由题意可得，在中，由边角关系求出，由平面向量基本定理即可求解.【详解】如图所示：过点作，交直线于点，因为的夹角为，的夹角为，所以，在中，由，可得，所以，所以， ，所以.故选：C.28BC【解析】【分析】利用平面向量基本定理以三角形法则，对各个选项逐个判断求解即可.【详解】由已知可得，故D错误；因为P，Q，R分别是三边的AB，BC，CA的四等分点，由,故A错误；，故B正确；，故C正确.故选：BC29ABD【解析】【分析】利用平面向量基本定理依次判断，即得解【详解】对于选项A，给定向量和

21、，只需求得其向量差即为所求的向量，故总存在向量，使，故A正确；对于选项B，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确；对于选项C，取，无论取何值，向量都平行于x轴，而向量的模恒等于2，要使成立，根据平行四边形法则，向量的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量使等式成立，故C错误；对于选项D，又，不共线，即，即，（当且仅当时等号成立），得，故D正确 故选：ABD30ACD【解析】【分析】利用平面向量的基本定理可判断A、B、D；利用向量共线定理可判断C；从而得出答案.【详解】根据平面向量的基本定理可知A正确、B错误；根据向量共线定理，存在唯一的非

22、零实数，使得，即，消去可得，故C正确；若实数，有一个不为，不妨设，则，此时共线，这与已知矛盾，所以=0，故D正确.故选：ACD31BC【解析】【分析】画出图形，结合图形，得出求的最大值时，只需考虑图中以为起点，个顶点为终点向量，分别求出即得结论根据其对称性，可知最小值，进而可知的取值范围，即可得正确选项.【详解】如下图所示，求的最大值，只需考虑下图中以为起点，个顶点为终点向量即可，讨论如下：当，此时；当，此时；当，此时；当，此时；当，此时；当，此时；所以的最大值为，根据其对称性，可知的最小值为，则的取值范围为，由选项判断可知，选项BC正确，故选：BC.32【解析】【分析】设，可得，联立方程，即

23、可求得答案.【详解】设则，不共线，解得故故答案为：.33【解析】【分析】根据向量的加减运算化简可得.【详解】因为，则，所以，则.故答案为：.34#【解析】【分析】由向量的数量积运算求得，得，从而求得，设，由及求得，而，最大，则最大，最大值为1，由此得，从而得差【详解】，所以，所以，又，所以，设，由于在上，所以，又，即，化简得，由得，所以，（），所以，所以时，故答案为：35-8【解析】【分析】由题得,即解方程组即得解.【详解】由题得,.故答案为：36 +#+ +#+【解析】【分析】由题设图形，结合向量加法的几何意义有、，进而可得、关于，为基底的表达式.【详解】=+(-)=+，=(-)=+故答案为

24、：+，+.37(1)，；(2)，.【解析】【分析】（1）根据向量加法、数乘、相反向量的几何意义，将、用表示即可.（2）由题图知，结合已知条件求得，根据平面向量的基本定理可得的值.(1)由题设，.(2)设，所以，且，所以，则，可得，所以，故，.38，【解析】【分析】根据平面向量的线性运算表示出，.【详解】，.39（1）证明见解析 ；（2） 【解析】【分析】（1）由向量共线定理及平面向量基本定理即得；（2）由题可得，再利用模长公式及二次函数的性质即得.【详解】（1）由A，M，N三点共线，得，设 (R)，即，所以mn（2）因为m，n，EF的中点为M，BC的中点为N ,又mn1，所以，故当m时，40（1） ；（2） 证明见解析【解析】【分析】（1）设，由、三点共线以及、三点共线可得出关于与的方程组，解出这两个未知数，即可得出关于、的表达式；（2）根据条件，结合可建立等式，利用三点共线，可得出结论.【详解】（1）解：由A，M，D三点共线可知，存在实数使得由B，M，C三点共线可知，存在实数使得由平面向量基本定理知解得，所以（2）证明：若，则又因为E，M，F三点共线，所以