概率统计大题综合（解析版）.pdf

1、1概率统计大题综合冲刺秘籍1.数字样本特征（1）众数：在一组数据中出现次数最多的数（2）中位数：将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果为奇数个，中位数为中间数；若为偶数个，中位数为中间两个数的平均数（3）平均数：x=x1+x2+xnn，反映样本的平均水平（4）方差：s2=(x1 x)2+(x2 x)2+(xn x)2n反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度；s2越大，样本波动越大，越不稳定；s2越小，样本波动越小，越稳定；（5）标准差：=s2，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样（6）极差：等于样本的最大值 最小值2.求随机变量 X 的分布列的步骤：(1)理解 X 的意义

2、，写出 X 可能取得全部值；(2)求 X 取每个值的概率；(3)写出 X 的分布列；(4)根据分布列的性质对结果进行检验.还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.3.求随机变量的期望和方差的基本方法：(1)已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；(2)已知随机变量 X 的期望、方差，求 aX+b a,b R的期望与方差，利用期望和方差的性质E aX+b=aE X+b，D aX+b=a2D X进行计算；(3)若能分析出所给的随机变量服从常用的分布(如：两点分布、二项分布等)，可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算，若 B(n,p),则 E=n

3、p，D=np(1-p).4.求解概率最大问题的关键是能够通过 P =k P=k+1P =k P=k-1构造出不等关系，结合组合数公式求解结果5.线性回归分析解题方法：2(1)计算 x,y,ni=1xi2,ni=1xiyi的值；(2)计算回归系数 a,b；(3)写出回归直线方程 y=bx+a.线性回归直线方程为：y=bx+a，b=ni=1xi xyi yni=1xi x2=ni=1xiyi nxyni=1xi2 nx2，a=y bx其中 x,y为样本中心，回归直线必过该点(4)线性相关系数(衡量两个变量之间线性相关关系的强弱)r=ni=1xi xyi yni=1xi x2ni=1yi y2=ni

4、=1xiyi nxyni=1xi2 nx2ni=1yi2 ny2r 0，正相关；r 5.024 P K 2 5.024=0.025，认为“药物对预防疾病有效”犯错误的概率是 2.5%(3)根据题意，10 只未患病动物中，有 6 只服用药物，4 只未服用药物，所以 的值可能为 0，1，2，3，4，则P(=0)=C46C410=15210，P(=1)=C36C14C410=80210，P(=2)=C26C24C410=90210，P(=3)=C16C34C410=24210，P(=4)=C44C410=1210，的分布列如下：01234P1521080210902102421012106则 E()

5、=0 15210+1 80210+2 90210+3 24210+4 1210=1.64(2023江苏常州校考一模)设 X,Y是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为ai,bj，其中 i,j N*，令 pij=P X=ai,Y=bj，称 pij i,j N*是二维离散型随机变量 X,Y的联合分布列，与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式；X,Yb1b2b3a1p11p12p13a2p21p22p23a3p31p32p33现有 n n N*个球等可能的放入编号为 1,2,3 的三个盒子中，记落入第 1 号盒子中的球的个数为 X，落入第 2 号盒子中的球

6、的个数为 Y(1)当 n=2 时，求 X,Y的联合分布列，并写成分布表的形式；(2)设 pk=nm=0P X=k,Y=m,k N且 k n，求nk=0kpk的值(参考公式：若 XB n,p，则nk=0kCknpk 1-pn-k=np)【答案】(1)答案见解析(2)n3【分析】(1)X 的取值为 0，1，2，Y 的取值为 0，1，2，分别计算概率即可；(2)计算得 pk=Ckn 13k 23n-k，则nk=0kpk=nk=0kCkn 13k 23n-k，最后利用二项分布的期望公式即可得到答案.【详解】(1)若 n=2，X 的取值为 0，1，2，Y 的取值为 0，1，2，则 P X=0,Y=0=1

7、32=19，P X=0,Y=1=C12 13 13=29，P X=0,Y=2=132=19，P X=1,Y=0=C12 13 13=29，P X=1,Y=1=C12 13 13=29，P X=2,Y=0=132=19，P X=1,Y=2=P X=2,Y=1=P X=2,Y=2=0，故 X,Y的联合分布列为X,Y0120719291912929021900(2)当 k+m n 时，P X=k,Y=m=0，故 pk=nm=0P X=k,Y=m=n-km=0P X=k,Y=m=n-km=0P CknCmn-k 13n=Ckn3nn-km=0Cmn-k=Ckn3n 2n-k=Ckn 13k 23n-k

8、所以nk=0kpk=nk=0kCkn 13k 23n-k，由二项分布的期望公式可得nk=0kpk=n3 5(2023江苏南京南京市第九中学校考模拟预测)某种疾病可分为 A，B 两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者的 2 倍，男性患 A 型疾病的人数占男性患者的 56，女性患 A 型疾病的人数占女性患者的 13.A 型病B 型病合计男女合计(1)填写 2 2 列联表，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为所患疾病的类型 与性别 有关”的结论，求被调查的男性患者至少有多少人？(2)某团队进行

9、预防 A 型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排 2 个周期接种疫苗，每人每个周期接种 3 次，每次接种费用为 m m 0元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为p 0 p 7.879，解得 x 11.8185，因为 x6 Z，x3 Z，所以 x 的最小整数值为 12，因此，男性患者至少有 12 人.(2)设该试验每人的接种费用为 元，则 的可能取值为 3m，6m.则 P =3m=C23p2 1-p+p3=-2p3+3p2，P =6m=1+2p3-3p2，所以 E=3m -2p3+3p2+6m 1+2p3-3p2=3m 2p3-3p2+2，因为 p=23，试验人数为 1000 人，所以

10、该试验用于接种疫苗的总费用为 1000E，所以 1000 3m 2 233-3 232+2=340009m 元.6(2023安徽蚌埠统考三模)某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各 100 名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球不喜欢足球合计男生40女生30合计(1)根据所给数据完成上表，依据 =0.001 的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了 2 名男生和 1 名女生示范点球射门.已知这两名男生进9球的概率均为 23，这名女生进球的概率为 12，每人射门一次，假设各人射门相互独

11、立，求 3 人进球总次数 X 的分布列和数学期望.附：2=n ad-bc2a+bc+da+cb+d0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)有 99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关；(2)分布列见解析，数学期望为 116.【分析】(1)完善列联表，计算 2的观测值，再与临界值表比对作答.(2)求出 X 的可能值，求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答.【详解】(1)依题意，2 2 列联表如下：喜欢足球不喜欢足球合计男生6040100女生3070100合计90110200零假设 H0：该校学生喜欢足球与性别无关

12、，2的观测值为 2=200(60 70-30 40)2100 100 90 110 18.182 10.828=x0.001，根据小概率值 =0.001 的独立性检验，推断 H0不成立，所以有 99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关.(2)依题意，X 的可能值为 0,1,2,3，P(X=0)=1-232 1-12=118，P(X=1)=C12 23 1-23 1-12+1-232 12=518，P(X=2)=C12 23 1-23 12+232 1-12=818=49，P(X=3)=232 12=29，所以 X 的分布列为：X0123P1185184929数学期望 E(X)=0 118

13、+1 518+2 49+3 29=116.7(2023海南海口海南华侨中学校考模拟预测)在以视觉为主导的社交媒体时代，人们常借助具有美颜功能的产品对自我形象进行美化.移动端的美颜拍摄类 APP 主要有两类：A 类是以自拍人像、10美颜美妆为核心功能的 APP；B 类是图片编辑、精修等图片美化类 APP.某机构为调查市民对上述A，B 两类 APP 的使用情况，随机调查了部分市民.已知被调查的市民中使用过 A 类 APP 的占 60%，使用过 B 类 APP 的占 50%，设个人对美颜拍摄类 APP 类型的选择及各人的选择之间相互独立.(1)从样本人群中任选 1 人，求该人使用过美颜拍摄类 APP

14、 的概率；(2)从样本人群中任选 5 人，记 X 为 5 人中使用过美颜拍摄类 APP 的人数，设 X 的数学期望为 E X，求 P X=E X；(3)在单独使用过 A，B 两类 APP 的样本人群中，按类型分甲、乙两组，并在各组中随机抽取 8 人，甲组对 A 类 APP，乙组对 B 类 APP 分别评分如下：甲组评分9486929687939082乙组评分8583859175908380记甲、乙两组评分的平均数分别为 x1，x2，标准差分别为 s1，s2，试判断哪组评价更合理.(设 Vi=sixi(i=1,2)，Vi越小，则认为对应组评价更合理.)参考数据：0.1925 0.439，0.23

15、25 0.482.【答案】(1)0.8(2)256625(3)甲组对 A 类 APP 的评价更合理.【分析】(1)求出“使用过 A 类 APP”和“使用过 B 类 APP”的概率，再由对立事件的概率公式求解即可.(2)题意知 X B 5,45，由二项分布的数学期望公式可求出 E X，再由二项分布的概率公式即可求出 P X=E X.(3)由平均数和方差的公式求解即可得出答案.【详解】(1)设事件 A 表示“使用过 A 类 APP”，事件 B 表示“使用过 B 类 APP”，由题意知 P A=0.6，P B=0.5.任选一人，该人使用过美颜拍摄类 APP 的概率:P=1-P AB=1-0.4 0.

16、5=0.8.(2)由题意知 X B 5,45，则 X 的数学期望 E X=5 45=4.P X=E X=P X=4=C45454 15=256625.(3)x1=94+86+92+96+87+93+90+828=90，x2=85+83+85+91+75+90+83+808=84，11s1=18 42+-42+22+62+-32+32+02+-82=19.25 4.39，s2=18 12+-12+12+72+-92+62+-12+-42=23.25 4.82，V1=s1x1=4.3990 V2=s2x2=4.8284，故甲组对 A 类 APP 的评价更合理.8(2023广东统考模拟预测)某工厂车

17、间有 6 台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是 14，且一台机器的故障由一个维修工处理已知此厂共有甲、乙、丙 3 名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责 2 台机器；方案二：由甲乙两人共同维护 6台机器，丙负责其他工作.(1)对于方案一，设 X 为甲维护的机器某一时刻发生故障的台数，求 X 的分布列与数学期望 E(X)；(2)在两种方案下，分别计算某一时刻机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？【答案】(1)分布列见解析，12(2)7214096，3472048，方案二能让故障机器更大概率

18、得到及时维修，使得工厂的生产效率更高【分析】(1)根据题意得到随机变量 XB 2,14，结合独立重复试验的概率计算公式求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解；(2)根据题意，分别求得方案一和方案二中，结合对立事件和独立重复试验的概率计算公式，分别求得机器发生故障时不能及时维修的概率 P1和 P2，根据大小关系，即可得到结论.【详解】(1)解：由题意，车间有 6 台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是 14，可得方案一中，随机变量 XB 2,14，则 P X=0=342=916，P X=1=C12 14 34=38，P X=2=142=116，所以随机变量

19、 X 的分布列为：X012P91638116所以期望为 E X=2 14=12(2)解：对于方案一：“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙三人中，至少有一人负责的 2台机器同时发生故障”，设机器发生故障时不能及时维修的概率为 P1，则其概率为 P1=1-1-P X=23=1-1-1163=7214096 12对于方案二：设机器发生故障时不能及时维修的概率为 P2，则 P2=1-346-C16 14 345-C26142344=1-36+6 35+15 344096=3472048，可得 P2 P1，即方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高9(2023福建福州福

20、建省福州第一中学校考模拟预测)相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为 37.2%，城乡居民达到国民体质测定标准合格以上的人数比例达到 90%以上.某健身连锁机构对其会员的年龄等级和一个月内到健身房健身次数进行了统计，制作成如下两个统计图.图 1 为会员年龄分布图(年龄为整数)，其中将会员按年龄分为“年轻人”(20 岁-39 岁)和“非年轻人”(19 岁及以下或 40 岁及以上)两类；图 2 为会员一个月内到健身房次数分布扇形图，其中将一个月内到健身房锻炼 16 次及以上的会员称为“健身达人”，15 次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有 56 是“年轻人”.(1

21、)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为 100 的样本，根据图表数据，补全 2 2 列联表，并依据小概率值 =0.05 的独立性检验，是否可以认为“健身达人”与年龄有关？年轻人非年轻人合计健身达人健身爱好者合计(2)该健身机构在今年年底将针对全部的 150 名会员举办消费返利活动，预设有如下两种方案.方案 1：按分层抽样从健身爱好者和健身达人中总共抽取 20 位“幸运之星”给予奖励.其中，健身爱好者和健身达人中的“幸运之星”每人分别奖励 500 元和 800 元.方案 2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有 3 个白球、2 个红球(球只有颜色不同)的箱子中，有放回地摸三次

22、球，每次只能摸一个球.若摸到红球的总数为 2，则可获得 100 元奖励金；若摸到红球的总数为 3，则可获得 300 元奖励金；其他情况不给予奖励.如果每位健身爱好者均可参加 1 次摸奖游戏；每位健身达人均可参加 3 次摸奖游戏(每次摸奖的结果13相互独立).以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由.附：2=n(ad-bc)2a+bc+da+cb+d.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，“健身达人”与年龄无关(2)施行方案 1 投资较少，理由见解析【分析】(

23、1)根据题意计算相关数据填好列联表，利用公式计算 2，对照参考数据得出结论；(2)按分层抽样计算方案 1 奖励的总金额 1；方案 2 中，设 表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则 的可能取值为 0,100,300，计算对应概率，得出分布列，数学期望 E，进而计算按照方案 2 奖励的总金额 2，比较 1,2即可得出答案.【详解】(1)根据年轻人标准结合图 1 可得年轻人占比为 80%，则年轻人人数为 100 80%=80，非年轻人为 20 人，根据图 2 表格得健身达人所占比 60%，所以其人数为 100 60%=60，根据其中年轻人占比 56，所以健身达人中年轻人人数为 60 56=50，非

24、年轻人为 10 人；健身爱好者人数为 100-60=40，再通过总共年轻人合计为 80 人，则健身爱好者中年轻人人数为 80-50=30，根据非年轻人总共为 20 人，健身爱好者中非年轻人人数为 20-10=10，所以列联表为：年轻人非年轻人合计健身达人501060健身爱好者301040合计8020100零假设为 H0：“健身达人”与年龄无关联，根据列联表中的数据，可得 2=100 (50 10-30 10)280 20 60 40=2524 1.042 3.841，依据小概率值 =0.05 的独立性检验，没有充分证据推断 H0不成立，因此可以认为 H0成立，即“健身达人”与年龄无关.(2)方

25、案 1：按分层抽样从健身爱好者和健身达人中总共抽取 20 位“幸运之星”，则“幸运之星”中的健身爱好者和健身达人的人数分别为18.2%+21.8%20=8,30.1%+19.2%+10.7%20=12，按照方案 1 奖励的总金额为 1=8 500+12 800=13600(元).方案 2：设 表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，14全部的 150 名会员中的健身爱好者和健身达人的人数分别为18.2%+21.8%150=60,30.1%+19.2%+10.7%150=90，则 的可能取值为 0,100,300.由题意，每摸球 1 次，摸到红球的概率为 P=C12C15=25，所以 P =0=C0

26、3353 250+C13 352 251=81125，P =100=C23351 252=36125，P =300=C33350 253=8125.所以 的分布列为：0100300P81125361258125数学期望为 E=0 81125+100 36125+300 8125=48(元)，按照方案 2 奖励的总金额为 2=60+3 90 48=15840(元)，因为由 1 3.841，根据小概率值 =0.05 的独立性检验，推断 H0不成立，即认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于 60 有关，此推断犯错误的概率不大于 0.05.16(2)(i)令事件 A=“志愿者第一次注射疫苗产生抗体

27、”，事件 B=“志愿者第二次注射疫苗产生抗体”，事件 C=“志愿者注射 2 次疫苗后产生抗体”，记事件 A,B,C 发生的概率分别为 P(A),P(B),P(C)，则 P A=160200=0.8,P B=m40,P C=1-P AP B=1-0.2 1-m40=0.9，解得：m=20，所以 m=20.()依题意，随机变量 X B(110,0.9)，P(X=k)=Ck110 0.9k 0.1110-k(k N,k 110)，显然 P(X=0),P(X=110)不是最大的，即当 P(X=k)最大时，k N,k P A，故小宇进决赛的可能性更大，所以应选择小宇去参加比赛13(2023广东校联考模拟

28、预测)某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.(1)若甲第一关通过的概率为 23，第二关通过的概率为 56，求甲可以进入第三关的概率；(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为 450 分，现要根据得分给共 2500 名参加者中得分前 400 名发放奖励.假设该闯关活动平均分数为 171 分，351 分以上共有 57 人，已知甲的得分为 270 分，问甲能否获得奖励，请说明理由；丙得

29、知他的分数为 430 分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为 201 分，351 分以上共有 57 人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.附：若随机变量 Z N,2，则 P -X +0.6827；P -2 X +2 0.9545；P -3 X +3 0.9973.【答案】(1)7081(2)能，理由见解析假【分析】(1)设 Ai为第 i 次通过第一关，Bi为第 i 次通过第二关，计算 P=P(A1B1)+P(A1A2B1)+P(A1B1B2)+P(A1A2B1B2)即可；(2)由 XN(,2)，且 =171，计算，求出前 400 名参赛者的最低得分，与甲的得分比较即可；假设乙所说

30、为真，由 =201 计算，求出 P X +3 0.0013 +2)=1-P -2 X +22=1-0.95452 0.0228，所以 +2=351，则 =351-1712=90；而 4002500=0.16，且 P(X +)=1-P -X +2=1-0.68272 0.1587 0.16，所以前 400 名参赛者的最低得分高于 +=261，而甲的得分为 270 分，所以甲能够获得奖励；假设乙所说为真，则 =201，P X +2=1-P -2 X +22=1-0.95452 0.0228，而572500=0.0228，所以 =351-2012=75，从而 +3=201+3 75=426 430，

31、而 P X +3=1-P -3 X +32=1-0.99732 0.0013 3.841，依据小概率值 =0.05 的 2独立性检验，能认为经常使用网络直播销售与年龄有关(2)方案一：设获利 X 万元，则 X 的所有可能取值为 300,-150,0，E(X)=300 35+(-150)15+0 15=150，D(X)=(300-150)2 35+(-150-150)2 15+(0-150)2 15=36000，方案二：设获利 Y 万元，则 Y 的所有可能取值为 500,-300,0，E(Y)=500 12+(-300)310+0 15=160，D(Y)=(500-160)2 12+(-300-

32、160)2 310+(0-160)2 15=126400，所以 E(X)E(Y),D(X)6.635=x0.01依据 =0.01 的独立性检验，推断 H0不成立，即认为该市市民患有疾病 A 与是否具有生活习惯 B 有关，此推断犯错误的概率不大于 0.01(2)由(1)数据可得：P M=45100=920，P NM=20100=15，所以 P N M=P NMP M=15920=49(3)由题意知可用 B 3,15估计 X 的分布，所以 E X的估计值为 np=3 15=35 17(2023江苏扬州统考模拟预测)随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道在凤梨销售旺季，某凤梨基地随机

33、抽查了 100 个购物群的销售情况，各购物群销售凤梨的数量情况如下：凤梨数量(盒)100,200200,300300,400400,500500,600购物群数量(个)12m2032m(1)求实数 m 的值，并用组中值估计这 100 个购物群销售风梨总量的平均数(盒)；(2)假设所有购物群销售凤梨的数量 X 服从正态分布 N,2，其中 为(1)中的平均数，2=12100若该凤梨基地参与销售的购物群约有 1000 个，销售风梨的数量在 266,596(单位：盒)内的群为“一级群”，销售数量小于 266 盒的购物群为“二级群”，销售数量大于等于 596 盒的购物群为“优质群”该凤梨基地对每个“优质

34、群”奖励 1000 元，每个“一级群”奖励 200 元，“二级群”不奖励，则该风梨基地大约需要准备多少资金？(群的个数按四舍五入取整数)附：若 X 服从正态分布 XN,2，则 P(-X +)0.683,P(-2 X +2)0.954,P(-3 X 596)=P(X +2)=12 (1-0.954)=0.023，25所以“优质群”约有 1000 0.023=23 个，P(266 X 596)=P(-X 0，一般来说在室外温度低于 10 度的情况下学生去打乒乓球的概率会比室外温度不低于 10 度的情况下去打乒乓球的概率要大，证明：P(A|B)P(A|B).【答案】(1)0.4；47(2)分布列见解

35、析，1.82(3)证明见解析【分析】(1)根据古典概型以及条件概率的计算，即可得答案；(2)确定 X 的取值，根据每个值对应的含义，求得每个值对应的概率，即可得分布列，继而求得期望；(3)根据题意可得 P(B|A)P(B|A)，利用条件概率的计算公式，以及对立事件的概率公式进行推理，即可证明结论.【详解】(1)设事件 C 为“早上甲打篮球”，事件 D 为“下午甲打篮球”，则 P(CD)=2050=0.4，P(D|C)=n CDn C=2035=47.(2)由题意知，甲上下午都选择篮球的概率为 0.4，乙上下午都选择篮球的概率为 0.2，甲上下午都选择乒乓球的概率为 0.2，乙上下午都选择乒乓球

36、的概率为 0.5，记 X 为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数，则 X 的所有可能取值为 1、2，26所以 P(X=1)=0.4 0.2+0.2 0.5=0.18，P(X=2)=1-P(X=1)=0.82，所以 X 的分布列为：X12P0.180.82所以 E(X)=1 0.18+2 0.82=1.82.(3)证明：由题意知 P(B|A)P(B|A)，即 P(AB)P(A)P(BA)P(A)=P(B)-P(AB)1-P(A)，即 P(AB)P(B)P(A)，即 P(AB)-P(B)P(AB)P(B)P(A)-P(B)P(AB)，即 P(AB)P(B)P(B)P(AB)，即 P(AB)P(B)

37、P(AB)P(B)，即 P(A|B)P(A|B).19(2023广东深圳统考二模)某校体育节组织定点投篮比赛，每位参赛选手共有 3 次投篮机会.统计数据显示，每位选手投篮投进与否满足：若第 k 次投进的概率为 p(0 p 1)，当第 k 次投进时，第 k+1 次也投进的概率保持 p 不变；当第 k 次没能投进时，第 k+1 次能投进的概率降为 p2.(1)若选手甲第 1 次投进的概率为 p(0 p 1)，求选手甲至少投进一次的概率；(2)设选手乙第 1 次投进的概率为 23，每投进 1 球得 1 分，投不进得 0 分，求选手乙得分 X 的分布列与数学期望.【答案】(1)7p4-7p28+p38

38、(2)分布列见解析；53【分析】(1)记选手甲第 k 次投进为事件 Ak k=1,2,3，未投进为事件 Ak，则所求概率为 1-P A1A2A3；(2)根据 X 的取值为 0,1,2,3 分情况讨论即可.【详解】(1)解：记选手甲第 k 次投进为事件 Ak k=1,2,3，未投进为事件 Ak，选手甲至少投进一次这一事件的概率为 1-P A1A2A3.因为 P A1A2A3=1-p1-p21-p4=1-7p4+7p28-p38，所求概率为 1-P A1A2A3=7p4-7p28+p38.(2)得分 X 等于乙投进的次数，则 X 的取值为 0,1,2,3.记选手乙第 k 次投进为事件 Bk k=1

39、,2,3，27由题意可知 P(B1)=23,P(B2)=13,P(B3)=16,P X=0=P B1B2B3=13 23 56=527,投进 1 次对应事件为 B1B2B3+B1B2B3+B1B2B3，P X=1=23 13 23+13 13 23+13 23 16=727，投进 2 次对应事件为 B1B2B3+B1B2B3+B1B2B3，P X=2=23 23 13+23 13 13+13 13 13=727，投进 3 次对应事件为 B1B2B3,P X=3=23 23 23=827.所以 X 的分布列为X0123P X527727727827选手乙得分的数学期望 E X=0 527+1 7

40、27+2 727+3 827=53.20(2023湖北武汉华中师大一附中校考模拟预测)2021 年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员选择就地过年某市统计了该市 4 个地区的外来务工人数与就地过年人数(单位：万)，得到如下表格：A 区B 区C 区D 区外来务工人数 x/万3456就地过年人数 y/万2.5344.5(1)请用相关系数说明 y 与 x 之间的关系可用线性回归模型拟合，并求 y 关于 x 的线性回归方程 y=a+bx 和 A 区的残差(2)假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的每人发放 1000 元补贴若该市 E 区有 2 万名外来务工人员，根据(1)的结论估计该市政府需要

41、给 E 区就地过年的人员发放的补贴总金额；若 A 区的外来务工人员中甲、乙选择就地过年的概率分别为 p,2p-1，其中 12 p 1，该市政府对甲、乙两人的补贴总金额的期望不超过 1400 元，求 p 的取值范围参考公式：相关系数 r=ni=1xi yi-nxyni=1x2i-nx2ni=1y2i-ny2，28回归方程 y=a+bx 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 b=ni=1xi yi-nxyni=1x2i-nx2,a=y-bx【答案】(1)答案见解析，y=0.7x+0.35，0.05(2)1750(万元)；12,45【分析】(1)根据表中数据和题设给出的计算公式可求相关系数，故可用线

42、性回归模型拟合 y 与 x 之间的关系，求出回归方程后可求残差.(2)结合(1)的回归方程可估计补贴总金额；利用独立事件的概率公式可求补贴总金额的分布列，求出其期望后可求 p 的取值范围.【详解】(1)由题，x=3+4+5+64=4.5,y=2.5+3+4+4.54=3.5，4i=1xiyi=3 2.5+4 3+5 4+6 4.5=66.5，4i=1x2i=32+42+52+62=86，4i=1y2i=2.52+32+42+4.52=51.5，所以相关系数 r=66.5-4 4.5 3.586-4 4.52 51.5-4 3.52=3.55 2.5 0.99，因为 y 与 x 之间的相关系数近

43、似为 0.99，说明 y 与 x 之间的线性相关程度非常强，所以可用线性回归模型拟合 y 与 x 之间的关系b=66.5-4 4.5 3.586-4 4.52=0.7,a=y-bx=3.5-0.7 4.5=0.35，故 y 关于 x 的线性回归方程为 y=0.7x+0.35 yA=2.5,yA=0.7 3+0.35=2.45，yA-yA=0.05，故 A 区的残差为 0.05.(2)(2)将 x=2 代入 y=0.7x+0.35，得 y=0.7 2+0.35=1.75，故估计该市政府需要给 E 区就地过年的人员发放的补贴总金额为 1.75 1000=1750(万元)设甲、乙两人中选择就地过年的

44、人数为 X，则 X 的所有可能取值为 0，1，2，P X=0=1-p2-2p=2p2-4p+2，P X=1=1-p2p-1+p 2-2p=-4p2+5p-1，P X=2=p 2p-1=2p2-p所以 E X=0+-4p2+5p-1 1+2p2-p 2=3p-1，所以 E 1000X=1000 3p-1，由 1000 3p-1 1400，得 p 45，又 12 p 1，所以 12 0，所以 P2-P1P1-P0=23，同理可得 P3-P2P2-P1=P4-P3P3-P2=P5-P4P4-P3=P6-P5P5-P4=23，所以 Pi+1-Pii=0,1,2,5为等比数列.【点睛】关键点点睛：第(3

45、)问中，正确理解题意，利用全概率公式得到数列 Pi 中相邻三项之间的关系是解题关键.3022(2023湖北襄阳襄阳四中校考三模)为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计 50 多个班级参与，1000 余件物品待出售.摄影社从中选取了 20 件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三 1，2，3 班分别有 12，13，14 的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为 6:7:8.(1)现从三个班中随机抽取一位同学：(i)求该同学有购买意向的概率；(ii)如果该同学有购买意向，求此人来自

46、 2 班的概率；(2)对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以 0元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于 2，则在已叫价格基础上增加 1 元更新叫价，若点数小于 3，则在已叫价格基础上增加 2 元更新叫价；重复上述过程，能叫到 10 元，即获得以 10 元为价格的购买资格，未出现叫价为 10 元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率(精确到 0.01).【答案】(1)(i)2263；(ii)722(2)0.75.【分析】(1)设事件 A=“该同学有购买意向”，事件 Bi=“该同

47、学来自 i 班”i=1,2,3.根据全概率公式即可求解 P A，根据条件概率公式即可求解 P B2 A；(2)由题意可得每次叫价增加 1 元的概率为 23，每次叫价增加 2 元的概率为 13.设叫价为n 3 n 10元的概率为 Pn，叫价出现 n 元的情况只有下列两种：叫价为 n-1 元，且骰子点数大于 2，其概率为 23 Pn-1；叫价为 n-2 元，且骰子点数小于 3，其概率为 13 Pn-2.于是得到 Pn=23 Pn-1+13 Pn-2 n 3，构造等比数列 Pn-Pn-1，结合累加法可求解.【详解】(1)(i)设事件 A=“该同学有购买意向”，事件 Bi=“该同学来自 i 班”i=1

48、,2,3.由题意可知 P B1=621,P B2=721,P B3=821，P A B1=12,P A B2=13,P A B3=14，所以，由全概率公式可得：P A=P B1 P A B1+P B2 P A B2+P B3 P A B3=621 12+721 13+821 14=2263.(ii)由条件概率可得 P B2 A=P B2AP A=P B2 P A B2P A=721 132263=722.(2)由题意可得每次叫价增加 1 元的概率为 23，每次叫价增加 2 元的概率为 13.31设叫价为 n 3 n 10元的概率为 Pn，叫价出现 n 元的情况只有下列两种：叫价为 n-1 元，

49、且骰子点数大于 2，其概率为 23 Pn-1；叫价为 n-2 元，且骰子点数小于 3，其概率为 13 Pn-2.于是得到 Pn=23 Pn-1+13 Pn-2 n 3，易得 P1=23，P2=23 23+13=79由于 Pn-Pn-1=-13 Pn-1+13 Pn-2=-13 Pn-1-Pn-2n 3，于是当 n 2 时，数列 Pn-Pn-1是以首项为 19，公比为-13 的等比数列，故 Pn-Pn-1=19 -13n-2 n 2.于是 P10=P1+P2-P1+P3-P2+P9-P8+P10-P9=23+19 1-1391-13=34+14 1310 0.75于是，甲同学能够获得笔记本购买资

50、格的概率约为 0.75.【点睛】关键点睛：第二问中关键是设叫价为 n 3 n 10元的概率为 Pn，利用叫价为 n 元是在叫价为 n-1元的基础上再叫价 1 元或在叫价为 n-2元的基础上再叫价 2 元，从而确定 Pn与 Pn-1的关系，再结合数列中的构造法和累加法即可求解.23(2023广东茂名统考二模)春节过后，文化和旅游业逐渐复苏，有意跨省游、出境游的旅客逐渐增多.某旅游景区为吸引更多游客，计划在社交媒体平台和短视频平台同时投放宣传广告并进行线上售票，通过近些年的广告数据分析知，一轮广告后，在短视频平台宣传推广后，目标用户购买门票的概率为 29，在社交媒体平台宣传推广后，目标用户购买门票

51、的概率为 q；二轮广告精准投放后，目标用户在短视频平台进行复购的概率为 p，在社交媒体平台复购的概率为 1727.(1)记在短视频平台购票的 4 人中，复购的人数为 X，若 D X=34，试求 X 的分布列和期望；(2)记在社交媒体平台的 3 名目标用户中，恰有 1 名用户购票并复购的概率为 P，当 P 取得最大值时，q 为何值？(3)为优化成本，该景区决定综合渠道投放效果的优劣，进行广告投放战略的调整.已知景区门票 100元/人，在短视频平台和社交媒体平台的目标用户分别在 90 万人和 17 万人左右，短视频平台和社交媒体平台上的广告投放费用分别为 4 元/100 人和 5 元/100 人，

52、不计宣传成本的景区门票利润率分别是2%和 5%，在第(2)问所得 q 值的基础上，试分析第一次广告投放后，景区在两个平台上的目标用户身上可获得的净利润总额.【答案】(1)分布列见解析；当 p=14 时，期望为 1；当 p=34 时，期望为 3；32(2)q=917(3)805500 元【分析】(1)复购的人数 X 满足 X B 4,p，故通过 D X=34 可求得 p=14 或 34，然后分两种情况进行求分布列和期望即可；(2)设在社交媒体平台的目标用户购票并复购的概率为 q1，由题得,q1=1727 q，故可计算得 P=3 q31-2q21+q1，通过导数研究其单调性即可求得最大值，求得此时

53、的 q 值；(3)根据题意，分两个平台进行计算净利润，最后进行求和即可【详解】(1)由题意得,在短视频平台购票的人中,复购概率为 p，复购的人数 X 满足二项分布，即 X B 4,p，故 D(X)=4p(1-p)=34,故 p=14 或 34.又知 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，当 p=14 时,P(X=0)=C04140 344=81256,P(X=1)=C14141 343=108256=2764,P(X=2)=C24142 342=54256=27128,P(X=3)=C34143 341=12256=364,P(X=4)=C44144 340=1256X 的分布列为X012

54、34P812562764271283641256此时期望为 E(X)=4 14=1，p=34 时,P(X=0)=C04340 144=1256,P(X=1)=C14 341 143=12256=364,P(X=2)=C24342 142=54256=27128,P(X=3)=C34343 141=108256=2764,P(X=4)=C44344 140=81256，所以 X 的分布列为X01234P125636427128276481256此时期望为 E(X)=4 34=3(2)设在社交媒体平台的目标用户购票并复购的概率为 q1，由题得,q1=1727 q.33P=C13 q11 1-q12

55、=3q1 q21-2q1+1=3 q31-2q21+q1,P=3 3q21-4q1+1=3 3q1-1q1-1,令 P=0,得 q1=13 或 1，所以 q1 0,13时,P 0，函数 P 单调递增,当 q113,1时,P 0，函数 P 单调递减.故当 q1=13,P 取得最大值.由 1727 q=q1可得，此时 q=917.(3)短视频平台:(100 2%)900000 29-900000100 4=364000(元),社交媒体平台:(100 5%)170000 917-170000100 5=441500(元),净利润总额:364000+441500=805500(元).故景区在两个平台上

56、的目标用户身上可获得的净利润总额为 805500 元.【点睛】方法点睛：这道题的信息量较多，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的24(2023全国模拟预测)甲袋中装有 3 个红球，2 个白球，乙袋中装有 5 个红球，5 个白球，两个袋子均不透明，其中的小球除颜色外完全一致.现从甲袋中一次性抽取 2 个小球，记录颜色后放入乙袋，混匀后从乙袋一次性抽取 3 个小球，记录颜色.设随机变量 X 表示在甲袋中抽取出的红球个数，Y k表示 X=k 时，在乙袋中抽取出的红球个数，Z 表示在乙袋中抽取出的红球个数.(1)求 X 的分布列；(2

57、)求 Y k的数学期望 E Y k(用含 k 的代数式表示)；(3)记 X 的所有可取值为 a1,a2,an，证明：E Z=nk=1pX=akE Y ak，并求 E Z.【答案】(1)分布列见解析；(2)5+k4；(3)证明见解析，3120.【分析】(1)根据题意，求得 X 的取值，再求对应概率，即可求得分布列；(2)Y k服从超几何分布，直接写出期望即可；(3)根据全期望公式，结合条件概率的和全概率公式，整理化简即可证明，再根据所证结论，直接计算即可.【详解】(1)X 的所有可能取值为 0,1,2P X=0=C22C25=110,P X=1=C13C12C25=35,P X=2=C23C25

58、=310，34所以 X 的分布列为X012P11035310(2)依题意，Y k服从超几何分布，且 N=10+2=12,M=5+k,n=3，故 E Y k=3 5+k12=5+k4.(3)Z 的所有可能取值为 0，1，2，3，则由全概率公式，P Z=l=2k=0PZ=l|x=kP X=k=2k=0PY k=lP X=k，l=0,1,2,3；因此 E Z=3l=0lP Z=l=3l=0 2k=0lP Y k=lP X=k=2k=0P X=k3l=0lP Y k=l=2k=0P X=kE Y k=nk=1P X=akE Y ak，故 E Z=110 54+35 64+310 74=3120.【点睛

59、】本题属于中档题，考查随机变量的分布列、期望、全概率公式.同四省联考一样，本题直接考查超几何分布的期望.作为重要的离散型随机变量之一，超几何分布的参数含义、均值一定要熟记，方差课本上不做要求，如果对自己要求较高的同学应掌握推导过程，具体证明可参见 2023 届“星云”五一联考 22 题.本题第(3)问的背景是重期望(或全期望)公式：对随机变量 X 和 Y，总有 E X=E E XY.25(2023河北统考模拟预测)为切实做好新冠疫情防控工作，有效、及时地控制和消除新冠肺炎的危害，增加学生对新冠肺炎预防知识的了解，某校举办了一次“新冠疫情”知识竞赛.竞赛分个人赛和团体赛两种.个人赛参赛方式为：组

60、委会采取电脑出题的方式，从题库中随机出 10 道题，编号为 A1，A2，A3，A4，A10，电脑依次出题，参赛选手按规则作答，每答对一道题得 10 分，答错得 0 分.团体赛以班级为单位，各班参赛人数必须为 3 的倍数，且不少于 18 人，团体赛分预赛和决赛两个阶段，其中预赛阶段各班可从以下两种参赛方案中任选一种参赛：方案一：将班级选派的 3n 名参赛选手每 3 人一组，分成 n 组，电脑随机分配给同一组的 3 名选手一道相同的试题，3 人均独立答题，若这 3 人中至少有 2 人回答正确，则该小组顺利出线；若这 n 个小组都顺利出线，则该班级晋级决赛.方案二：将班级选派的 3n 名参赛选手每

61、n 人一组，分成 3 组，电脑随机分配给同一组的 n 名选手一道相同的试题，每人均独立答题，若这 n 个人都回答正确，则该小组顺利出线；若这 3 个小组中至少有 235个小组顺利出线，则该班级晋级决赛.(1)郭靖同学参加了个人赛，已知郭靖同学答对题库中每道题的概率均为 45，每次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求郭靖同学得分的数学期望与方差；(2)在团体赛预赛中，假设 A 班每位参赛选手答对试题的概率均为常数 p 0 p 1，A 班为使晋级团体赛决赛的可能性更大，应选择哪种参赛方式？请说明理由.【答案】(1)80;160(2)选择方案一，理由见解析【分析】(1)设郭靖同学答

62、对的题目数为 X，得分为 Y，由题意确定 X B 10,45，根据二项分布的期望和方差的性质，即可求得答案.(2)设 A 班选择方案一和方案二晋级团体赛决赛的概率分别为 P1,P2，分别求出 P1,P2的表达式，作差并利用构造函数判断 P1,P2的大小，即可得到结论.【详解】(1)设郭靖同学答对的题目数为 X，得分为 Y，则 Y=10X，由题意可知 X B 10,45,则 E(Y)=E(10X)=10E(X)=10 10 45=80;D(Y)=D(10X)=100D(X)=100 10 45 1-45=160.(2)设 A 班选择方案一和方案二晋级团体赛决赛的概率分别为 P1,P2，当选择方案

63、一时，小组里 3 人中至少有 2 人回答正确的概率为 C23p2(1-p)+C33p3=3p2-2p3，故 P1=3p2-2p3n=p2n 3-2pn；当选择方案二时，一个小组顺利出线的概率为 pn，则小组没有出线的概率为 1-pn，故 P2=C23p2n 1-pn+C33p3n=3p2n-2p3n；故 P1-P2=p2n 3-2pn-3p2n+2p3n=p2n(3-2p)n+2pn-3，令 f n=3-2pn+2pn-3,n N，则 f n+1-f n=3-2pn+1+2pn+1-3-2p)n-2pn=3-2pn 2-2p+2pn p-1=2 1-p3-2pn-pn，因为 0 p 0,3-2

64、p 1，故 3-2pn 1,0 pn 0，则 f n+1-f n 0，即 f n+1 f n，故 f n=3-2pn+2pn-3,n N 为单调增函数，因为 f(1)=3-2p+2p-3=0，由于各班参赛人数必须为 3 的倍数，且不少于 18 人，即 n 6，此时 f n f 6 f 1=0 P1 P236故 A 班为使晋级团体赛决赛的可能性更大，应选择方案一参赛.【点睛】关键点睛：本题为概率类综合题目，题目背景较为复杂，因而解答的关键是要明确题目含义，明确变量服从二项分布，从而作答，难点在于第二问求得方案一二的概率表达式，并进行大小比较.26(2023安徽黄山屯溪一中校考模拟预测)现有一种不

65、断分裂的细胞 X，每个时间周期 T 内分裂一次，一个 X 细胞每次分裂能生成一个或两个新的 X 细胞，每次分裂后原 X 细胞消失，设每次分裂成一个新 X 细胞的概率为 p，分裂成两个新 X 细胞的概率为 1-p；新细胞在下一个周期 T 内可以继续分裂，每个细胞间相互独立.设有一个初始的 X 细胞，在第一个周期 T 中开始分裂，其中 p 12,1.(1)设 2T 结束后，X 细胞的数量为，求 的分布列和数学期望；(2)设 nT n N*结束后，X 细胞数量为 m 的概率为 Pm n.(i)求 P2 n；(ii)证明：P3 n827p2.【答案】(1)分布列见解析，p2-4p+4(2)(i)pn-

66、1 1-pn；(ii)证明见解析【分析】(1)求出 的取值及不同取值对应的概率，进而列出分布列，利用期望公式求出期望；(2)(i)求出第 kT 时分裂为 2 个 X 细胞的概率，再用等比数列求和公式，即可求解；(ii)求出第 kT 时分裂为 3 个 X 细胞的概率，再用等比数列求和公式，求出 P3 n，再利用导数法确定函数的单调性，从而确定最值，即可得证.【详解】(1)2 个 T 结束后，的取值可能为 1,2,3,4,其中 P =1=p2,P =2=p 1-p+1-pp2=p-p3，P =3=1-p C12 p 1-p=2p 1-p2，P =4=1-p3，所以 分布列为1234Pp2p-p32

67、p 1-p21-p3E=1 p2+2 p-p3+3 2p 1-p2+4 1-p3=p2-4p+4.(2)(i)P2 n表示分裂 nT 结束后共有 2 个细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成 2 个 X 细胞.不妨设在第 kT 时分裂为 2 个 X 细胞，之后一直有 2 个 X 细胞，此事件概率 P2,k=pk-1 1-p p2n-k=1-p p2n-1-k，所以 P2 n=P2,1+P2,2+P2,n=nk=11-p p2n-1-k=1-pp2nnk=1p-1-k=pn-1 1-pn.(ii)P3 n代表分裂 nT 后有 3 个细胞的概率，设细胞 X 在 kT 后分裂为 2 个新的 X 细

68、胞，这两个 X 细37胞在剩下的 n-kT 中，其中一个分裂为 2 个 X 细胞，一个保持一直分裂为 1 个 X 细胞，此事件的概率P3,k=pk-1 1-p C12pn-k P2 n-k=pk-1 1-p 2 pn-k pn-k-1 1-pn-k，得 P3,k=2p2n-2 1-p p-k-2p3n-2 1-p p-2k，P3 n=P3,1+P3,2+P3,n=2p2n-2 1-pnk=1p-k-2p3n-2 1-pnk=1p-2k=2pn-1 1-pn-1 1-pn1+p=2pn p-pn 1-pn1+pp2，其中 p 12,1，pn 0,1.令 x=pn,P3 n=2x p-x 1-x1

69、+pp2 0,f x递增；当 x 13,1，f x 0,f x递减.故 f xmax=f13=427，也就是 P3 n827 1+pp2 827p2.【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个，一是求解 P2 n时，利用等比数列的知识求解；二是求解P3 n的最值时，根据解析式的特点，利用导数来求解.27(2023山东潍坊统考模拟预测)2023 年 3 月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有 12 个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球 MIKASA_V200W 已知这种球的质量指标(单位：g)服从正态分布 XN,2，其中 =270，=5.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进

70、行 11 场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下(比赛采取 5 局 3 胜制)：比赛中以 3：0或 3：1 取胜的球队积 3 分，负队积 0 分；而在比赛中以 3：2 取胜的球队积 2 分，负队积 1 分.9 轮过后，积分榜上的前 2 名分别为 1 班排球队和 2 班排球队，1 班排球队积 26 分，2 班排球队积 22 分.第 10 轮1 班排球队对抗 3 班排球队，设每局比赛 1 班排球队取胜的概率为 p 0 p 1.(1)令 =-，则 N 0,1，且 a=P a，求 -2，并证明：-2+2=1；(2)第 10 轮比赛中，记 1 班排球队 3：1 取胜的概率为 f p，求出 f p的

71、最大值点 p0，并以 p0作为 p 的值，解决下列问题.()在第 10 轮比赛中，1 班排球队所得积分为 X，求 X 的分布列；()已知第 10 轮 2 班排球队积 3 分，判断 1 班排球队能否提前一轮夺得冠军(第 10 轮过后，无论最后38一轮即第 11 轮结果如何，1 班排球队积分最多)？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由.参考数据：XN,2，则 P -X +0.6827，P -2 X +2 0.9545，P -3 X +3 0.9973.【答案】(1)0.02275；证明见解析.(2)()分布列见解析()能，189256.【分析】(1)利用正态分布的对称性即可求得结果；(2)先利

72、用导数求出 p=34，再利用离散型随机变量及其分布列即可求得结果.【详解】(1)-2=P -2=P 260，又 P -2 X +2 0.9545，所以 -2=P 260=0.5-0.95452=0.5-0.47725=0.02275.因为 -2=P -2，根据正态曲线对称性，-2=P 2，又因为 2=P 0，f p在 0,34上为增函数；当 p 34,1时，f(p)28，所以，1 班如果第 10 轮积 3 分，则可提前一轮夺得冠军，其概率为 P X=3=189256.28(2023辽宁丹东统考二模)某种抗病毒疫苗进行动物实验，将疫苗注射到甲乙两地一些小白39鼠体内，小白鼠血样某项指标 X 值满

73、足 12.2 X 21.8 时，小白鼠产生抗体从注射过疫苗的小白鼠中用分层抽样的方法抽取了 210 只进行 X 值检测，其中甲地 120 只小白鼠的 X 值平均数和方差分别为 14 和 6，乙地 90 只小白鼠的 X 值平均数和方差分别为 21 和 17，这 210 只小白鼠的 X 值平均数与方差分别为，2(与 2均取整数)用这 210 只小白鼠为样本估计注射过疫苗小白鼠的总体，设 X N,2(1)求，2；(2)小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立，已知注射过疫苗的 N 只小白鼠中有 102 只产生抗体，试估计 N 的可能值(以使得 P(K=102)最大的 N 的值作为 N 的估计值)；(3)

74、对这些小白鼠进行第二次疫苗注射后，有 99.1%的小白鼠产生了抗体，再对这些小白鼠血样的 X值进行分组检测，若每组 n(n 50)只小白鼠混合血样的 X 值在特定区间内，就认为这 n 只小白鼠全部产生抗体，否则要对 n 只小白鼠逐个检测已知单独检验一只小白鼠血样的检测费用为 10 元，n 只小白鼠混合血样的检测费用为 n+9 元试给出 n 的估计值，使平均每只小白鼠的检测费用最小，并求出这个最小值(精确到 0.1 元)附：若 X N,2，则 P(|X-|)=0.68，P(|X-|2)=0.95参考数据：21 4.6，22 4.7，23 4.8，24 4.9【答案】(1)17，23(2)N 的估

75、计值为 149 或 150(3)每只小白鼠平均检测费用的最小值约为 2.8 元，n 的估计值为 10【分析】(1)根据平均数和方差的计算公式或者利用方差的性质即可求解，(2)利用二项分布的概率计算公式，利用单调性即可求解，或者列不等式178102C102N 0.32N178102C102N+10.32N+1,178102C102N 0.32N178102C102N-10.32N-1.求解 N 的范围即可求解，(3)利用二项式定理求解近似值，结合基本不等式即可求解.【详解】(1)法 1：记甲地小白鼠样本 X 值的平均数为 x，方差为 s21；记乙地小白鼠样本 X 值的平均数为 y，方差为 s22

76、，则x=14，y=21，s21=6，s22=17，所以=120 x+90y210=120 14+90 21210=17 2=120 s21+(x-)2+90 s22+(y-)2210=4 6+(14-17)2+3 17+(21-17)27 23,法 2：记甲地小白鼠样本的 X 值为 x1，x2，x120，平均数为 x，方差为 s21；记乙地小白鼠样本的 X 值为y1，y2，y90，平均数为 y，方差为 s22因为 x=14，y=21，s21=6，s22=17所以 =120 x+90y210=120 14+90 21210=1740由120k=1xk-x2=120s21，120k=1xk-x=0

77、，可得120k=1xk-2=120k=1xk-x+x-2=120k=1xk-x2+2 xk-x(x-)+(x-)2=120k=1xk-x2+2(x-)120k=1xk-x+120k=1(x-)2=120s21+120(x-)2=30 60同理90k=1yk-2=90s22+90(y-)2=30 99，于是s2=1210120k=1xk-2+90k=1yk-2=30 60+30 99210 23(2)法 1：因为 =23=4.8，所以 P(12.2 X 21.8)=P(-X -)0.68从注射过疫苗的小白鼠取出 N 只，其中产生抗体的有 K 只，则 KB(N，0.68)，P(K=k)=C102N

78、 0.32N 178k(k=0,1,2,N)当 N 102 时，P(K=102)=0；当 N 102 时，P(K=102)=178102C102N 0.32N记(N)=178102C102N 0.32N，则(N)(N+1)=C102N0.32C102N+1=N-1010.32(N+1)由(N)(N+1)1 等价于 N-101 0.32(N+1)，当且仅当 N 101.320.68=149，知当 103 N 148 时，(N)149 时，(N)(N+1)；故 N=149 或 N=150 时，(N)最大，所以 N 的估计值为 149 或 150法 2：因为 =23=4.8，所以 P(12.2 X

79、21.8)=P(-X -)0.68从注射过疫苗的小白鼠取出 N 只，其中产生抗体的有 K 只，则 KB(N，0.68)，P(K=k)=C102N 0.32N 178k(k=0,1,2,N)当 N 102 时，P(K=102)=0；当 N 102 时，P(K=102)=178102C102N 0.32N若 N=102，则 P(K=102)=178 102 P(K=101)0，均有 P X E X，马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系当 X 为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：设 X 的分布列为 P X=xi=pi,i

80、=1,2,n,其中 pi(0,+),xi 0,+)(i=1,2,n),ni=1pi=1，则对任意 0，P(X )=xipixixi pi=1 xixipi 1ni=1xipi=E(X)，其中符号xiAi表示对所有满足 xi 的指标 i 所对应的 Ai求和切比雪夫不等式的形式如下：设随机变量 X 的期望为 E X，方差为 D X，则对任意 0，均有 P X-E X D X2(1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量 X 成立(2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为 80%现随机选择了 100 名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为 60 人，请结合切比雪夫不等式

81、通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信【答案】(1)证明见解析(2)不可信【分析】(1)利用马尔科夫不等式的证明示例证明即可；(2)由题意可知治愈的人数为 X 服从二项分布，由二项分布计算均值与方差，再结合切比雪夫不等式42说明即可.【详解】(1)法一：对非负离散型随机变量 X-E X2及正数 2使用马尔科夫不等式，有 P X-E X=PX-E X2 2 E X-E X22=D X2法二：设 X 的分布列为P X=xi=pi,i=1,2,n,其中 pi,xi(0,+)(i=1,2,n),ni=1pi=1，记 =E X，则对任意 0，P X-=xi-Pi xi-xi-22Pi=12 xi-xi-

82、2Pi 12 ni=1 xi-2Pi=D X2.(2)设在 100 名患者中治愈的人数为 X假设药企关于此新药有效率的宣传内容是客观真实的，那么在此假设下，X B 100,0.8,E X=100 0.8=80,D X=100 0.8 1-0.8=16由切比雪夫不等式，有 P X 60 P X-80 20 D X202=0.04即在假设下，100 名患者中治愈人数不超过 60 人的概率不超过 0.04，此概率很小，据此我们有理由推断药厂的宣传内容不可信30(2023福建福州福建省福州第一中学校考模拟预测)某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选择题有 A，B，C，D 这 4 个选项，4 个选项

83、中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.若第一题正确选项为两个的概率为 13，并且规定若第i i=1,2,n-1题正确选项为两个，则第 i+1 题正确选项为两个的概率为 13；第i i=1,2,n-1题正确选项为三个，则第 i+1 题正确选项为三个的概率为 13.(1)若第二题只选了“C”一个选项，求第二题得分的分布列及期望；(2)求第 n 题正确选项为两个的概率；(3)若第 n 题只选择 B、C 两个选项，设 Y 表示第 n 题得分，求证：E Y 171

84、8.【答案】(1)分布列见解析；119(2)12+12 -13n(3)证明见解析【分析】(1)设事件 C2表示正确选项为 2 个，事件 C3表示正确选项为 3 个，Pn C2表示第 n 题正确选项为 2 个的概率，Pn C3表示第 n 题正确选项为 3 个的概率.由全概率公式可求出 P2 C2，继而 P2 C3可求，再由全概率公式计算第二题得分分布列的各种情况，并根据公式计算期望；(2)根据(1)中由第一题到第二题正确选项数概率的计算理解，由全概率公式可以得出一般性的结论43Pn+1 C2=13 Pn C2+23 Pn C3化简可得 Pn+1 C2-12=-13 Pn C2-12，可知 Pn

85、C2-12为等比数列,求通项可得 Pn C2；(3)根据(2)求出的 Pn C2可得 Pn C3=1-Pn C2，在利用全概率公式即可求得 Y 的分布列，计算出E Y=1112-112 -13n,则结论可证.【详解】(1)设事件 C2表示正确选项为 2 个，事件 C3表示正确选项为 3 个，Pn C2表示第 n 题正确选项为 2 个的概率，Pn C3表示第 n 题正确选项为 3 个的概率.设事件 C 表示选项“C”为第二题的一个正确选项，用随机变量 X 表示第二题得分.依题得，X 可能取值为 0，2.因为 P2 C2=13 P1 C2+23 P1 C3=13 13+23 23=59，P2 C3

86、=1-P2 C2=49，所以 P X=0=P CC2P2 C2+P CC3P2 C3=C23C24 59+C33C34 49=12 59+14 49=718P X=2=P CC2P2 C2+P CC3P2 C3=C13C24 59+C23C34 49=12 59+34 49=1118所以 X 的分布列为:X02P7181118所以 E X=0 718+2 1118=119.(2)依题得，Pn+1 C2=13 Pn C2+23 Pn C3=13 Pn C2+23 1-Pn C2=23-13 Pn C2，所以 Pn+1 C2-12=-13 Pn C2-12，又因为 P1 C2-12=13-12=-

87、16，所以 Pn C2-12是以-16 为首项，以-13 为公比的等比数列.所以 Pn C2-12=-16-13n-1=12 -13n，Pn C2=12+12 -13n.(3)由(2)可知，Pn C2=12+12 -13n，Pn C3=1-Pn C2=12-12 -13n.依题得，Y 可能取值为 0，2，5.P Y=0=5C24 Pn C2+2C34 Pn C3=56 12+12 -13n+12 12-12 -13n=23+16 -13nP Y=2=0 Pn C2+2C34 Pn C3=12 12-12 -13n=14-14 -13n，P Y=5=1C24 Pn C2+0 Pn C3=16 12+12 -13n=112+112 -13n，44所以 E Y=2 14-14 -13n+5 112+112 -13n=1112-112 -13n 1718.【点睛】方法点睛：高中阶段的马尔科夫链类型的概率问题解决关键是利用全概率公式找到概率的递推式，然后用数列手段去处理求解.