平方根、立方根和实数相关60道计算与规律探究题型专训（6大题型）（解析版）.pdf

1、 学科网（北京）股份有限公司平方根、立方根和实数相关 60 道计算与规律探究题（6 大题型）【题型目录】题型一 解方程中的平方根、立方根题型二 平方根相关的计算题型三 立方根相关的计算题型四 实数的混合运算题型五 新定义的实数计算题型六 实数相关的规律探究题【经典例题一 解方程中的平方根、立方根】1（2024 上江苏宿迁八年级统考期末）计算：(1)2218x=；(2)()3264x=【答案】(1)3x=(2)2x=【分析】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程：（1）根据求平方根的方法解方程即可；（2）根据求立方根的方法解方程即可【详解】（1）解：2218x=29x=，解得3x=；（2）

2、解：()3264x=24=x，解得2x=学科网（北京）股份有限公司2（2023 上江苏盐城八年级统考期末）求 x 的值：(1)236x=；(2)()318x=.【答案】(1)6x=(2)3x=【分析】本题主要考查解方程，熟练掌握开平方根以及开立方根是解题的关键（1）直接开平方解方程即可；（2）直接开立方解方程即可【详解】（1）解：236x=，6x=；（2）解：()318x=，12x=，3x=3（2024 上江苏淮安八年级统考期末）求 x 的值：()321540 x=【答案】4x=【分析】本题主要考查了立方根，熟练掌握立方根定义是解本题的关键先移项、再整体求得()3127x=，然后利用立方根的性

3、质求解即可【详解】解：()321540 x=，()3127x=，13x =，4x=4（2022 上江西南昌七年级校考期中）求解下列方程：(1)29250 x=；(2)()327364x=【答案】(1)53x=学科网（北京）股份有限公司(2)53x=【分析】（1）先把原方程变形为2259x=，再根据平方根的性质解答，即可求解；（2）先把原方程变形为()364327x=，再根据立方根的性质解答，即可求解【详解】（1）解：29250 x=，2925x=，2259x=，解得：53x=；（2）解：()327364x=()364327x=，433x=，53x=【点睛】本题主要考查了利用平方根和立方根解方程

4、，熟练掌握平方根的性质和立方根的性质是解题的关键5（2023 下湖北襄阳七年级校联考期中）求下列方程中 x 的值(1)23(2)270 x=；(2)32140()5x+=【答案】(1)5,1xx=(2)4x=【分析】（1）根据平方根的定义，解方程，即可求解；（2）根据立方根的定义，解方程，即可求解【详解】（1）解：23(2)270 x=()229x=学科网（北京）股份有限公司23x=解得：5,1xx=；（2）解：32140()5x+=()3127+=x13x+=解得4x=【点睛】本题考查了根据平方根与立方根的定义解方程，熟练掌握平方根与立方根的定义是解题的关键6（2023 下黑龙江佳木斯七年级

5、校考期中）求下列方程中的 x(1)()221180 x=(2)()33 2124x=【答案】(1)124,2xx=(2)12x=【分析】（1）利用平方根定义解方程；（2）利用立方根定义解方程【详解】（1）解：()221180 x=()22118x=()219x=13x=1 3x=124,2xx=；（2）()33 2124x=()3218x=212x =21x=学科网（北京）股份有限公司12x=【点睛】此题考查了利用平方根定义及立方根定义解方程，正确掌握平方根定义及立方根定义是解题的关键7（2023 下重庆九龙坡七年级重庆市育才中学校考阶段练习）求解下列方程：(1)()2451120 x+=(2

6、)()3311250 x=【答案】(1)112x=，2212x=(2)2x=【分析】（1）先移项合并同类项，然后开平方，最后解一元一次方程，即可得出方程的解；（2）先移项，然后开立方，最后解一元一次方程，即可得出方程的解【详解】（1）解：()2451120 x+=，移项合并同类项得：()245121x+=，开平方得：()2511x+=，解得：112x=，2212x=（2）解：()3311250 x=，移项得：()331125x=，开立方得：315x=，解得：2x=【点睛】本题主要考查了利用平方根和立方根解方程，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义，准确计算8（2022 下湖北孝感七年级统考

7、期中）求下列方程中 x 的值(1)()214x=(2)31(3)027x+=【答案】(1)3x=或=1x 学科网（北京）股份有限公司(2)83x=【分析】（1）根据平方根的定义解答便可；（2）根据立方根的定义解答便可【详解】（1）12x=或12x=，3x=或=1x ；（2）31(3)27x=，133x=，83x=【点睛】本题主要考查了平方根的定义和立方根的定义，解题关键是正确运用平方根定义与立方根定义进行计算9（2023 上江苏泰州八年级校考阶段练习）求下列各式中 x 的值(1)21625x=；(2)2412x=；(3)()22713x+=【答案】(1)54=x(2)4x=(3)143x=，2

8、23x=【分析】此题考查了平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键；（1）方程变形后，利用平方根定义计算即可得出答案；（2）方程变形后，利用平方根定义开平方即可求出解；（2）方程变形后，利用平方根定义开平方即可求出解【详解】（1）21625x=22516=x解得54=x；学科网（北京）股份有限公司（2）2412x=216x=解得4x=；（3）()22713x+=()2119x+=113x+=113x+=或113x+=解得143x=，223x=10（2023 上江苏常州八年级常州市第二十四中学校联考期中）求下列各式中 x 的值：(1)2152 x=；(2)2(1)16x=【答案】(1)10=x；

9、(2)5x=或3x=【分析】此题考查了运用平方根解方程的能力（1）整理后，直接运用平方根的定义进行求解即可；（2）运用平方根的定义进行求解即可【详解】（1）解：2152 x=，整理，得210 x=，开平方，得10=x；（2）解：2(1)16x=，开平方，得14x=，解得5x=或3x=学科网（北京）股份有限公司【经典例题二 平方根相关的计算】11（2024 上四川乐山八年级统考期末）若 x，y 都是实数，且223yxx=+，求119xy+的平方根【答案】7【分析】本题考查了算术平方根、平方根等知识点，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键先根据算术平方根的被开方数的非负性求出 x 的值，再代入可求出

10、 y 的值，然后根据平方根的定义求解即可【详解】解：由算术平方根的被开方数的非负性得：2020 xx，解得2x=，将2x=代入223yxx=+得：222233y=+=，则11911 29 349xy+=+=，49 的平方根是 7，119xy+的平方根是 7 12（2024 上湖南衡阳七年级校考期末）已知21x 的平方根为 3，且31xy+的平方根为 4，求2xy+的算术平方根【答案】3【分析】本题考查平方根，算术平方根，根据平方根的定义求得 x，y 的值，然后将其代入2xy+中计算后利用算术平方根的定义即可求得答案【详解】解：21x 的平方根为 3，且31xy+的平方根为 4，2193116x

11、xy=+=，解得：52xy=，252 29xy+=+=，9 的算术平方根为 3，2xy+的算术平方根为 313（2023 上陕西西安八年级校考期中）已知正数 x 的两个平方根分别是6m+和2mn(1)求代数式163mn+的值；学科网（北京）股份有限公司(2)当12n=时，求mx 的算术平方根【答案】(1)1643mn+=；(2)mx 的算术平方根是64【分析】本题考查了平方根和相反数的应用，注意：正数有两个平方根，它们互为相反数（1）根据正数有两个平方根，它们互为相反数得出36mn=，再整体代入即可求解；（2）把12n=代入36mn=，求得2m=，进而可求出 x 的值，进一步计算即可求解【详解

12、】（1）解：正数 x 的两个平方根是6m+和2mn，620mm n+=，36mn=，()()111636664333mnmn+=+=+=；（2）解：12n=，3126m=，解得2m=，68m+=，正数 x 的值为2864=，264mx=，mx 的算术平方根是64 14（2023 上四川宜宾八年级统考期中）（1）已知正数 x 的两个平方根分别是23a 和5a，求2a 和 x 的值；（2）若310 x =，求36+x的平方根【答案】（1）24a=，49x=（2）7【分析】本题考查了平方根的应用：（1）根据平方根的定义可得 23 50aa+=，求得a 的值，进而求得2a 和 x；（2）根据被开方数为

13、非负数，可得310 x=，求得 x 的值，代入求得36+x的平方根即可【详解】解：（1）23 50aa+=，解得2a=，学科网（北京）股份有限公司则()2224a=，()225749xa=；（2）310 x =，310 x=，13x=，则36+x的平方根是367x+=15（2023 上山东济南八年级校考阶段练习）已知130 xy+=(1)求 x，y 的值；(2)求 xy+的平方根【答案】(1)13xy=(2)2【分析】本题主要考查了非负数的性质，平方根定义，解题的关键是根据非负数的性质求出=1x ，3y=（1）根据非负数的性质求出=1x ，3y=即可；（2）先求出2xy+=，再求出其平方根即可

14、【详解】（1）解：130 xy+=，1030 xy+=，解得：13xy=（2）解：13xy=，1 32xy+=+=，xy+的平方根为216（2023 上吉林四平八年级校考期末）已知21x 的平方根是 6,21xy+的算术平方根是5，求2311xy+的平方根 学科网（北京）股份有限公司【答案】9【分析】本题主要考查平方根、算术平方根等知识点，掌握其基本概念和解方程的基本步骤是解题关键根据平方根和算术平方根的概念列方程求得2x 和 y 的值，然后代入求得其求平方根即可【详解】解：由题意知 2136 2125xxy=+=，所以11 237yx=，所以 231181xy+=，所以 2311xy+的平方

15、根为 9 17（2023 上河北邢台八年级统考期中）已知正实数 x 的平方根为a 和ab+（1）当6b=时，x 的值为 ；（2）若22()8a xabx+=，则 x 的值为 【答案】9 2【分析】本题考查平方根的定义及平方根的性质，熟练掌握平方根的定义及性质是解题的关键（1）根据正数的两个平方根互为相反数列式求解；（2）根据平方根的定义得到2()abx+=，2ax=，最后代入求解即可【详解】解：（1）正实数 x 的平方根是 a 和ab+，0aab+=，6b=，260a+=，3a=；9x=故答案为：9；（2）正实数 x 的平方根是 a 和 ab，2()abx+=，2ax=，22()8a xabx

16、+=，228xx+=，学科网（北京）股份有限公司24x=，0 x，2x=故答案为：218（2023 下七年级课时练习）已知正数 x 的平方根是 m 和 mb(1)当 b8 时，求 m 的值；(2)若()222226m xxmbx=+，求 x 的值【答案】(1)m4(2)2x=【详解】（1）正数 x 的平方根是 m 和 mb，mmb0b8，2m80m4（2）x 为正数，()222226m xxmbx=+，整理，得()2226m xmbx+=正数 x 的平方根是 m 和 mb，()2mbx+=，2mx=，代入()2226m xmbx+=可得2226xx+=，236x=x0，2x=19（2023 上

17、江西九江八年级统考期中）已知一个正数m 的两个不相等的平方根是5a+与211a(1)求 a及m 的值；(2)求关于 x 的方程2160ax=的解【答案】(1)2a=，49m=(2)2 2x=【分析】本题主要考查了平方根的定义，利用平方根解方程；学科网（北京）股份有限公司（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答；（2）根据平方根的定义解方程即可解题的关键是熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数【详解】（1）解：由题意得：5 2110aa+=，解得：2a=，()2549ma=+=；（2）解：原方程为：22160 x=，28x=，解得：2 2x=20（2023 上浙江杭州七年级统考

18、期中）已知4a 的立方根是1，b 的算术平方根是2，11 的整数部分是c(1)求 a，b，c 的值；(2)求 23abc+的平方根【答案】(1)5a=，4b=，3c=(2)23abc+的平方根是 1【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，求一个数的平方根，立方根；（1）根据立方根、算术平方根的概念可得 a、b 的值，接着估计 11 的大小，可得c 的值，（2）根据（1）的结论，可得 23abc+的值，再根据平方根的求法可得答案【详解】（1）解：4a 的立方根是1，b 的算术平方根是 2，4 1a =，4b=，5a=，911 16，3114，11的整数部分是c，3c=；学科网（北京）股份有限公司

19、（2）5a=，4b=，3c=，232 5 3 4 3 1abc+=+=，23abc+的平方根是 1【经典例题三 立方根相关的计算】21（2024 上四川乐山八年级统考期末）已知正数a 的两个不同平方根分别是22x和6 3x，4ab的算术平方根是 4.(1)求 a和b 的值；(2)求2217ab+的立方根.【答案】(1)36a=，5b=.(2)4【分析】本题考查了平方根与立方根的应用；（1）根据正数的两个平方根互为相反数，求得4x=，进而求得,a b 的值；（2）将,a b的值代入代数式，进而求得其立方根，即可求解【详解】（1）解 依题意，226 30 xx+=解得：4x=226x=2636a=

20、416ab=5b=（2）36a=，5b=，221764ab+=2217ab+的立方根为 4.22（2024 上浙江杭州七年级统考期末）已知6x 和314x+是 a 的两个不同的平方根，26y是 a 的立方根.(1)求 x，y，a 的值.学科网（北京）股份有限公司(2)求 74y 的立方根.【答案】(1)2,64,5(2)3【分析】本题考查了平方根和立方根的综合问题，掌握相关结论即可求解（1）由题意得6x 3140 x+=，即可求解；（2）由（1）求出 74y 即可求解【详解】（1）解：6x 和314x+是 a 的两个不同的平方根，6x 3140 x+=，解得：2x=，62 68x=()2864

21、a=，26y是 a 的立方根，326644y=，5y=；（2）解：7474 527y=，74y 的立方根为 3 23（2024 下全国七年级假期作业）已知 3 182 x 与 3 1242 y 互为相反数，求xy+的立方根【答案】2【详解】解：由题意，得3311824022xy+=，118240,64,22xyxy+=+=648,xyxy+=+的立方根是 224（2023 上湖南衡阳八年级校考期末）已知23a 的平方根为 3，2ab+的算术平方根为 4，求16ab+的立方根 学科网（北京）股份有限公司【答案】2【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根，解题的关键是掌握平方根，算术平方根的定义根

22、据平方根的定义，即可得到 239a =，然后即可求得 a 的值；同理可以得到6216b+=，即可得到 b 的值，进而求得答案【详解】解：23a 的平方根为 3，239a =，6a=，2ab+的算术平方根为 4，216ab+=，6a=，6216b+=，12b=，11612866ab+=+=，16ab+的立方根是 225（2024 上福建泉州八年级统考期末）一个正数 x 的两个平方根分别是2a+与21a(1)求 a和正数 x 的值(2)求 xa+的立方根【答案】(1)1a=，9x=(2)2【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，熟记定义是解题的关键（1）根据平方根的定义可得一个正数的两个平方根互为

23、相反数，则有2210aa+=，解方程得1a=，即一个正数的两个平方根分别为 1 和 1，利用平方根的定义即可得到这个正数；（2）根据立方根的定义解答即可【详解】（1）解：一个正数的两个平方根分别为2a+和21a，2210aa+=，1a=，学科网（北京）股份有限公司这个正数为2(1 2)9+=9x=；（2）解：1a=，9x=，918xa+=，xa+的立方根为3 82=26（2024 下江西九江八年级校考期末）已知3m nAnm=+是3nm+的算术平方根，232mnBmn+=+是2mn+的立方根，求()AB+的平方根【答案】3【分析】此题主要考查了立方根以及平方根和算术平方根首先利用算术平方根的定

24、义以及结合立方根的定义得出n，m 的值，进而利用平方根的定义求出答案【详解】解：由题意得：2mn=，233mn+=，解得：4m=，2n=，则2431A=+=，3 42 22B=+=，1 23AB+=+=，则()AB+的平方根为：327（2022 下湖北恩施七年级统考期中）已知44nMm=+是4m+的算术平方根，24315mnNn+=是15n的立方根，试求 MN的值【答案】349+【分析】本题考查了算术平方根，立方根，代数式求值熟练掌握算术平方根，立方根，代数式求值是解题的关键由题意知，42n=，2433mn+=，可求612nm=，则2 1244M=+=，336 159N=，然后代入求解即可【详

25、解】解：由题意知，42n=，2433mn+=，解得，612nm=，2 1244M=+=，3336 1599N=，学科网（北京）股份有限公司349MN=+，MN的值为349+28（2023 上黑龙江哈尔滨七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）已知 x 的两个平方根分别是21a 和5a ，且 322xy=，求 xy+的立方根【答案】3 11【分析】本题考查了平方根，立方根，解决本题的关键是先根据正数的两个平方根互为相反数，求出 a 的值，从而确定 x 的值，再根据立方根求出 y 的值，即可解答【详解】解：由题意可知2150aa+=，2a=，213a=，239x=，323xy=，227xy=，

26、20y=，11xy+=，xy+的立方根是331111=29（2023 上湖南娄底八年级统考阶段练习）已知一个数的平方根分别为21a+和 4a，24a b+的立方根为 2(1)求 a，b 的值；(2)求ab+的算术平方根【答案】(1)5a=，14b=(2)3【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，平方根的概念，根据一个数的立方根求这个数等等，解题的关键在于熟知平方根和立方根的定义：对于两个实数 a、b，若满足2ab=，那么 a 就叫做 b 的平方根，若满足3ab=，那么 a 就叫做 b 的立方根；学科网（北京）股份有限公司（1）根据一个数的两个平方根互为相反数得到21 40aa+=，解方程求出

27、a，再根据立方根的定义得到35 242b+=，解方程求出 b 即可；（2）根据（1）所求求出 ab+的值，再根据算术平方根的定义求出答案即可【详解】（1）解：一个数的平方根分别为 21a+和 4a，21 40aa+=，5a=；24a b+的立方根为 2，35 242b+=，14b=；（2）解：5a=，14b=，9ab+=，239=，ab+的算术平方根是330（2022 上陕西渭南八年级统考期末）已知21a+的一个平方根是 3，1 b的立方根为 1(1)求 a与b 的值；(2)求2+ab的立方根【答案】(1)4a=，2b=(2)2+ab的立方根是 2【分析】本题主要考查了平方根，立方根的定义，熟

28、练掌握平方根，立方根的计算方法是解题的关键根据题意求出 ab、的值即可得到答案【详解】（1）解：21a+的一个平方根是 3，219a+=，解得4a=；1 b 的立方根为 1，1 1b=，解得2b=；（2）解：4a=，2b=，242 28ab+=+=，2+ab的立方根是 2 学科网（北京）股份有限公司【经典例题四 实数的混合运算】31（2023 上江苏盐城八年级统考期末）计算：(1)()2024125；(2)23(2)27+.【答案】(1)4(2)5【分析】本题主要考查实数的混合运算、立方根及算术平方根，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据立方根、算术平方根进行求解（1）根据有理数的乘方

29、以及算术平方根进行计算，即可求解；（2）根据算术平方根与立方根进行计算即可求解【详解】（1）解：()20241251 5=4=（2）解：23(2)27+23=+5=32（2023 上浙江宁波七年级校联考期中）计算：(1)2242293；(2)()225332+【答案】(1)4；(2)43【分析】本题考查了有理数的混合运算，实数的混合运算（1）先乘方，再根据有理数的乘除混合运算法则计算即可求解；（2）根据实数混合运算的法则计算即可求解【详解】（1）解：2242293 99444=4=；（2）解：()225332+5 323=+43=学科网（北京）股份有限公司33（2024 下全国七年级假期作业）

30、计算：(1)2233273(1)8+；(2)()2233(4)812 ；(3)2330.1253233(2)4+【答案】(1)-5(2)22(3)-2【详解】解：（1）原式3 3 1 25=+=（2）原式()34(2)213422122.=+=（3）原式()31913233223322.8422=+=+=34（2023 上江苏无锡八年级校联考期中）计算：(1)239(3)8+；(2)31627|12|+【答案】(1)8(2)2【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键（1）利用算术平方根及立方根的定义，有理数的乘方法则计算即可；（2）利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质

31、计算即可【详解】（1）解：239(3)8+392=8=；（2）解：31627|12|+4 32 1=+2=35（2024 上湖南岳阳八年级统考期末）计算：(1)2024311227|32|+；学科网（北京）股份有限公司(2)12011|7|(3.14)43+【答案】(1)43+(2)5【分析】本题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键（1）分别根据乘方，算术平方根，立方根以及绝对值的代数意义化简各项后，再进行加减运算即可；（2）分别根据绝对值的代数意义，负整数指数幂，零指数幂分别化简即可得出答案【详解】（1）解：原式1 2 332343=+=+（2）120117(3.14)74 1 9

32、543+=+=36（2023 上河南周口八年级校考期中）计算(1)333163270.1251464+(2)()()22328212+【答案】(1)32 4(2)2 1【分析】本题考查了实数的运算（1）根据立方根、算术平方根的性质化简，再合并即可求解；（2）根据立方根、算术平方根、乘方和绝对值的性质化简，再合并即可求解【详解】（1）解：333163270.1251464+31130.5264=+134=+32 4=；（2）解：()()22328212+422 12=+2 1=37（2023 下新疆阿勒泰七年级校考期中）求下列各式的值(1)()222542+(2)()233114400+【答案】

33、(1)3 学科网（北京）股份有限公司(2)18【分析】本题主要考查了数的开方运算（1）先根据数的开方化简各数，再进行计算即可；（2）先根据数的开方化简各数，再进行计算即可；【详解】（1）解：()222542+542=+3=；（2）()233114400+1 1 2 20=+18=38（2023 上浙江杭州七年级杭州绿城育华学校校考阶段练习）计算：(1)()211822+；(2)3 8233；(3)11112234（-+）【答案】(1)72(2)0(3)5【分析】本题主要考查了实数的混合运算按照实数的混合运算法则计算即可（1）先算平方，乘除法，最后算加减法（2）先开立方，去绝对值，最后算加减法（

34、3）利用乘法分配律计算即可【详解】（1）解：()211822+()1142=+142=72=（2）3 82332233=+0=（3）11112234（-+）111121212234=+64 3=+5=39（2022 下湖北恩施七年级统考期中）计算：(1)()239627；学科网（北京）股份有限公司(2)()3231112889+【答案】(1)0(2)83【分析】（1）先分别求算术平方根，立方根，然后进行减法运算即可；（2）先分别求有理数的乘方，算术平方根，立方根，然后进行乘法运算，最后进行加减运算即可【详解】（1）解：()239627()3 63=0=；（2）解：()3231112889+()

35、()1118283=+()2113=+83=【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，有理数的乘方，实数的混合运算等知识熟练掌握算术平方根，立方根，有理数的乘方，实数的混合运算是解题的关键40（2023 上河南周口八年级校联考期中）计算：(1)()232791+；(2)()163213+【答案】(1)1(2)3【分析】本题考查的是实数的混合运算（1）分别计算算术平方根，立方根，再合并即可；（2）分别计算算术平方根，化简绝对值，再合并即可【详解】（1）解：原式()33 1=+1=；（2）解：()()42313=+423 13=+3=学科网（北京）股份有限公司【经典例题五 新定义的实数计算】41（20

36、23河北沧州校考模拟预测）定义一种新的运算，对于任意实数a 和b，规定2abababa=+，例如：22 52 52 5262=+=(1)求()52的值(2)若()2214m，求m 的取值范围【答案】(1)15(2)22m+【分析】（1）根据题中的新定义，代入数据，根据有理数的混合运算进行计算即可求解；（2）根据题意，列出一元一次不等式，解不等式，即可求解【详解】（1）解：根据题中的新定义，得原式()()2525252010515=+=+=（2）已知不等式利用题中的新定义化简，得()()22222214mmm+，整理，得7147 2m+，解得22m+【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算

37、，解一元一次不等式，实数的混合运算，熟练掌握是解题的关键42（2023 春山东德州七年级校考阶段练习）阅读下面文字，然后回答问题给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值例如：2.4 的整数部分为 2，小数部分为2.420.4=；2 的整数部分为1，小数部分可用2 1 表示；再如，2.6的整数部分为 3，小数部分为()2.630.4=由此我们得到一个真命题如果2xy=+，其中 x 是整数，且01y，那么1x=，21y=(1)如果7ab=+，其中 a是整数，且01b，那么=a_，b=_；(2)如果7cd=+，其中c 是整数，且01d

38、，那么c=_，d=_；(3)已知37mn+=+，其中m 是整数，且01n，求|mn的值；(4)在上述条件下，求()ama bd+的立方根 学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)2，72(2)3，37(3)77(4)3【分析】（1）估算出 273，即可确定a，b 的值；（2）估算出 273，可得 372 ，即可确定c，d 的值；（3）根据题意确定出m，n的值，代入求值即可；（4）由（1）（2）（3）的结果，直接代入所求式子即可【详解】（1）解：7ab=+Q，其中 a 是整数，且01b，又273，2a=，72b=，故答案为：2，72；（2）解：7cd=+，其中c 是整数，且01d，又372 Q，

39、3c=，37d=，故答案为：3，37；（3）解：37mn+=+Q，其中m 是整数，且01n，5m=，72n=，()57277mn=；（4）解：()ama bd+()2527237=+252 1=+252=+27=，()ama bd+的立方根为：3 273=【点睛】此题考查了估算无理数的大小，代数式求值，解题关键是确定无理数的整数部分 学科网（北京）股份有限公司43（2023 春山东济宁七年级统考期中）【阅读理解】对于正整数 n，定义 n 为不大于n 的最大整数，例如：31=，42=，52=【问题解答】(1)直接写出7 的值为_；(2)对 72 进行如下操作：727288221=第一次第二次第三

40、次，即对 72 进行 3 次操作后可变为 1类似地：对25进行_次操作后可变为 1；(3)先化简，再求值：()()2235xxx+，其中10 x=【答案】(1)2；(2)三(3)27x，13【分析】（1）先确定 7 的取值范围，再根据定义求解即可；（2）根据题中的步骤，对25 依次进行运算，求解即可；（3）根据整式的加减运算进行化简，再求得 x 的值，代入求解即可【详解】（1）解：479 273根据题中的定义，可得72=故答案为：2（2）解：252555221=第一次第二次第三次，对 25 进行三次操作后可变为 1故答案为：三（3）解：()()223522 3527xxxxxxx+=+=，91

41、0163104 学科网（北京）股份有限公司310 x=将3x=代入得，原式2 3 713=【点睛】此题考查了无理数的估算，新定义问题，整式的化简求值，解题的关键是理解新定义规则，掌握无理数的估算方法44（2021 春广东广州七年级校考阶段练习）定义 x 等于不超过实数 x 的最大整数，定义 xxx=，例如 3=，3=(1)填空（直接写出结果）：3=_，3=_，33+=_(2)计算：252525+【答案】(1)1，3 1，3(2)35+【分析】（1）定义 x 等于不超过实数 x 的最大整数，定义 xxx=，依此即可求解；（2）根据 1xxx+与 xxx=求值后，再计算加减法即可求解【详解】（1）

42、3133 13313 13=+=+=，故答案为：1，3 1，3（2）252525+325321 2=+35=+；故答案为：35+【点睛】此题考查新定义，无理数的估算，实数的混合运算，注意 xxx=的应用45（2021 春广东汕头七年级校考期中）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9 这三个数，1 42=，1 93=，4 96=，其结果分别为 2，3，6，都是整数，所以 1，4，9 三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平

43、方根是 2，最大算术平方根是 6(1)请直接判断 3，12，32 是不是“和谐组合”，_(2)请证明 2，18，8 这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根(3)已知 9，a，25 三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的 3 倍，求a 的值 学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)不是(2)4，12(3)81【分析】（1）根据“和谐组合”的定义，进行判断即可；（2）根据“和谐组合”的定义求解即可；（3）根据题意分 3 种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的 3 倍，分别列方程求解即可【详解】（1）解：3 126=，3 324 6=，12 32

44、8 6=，4 6,8 6，不是整数，3，12，32 不是“和谐组合”；故答案为：不是；（2）证明：2 186=，2 84=，18 812=2，18，8 这三个数是“和谐组合”最小算术平方根是 4，最大算术平方根是 12；（3）分三种情况：当925a时，253 9aa=得：0a=（舍去）当925a 时，9 253 9a=，得：259a=（舍去）当925a时，253 9 25a=得：81a=综上所述，a 的值为 81【点睛】此题考查了新定义问题，算术平方根等知识，解题的关键是理解并掌握新定义的运算法则46（2023 春广西玉林七年级统考期中）阅读下面文字，然后回答问题给出定义：一个实数的整数部分是

45、不大于这个数的最大整数，这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值例如：2.4 的整数部分为 2，小数部分为2.420.4=；2 的整数部分为1，小数部分可用2 1 表示；再如，2.6的整数部分为 3，小数部分为()2.630.4=由此我们得到一个真命题如果2xy=+，其中 x 是整数，且01y，那么1x=，21y=(1)如果7ab=+，其中 a是整数，且01b，那么=a_，b=_；(2)如果7cd=+，其中c 是整数，且01d，那么c=_，d=_；学科网（北京）股份有限公司(3)已知37mn+=+，其中m 是整数，且01n，求|2|mn的值；(4)在上述条件下，求()ama bd+

46、的立方根【答案】(1)2，72(2)3，37(3)127(4)3【分析】（1）估算出 273，即可确定a，b 的值；（2）估算出 273，可得 372 ，即可确定c，d 的值；（3）根据题意确定出m，n的值，代入求值即可；（4）由（1）（2）（3）的结果，直接代入所求式子即可【详解】（1）解：7ab=+Q，其中 a 是整数，且01b，又273，2a=，72b=，故答案为：2，72；（2）7cd=+，其中c 是整数，且01d，又372 Q，3c=，37d=，故答案为：3，37；（3）37mn+=+Q，其中m 是整数，且01n，5m=，72n=，()21072127mn=；学科网（北京）股份有限公

47、司（4）()ama bd+()2527237=+252 1=+252=+27=，()ama bd+的立方根为：3 273=【点睛】此题考查了估算无理数的大小，代数式求值，解题关键是确定无理数的整数部分47（2023 秋全国八年级专题练习）阅读下列材料，并完成问题解答：（一）小明阅读 7 年级数学第二学期课本 44-46 页关于平方根的定义：如果2xa=，那么 x 叫做 a 的平方根，记作 xa=，其中0a，例如25x=，那么5x=，即5是 5 的平方根，也就是二次方程25x=的解是5x=，请你根据以上定义解答下列问题：(1)解方程：()235x=(2)选择题：式子2a 中的 a 的取值可以是（

48、）A1B 2C3D5（二）仿照以上平方根的定义，我们发现：如果3xa=，那么 x 叫做 a 的立方根记作3xa=，其中 a 可以是任意实数，例如：227x=，那么327x=，即3x=，请你根据以上信息解答下列问题：(3)解方程：()32216x=如果4xa=，那么 x 叫做 a 的 4 次方根，记作4xa=，其中0a，例如：如果481x=那么4 81x=，即3x=，请你根据以上信息解答下列问题：(4)填空题：若()41625x+=，则 x 的值是_【答案】(1)35x=(2)D(3)8x=(4)4 或 6 学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）利用平方根解方程即可；（2）根据被开方数大于等于

49、零，得出20a，即2a 进行判断即可；（3）根据立方根的定义解方程即可；（4）根据()41625x+=得出41625x+=，即15x+=，解关于 x 的方程即可【详解】（1）解：()235x=，35x-=，35x=（2）解：要使式子2a 有意义，则20a，2a，52321，a 的取值可以是 5，故 D 正确故选：D（3）解：()32216x=，32216x=，即26x=，解得：8x=（4）解：()41625x+=，41625x+=，即15x+=，解得：14x=，26x=故答案为：4 或 6【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的应用，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义，准确计算 学科网（北

50、京）股份有限公司48（2023 春福建龙岩七年级统考期中）规定(),a b 表示一对数对，给出如下定义：1ma=，(0,0).nb ab=将(),m n 与(),n m 称为数对(),a b 的一对“对称数对”例如：当4a=，1b=时，1124m=，11n=，数对()4,1 的一对“对称数对”为1,12 与11,2(1)数对()9,5 的一对“对称数对”是_ 与_；(2)若数对()16,y 的一对“对称数”相同，则 y 的值是多少？(3)若数对(),3x的一个“对称数对”是()3,1，则 x 的值是多少？【答案】(1)153，15 3，(2)116y=(3)1x=【分析】（1）利用对称数对”的

51、规定解答即可；（2）利用对称数对”的定义列出关于 y 的等式解答即可；（3）利用对称数对”的定义列出关于 x 的等式解答即可【详解】（1）1139m=，5n=，数对()9,5 的一对“对称数对”是1,53 与15,.3 故答案为：1,53；15,3（2）数对()16,y 的一对“对称数”相同，116y=，116y=（3）数对(),3x的一个“对称数对”是()3,1，学科网（北京）股份有限公司11x=，1x=【点睛】本题主要考查了算术平方根的意义，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键49（2023 春山东临沂七年级统考期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：

52、mTn，（其中m 为满足不等式的最大整数，n 为满足不等式的最小整数），则称无理数T 的“近整区间”为(),m n，如122，所以 2 的“近整区间”为()1,2(1)无理数5 的“近整区间”是_；无理数10的“近整区间”是_；(2)实数 x，y 满足关系式：20232023yxx=+，求 xy+的算术平方根的“近整区间”【答案】(1)()2,3；()4,3；(2)()44,45【分析】（1）根据“近整区间”的定义，确定 5 和10介于哪两个整数之间，即可得到答案；（2）根据算术平方根被开方数大于等于 0，求得2023x=，0y=，进而得到 xy+的算术平方根为2023，即可求出其“近整区间”

53、【详解】（1）解：2224593=Q，253，无理数5 的“近整区间”是()2,3；223910164=Q，3104，4103 ，无理数10的“近整区间”是()4,3，故答案为：()2,3；()4,3；学科网（北京）股份有限公司（2）解：20232023yxx=+Q，20230 x，20230 x-，2023x=，0y=，xy+的算术平方根为2023，224419362023452025=Q，44202345，xy+的算术平方根的“近整区间”是()44,45【点睛】本题考查了无理数的估算，算术平方根，熟练掌握无理数的估算方法，正确理解“近整区间”的定义是解题关键50（2023 春湖南长沙七年级

54、统考期中）给出定义如下：若点()ab，满足()2abba=，（0a，0b），则称这个点为“show 点”如：()29669=，故点()9 6，是“show 点”(1)点()16 8A，点()2515B，点4 29 9C，中，是“show 点”的是_；(2)若点949Dx，是“show 点”，求 x 的值；(3)是否存在点()M mm，使点 M 是“show 点”，若存在，求出23mm+的值；若不存在，说明理由【答案】(1)()2515B，(2)1549x=；(3)23mm+的值为 0 或 2【分析】（1）根据“show 点”的定义，计算即可判断；（2）根据“show 点”的定义，列出方程，解方

55、程即可求解；（3）根据“show 点”的定义，求得 m 的值，再代入计算即可求解【详解】（1）解：点()16 8A，168484=，()28148 146=，故点()16 8A，不是“show 点”；点()2515B，25155 1510=，()22515251015=，学科网（北京）股份有限公司故点()2515B，是“show 点”；点4 29 9C，4222499399=，22424299999=，故点4 29 9C，不是“show 点”；故答案为：()2515B，；（2）解：点949Dx，是“show 点”，()2994949xx=，整理得39749xx=，解得1549x=；（3）解：点

56、()M mm，是“show 点”，()20mmmm=，整理得mm=，1m=或0m=，当1m=时，233111 12mm+=+=；当0m=时，233000mm+=+=综上，23mm+的值为 0 或 2【点睛】本题考查了算术平方根应用，理解题意，掌握“show 点”的定义是解题的关键【经典例题六 实数相关的规律探究题】51（2023 春河南新乡七年级统考期中）根据下表回答下列问题：x18.318.418.518.618.718.818.919x334.89338.56342.25345.96349.69353.44357.21361(1)350 在 和 之间（填表中相邻的两个数）(2)346 ，3

57、.5721=(3)338.56 的平方根是 学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)18.6,18.8(2)18.7，1.89(3)18.4【分析】（1）结合表格中数据可得218.7=349.69，218.8=353.44，即可求解；（2）先根据表中数据得出346 在 18.6 和 18.7 之间，再利用四舍五入求解即可，再根据算术平方根的定义求解即可；（3）根据平方根的定义即可求解【详解】（1）解：218.7=349.69，218.8=353.44，349.69350353.44，350 在 18.7 和 18.8 之间，故答案为：18.7,18.8；（2）解：218.6=345.96，21

58、8.7=349.69，346 在 18.6 和 18.7 之间，34618.6，21.89=3.5721，3.57211.89=，故答案为：18.7，1.89；（3）解：()218.4=338.56,338.56 的平方根是 18.4，故答案为：18.4【点睛】本题考查平方根和算术平方根的定义，正确利用平方根和算术平方根的定义是解题的关键52（2021 春安徽合肥七年级合肥市第四十二中学校考阶段练习）观察下列等式：111242=；112393=；1134164=(1)猜想：根据观察所发现的规律，猜想第 4 个等式为_，第 9 个等式为_(2)归纳证明：由以上观察探究，归纳猜想，用含n 的式子表

59、示第n 个等式所反映的规律为_ 学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)1125255=，1131010010=(2)()211111nnnn=+（n 为正整数），见解析【分析】（1）根据前 3 个等式反映的规律解答即可；（2）利用（1）的解答可得规律：()211111nnnn=+，然后利用算术平方根的定义证明即可【详解】（1）解：第 1 个等式为：111242=；第 2 个等式为112393=；第 3 个等式为：1134164=；所以猜想第 4 个等式为：114252555=；，第 9 个等式为：2119101010=，即1131010010=；故答案为：1125255=，113101001

60、0=；（2）第n个等式所反映的规律为：()211111nnnn=+；证明：n 为正整数，()()()()22221111111111nnnnnnnnn+=+；()211111nnnn=+（n 为正整数）【点睛】本题考查了算术平方根的运算和规律问题，正确得出规律是解题关键53（2023 春云南昆明七年级云南师范大学实验中学校考期中）在我校科技节活动中爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据：学科网（北京）股份有限公司0.03240.3243.2432.43243240324000.180.5691.85.691856.9180(1)通过观察可以发现当被开方数扩大 100 倍时，它的算

61、术平方根扩大_倍；(2)已知72.646，根据上述规律直接写出下列各式的值；0.07 _；700 _；(3)已知 10404102=，10.2x=，1020y=，则 x=_，y=_；(4)小明思考如果把算术平方根换成立方根，若 3 0.30.669，3 31.442，3 300 _，3 3000 _【答案】(1)10(2)0.2646,26.46；(3)104.04,1040400；(4)6.69,14.42【分析】（1）根据表中的数据找出变化规律；（2）利用（1）中的规律进行求解；（3）利用（1）中的规律进行求解；（4）类比（1）的规律，求解即可【详解】（1）被开方数扩大 100 倍，它的算

62、术平方根扩大 10 倍，故答案为：10；（2）0.070.2646，70026.46，故答案为：0.2646,26.46；（3）10404102=，10.2x=，1020y=，104.04x=，1040400y=，故答案为：104.04,1040400；（4）由（1）的规律可知：被开方数扩大 1000 倍，它的立方根扩大 10 倍，若3 30.669，3 31.442，学科网（北京）股份有限公司3 3006.69，3 300014.42，故答案为：6.69,14.42【点睛】本题考查了利用算术平方根的定义进行规律判断，通过已知的数据找出小数点移动的规律是解题的关键54（2023 春安徽淮南七年

63、级校联考阶段练习）（1）计算：()2933+（2）求()2116x=中的 x 的值（3）2 到底有多大？下面是小芯探索 2 的近似值的过程，请补充完整：我们知道面积是 2 的正方形边长是 2，且21.4设21.4x=+，画出如下示意图由面积公式，可得2x+2=因为 x 值很小，所以2x 更小，略去2x，得方程 ，解得 x （保留到0.001），即 2 【答案】（1）3；（2）5x=或3x=（3）22.81.96xx+；2.81.962x+=；0.014；1.414【分析】（1）先计算算术平方根，绝对值，再合并即可；（2）利用平方根的含义可得14x =或14x =，再解两个一次方程即可；（3）由

64、21.4，设21.4x=+，由面积公式，可得22.81.96xx+2=因为 x 值很小，所以2x 更小，略去2x，得方程 2.81.962x+=，再解方程可得答案【详解】解：（1）()2933+3 3 3=+3=；（2）()2116x=，14x =或14x =，解得：5x=或3x=学科网（北京）股份有限公司（3）21.4，设21.4x=+，画出如下示意图由面积公式，可得22.81.96xx+2=因为 x 值很小，所以2x 更小，略去2x，得方程2.81.962x+=，解得0.014x（保留到0.001），即21.414【点睛】本题考查的是实数的混合运算，利用平方根的含义解方程，无理数的估算，完

65、全平方公式的应用，掌握以上基础运算是解本题的关键55（2023 春福建厦门七年级校考期中）已知一个三位自然数，若满足百位数等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数等于十位数和个位数的平方差，则称这个数为“谐数”如果一个数既是“和数”又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”例如321，32 1=+，321是“和数”，22321=，321是“谐数”，321是“和谐数”(1)最小的和谐数是_，最大的和谐数是_(2)观察下列各式：()()22212 1 2 1=+，()()225454 5 4=+，()()227575 7 5=+，2296(96)(96)=+，2284(84)(84

66、)=+L L请你用含字母的式子写出你所观察到的一般规律，并证明任意的“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数(3)已知103817mbc=+（07b，14c，且b，c 均为整数），是一个“和数”求m 的值【答案】(1)110；954(2)证明见解析；(3)880m=或853或826【分析】（1）根据“和数”和“谐数”的概念即可解答；（2）设“谐数”的百位数字为 x(19)x，十位数字为()19yy,个位数字为()19zx即可解答；（3）先判断 229b+，103719c+，再利用“和数”的概念即可解答 学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：这个数是三位数，百位上为最小的自然数1，“和谐数

67、”满足百位数等于十位数字与个位数字的和，十位数字与个位数字为1和 0，“和谐数”满足百位数等于十位数和个位数的平方差，十位数字为1，个位数字为 0，最小的“和谐数”为110，故答案为110；这个数是三位数，百位上为最大的自然数9，“和谐数”满足百位数等于十位数字与个位数字的和，十位数字与个位数字为1和8，2 和 7，3和6，4 和5，“和谐数”满足百位数等于十位数和个位数的平方差，十位数字为5，个位数字为 4，最大的“和谐数”为954，故答案为954；（2）解：设“谐数”的百位数字为 x(19)x，十位数字为()19yy,个位数字为()19zx，()()22xyzyzyz=+，()()()()

68、1xyzyzyzyzyzyz+=+=+,yz+，yz是奇偶性相同，yz+，1yz+必然是一奇一偶，()()1yzyz+必然是偶数，任意的“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；（3）解：07b，229b+，14c，3312c，103719c+，学科网（北京）股份有限公司103817mbc=+()()8 100b+11037c=+()()8 100b+21037 10c=+()()8 100b+21033c=+m 为和数，82 33bc=+，即39bc+=，61bc=或32bc=或03bc=，880m=或853或826【点睛】本题考查了因式分解的应用，整式的运算，不等式的性质，理解题意、熟练掌

69、握“和数”与“谐数”的概念是解题的关键56（2023 春湖北咸宁七年级统考期中）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：0.00010.01,0.010.1,11,10010,10000100,=，(1)归纳：已知数 a的小数点的移动与它的算术平方根a 的小数点移动间有何规律？(2)已知21.414,204.47，则0.2=_；已知3.681.918,191.8a，则=a_；(3)根据上述探究方法，尝试解决问题：已知 3320.23,2023nm，用含n 的代数式表示m【答案】(1)数 a的小数点每移动两位它的算术平方根a 的小数点相应移动一位；(2)0.447；36800；(3)

70、610n【分析】（1）应从被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律；（2）根据规律即可得出答案；（3）先探讨被开方数与其立方根小数点移动规律，再根据规律解决此题【详解】（1）0.00010.01 0.010.1 11 10010 10000100=，学科网（北京）股份有限公司规律是：数 a 的小数点每每向右移两位，它的算术平方根a 的小数点相应向右移一位；（2）204.47，0.20.447=；3.681.918，191.8a，36800a=故答案为：0.447；36800；（3）33330.0010.1 11 100010 1000000100=，规律是：被开方数的小数点

71、每向右移 3 位，它的立方根的小数点相应向右移一位；3320.232023nm，6100000010mnn=【点睛】本题考查算术平方根、立方根，规律型：数字的变化类，熟练掌握算术平方根、立方根的变化规律是解决本题的关键57（2023 春云南昭通七年级统考阶段练习）先阅读理解，再回答下列问题：因为2112+=，且122，所以211+的整数部分为1；因为2226+=，且 263，所以222+的整数部分为2；因为23312+=，且3124，所以233+的整数部分为3；(1)以此类推，我们会发现2nn+（n 为正整数）的整数部分为_，请说明理由(2)已知20 的整数部分为 a，132 的整数部分为b，

72、求ab+的值【答案】(1)n，理由见解析(2)15【分析】（1）比较被开方数与所给数值的大小，可发现：222)1(nnnn+；故2nn+的整数部分为 n（2）先根据2nn+的整数部分为n，得到a，b，再代入计算即可求解【详解】（1）解：整数部分是n理由：n为正整数，学科网（北京）股份有限公司22nnn+，()()2211nnn nn+=+，()2221nnnn+，即n 2nn+1n+，2nn+（n为正整数）的整数部分为n（2）解：22044=+20 的整数部分为 44a=21321111=+132 的整数部分为1111b=15ab+=【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，解决本题的关键是找到

73、相应的规律；并根据规律得出结论58（2023 春江西南昌七年级南昌二中校考期末）观察表格，回答问题：a0.00010.01110010000a0.01x1yz(1)表格中 x=，y=；z=；(2)从表格中探究 a 与a 数位的规律，利用这个规律解决下面两个问题：已知 103.16，则 1000 ；已知8.973m=，若897.3b=，用含 m 的代数式表示 b，则 b ；(3)试比较a 与 a 的大小当 时，aa；当 时，aa=；当 时，aa【答案】(1)0.1；10；100(2)31.6；10000m 学科网（北京）股份有限公司(3)01a；1a=或 0；1a【分析】（1）由表格得出规律，求

74、出 x，y 和 z 的值即可；（2）根据得出的规律确定出所求即可；（3）根据表格中的数据，分类讨论 a 的范围，比较大小即可【详解】（1）0.010.1x=，10010y=，10000100z=故答案为：0.1；10，100；（2）103.16，100031.8结果扩大 100 倍，则被开方数扩大 10000 倍，10000bm=故答案为：31.6；10000m；（3）由表格中数据可知：当 01a 时，aa；当1a=或 0 时，aa=；当1a 时，aa，故答案为：01a；1a=或 0；1a 【点睛】此题考查了算术平方根的规律问题，弄清题中的规律是解本题的关键59（2022 秋四川成都七年级石室

75、中学校考期中）观察算式：21 3 142+=；22 4 193+=；23 5 1164+=；24 6 1255+=根据你发现的规律解决下列问题：(1)写出第 5 个算式：；(2)写出第 n 个算式：；(3)计算：1111111111111 32 43 54 65 798 100 +【答案】(1)25 7 1366+=(2)2(2)1(1)n nn+=+学科网（北京）股份有限公司(3)9950【分析】（1）根据题意找出规律：等式左边第一个数为一系列正整数，第二个数比第一个数大 2，再加上 1，等式右边是左边积中两个因数和的一半的平方，从而可得答案；（2）根据（1）中的规律，写出第 n 个算式即可

76、；（3）利用（1）中的规律进行计算即可【详解】（1）解：由题意得：第 5 个算式为：25 7 1366+=；（2）解：由题意得：第 n 个算式为：2(2)1(1)n nn+=+；（3）解：1111111111111 32 43 54 65 798 100 +1 3 12 4 13 5 14 6 15 7198 100 1.1 32 43 54 65 798 100+=2222222345699.1 32 43 54 65 798 100=22334455669999 .132435465798 100=299991 10050=；【点睛】题考查的是有理数的运算规律探究，掌握“从具体到一般的探究

77、方法，再总结规律并运用规律解题”是关键60（2023 春吉林长春七年级统考期末）观察表格回答下列问题：a0.00010.01110010000a 0.01x1y100(1)表格中 x=，y=(2)从表格中探究 a 与a 数位之间的变化规律，并利用规律解决下面问题：已知 103.16，则 1000 已知2.561.6=，若160a=，则 a 【答案】(1)0.1；10(2)31.6；25600 学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）利用算术平方根的定义即可得出答案；（2）根据表格中数据总结规律，继而求得答案；根据表格中数据总结规律，继而求得答案【详解】（1）解：220.10.0110100=，0.010.1x=，10010y=故答案为：0.1；10（2）解：由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位，已知 103.16，则 1000=31.6，故答案为：31.6；由可得被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位，已知2.561.6=，则25600160=，160a=，25600a=故答案为：25600【点睛】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键