一元一次不等式（组）及其应用考点专训（5大热点68题）（解析版）.pdf

1、 学科网（北京）股份有限公司方程（组）与不等式（组）一元一次不等式（组）及其应用1 内容要求合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质。能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴.上表示出解集；会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集。能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题。2 学业要求结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质；能用不等式的基本性质对不等式进行变形；能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴.上表示出解集；会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集；能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的实际问题。建立

2、模型观念。3 教学提示方程与不等式的教学。应当让学生经历对现实问题中量的分析，借助用字母表达的未知数，建立两个量之间关系的过程，知道方程或不等式是现实问题中含有未知数的等量关系或不等关系的数学表达。考点一：不等式的性质典型例题 例 1：已知实数，满足3+2 2，+=2，则下列结论不正确的是（）A2+4C1 32D1 34【答案】C【分析】本题考查了不等式的性质根据不等式的性质进行计算和推理，即可求解【详解】解：3+2 2，+=2，3+2 +，2+0，A 项正确，不符合题意；由3+2 2，得3+2=+3(+)=+6 4，B 项正确，不符合题意；新课标溯源考点专训 学科网（北京）股份有限公司由+=

3、2，得=+2，代入3+2 2，得 2，0，3+2 2，2 2 3，2(1)32，C 项错误，符合题意；3+2 2，+=2，4+3 4，4 4 3，4(1)3，1 34，D 项正确，不符合题意；故选：C变式练习1已知 ，则下列不等式一定成立的是（）A C 1 +1D 1【答案】C【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项分析即可求解【详解】已知 0，A 选项错误，不符合题意；B、，B 选项错误，不符合题意；C、1 +1 +1，C 选项正确，符合题意；D、0)，D 选项错误，不符合题意；故选：C2已知 0B2 2C2 1 2 1D3 3【答案】D【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式

4、的性质逐个判断即可【详解】A不等式两边同时减，可得 0，选项一定不成立，不符合题意；B当=0时，可得2=2，选项不一定成立，不符合题意；学科网（北京）股份有限公司C不等式两边同时除以 2 再减去 1，可得2 1 3，选项一定成立，符合题意；故选：D3已知 3 B 2 4+1D5 5【答案】C【分析】此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行辨别运用不等式的性质进行逐一辨别、求解【详解】解：0，3 2，故 B 错误；4+1 4+1，故 C 正确；5 5，故 D 错误选项 C 符合题意 故选：C4下列命题正确的是（）A若 ，则 B若 ，则2 2C若2 2，则 D若 ，【答案】

5、C【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题掌握不等式的性质是解题的关键根据不等式的性质判断即可【详解】解：A、若 ，则 ，在 c 是正数时才成立，原命题是假命题；B、若 ，则2 2，原命题是假命题；C、若2 2，则 ，原命题是真命题；D、若 ，不一定成立，原命题是假命题；故选：C 学科网（北京）股份有限公司5如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为(,7)、(5,)，则点(6 ,10)在此坐标系中的第 象限【答案】四【分析】本题考查了点的坐标，不等式的性质熟练掌握点的坐标，不等式的性质是解题的关键由题意知，5，0，10 0，然后判断作答即可【详解】解：由

6、题意知，5，0，10 +1的解集是 1，求 a 的取值范围【答案】1【分析】本题考查根据不等式的解集求参数的范围，根据不等式的性质，得到+1 0，进行求解即可掌握不等式的性质，是解题的关键【详解】解：关于 x 的不等式(+1)+1的解集是 1，+1 0，1考点二：解一元一次不等式典型例题例 2：解不等式：12+1 ，并把解集在数轴上表示出来【答案】2，去括号得：+1+2 2 学科网（北京）股份有限公司移项合并得：3 3，解得：1；在数轴上表示：例 3：已知两个有理数9和 5，(1)计算：(9)+52；(2)若再添一个负整数 m，且9，5 与 m 的平均数仍小于 m，求 m 的值【答案】(1)2

7、(2)1【分析】本题主要考查了解一元一次不等式：（1）根据有理数的混合运算顺序计算，即可；（2）根据题意列出不等式，再解出不等式，即可【详解】（1）解：(9)+52=42=2；（2）解：由题意得：(9)+5+3 4+4，解得：2，m 为负整数，m 的值是1例 4：已知关于 x 的方程3 =4(1)若该方程的解满足 2，求 a 的取值范围；(2)若该方程的解是不等式 2(3 1)+4的最大整数解，求 a 的值【答案】(1)10(2)=7【分析】（1）先求出方程的解，再根据方程的解满足 2，得到关于 x 的不等式，即可求解；（2）求出不等式的解集，根据该方程的解是不等式 2(3 1)+4的最大整数

8、解，可得=1，即可求解【详解】（1）解方程3 =4，得=+43，该方程的解满足 2，学科网（北京）股份有限公司+43 2，解得 10（2）解不等式 2(3 1)+4，得 13，则最大的整数解是=1把=1代入3 =4，解得=7【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键变式练习1与5的和大于3，用不等式表示为（）A+5 3C 5 3D 5 3，故选：B2若=1是关于 x 的不等式2+2的一个整数解，则 a 的取值可以是（）A1B0C1D2【答案】A【分析】本题考查了不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是

9、解答本题的关键解不等式应根据不等式的基本性质首先解不等式求得不等式的解集，然后根据已知条件即可得到一个关于 a 的不等式，求得 a 的值【详解】解：解不等式2+2得：22，=1是不等式2+1，0，故答案为：A3按照下面给定的计算程序，当=2时，输出的结果是_；使代数式2+5的值小于 20 的最大整数 x 是（）A1，7B2，7C1，7 D2，7 学科网（北京）股份有限公司【答案】A【分析】把=2代入2+5计算，即可求出输出结果；列不等式求解可得出使2+5的值小于 20 的最大整数 x【详解】当=2时，第 1 次运算结果为2 (2)+5=1，当=2时，输出结果是 1；由题意，得：2+5 20，解

10、得 7.5，使代数式2+5的值小于 20 的最大整数 x 是 7，故选 A【点睛】本题考查了程序框图的计算，以及一元一次不等式的应用，能够理解题意是解题的关键4若不等式 的解都是不等式2 3 5的解，则的取值范围是（）A 1B 1【答案】A【分析】先求出不等式2 3 5的解集，然后根据 的解都是不等式2 3 5的解进行求解即可【详解】解：解不等式2 3 5得 1，不等式 的解都是不等式2 3 5的解，1，故选 A【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，正确求出不等式2 3 5的解集是解题的关键5若不等式3 0的正整数解是 1，2，3，则 m 的取值范围是 【答案】9 9【分析】本题考查了不等式

11、的解法和一元一次不等式整数解的应用先解不等式得到 3，再根据正整数解的情况得到3 3 4，即可求出 m 的取值范围【详解】解：解不等式3 0得 3，正整数解是 1，2，3，m 的取值范围是3 3 4，即9 12故答案为：9 12 学科网（北京）股份有限公司6解不等式：12 3，数轴见解析【分析】本题考查解一元一次不等式，用数轴表示不等式的解集，先去分母、移项、合并同类项、系数化为 1 求出不等式的解集，再在数轴上表示即可【详解】解：12 1，去分母，得1 2，移项、合并同类项，得 3，用数轴表示为：7关于 x 的不等式4+2 0与3(+1)4()(1)若两个不等式的解集相同，求 a 的值；(2

12、)若不等式的解都是不等式的解，求 a 的取值范围【答案】(1)=14(2)54【分析】本题考查不等式的解集，解一元一次不等式：（1）解不等式，根据两个不等式的解集相同，得到关于 a 的方程，解方程即可；（2）根据不等式的解都是不等式的解，得到关于 a 的不等式，解不等式即可【详解】（1）解：解不等式4+2 0，得 2，解不等式3(+1)4()，得 4+3，两个不等式的解集相同，4+3=2，解得=14；（2）解：由（1）知不等式的解集为 2，不等式的解集为 4+3，不等式的解都是不等式的解，4+3 2，解得 54 学科网（北京）股份有限公司8解不等式2133+24 1，并写出其非负整数解【答案】

13、2，非负整数解为：0，1，2【分析】本题考查求一元一次不等式的整数解根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，进而求出其非负整数解即可正确的计算，是关键【详解】解：2133+24 1去分母得，4(2 1)3(3+2)12，去括号得，8 4 9+6 12，移项得，8 9 6+4，合并同类项得，2，系数化为 1 得，2，非负整数解为：0，1，29已知有理数3，1(1)在如图所示的数轴上，标出表示这两个数的点，并分别用,表示(点 A 在点 B 的左边)(2)若|=2，在数轴上表示数的点介于点,之间；表示数的点在点右侧且到点距离为 6计算：=_，=_解关于的不等式+3 2；数轴表示见解析【分析】本

14、题考查一元一次不等式及数轴，解题的关键是一元一次不等式得根据题意画出数轴（1）直接在数轴上标出 A、B 即可；（2）根据“|=2，在数轴上表示数的点介于点,之间”，得出 m 的值；根据“表示数的点在点右侧且到点距离为 6”，得出 n 的值；将 m、n 代入不等式中，求出解，再在数轴上表示即可【详解】（1）解：如图，点 A 与点 B 即为所求作的点：（2）|=2，学科网（北京）股份有限公司=2，在数轴上表示数 m 的点，介于点 A，B 之间，=2，在 A 的右侧且到点 B 距离为 6 的点表示为 n，=1+6=7，或=1 6=5 3(舍去)故答案为：2；7由2+3 2，表示在数轴上如图所示：10

15、已知=2=3 是关于 x，y 的二元一次方程的+=7的解(1)求 a 的值(2)若 y 的取值范围如图所示，求 x 的最小值【答案】(1)=2(2)0【分析】（1）将=2=3 代入二元一次方程的+=7可得一个关于的方程，解方程即可得；（2）先求出=7 2，再根据数轴可得 7，从而可得7 2 7，解一元一次不等式即可得【详解】（1）解：将=2=3 代入二元一次方程的+=7得：2+3=7，解得=2（2）解：由（1）得：2+=7，则=7 2，由数轴得：7，则7 2 7，解得 0，所以的最小值是 0【点睛】本题考查了二元一次方程的解、解一元一次不等式等知识点，熟练掌握不等式的解法是解题关键 学科网（北

16、京）股份有限公司11约定：上方相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数例如：(1)=_，=_（用含的代数式表示）(2)若 2，求的最小整数值【答案】(1)1，2+2(2)的最小整数值为1【分析】（1）根据上方相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数即可得到答案；（2）根据题意求出=2+1，由 2得到2+1 2，解不等式求出最小整数解即可【详解】（1）解：由题意得到：=3+2=1，=2+2，故答案为：1，2+2（2）由题意得，=+=2+2 1=2+1，2，2+1 2，解得 32，的最小整数值为1【点睛】此题主要考查了整式的加减和求一元一次不等式的特殊解，理清题意和正确计算是解题的关键

17、考点三：一元一次不等式的应用问题典型例题例 5：某服装店老板预测一种应季 T 恤衫能畅销市场，就用 10000 元购进一批这种恤衫，面市后销量果然很好，又用 6000 元购进了第二批这种恤衫，所购数量是第一批购进量的一半，但每件的进价贵了 10 元(1)该服装店购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是多少元？(2)如果这两批恤衫按相同的标价销售，最后缺码的 20 件恤衫按七折优惠售出，要使两批恤衫全部售完后利润率不低于 60%（不考虑其他因素），那么每件恤衫的标价至少是多少元？（精确到个位）【答案】(1)该服装店购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是 50 元和 60 元 学科网（北京）股份有限

18、公司(2)每件恤衫的标价至少是 94 元【分析】（1）根据题意，设该服装店购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是元和(+10)元，列分式方程求解即可得到答案；（2）先求出恤衫销售总数量，设每件恤衫的标价是元，列不等式求解即可得到答案【详解】（1）解：设该服装店购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是元和(+10)元，根据题意可得：10000=2 6000+10，解得=50，经检验，=50是方程的解，且符合题意，+10=50+10=60，答：该服装店购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是 50 元和 60 元；（2）解：由题意可得两批共销售：1000050+600060=300（件），设每件恤衫的

19、标价是元，根据题意可得(300 20)+20 0.7 (10000+6000)(1+60%)，解得 12800147 87.1，根据题意取 88，答：每件恤衫的标价至少是 88 元【点睛】本题考查分式方程及不等式解实际应用题，涉及分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识，读懂题意，准确列出方程及不等式求解是解决问题的关键 例 6：为创建文明城市，促进生活垃圾分类工作的开展，某小区准备购买、两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：种垃圾桶每组的单价比种垃圾桶每组的单价少150元，且用4000元购买种垃圾桶的组数量与用5500元购买种垃圾桶的组数量相等(1)求、两种垃圾桶每组的单价；(2)若该小区物业

20、计划用不超过18000元的资金购买、两种垃圾桶共40组，则最多可以购买种垃圾桶多少组？【答案】(1)种垃圾桶每组的单价为 400 元，种垃圾桶每组的单价为 550 元(2)13 组【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式 学科网（北京）股份有限公司（1）设种垃圾桶每组的单价为元，则种垃圾桶每组的单价为(+150)元，利用数量=总价单价，结合用 4000 元购买种垃圾桶的组数量与用 5500 元购买种垃圾桶的组数量相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出种垃圾桶每组

21、的单价，再将其代入(+150)中，即可求出种垃圾桶每组的单价；（2）设购买种垃圾桶组，则购买种垃圾桶(40 )组，利用总价=单价数量，结合总价不超过 18000元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值，即可得出结论【详解】（1）设种垃圾桶每组的单价为元，则种垃圾桶每组的单价为(+150)元，根据题意得：4000=5500+150，整理得：3 1200=0，解得：=400，经检验，=400是所列方程的解，且符合题意，+150=400+150=550 答：种垃圾桶每组的单价为400元，种垃圾桶每组的单价为550元（2）设购买种垃圾桶组，则购买种垃圾桶(40 )组，根据题意得：400

22、(40 )+550 18000，解得：403，又 为正整数，的最大值为13 答：最多可以购买种垃圾桶13组 变式练习1我国古代易经记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到野果的个数若她采集到的一筐野果不少于 46 个则在第 2 根绳子上的打结数至少是 【答案】4【分析】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满五进一计数，运用了类比的方法，根据图示列式求解解题 学科网（北京）股份有限公司的关键是运用“满五进一”的进制思想 设在第 2 根绳子上的打结数是 x，根据满五进一列出不等式，然后求解即可得出答案【详解】解

23、：设在第 2 根绳子上的打结数是 x（x 为正整数），根据题意得：3+5+1 5 5 46 解得：3.6 因 x 为正整数，故 x 取最小值 4 即在第 2 根绳子上的打结数至少是 4 故答案为：4 2一次生活常识知识竞赛一共有 10 道题，答对一题得 5 分，不答得 0 分，小滨有 1 道题没答，竞赛成绩超过 30 分，则小滨至多答错了 题【答案】2【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键【详解】解：设小滨答错了道题，则答对(10 1 )道题，根据题意得：5(10 1 )2 30，解得：157，又 为自然数，的最大值为 2，小滨至多答错

24、了 2 道题 故答案为：2 3某种商品的进价为 200 元，出售时标价 300 元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但保证利润率不低于 20%，则最多可打 折【答案】8【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设可打折，根据利润率不低于 20%，列出不等式，进行求解即可正确的列出不等式，是解题的关键【详解】解：设可打折，由题意，得：300 10 200 200 20%，解得：8，最多可打8折；故答案为：8 学科网（北京）股份有限公司4某公司为了扩大经营，决定购进 8 台机器用于生产某种零件，现有 A、B 两种机器可供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产量情况如下表所示，经过预算，本

25、次购买机器所用资金不能超过 52 万元 A B 价格（万元/台）8 6 日生产量（个/台）80 60(1)该公司有哪几种购买方案？(2)若该公司购进的 8 台机器的日生产量不能低于 500 个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？【答案】(1)见解析(2)购进 1 台种机器，7 台种机器【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用正确的列出不等式，是解题的关键（1）设购进种机器台，则购进种机器(8 )台，根据本次购买机器所用资金不能超过 52 万元，列出不等式，求出非负整数解即可；（2）根据该公司购进的 8 台机器的日生产量不能低于 500 个，列出不等式，结合（1）中结果，求出的取值范围，确定方

26、案，再求出每种方案花费的费用，进行判断即可【详解】（1）解：设购进种机器台，则购进种机器(8 )台，由题意，得：8+6(8 )52，解得：2，不等式的非负整数解为：0，1，2；共有 3 种方案：方案一：购进 8 台种机器；方案二：购进 1 台种机器，7 台种机器；方案三：购进 2 台种机器，6 台种机器；（2）解：由题意，得：80+60(8 )500，解得：1，有 2 种方案可以选择：购进 1 台种机器，7 台种机器或购进 2 台种机器，6 台种机器；当购进 1 台种机器，7 台种机器时，所需费用为：8+6 7=50（万元）；当购进 2 台种机器，6 台种机器时，所需费用为：8 2+6 6=5

27、2（万元）；50 52，应购进 1 台种机器，7 台种机器 学科网（北京）股份有限公司5小明受乌鸦喝水故事的启发，利用水杯、大球和小球进行了如下操作.请根据图中给出的信息，解答下列问题：(1)放入 1 个小球水面升高_cm，放入 1 个大球水面升高_cm；(2)如果小明想在水杯中放入大球、小球共 10 个，并限定水面高不超过50cm，则至少放入多少个小球？【答案】(1)2，3(2)6个【分析】本题考查一元一次不等式的应用，找准数量关系列不等式是解题的关键（1）根据 3 个小球使水位升高了6cm，2 个大球使水位升高了6cm进行解答；（2）设应该放入 x 个大球，y 个小球，根据图示中的关系列不

28、等式，并解答【详解】（1）解：放入 1 个小球水面升高32263=2cm，放入 1 个大球水面升高32262=3cm，故答案为：2，3；（2）解：放入个小球，则：26+2+3(10 )50，解得：6，至少放入6个小球 62022年北京冬奥会前夕，某网络经销商以5元/件的价格购进了一批以冬奥会为主题的饰品进行销售，该饰品的日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间有如表所示的关系：6 6.5 7 8 180 170 160 140 (1)已知上表数据满足我们初中所学函数中的一种，请判断是何种函数并求出关于的函数表达式；学科网（北京）股份有限公司(2)当该饰品的销售单价定为多少时，日销售利润最

29、大？(3)销售一段时间后，物价部门出台新的规定：单件利润不得超过80%在新的规定下，求该饰品的最大日利润【答案】(1)一次函数，=20+300(2)10元(3)480元【分析】本题主要考查一次函数的运用，二次函数求最值的方法，掌握待定系数法求解析式，二次函数图象的增减性及最值的计算，解一元一次不等式的方法是解题的关键（1）根据表格信息，运用待定系数法即可求解；（2）根据二次函数图象的增减性，最值即可求解；（3）根据题意列一元一次不等式求解即可【详解】（1）解：一次函数，理由如下，设关于的函数表达式为=+将点(6,180)和点(8,140)代入，得：6+=1808+=140，解得=20=300，

30、关于的函数表达式为：=20+300（2）解：设日销售利润为，则=(20+300)(5)=20(10)2+500，20 02 2 的解为（）A2 1 B21 C2 1 D2 0，得：2；解不等式2 2，得：1；则不等式组的解集为2 1 故选：A（2）已知方程组 +=1 ,=3+5 的解 x 为正数，y 为非负数，给出下列结论：1 1；当=53时，=；当=2时，方程组的解也是方程+=5+的解；若0 1，则2 02 2 0，解得 3 1，3 1，故错；当=53时，=3+=43，=2 2=43，=，故正确；当=2时，+=1 =3，+=5+=3，故正确；若0 1，则0 3+1，即3 2，2 2 2 4，

31、即2 36 1 5+2 的整数解仅有 4 个，则 m 的取值范围是 【答案】1 1【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键先解不等式组，再根据仅有 4 个整数解，得出关于的不等式，求解即可【详解】解 6 1 5+2 解得：36 1 5+2 的整数解仅有 4 个，2 3 1，解得：1 2，故答案为：1 3 623 35 并把解集在数轴上表示出来 【答案】1 3 623 35 解不等式，得 1 解不等式，得 12 表示在数轴上如图：不等式组的解集为：1 0 2 0 的解集在数轴上表示正确的是（）A B C D 【答案】A【分析】本题主要考查了解不等式组、

32、在数轴上表示解集等知识点，求得不等式组的解集是解题的关键 先分别求出各不等式的解集，然后确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可【详解】解：由+1 0得：1，由 2 0得：2，则不等式组的解集为1 2 在数轴上表示如下：故选：A 2已知点 P 坐标为(+1,5 )且在第二象限，则 a 的值可能是（）A1 B2 C0 D1【答案】B【分析】本题考查了解一元一次不等式组，点的坐标，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键根据平面直角坐标系中第二象限点的坐标特征可得+1 0，然后进行计算即可解答【详解】解：点坐标为(+1,5 )且在第二象限，+1 0，解得：0+5+4343(+1)+恰有两个

33、整数解，则的取值范围是（）A12 1 B12 1 C12 0+5+4343(+1)+解不等式得：25，解不等式得：2；由题意，不等式组有解，则25 2；由于不等式组恰有两个整数解，则这两个整数解是 0 与 1，1 2 2，解得：12 1；故选：A 4在一个三角形中，如果最大角的度数是最小角的度数的 4 倍，那么最小角的取值范围是（）A20 30 B20 36 C30 36 D 36【答案】A【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，不等式组的应用，利用“最大角的度数是最小角的度数的 4 倍”建立不等式组解题即可【详解】解：设最小角为，则+4 180，30；而+4+4 180，20，则20

34、30 故选 A 5若分式1|2的值为正数，则的取值范围是（）A1 2或 2 B 2 C2 2 D2 0 1 0 或|2 0 1 0，解得：2 2.故选：C 6若关于的不等式组3+54+32+12+2 无解，且关于的分式方程52 1=32有整数解，则满足条件的整数的值的和为（）A12 B10 C9 D16【答案】A【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和解分式方程，牢记解一元一次不等式组和解分式方程的步骤是解题的关键先求得不等式组中各不等式的解集，根据不等式组无解可求得的取值范围，然后求得分式方程的解，根据解为整数，且 2 0，即可求得满足条件的所有整数的值【详解】解：3+54+32 +12+2

35、 解不等式，得 1 解不等式，得 1 因为关于的不等式组3+54+32+12+2 无解，可得：1 1 解得 2 解关于的分式方程52 1=32，得 =61 61为整数，2，61 2 0,=2或=3或=7 满足条件的所有整数的和=2+3+7=12 故选：A 学科网（北京）股份有限公司7已知关于 x，y 的方程组+3=4 =3，其中3 1，给出下列结论：=1=1 是方程组的解；当=2时，x，y 的值互为相反数；若 1，则1 4；=3 +2的最大值为11，其中正确的是（）A B C D【答案】D【分析】先利用加减消元法求出+3=4 =3，即可判断；根据 1推出0 1，则1 =1+2 3即可判断；先推

36、出=9+2，再结合 a 的取值范围即可判断【详解】解：+3=4 =3，用 得：4=4 4，解得：=1 ，将=1 代入得：+3 3=4 ，解得：=1+2，方程组的解为 =1 =1+2，把=1代入=1+2，解得=0，把=1代入=1 ，解得=2，=2不符合题意，故错误；当=2时，因为 =1 =1+2，得=3=3，所以 x，y 的值互为相反数，故正确；=1 =1+2，1，则=1 1，0 1，1 =1+2 3，故错误；=3 +2,=3+6 1+2=9+2，3 1，25 =9+2 11，S 的最大值为11，故正确；学科网（北京）股份有限公司故选：D【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组

37、，解题的关键在于能够根据题意求出 =1 =1+2 8已知方程组 +=1 =3+5 的解为正数，为非负数，给出下列结论：3 1；当=53时，=；当=2时，方程组的解也是方程+=5+的解；其中正确的是（）A B C D【答案】C【分析】解方程组，由题意建立不等式组，解得3 02 2 0，解得3 1，所以正确；=53时，=+3=43，=2 2=43，所以正确；当=2时，+=1 =3，+=5+=3，方程组的解也是方程+=5+的解，所以正确；故选：C【点睛】本题考查方程组解的定义，二元一次方程组的求解，掌握二元一次方程组的求解是解题的关键 9已知关于，的方程组+2=2+3=3 1.以下结论中正确的个数是

38、（）不论取何值，+3的值始终不变；存在有理数，使得+=0；若2 4，则 的取值范围是5 13；当=0，方程组的解也是方程 2=4的解 A1个 B2个 C3个 D4个【答案】D【分析】方程组整理后，表示出+3，即可作出判断；方程组两方程相减表示出+，使其值为0确定出的值，即可作出判断；方程组整理后，表示出 ，根据的范围确定出 的范围即可；把=0代入方程组求出解，即可作出判断 学科网（北京）股份有限公司【详解】解：方程组+2=2+3=3 1，3 得：+3=1，则不论取何值，+3的值始终不变，本选项正确；方程组+2=2+3=3 1，得：+=2 1，令+=0，得到2 1=0，解得：=12，本选项正确；

39、方程组+2=2+3=3 1，2 得：=1 ，把=1 代入得：=3 2，=3 2 1+=4 3，2 4，5 4 3 ，有 3 个整数解，则 a 的取值范围是 【答案】1 ，解不等式，得 32，学科网（北京）股份有限公司解不等式，得 2，不等式组有 3 个整数解，即：1，0，1，2 2 1，1 12，故答案为：1 12 11已知关于 x、y 的二元一次方程组2+=3+2=6（k 为常数）（1）若该方程组的解 x，y 满足+3，则 k 的取值范围为 （2）若该方程组的解 x，y 均为正整数，且 3，则该方程组的解为 【答案】1 =2=2 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组，解题的

40、关键是得出关于 k 的不等式 （1）将方程组中的两个方程相加，即可得到用含 k 的代数式表示出+，然后根据+3，即可求得 k的取值范围(2)先用含 k 的式子表示出方程组的解，再根据 x，y 均为正整数，且 3，即可得到该方程组的解【详解】解：（1）2+=3+2=6 +，得 3+3=3+6，+=+2，+3，+2 3，1；故答案为：1；（2）由2+=3+2=6 解得：=2 2=+4，,均为正整数，且 3，当=2时，=2,=2；当=1时，=0,=3，不合题意，舍去；当 1时，=2 2 0，不符合题意，都舍去，由上可得，该方程组的解为=2=2 学科网（北京）股份有限公司故答案为：=2=2 12解不等

41、式（组）：(1)5 3 1 3；(2)3523+13123(1)6 【答案】(1)12(2)1021 【分析】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到也考查了解一元一次不等式（1）移项、合并同类项，然后把 x 的系数化为 1 得到不等式的解集即可；（2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集【详解】（1）解：5 3 1 3，移项得5+3 1+3，合并得8 4，系数化为 1 得 12；（2）3523+1312 3(1)6，由得：3(3

42、 5)2(3+1)3，21 10，解得：1021，由得：3 9，解得：3，不等式组的解集为 1021 13已知关于 x，y 的方程组 2=2+3=2 3 的解满足不等式组3+0+5 0 求：满足条件的 m 的整数值 学科网（北京）股份有限公司【答案】1 和 2【分析】方法一：+得，3+=3 3，得，+5=3，根据不等式组即可求出1 3；方法二：求解二元一次方程组=67+=37，把方程组的解代入3+0+5 0 得到关于 m 的不等式组，即可求解【详解】方法一：解：2=2+3=2 3，+得，3+=3 3，3+0，3 3 0，解得：1，得，+5=3，+5 0，3 0，解得：3，1 3，则满足条件的

43、m 的整数值为 1 和 2；方法二：2=2+3=2 3，解得：=67+=37，把=67+=37 代入3+0+5 0 得：3 3 0 3 0，解得：1 0的解题思路：由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得：1 0+2 0 或 1 0+2 1，解不等式组得 0的解集为 1或 2.请利用上面的解题思路解答下列问题：(1)求出(1)(+2)0的解集【答案】(1)2 3或 0+2 0 或 1 0，解不等式组，无解；解不等式组，2 1.(1)(+2)0的解集为2 0+2 0 或 3 0+2 3；解不等式组，0的解集为 3或 2.【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是

44、解决本题的关键 考点五：一元一次不等式组的应用典型例题例 9：学校准备安装校园人脸识别系统，计划购买人脸识别通道闸机和门禁机已知通道闸机的单价是门禁机单价的 3 倍，购买 2 台通道闸机和 4 台门禁机共需 7500 元(1)求通道闸机和门禁机的单价(2)已知该校园内至少需要安装 10 台通道闸机，若购买通道闸机和门禁机共 40 台，且费用不超过 48000 元，请列出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少资金多少元？学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)通道闸机的单价为 2250 元，门禁机的单价为 750 元(2)方案 1：购买道闸机 10 台，购买门禁机 30 台；方案 2：购

45、买道闸机 11 台，购买门禁机 29 台；方案 3：购买道闸机 12 台，购买门禁机 28 台其中方案 1 所需资金最少，为 45000 元【分析】（1）设门禁机的单价为元，则通道闸机的单价为3元，根据题意列方程并求解，即可获得答案；（2）设购买道闸机台，则购买门禁机(40 )台，根据题意列出关于的一元一次不等式组并求解，结合实际确定的值，即可列出可能方案，并分别计算每一种方案的费用，比较即可获得答案【详解】（1）解：设门禁机的单价为元，则通道闸机的单价为3元，根据题意，可得2 3+4=7500，解得=750元，则3=2250元 答：通道闸机的单价为 2250 元，门禁机的单价为 750 元；

46、（2）解：设购买道闸机台，则购买门禁机(40 )台，根据题意，可得：102250+750(40 )48000，解得10 12，为正整数，可以为 10，11，12，共有 3 种购买方案：方案 1：购买道闸机 10 台，购买门禁机 30 台，费用为10 2250+30 750=45000元；方案 2：购买道闸机 11 台，购买门禁机 29 台，费用为11 2250+29 750=46500元；方案 3：购买道闸机 12 台，购买门禁机 28 台，费用为12 2250+28 750=48000元，45000 46500 200，所以摊位个数越多，费用越大 当摊位有 25 个时，费用最大为25 360

47、+(100 25)200=24000元 学科网（北京）股份有限公司4近两年国际局势出现了一些不安因素，为保障国家安全，需要将、三地的军用物资全部运往、两地，已知、三地的军用物资分别有 100 吨、100 吨、80 吨，且运往地的数量比运往地的数量的2 倍少 20 吨(1)这批军用物资运往、两地的数量各是多少？(2)若由地运往地的物资为 60 吨，地运往地的物资为吨，地运往地的物资数量少于地运往地的物资数量的 2 倍，且地运往地的物资不超过 25 吨，则、三地的物资运往、两地的方案有哪几种？(3)如果将、三地的军用物资运往、两地的费用如下表：地 地 地 运往地的费用（元/吨）220 200 20

48、0 运往地的费用（元/吨）250 220 210 那么在（2）的条件下，运送这批物资的总费用是多少？【答案】(1)180、100(2)5 种(3)60390或60380或60370或60360或60350 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用等知识，正确找出题中的等量关系和不等关系是解题的关键（1）设出运往地的数量为未知数，从而表示出运往地的数量，进一步列出方程并求解即可；（2）根据题意得到一元一次不等式组，再找出符合条件的整数值即可；（3）将总费用表示出来，分别将可取的值代入即可求解【详解】（1）解：设运往地的数量为吨，则运往地的数量为(2 20)吨，依题意有：2

49、20+=100+100+80，解得：=100,2 20=180，答：运往地的数量为180吨，运往地的数量为100吨；（2）由题意知，地运往地的数量为 x 吨，地运往地、地的数量分别为(180 60 )吨、(20)吨，地运往地的数量为20吨，则：120 2 20 25，解得40 45；学科网（北京）股份有限公司为整数，故有以下 5 种方案：地 地 地 第一种 41 79 60 59 21 20 第二种 42 78 60 58 22 20 第三种 43 77 60 57 23 20 第四种 44 76 60 56 24 20 第五种 45 75 60 55 25 20（3）总费用=220+250

50、(100 )+200 (120 )+220 (20)+200 60+210 20，即=60800 10，当=41时，=60800 10=60800 10 41=60390（元）；当=42时，=60800 10=60800 10 42=60380（元）；当=43时，=60800 10=60800 10 43=60370（元）；当=44时，=60800 10=60800 10 44=60360（元）；当=45时，=60800 10=60800 10 41=60350（元）5为响应政府低碳生活，绿色出行的号召，某公交公司决定购买一批节能环保的新能源公交车，计划购买型和型两种公交车，其中每辆的价格、年

51、载客量如表：型 型 价格（万元/辆）学科网（北京）股份有限公司年载客量（万人/年）60 100 若购买型公交车 1 辆，型公交车 2 辆，共需 400 万元；若购买型公交车 2 辆，型公交车 1 辆，共需350 万元(1)求，的值；(2)计划购买型和型两种公交车共 10 辆，如果该公司购买型和型公交车的总费用不超过 1200 万元，且确保这 10 辆公交车在该线路的年均载客总和不少于 640 万人次，问有几种购买方案?(3)在（2）的条件下，请用一次函数的性质说明哪种方案使得购车总费用最少?最少费用是多少万元?【答案】(1)的值为 100，的值为 150；(2)有 4 购买方案(3)购车总费用

52、最少的方案是购买型公交车 9 辆，购买型公交车 1 辆，购车总费用为 1050 万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用和一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；正确列出函数解析式（1）利用总价=单价数量，结合“购买型公交车 1 辆，型公交车 2 辆，共需 400 万元；若购买型公交车 2 辆，型公交车 1 辆，共需 350 万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买型公交车辆，则购买型公交车(10 )辆，根据“购买型和型公交车的总费用不超过 1200万元，且确

53、保这 10 辆公交车在该线路的年均载客总和不少于 640 万人次”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数，即可得出的值，得出购买方案；（3）设购车总费用为万元，根据总费用=购买两种公交车费用之和列出函数解析式，由函数的性质得出最值【详解】（1）解：依题意得：+2=4002+=350，解得：=100=150，答：的值为 100，的值为 150；（2）解：设购买型公交车辆，则购买型公交车(10 )辆，依题意得：100+150(10 )120060+100(10 )640 解得：6 9 又 为整数 有 4 购买方案；学科网（北京）股份有限公司（3）解：设购车总费用为万元

54、，则=100+150(10 )=50+1500，（6 9且为整数）50 0，随的增大而减小 当=9时，最小，最小值为50 9+1500=1050（元），购车总费用最少的方案是购买型公交车 9 辆，购买型公交车 1 辆，购车总费用为 1050 万元 62023 年暑期某地发生水灾，防洪救援部门准备安排 30 辆货车装运甲、乙、丙三种物资共 150 吨前往灾区救援，按计划 30 辆货车都要装运，每辆货车只能装运同一种物资且必须装满已知每辆货车单独装甲种物资可装 8 吨，单独装乙种物资可装 6 吨，单独装丙种物资可装 4 吨(1)设装运甲种物资的车辆数为 x 辆，装运乙种物资的车辆数为 y 辆，求

55、y 与 x 之间的函数关系式；(2)如果装运每种物资的车辆都不少于 3 辆，那么车辆的安排方案有哪几种？(3)若购买甲种物资需每吨 3 万元，乙种物资每吨 4 万元，丙种物资每吨 5 万元，在（2）的条件下，该公司此次购买捐赠物资至少花费多少万元？【答案】(1)=2+15(2)安排方案有 4 种：装运甲种物资的车辆数为 3 辆，装运乙种物资的车辆数为 9 辆，则装运丙种物资的车辆为 18 辆；装运甲种物资的车辆数为 4 辆，装运乙种物资的车辆数为 7 辆，则装运丙种物资的车辆为19 辆；装运甲种物资的车辆数为 5 辆，装运乙种物资的车辆数为 5 辆，则装运丙种物资的车辆为 20 辆；装运甲种物

56、资的车辆数为 6 辆，装运乙种物资的车辆数为 3 辆，则装运丙种物资的车辆为 21 辆；(3)该公司此次购买捐赠物资花费636万元【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，找准变量之间的关系是解此题的关键（1）设装运甲种物资的车辆数为辆，装运乙种物资的车辆数为辆，则装运丙种物资的车辆为(30 )辆，根据“甲、乙、丙三种共 150 吨救援物资前往灾区”得出8+6+4(30 )=150，整理即可得到答案；（2）根据装运每种物资的车辆都不少于 3 辆，可得一元一次不等式，解不等即可得到答案；（3）设该公司此次购买捐赠物资花费万元，由题意得：=4+660，再根据一次函数的性质进

57、行计算即可得到答案【详解】（1）解：设装运甲种物资的车辆数为辆，装运乙种物资的车辆数为辆，则装运丙种物资的车辆为(30 )辆，学科网（北京）股份有限公司根据题意得：8+6+4(30 )=150，解得：=2+15，与之间的函数关系式为：=2+15；（2）解：由（1）得：装运甲种物资的车辆数为辆，装运乙种物资的车辆数为(15 2)辆，则装运丙种物资的车辆为30 =30 (15 2)=(15+)辆，由题意得：315 2 315+3，解得：3 6，为整数，的值为3，4，5，6 安排方案有 4 种：装运甲种物资的车辆数为 3 辆，装运乙种物资的车辆数为 9 辆，则装运丙种物资的车辆为 18 辆；装运甲种

58、物资的车辆数为 4 辆，装运乙种物资的车辆数为 7 辆，则装运丙种物资的车辆为 19辆；装运甲种物资的车辆数为 5 辆，装运乙种物资的车辆数为 5 辆，则装运丙种物资的车辆为 20 辆；装运甲种物资的车辆数为 6 辆，装运乙种物资的车辆数为 3 辆，则装运丙种物资的车辆为 21 辆；（3）解：设该公司此次购买捐赠物资花费万元，由题意得：=8 3+6(15 2)4+4 (15+)5=4+660，4 0)元，同时 B 种盆栽批发价每盆下降了 m 元该超市决定不调整盆栽零售价，发现将 300 盆盆栽全部卖出获得的最低利润是 1460元，求 m 的值【答案】(1)=2+3000(150 160)(2)

59、商场能获得的最大利润为 1820 元(3)=2 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、解一元一次方程，理解题意，正确列出函数解析式是解答的关键（1）根据题意列函数解析式和不等式组求解即可；（2）设利润为 W，根据题意得到总利润=10+2000，利用一次函数的增减性质求解即可；（3）设利润为 W，根据题意得到总利润=(2 3)+300+1500，分2 3 0和2 3 0，W 随 x 的增大而增大，又150 160，当=160时，W 最大，最大值为 1820，答：商场能获得的最大利润为 1820 元；（3）解：设总利润为 W 元，根据题意得：=(19 12 2)+(15 10+)

60、(300 )=(2 3)+300+1500，当2 3 0即0 23，舍去；当2 3 23时，W 随 x 的增大而减小，又150 160，当=160时，W 有最小值为160 (2 3)+300+1500=1460，解得：=2，综上分析可知，满足条件的 m 值为 2 8大华橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：进价（元/台）售价（元/台）电饭煲 200 250 电压锅 160 200(1)一季度，橱具店购进这两种电器共 30 台，用去了 5600 元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱？(2)为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过 9000 元的资金采购电饭煲和电

61、压锅共 50 台，且电饭煲的数量不少于电压锅的56，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由；(3)在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？【答案】(1)厨具店在该买卖中赚了1400元(2)共有三种进货方案：购买电饭煲23台，购买电压锅27台；购买电饭煲24台，购买电压锅26台；购买电饭煲25台，购买电压锅25台；(3)购买电饭煲25台，购买电压锅25台时，该厨具店赚钱最多 【分析】本题考查二元一次方程组，不等式的应用，找准等量关系，列式计算是解题的关键（1）设橱具店购进电饭煲 x 台，电压锅 y 台，根据图表中的数据列出关于 x、y 的方程组并解答即可，橱具店在该买卖中赚

62、了钱数；（2）先设购买电饭煲 a 台，则购买电压锅(50 )台，根据题意列出不等式组，再解不等式组即可；（3）结合（2）中的数据进行计算，即可得到进货方案橱具店赚钱最多【详解】（1）设该厨具店购进电饭煲台，则购进电压锅 台，学科网（北京）股份有限公司由题意，得 +=30200+160=5600 解得：=20=10 则20 (250 200)+10 (200 160)=1400(元)即厨具店在该买卖中赚了1400元；（2）设购买电饭煲台，则购买电压锅(50 )台，由题意得 200+160(50 )9000 56(50 )，解得：25011 25，是正整数，=23或24或25，当=23时，50 =

63、50 23=27 当=24时，50 =50 24=26 当=25时，50 =50 25=25 故共有三种进货方案：购买电饭煲23台，购买电压锅27台；购买电饭煲24台，购买电压锅26台；购买电饭煲25台，购买电压锅25台；（3）当购买电饭煲23台，购买电压锅台27台时，23 (250 200)+27 (200 160)=2230(元)；当购买电饭煲24台，购买电压锅26台时，24 (250 200)+26 (200 160)=2240(元)当购买电饭煲25台，购买电压锅25台时，25 (250 200)+25 (200 160)=2250(元)2230 2240 520(2+70)+10(2+

64、20)2050，然后进行分类讨论即可求解；（3）由（2）及题意可分类求出所需费用，然后问题可求解【详解】解：（1）设每盒水笔的价格是 x 元，每本笔记本的价格是 y 元，根据题意得 =106+3=150，解得=20=10，答：一盒水笔 20 元，一本笔记本 10 元（2）根据题意，得 520(2+70)+10(2+20)2050，解得5 152 m 是整数，=6或 7，共有两种可能，分别是=6=24 或=7=23；学科网（北京）股份有限公司（3）当=6，=24时，需采购水笔 82 盒，笔记本 32 本 A 超市：买水笔 82 盒，需支付 1640 元，送 20 本笔记本，再买 12 本笔记本，

65、需支付 120 元，共支付 1760元；B 超市：20 0.9 82+10 0.9 32=1764（元）1760 1764，选择去 A 超市购买比较合算 当=7，=23时，需采购水笔 84 盒，笔记本 34 本 A 超市：买水笔 84 盒，需支付 1680 元，送 21 本笔记本，再买 13 本笔记本，需支付 130 元，共支付 1810元；B 超市：20 0.9 84+10 0.9 34=1818（元）1810 2 C 23或 2 D 23或 2【答案】D【分析】本题考查了一次函数的图象性质与不等式的关系，找出一元一次不等式是解题的关键；根据=|2 3|的非负性得 32或 32两种情况，分类

66、讨论得一元一次不等式，解不等式即可得出结论；【详解】图象如图所示：设(32,0),当 32时，2 3 0，拔高训练 学科网（北京）股份有限公司 =|2 3|=2 3，当 32时，2 3 0，=|2 3|=3 2，=2 3(32)=2+3(32)=1过点(0,1)，当 y 过1处，即同时过 A、B 时，将(32,0)代入=1得：解得：=23 当 23时，=1的图象与在第一象限有交点，0时，当2与=2+3平行时，=1的图象与无交点，=2，2时，=1的图象与在第二象限有交点，故选：D 2某校七年级有三个班组织数学竞赛、英语竞赛和作文竞赛，各项竞赛均取前三名（每项竞赛的每一名次都只有一人），第一名可得

67、 5 分，第二名可得 3 分，第三名可得 1 分已知七（1）班和七（2）班总分相等，并列第一名，且七（2）班进入前三名的人数是七（1）班的两倍，那么七（3）班的总分是 分【答案】7【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键，设七（2）班进入前三名有 x 人，根据题意可列不等式组并解得1 3，由（1）班、（2）班分数相等，并且比（3）班分数高，可知（1）班、（2）班的得分都高于平均分 9 分，故 2，再分=3和=2两种情况分别分析推理即可得到答案【详解】解：设七（2）班进入前三名有 x 人，则七（1）班进入前三名有2人，七（3）班进入前三名有(9 3)人，由

68、题意得 19 3 0，解得1 3，因为三个竞赛项目的总分是（5+3+1）3=27（分），（1）班、（2）班分数一样，并且比（3）班分数高，所以（1）班、（2）班的得分都高于平均分 9 分，学科网（北京）股份有限公司 2，即（1）班最少有 2 个人进入前三名，则（2）班最少有 4 人进入前三名，当=3时，（1）班有 3 人进入前三名，那么（2）班就有 6 人进入前三名，（3）班就没人进入前三名，则27 分由（1）班、（2）班平分，但 27 不能被 2 整除，不合题意，舍去；当=2时，（1）班、（2）班进入前三名的人数分别为 2 人、4 人因为他们的得分必须大于 9 分，所以（1）班得分是5+5=

69、10（分），（2）班也是得 10 分，所以（3）班得 7 分；综上所述，七（3）班的总分是 7 分 故答案为 7 3若关于x的一元一次不等式组 8 4+4 有解且最多4个整数解，且关于y的分式方程21 41=1的解为整数，则符合条件的所有整数 m 的和为 .【答案】2【分析】本题考查了根据不等式解的情况确定字母的取值范围，解含参数的分数方程等知识，综合性强，难度较大先求出一元一次不等式组的解集，根据它有解且最多4个整数解，求得的取值范围4 1；解分式方程得=+32，根据其解为整数，结合4 1求得所有符合条件的的值，将这些值相加即可【详解】解：由题意得关于 x 的一元一次不等式组 8 4+4 得

70、4 ，原不等式组有解且最多 4 个整数解，4 1 解分式方程21 41=1得解为=+32，当=1是原分式方程无解，1 1 +3 4，且+3 2，=+32 为整数，+3=0或 4，当+3=0时，=3，当+3=4时，=1，3+1=2 故答案为：2 学科网（北京）股份有限公司4一个四位正整数 M，如果千位数字与十位数字之和的两倍等于百位数字与个位数字之和，则称 M 为“共进退数”，并规定()等于 M 的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之和，()等于 M 的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之差，如果()=60，那么 M 各数位上的数字之和为 ；有一个四位正整数=1101+1000+

71、10+(0 8，0 9，0 8，且为整数)是一个“共进退数”，且()是一个平方数，()7 是一个整数，则满足条件的数 N 是 【答案】15 1125【分析】本题考查整式的加减，一元一次方程的应用，解不等式组等知识，由四位正整数 M 为“共进退数”推出2(+)=+，由()=60推出10(+)+(+)=60，从而解得+=5，+=2(+)=10，继而得解；由=1101+1000+10+=1000(+1)+100 1+10+(+1)推出 N 的各位数字，继而表示出()与()，由是一个“共进退数”推出=2+2，利用()是一个平方数推出+=2，从而得到 z 的值和=2 ，从而利用()7 是整数求出 x，从

72、而得解推导出+=2与=2+2是解题的关键【详解】解：设 M 的千位数字是 a，百位数字是 b，十位数字是 c，个位数字是 d，则=1000+100+10+，四位正整数 M 为“共进退数”，2(+)=+，又()=60，(10+)+(10+)=60，即10(+)+(+)=60，10(+)+2(+)=60，+=5，+=2(+)=10，+=15，即 M 各数位上的数字之和为 15 =1101+1000+10+=1000(+1)+100 1+10+(+1)，即 N 的千位数字是(+1)，百位数字是 1，十位数字是 y，个位数字是(+1)，()=10(+1)+1+10+(+1)=10+10+12，()=1

73、0(+1)+1 10+(+1)=10 10 +10，又是一个“共进退数”，2(+1)+=1+(+1)，学科网（北京）股份有限公司化简得：=2+2，()=10+10+2+2+12=12(+1)，0 8，=2+2，0 2+2 8，0 +3，1 +1 4，又()是一个平方数，()=22 3(+1)，+1=3，即+=2，=2+2=4，=2 0 8，0 9，0 8，0 2 9，解得：0 2，()=10 10 +10=10 10(2 )4+10=20 14，()7=207 2，又()7 是整数，是 7 的倍数，=0，=2 =2，=1000(+1)+100 1+10+(+1)=1000(0+1)+100 1

74、+10 2+(4+1)=1125 故答案为：15；1125 5若关于 x 的一元一次不等式组312 +25 3 2 有且仅有 4 个整数解，且关于 y 的分式方程32+62=1的解是非负整数，则满足条件的所有整数 a 的值之积为 【答案】16【分析】不等式组变形后，根据有且仅有 4 个整数解确定出的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有整数解，确定出满足条件的值【详解】解：解不等式组312 +25 3 2，得+37 5，不等式组312 +25 3 2 有且仅有 4 个整数解，0+37 1，3 4 学科网（北京）股份有限公司解分式方程32+62=1，得=42=2 2，=42 2为非负整数，为偶

75、数，且 0，所有满足条件的只有2，2，4 所有整数 a 的值之积16 故答案为：16【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键 6如图，在 纸板中，=4，=8，=10，P 是上一点，沿过点 P 的直线剪下一个与 相似的小三角形纸板，针对的不同取值，三人的说法如下：甲：若=4，则有 3 种不同的剪法；乙：若=2，则有 4 种不同的剪法；丙：若=1，则有 3 种不同的剪法；则以上说法正确的有 个 【答案】2【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质进行分类讨论确定的取值范围是解题关键沿过点 P 的直线剪下一个

76、小三角形纸板与 相似，有 4 种不同的剪法，分 4 种情况，利用相似三角形的判定和性质讨论的取值范围，然后对甲、乙、丙进行判断即可【详解】解：设=，则=8 ，分类讨论：第一种剪法：过点 P 作 交 AC 于点 D，如图，=，即4=8，=12 0 4，0 8，即此时长的取值范围是0 8；学科网（北京）股份有限公司第二种剪法：过点 P 作=交于点 E，如图，=，=，即8=4，=2 0 4，0 2，即此时长的取值范围是0 2；第三种剪法：过点 P 作 交于点 F，如图，=，即11=88，=118(8 )0 11，0 8，即此时长的取值范围是0 8；第四种剪法：过点 P 作=交于点 G，如图，=，=，

77、即8=811，=811(8 )0，的最大值为811 (8 0)=6411，0 6411，即0 811(8 )6411，0 8，即此时长的取值范围是0 2)的正方形去掉一块边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，乙试验田是边长为(1)m的正方形去年在两块试验田种植同一种小麦，共收获小麦30t为提高单位面积产量，科研小组通过杂交试验，获得两款小麦种子“丰收 1 号”和“丰收 2 号”，今年分别播种在甲、乙两块试验田中，共收获小麦总产量为50t(1)去年的单位面积产量为；（用含的代数式表示）(2)若今年从甲试验田收获的小麦不超过30t，且甲试验田的产量比乙试验田的产量多根据上述信息，请判断杂交后获得的

78、“丰收 1 号”和“丰收 2 号”种子与去年相比能否能提高小麦的单位面积产量？请通过计算说明理由【答案】(1)152 t/m2 学科网（北京）股份有限公司(2)能，理由见解析 【分析】（1）本题考查了一元一次方程的应用和整式的混合运算，设去年的单位面积产量为t/m2，根据“两块试验田种植同一种小麦，共收获小麦30t”列出表达式，根据解一元一次的方法和整式混合运算法则即可解题（2）本题考查利用作差法比较两个分式的大小，设今年甲实验田收获的小麦为t，则今年乙实验田收获的小麦为(50 )t，根据“甲试验田收获的小麦不超过30t，且甲试验田的产量比乙试验田的产量多”列不等式，得到25 50 ，2 50

79、，25，又 30，25 30，20 50 25，“丰收 1 号”单位面积产量为：21 t/m2，“丰收 2 号”单位面积产量为：50(1)2 t/m2，21 152=(+1)(1)15(1)=(+1)(1)15(+1)(+1)(1)，=1515(+1)(1)=(15)15(+1)(1)，25 30，10 2，(15)20，(15)15 0，又(+1)(1)0，(15)15(+1)(1)0，即21 152 0，21 152，杂交后获得的“丰收 1 号”种子与去年相比能提高小麦的单位面积产量 又50(1)2 152=50(1)2 15(1)=(50)(1)2 15(1)(1)2，(5015)+15

80、(1)2=(35)+15(1)2，25 30，30 25，5 35 2，(1)2 0，(35 )+15 0，(35)+15(1)2 0，即50(1)2 152 0，50(1)2 152，杂交后获得的“丰收 1 号”和“丰收 2 号”种子与去年相比能提高小麦的单位面积产量 9在平面直角坐标系中，已知点(,0)，直线 l 经过点 T 且与 x 轴垂直对于图形 M 和图形 N，给出如下定义：将图形 M 关于 y 轴对称的图形记为1，图形1关于直线 l 对称的图形记为2，若图形2与图形 N 有公共点，则称图形 M 是图形 N 的“双称图形”例如，如图 1，当=2时，对于点(1.5,2.5)和第三象限角

81、平分线，点 P 关于 y 轴的对称点是1(1.5,2.5)，点1关于直线 l 的对称点2(2.5,2.5)在射线上，则点 P 是射线的“双称图形”已知点(2,1)，(2+3,1)，图形 N 是以线段为一边在直线上方所作的正方形 学科网（北京）股份有限公司(1)当=1时，直线 l 和正方形如图 2 所示 在(0,3)，(4,2)，(3,4)这三个点中，点 是图形 N 的“双称图形”；点(,2)，(+2,2)，(+1,3)，是图形 N 的“双称图形”，求 m 的取值范围；(2)若图形 N 是它自身的“双称图形”，直接写出 t 的取值范围【答案】(1)，；2 0或1 3(2)32 32 【分析】本题

82、考查了轴对称，坐标与图形，不等式组的应用；（1）根据题意在坐标系中描出两次对称的点，根据新定义，即可求解；根据题意求得,两次对称的点的坐标，结合新定义，列出不等式组，解不等式组，即可求解；（2）根据新定义，求得点,关于两次对称后的点的坐标，列出不等式组，解不等式组，即可求解【详解】（1）解：如图所示，；是图形 N 的“双称图形”；设点(,2)关于轴的对称点为1，则1(,2)，设点1关于直线的对称点为2(,2)，则1 ()=1，即=+2 学科网（北京）股份有限公司2(+2,2)同理可得(+2,2)，(+1,3)关于轴和直线两侧对称后的对称点分别为2(+4,2)，(+3,3)是图形 N 的“双称图

83、形”，222与正方形有交点，+4 2+2 2 或+4 5+2 5，解得：2 0或1 3（2）解：已知点(2,1)，(2+3,1)，关于轴的对称点为1(2,1)，关于轴对称的点的为1(2 3,1)设点1关于的对称点为2(,1)，则 (2)=，即=4 2(4,1)，设点1关于的对称点为2(,1)，则 (2 3)=，即=4+3 2(4+3,1)，图形 N 是它自身的“双称图形”，4 24+3 2 或4 24 2+3 解不等式组得32 0 解不等式组得0 32 综上所述，32 32 10如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，=5cm，=cm，=cm，且满足=2+2 +4，动点 P 从点 A 出发，以每秒1

84、cm的速度沿路线向点 C 运动，动点 Q 从点 O 出发以每秒2cm的速度，沿路线向点 D 运动若 P、Q 两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止 学科网（北京）股份有限公司(1)求 B、D 两点的坐标；(2)设 P、Q 两点运动时间为 t，当三角形的面积为 4 时，求 t 的值；(3)设两点运动时间为 t，当三角形的面积小于 16 时，直接写出 t 的取值范围【答案】(1)(4,5),(8,2)(2)=32或72或 5；(3)0 165，92 5 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得出=2,=4，然后结合图形即可得出点的坐标；（2）分三种情况：当0 2时，当2 4时，当4 5时，结合

85、图形根据面积得出一元一次方程求解即可；（3）分两种情况分析：当0 4时，当4 5时，结合图形，根据面积列出方程求解即可【详解】（1）解：=2+2 +4，=2，=4，=4cm，=5cm，=2cm，轴，=+=8cm，轴，=5cm，=2cm，(4,5)，(8,2)；（2）解：=3cm，点运动的路径长为+=4+3=7(cm)，所用时间为 7 秒；点运动的路径长为+=8+2=10(cm)，所用时间为102=5秒，如图 1 所示：当0 2时，延长交于点 F，学科网（北京）股份有限公司梯形 =，12(4 +4 2)5 12(4 )3 12(4 2)2=4，解得：=32；如图 2 所示：当2 4时，过点 P

86、作 PGx 轴，延长 DC 交 PG 于点 H，梯形=，12(2 )5 12(4 )3 12(+4 )2=4，解得：=72；如图 3 所示：当4 5时，=12 =12(4+3 )4=4，解得：=5；综上可得：=32或72或 5；（3）解：点运动的路径长为+=4+3=7(cm)，所用时间为 7 秒；点运动的路径长为+=8+2=10(cm)，所用时间为102=5秒，学科网（北京）股份有限公司根据其中一点到达终点时运动停止可知，运动时间的取值范围为0 5，点运动到点所用时间为 4 秒，点运动到点所用时间为82=4，因此，分以下两种情况：如图，当0 4时，=5cm,=2cm，则三角形的面积为12 =1

87、2 2 5=5=16，解得=165，当0 165 时，三角形的面积小于 16；当4 5时，如图，过点作 ，交延长线于点，=4cm,=(2 8)cm,=(4)cm，=(9 )cm,=(17 3)cm，则三角形的面积为梯形 =4+82 (9 )12 4(17 3)12 8(2 8)，=(52 8)cm2，52 8=16，解得：=92；当92 5时，三角形的面积小于 16；学科网（北京）股份有限公司综上可得：当0 165 或92 5时，三角形的面积小于 16【点睛】本题考查了坐标与图形、三角形的面积公式、一元一次不等式的应用及一元一次方程的应用等知识点，理解题意，作出相应图形，进行分类讨论是解题关键